Aula integral indefinida

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Ca´lculo I - Integral
Indefinida
Prof. Josinaldo
Menezes e Profa.
Simone Batista
Primitivas
Te´cnicas de
Integrac¸a˜o
Integrac¸a˜o por
Partes Ca´lculo I - Integral Indefinida
Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista
Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN
17 de novembro de 2009
Ca´lculo I - Integral
Indefinida
Prof. Josinaldo
Menezes e Profa.
Simone Batista
Primitivas
Determinando
Primitivas
Exerc´ıcios
Regras de
Linearidade para
Primitivas
Problema de Valor
Inicial e Equac¸o˜es
Diferenciais
Exerc´ıcios
Te´cnicas de
Integrac¸a˜o
Integrac¸a˜o por
Partes
Determinando Primitivas
Uma func¸a˜o F (x) e´ uma primitiva de f (x) em um intervalo I se
F ′(x) = f (x) para qualquer x em I.
I Encontrar F (x) a partir de f (x) chama-se primitivac¸a˜o ou
antiderivac¸a˜o.
I Exemplo: Se f (x) = 2x , enta˜o pode ser F (x) = x2.
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Regras de
Linearidade para
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Problema de Valor
Inicial e Equac¸o˜es
Diferenciais
Exerc´ıcios
Te´cnicas de
Integrac¸a˜o
Integrac¸a˜o por
Partes
Se F e´ uma primitiva de f em um intervalo I, enta˜o a primitiva
mais geral de f em I e´
F (x) + C (1)
onde C e´ uma constante arbitra´ria.
I A fam´ılia de func¸o˜es F (x) + C sa˜o gra´ficos onde cada um e´
uma translac¸a˜o vertical do outro.
I Exemplo: Se f (x) = 2x , a resposta completa e´ que
F (x) = x2 + C .
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Diferenciais
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Te´cnicas de
Integrac¸a˜o
Integrac¸a˜o por
Partes
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Diferenciais
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Te´cnicas de
Integrac¸a˜o
Integrac¸a˜o por
Partes
Exerc´ıcios
1. Determinar a primitiva de:
a) f (x) = x5
b) g(x) = 1√
x
c) h(x) = sen(2x)
d) i(x) = cos
(
x
2
)
e) j(x) = e−3x
f) k(x) = 2x
2. Escrever a primitiva mais geral de f (x) = 3√
x
+ sen(2x).
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Linearidade para
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Diferenciais
Exerc´ıcios
Te´cnicas de
Integrac¸a˜o
Integrac¸a˜o por
Partes
Regras de Linearidade para Primitivas
Se F (x) + C e G (x) + C sa˜o as primitivas de f (x) e g(x),
respectivamente, temos que
I Regra da Multiplicac¸a˜o: A derivada de kf (x), sendo k uma
constante, e´
kF (x) + C
I Regra da Oposta: A derivada de −f (x), e´
−F (x) + C
I Regra da Soma ou da Diferenc¸a: A derivada de f (x)± g(x) e´
F (x)± G (x) + C
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Regras de
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Diferenciais
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Integrac¸a˜o
Integrac¸a˜o por
Partes
Problema de Valor Inicial e Equac¸o˜es Diferenciais
Encontrar uma primitiva y(x) de uma func¸a˜o f (x) e´ resolver a
equac¸a˜o
dy
dx
= f (x) (2)
que e´ uma equac¸a˜o diferencial.
I Para encontrar a constante da primitiva, especificamos uma
condic¸a˜o inicial, y(x0) = y0.
I A equac¸a˜o diferencial junto com a condic¸a˜o inicial e´ um
problema de valor inicial.
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Te´cnicas de
Integrac¸a˜o
Integrac¸a˜o por
Partes
Exemplo: a primitiva de f (x) = sen x que satisfac¸a F (0) = 3 e´
I encontramos a primitiva geral
F (x) = − cos x + C
I aplicamos a condic¸a˜o inicial
F (0) = − cos 0 + C = 3
ou seja C = 4.
I A primitiva desejada e´
F (x) = − cos x + 4
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Inicial e Equac¸o˜es
Diferenciais
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Te´cnicas de
Integrac¸a˜o
Integrac¸a˜o por
Partes
Exerc´ıcios
1. Determinar a curva cujo coeficiente angular no ponto (x , y) e´
3x2 sabendo que ela deve passar pelo ponto (1,−1).
2. Um bala˜o que sobe a uma taxa de 12pe´s/s, esta´ a uma altura
de 80pe´s aima do solo quando um pacote e´ jogado. Quanto
tempo o pacote demora para chegar ao solo?
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Te´cnicas de
Integrac¸a˜o
Integral Indefinida
Adequando
integrais a
fo´rmulas ba´sicas
Te´cnicas de
Integrac¸a˜o - A
Regra da
Substituic¸a˜o
Te´cnicas de
Integrac¸a˜o -
Completando os
Quadrados
Te´cnicas de
Integrac¸a˜o -
Usando uma
identidade
trigonome´trica
Te´cnicas de
Integrac¸a˜o -
Eliminando uma
Raiz
Te´cnicas de
Integrac¸a˜o -
Frac¸a˜o Impro´pria
Te´cnicas de
Integrac¸a˜o -
Separando Frac¸o˜es
Te´cnicas de
Integrac¸a˜o -
Multiplicando por
uma Forma
Unita´ria
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Frac¸a˜o Impro´pria
Te´cnicas de
Integrac¸a˜o -
Separando Frac¸o˜es
Integrac¸a˜o por
Partes
Integral Indefinida
O conjunto de todas as primitivas de f e´ a integral indefinida de f
em relac¸a˜o a x , denotada por∫
f (x) dx (3)
I
∫
e´ o s´ımbolo da integral
I A func¸a˜o f e´ o integrando da integral e x e´ a varia´vel de
integrac¸a˜o.
I A integral
∫
(x2 − 2x + 5)dx e´∫
(x2 − 2x + 5)dx = x
3
3
− x2 + 5x + C (4)
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Adequando integrais a fo´rmulas ba´sicas
Alguns procedimentos sa˜o utilizados para adequar integrais a
fo´rmulas ba´sica
I Fazer uma substituic¸a˜o.
I Completar quadrados.
I Usar uma identidade trigonome´trica.
I Eliminar uma raiz quadrada.
I Reduzir uma frac¸a˜o impro´pria.
ISeparar uma frac¸a˜o.
I Multiplicar por uma fo´rmula unita´ria.
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Integrac¸a˜o por
Partes
Te´cnicas de Integrac¸a˜o - A Regra da Substituic¸a˜o
A regra da substituic¸a˜o e´ dada por∫
f (g(x))g ′(x)dx =
∫
f (u)du (5)
onde u = g(x) e´ uma func¸a˜o deriva´vel cuja imagem e´ um intervalo
I , e f e´ cont´ınua em I .
I Exemplo: Calcular
∫
2x−9√
x2−9x+1dx .
Considerando
u = x2 − 9x + 1, du = (2x − 9)dx
temos
2x − 9√
x2 − 9x + 1 dx =
∫
du√
u
=
∫
u−
1
2 du
= 2u
1
2 + C = 2
√
x2 − 9x + 1 + C
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Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Completando os
Quadrados
Calcular
∫
dx√
8x−x2 .
I Completamos o quadrado
8x − x2 = −(x2 − 8x) = −(x2 − 8x + 16)− 16
= 16− (x − 4)2 (6)
(7)
I Assim, ∫
dx√
8x − x2 =
∫
dx√
16− (x − 4)2 (8)
I Com a = 4 e u = x − 4, temos que du = dx e∫
dx√
16− (x − 4)2 =
∫
du√
a2 − u2 =
= 2 sen−1
(u
a
)
+ C
= sen−1
(
x − 4
4
)
+ C
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trigonome´trica
Calcular
∫
(sec x + tg x)2dx .
I Expandindo o integrando
(sec x + tg x)2 = sec2 x + 2 sec x tg x + tg2 x
I Substituindo a identidade trigonome´trica
tg2 x + 1 = sec2 x
temos∫
(sec x + tg x)2dx =
∫
(2 sec2 x + sec x tg x − 1)dx
= 2
∫
sec2 xdx + 2
∫
sec x tg xdx −
∫
dx
= 2 tg x + 2 sec x − x + C . (9)
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Calcular
∫ √
1 + cos(4x)dx
I Usamos a identidade trigonome´trica:
cos2 θ =
1 + cos(2θ)
2
→ 1 + cos 4x = 2 cos2(2x).
I Reescrevemos a integral∫ √
1 + cos(4x)dx =
∫ √
2 cos2 2xdx =
√
2
∫
| cos 2x |dx .
I Quando cos 2x > 0, temos
√
2
∫
| cos 2x |dx =
√
2
∫
cos 2xdx =
√
2
(
sen 2x
2x
)
.
I Quando cos 2x < 0, temos
√
2
∫
| cos 2x |dx = −
√
2
∫
cos 2xdx = −
√
2
(
sen 2x
2x
)
.
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Calcular
∫
3x2−7
3x+2 dx .
I Dividimos a frac¸a˜o para encontrar um quociente mais um resto,
3x2 − 7
3x + 2
= x + 3 +
6
3x + 2
I Reescrevemos a integral∫
3x2 − 7x
3x + 2
dx =
∫ (
x − 3 + 6
3x + 2
)
dx
=
x2
2
− 3x + 2 ln |3x + 2|+ C
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Calcular
∫
3x+2√
1−x2 dx .
I Separando as frac¸o˜es∫
3x + 2√
1− x2 dx =
∫
3x√
1− x2 dx +
∫
2√
1− x2 dx
I Resolvendo a primeira integral com u = 1− x2 e du = −2xdx ,∫
3x√
1− x2 dx = −
3
2
∫
du√
u
= −3
2
∫
u−
1
2 du
= −3
2
(
u
1
2
1
2
)
+ C1 = −3
√
1− x2 + C1
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Integrac¸a˜o por
Partes
I Fazendo a segunda integral,∫
2√
1− x2 dx = 2
∫
dx√
1− x2 = 2 sen−1 x + C2
I A soluc¸a˜o final e´∫
3x + 2√
1− x2 dx = −3
√
1− x2 + C1 + 2 sen−1 x + C2
= −3
√
1− x2 + 2 sen−1 x + C
onde juntamos as constantes C1 + C2 = C .
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Substituic¸a˜o
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Quadrados
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identidade
trigonome´trica
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Integrac¸a˜o -
Eliminando uma
Raiz
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Integrac¸a˜o -
Frac¸a˜o Impro´pria
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Integrac¸a˜o -
Separando Frac¸o˜es
Te´cnicas de
Integrac¸a˜o -
Multiplicando por
uma Forma
Unita´ria
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Frac¸a˜o Impro´pria
Te´cnicas de
Integrac¸a˜o -
Separando Frac¸o˜es
Integrac¸a˜o por
Partes
Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Multiplicando por uma
Forma Unita´ria
Calcular
∫
sec xdx .
I Multiplicando o integrando por uma forma unita´ria,∫
sec xdx =
∫
sec x .1dx =
∫
sec x
sec x + tg x
sec x + tg x
dx
=
∫
sec2 x + sec x tg x
sec x + tg x
dx
I Utilizando u = tg x + sec x e du = (sec2 x + sec x tg x)dx ,
temos∫
sec2 x + sec x tg x
sec x + tg x
dx =
∫
du
u
= ln |u|+ C
= ln | sec x + tg x |+ C .
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Multiplicando por
uma Forma
Unita´ria
Te´cnicas de
Integrac¸a˜o -
Frac¸a˜o Impro´pria
Te´cnicas de
Integrac¸a˜o -
Separando Frac¸o˜es
Integrac¸a˜o por
Partes
Te´cnicas de Integrac¸a˜o - Frac¸a˜o Impro´pria
Calcular
∫
3x2−7
3x+2 dx .
I Dividimos a frac¸a˜o para encontrar um quociente mais um resto,
3x2 − 7
3x + 2
= x + 3 +
6
3x + 2
I Reescrevemos a integral∫
3x2 − 7x
3x + 2
dx =
∫ (
x − 3 + 6
3x + 2
)
dx
=
x2
2
− 3x + 2 ln |3x + 2|+ C
Ca´lculo I - Integral
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Integrac¸a˜o
Integral Indefinida
Adequando
integrais a
fo´rmulas ba´sicas
Te´cnicas de
Integrac¸a˜o - A
Regra da
Substituic¸a˜o
Te´cnicas de
Integrac¸a˜o -
Completando os
Quadrados
Te´cnicas de
Integrac¸a˜o -
Usando uma
identidade
trigonome´trica
Te´cnicas de
Integrac¸a˜o -
Eliminando uma
Raiz
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Calcular
∫
3x+2√
1−x2 dx .
I Separando as frac¸o˜es∫
3x + 2√
1− x2 dx =
∫
3x√
1− x2 dx +
∫
2√
1− x2 dx
I Resolvendo a primeira integral com u = 1− x2 e du = −2xdx ,∫
3x√
1− x2 dx = −
3
2
∫
du√
u
= −3
2
∫
u−
1
2 du
= −3
2
(
u
1
2
1
2
)
+ C1 = −3
√
1− x2 + C1
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I Fazendo a segunda integral,∫
2√
1− x2 dx = 2
∫
dx√
1− x2 = 2 sen
−1 x + C2
I A soluc¸a˜o final e´∫
3x + 2√
1− x2 dx = −3
√
1− x2 + C1 + 2 sen−1 x + C2
= −3
√
1− x2 + 2 sen−1 x + C
onde juntamos as constantes C1 + C2 = C .
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Se f e g sa˜o func¸o˜es deriva´veis de x , a regra do produto diz que
d
dx
[f (x)g(x)] = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x)
que fazemos∫
d
dx
[f (x)g(x)] =
∫
[f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x)] dx
=
∫
f ′(x)g(x)dx +
∫
f (x)g ′(x)dx
Ou seja, ∫
f (x)g ′(x)dx = f (x)g(x)−
∫
g(x)f ′(x)dx
I A fo´rmula geral para a integrac¸a˜o por partes e´∫
u dv = u v −
∫
v du
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Exemplo 1: Determinar
∫
x cos xdx .
I Com u = x e dv = cos xdx temos
v = sen x du = dx .
I Integrando por partes∫
x cos xdx = x sen x −
∫
sen xdx
= x sen x + cos x + C . (10)
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Exemplo 2: Outras opc¸o˜es da aplicac¸a˜o da integrac¸a˜o por partes
para a integral
∫
x cos xdx .
1. Assumir u = 1 e dv = x cos xdx na˜o serve pois na˜o sabemos
encontrar v .
2. Tomar u = x cos x e dv = dx leva-nos a
du = (cos x − x sen x)dx v = x
Assim,∫
x cos xdx = x2 cos x −
∫
(x cos x − x2 sen x)dx
sendo a integral final mais complicada que a inicial.
3. Finalmente, considerar u = cos x e dv = xdx nos da´
du = − sen xdx v = x
2
2
resultando em∫
x cos xdx =
x2
2
cos x −
∫
x2
2
sen xdx
que tambe´m e´ um problema pior que o inicial.
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Exerc´ıcios
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Calcule as seguintes integrais:
1.
∫
ln xdx
2.
∫
x2exdx
3.
∫
ex cos xdx
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