Capitulo 1 - Conjuntos Numéricos e Intervalos

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Profª Tania Elisa Seibert 
 CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO 
UNIDADE 1 – CAPÍTULO 1 
1 
Prezado aluno! 
 
Inicia-se com este capítulo o estudo de conceitos matemáticos 
fundamentais para as disciplinas de Cálculo. Por este motivo, que se chama 
de Pré-Cálculo este curso de extensão. 
Cumpram a “Rota Acadêmica” e não esqueçam que vocês possuem o 
“Fórum Interativo” para entrar em contato com o professor. 
Bom estudo! 
 
1 CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTERVALOS REAIS 
 
Boa parte da linguagem utilizada nos vários ramos da Matemática foi influenciada, 
durante o século XX, pela Teoria dos Conjuntos. Esta teoria foi criada por Georg Ferdinand 
Ludwig Philipp Cantor (1845-1918), notável matemático russo que, antes dos 30 anos, 
publicou seu primeiro trabalho sobre a Teoria dos Conjuntos. 
A Teoria dos Conjuntos é a teoria matemática dedicada ao estudo da associação entre 
objetos com uma mesma propriedade. Como definição intuitiva de conjunto, dada por Cantor, 
surgiram, em sua teoria, exemplos como: 
a) um conjunto unitário possui um único elemento; 
b) dois conjuntos são iguais se possuem exatamente os mesmos elementos; 
c) conjunto vazio é o conjunto que não possui nenhum elemento; 
d) os conjuntos podem ser finitos ou infinitos. Um conjunto finito pode ser definido reunindo 
todos os seus elementos separados por vírgulas. Já um conjunto infinito pode ser definido por 
uma propriedade que deve ser satisfeita por todos os seus membros. 
 
1.1 SIMBOLOGIA 
 
A Matemática é uma linguagem com simbologia própria. Para “ler” e “interpretar” 
informações matemáticas é muito importante compreender a sua linguagem, para evitarem-se 
interpretações errôneas. 
 
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Portanto, é necessário conhecer alguns dos símbolos matemáticos, como os que se 
indicam no quadro a seguir. 
 
SÍMBOLO SIGNIFICADO SÍMBOLO SIGNIFICADO 
= Igual 

 Pertence 
 Diferente 

 Não pertence 
< Menor que 

 Intersecção 
> Maior que 

 União 

 Menor ou igual que 

 Está contido 

 Maior ou igual que 

 Contém 

 Existe 

 Aproximado 

 Infinito 

 Qualquer que seja 

 E ~ Proporcional 

 Ou 𝜋 Número pi 
 
1.2 CONJUNTO 
 
Chamamos de conjunto um agrupamento de elementos com características 
determinadas. Como por exemplo: 
E = {verão, outono, inverno, primavera} (Conjunto das estações do ano). 
S = {domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado} 
(Conjunto dos dias da semana). 
I = {2, 4 , 6, 8} (Conjunto dos números inteiros pares entre 1 e 9). 
Um elemento de um conjunto é todo objeto, número, letra, etc., que faz parte na 
formação de um conjunto. No conjunto {2, 4 , 6, 8}, o número 6 é um elemento desse 
conjunto. 
Para representar conjuntos e seus elementos deve-se obedecer a sua notação. Os 
conjuntos são representados por letras maiúsculas e seus elementos, entre chaves, por letras 
minúsculas. 

 
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Exemplo: Dado o conjunto A formado pelos elementos a, b, c, d, representa-se por: 
A = {a, b, c, d}. 
Os conjuntos podem ser finitos, com um número determinado de elementos ou 
infinitos, com um número infinito de elementos. 
Exemplo de conjunto finito: conjunto dos números inteiros entre o número 2 e o 
número 5; conjunto dos números inteiros entre o número -50 e o número 50. 
Exemplo de conjunto infinito: conjunto dos números inteiros pares; conjunto dos 
números inteiros ímpares. 
Antes de estudarem-se outras características dos conjuntos e as operações entre 
conjuntos, definem-se os Conjuntos Numéricos. 
 
1.2.1 Conjuntos Numéricos 
A concepção do conjunto numérico pode ser compreendida a partir da compreensão de 
um conjunto. A construção de todos os conjuntos numéricos parte de números Inteiros 
utilizados apenas para contar, até os números Complexos que possuem vasta aplicabilidade 
nas engenharias, nas produções químicas, entre outras áreas. 
 
1.2.1.1 Conjunto dos números Naturais 
 Num determinado momento da História, os homens sentiram necessidade de contar 
objetos, animais, pessoas, etc. Essa necessidade fez com que os homens criassem uma forma 
de representar essas contagens. Por volta de 4000 a C, algumas comunidades primitivas 
transformaram-se em cidades. Várias atividades foram surgindo, graças ao desenvolvimento 
do comércio. Era o fim da pré-história e o início da história. 
 Para o homem primitivo, contar significava fazer correspondências. Durante a caçada, 
por exemplo, para cada animal que conseguia abater, o caçador fazia uma marca em um 
pedaço de madeira, fazendo assim uma correspondência entre dois conjuntos. Ou um pastor 
para controlar o seu rebanho de ovelhas, utilizava pedras. 
 
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Fonte: SEIBERT, 2013 
 
 
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Grandes progressos aconteceram na Matemática, com o surgimento dos números no 
Egito. Também os romanos criaram a sua forma de expressar os números, suprindo dessa 
maneira à necessidade que surgiu com o comércio e as habitações. Cada povo desenvolveu 
seus símbolos matemáticos e seu sistema de numeração. 
No século VI, na Síria, foram fundados alguns centros de cultura grega, que se 
preocuparam em estudar o conhecimento matemático dos Hindus, que já tinham, para 
representar os números, 10 símbolos. 
A ideia de introduzir uma notação para a posição vazia (0) foi de um ovo de ganso, e 
ocorreu na Índia no final do século VI. Com a introdução do zero, o nosso sistema numérico 
se completou. Agora os algarismos 2 e 3 poderiam significar 203 ou 23. 
Esses símbolos numéricos são chamados de indo-arábicos, pois os árabes os tomaram 
dos hindus durante as suas guerras de conquista, levando vários livros científicos de Bagdá, 
na época o maior centro científico do mundo. São esses números, criados pelos matemáticos 
 
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da Índia, divulgados para outros povos pelo árabe al-Khowarizmi, que constituem o nosso 
sistema de numeração decimal, por isso, conhecido como algarismos indo-arábicos. 
O conjunto dos Números Naturais, cuja notação é ℕ, é representado como: 
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … } , conjunto dos Números Naturais. 
ℕ∗ = {, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … }, conjunto dos Números Naturais sem o zero. 
 
1.2.1.2 Conjunto dos números Inteiros 
 Até o século XI, nenhum grande descobrimento matemático havia sido feito desde a 
antiguidade. As pessoas com maior conhecimento eram alguns monges, que copiavam e 
estudavam obras Matemáticas antigas. Mesmo nos séculos XII e XIII, quando centros de 
ensino foram criados, nada mudou muito. 
 Mas, a partir do século XVI, na época do Renascimento, tudo começou a evoluir, 
inclusive a Matemática. Nessa época uma ideia começou a surgir: o que seria o oposto de algo 
positivo? Foi então que os números com sinais começaram a serem usados. 
Um saldo é o oposto de um déficit. Uma dada temperatura acima de zero é o oposto da 
mesma temperatura abaixo de zero. Uma perda de um comerciante é o oposto de um ganho. 
Para expressar essa ideia não podiam ser usadosos números Naturais. Foi criado então o 
conjunto dos números Inteiros que é composto dos números positivos e negativos, que não 
são fracionários (decimais). O símbolo do conjunto dos números Inteiros é o ℤ, inicial da 
palavra alemã “Zahlen”, que significa números. 
O conjunto dos números Inteiros é representado como: 
 ℤ = {… , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, … } (Números Inteiros negativos, o número zero e 
os Números Inteiros positivos). 
ℤ+ = {0, 1, 2 3, 4, … } (Conjunto dos números Inteiros não negativos). 
ℤ− = {… , −4, −3, −2, −1, 0} (Conjunto dos números Inteiros não positivos). 
ℤ∗ = {… , −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, … } (Conjunto dos números Inteiros sem o zero). 
 
1.2.1.3 Conjunto dos números Racionais 
O conjunto dos números Racionais abrange todos os inteiros, decimais finitos e dízimas 
periódicas. Este conjunto surgiu da necessidade que o homem teve de dividir as “coisas” em 
partes iguais. Existem histórias que contam que os números Racionais surgiram quando um 
rei egípcio, chamado Sesóstris, repartiu igualmente as terras do Egito entre seus cidadãos, e 
por isso cobrava tributos. Quando o pedaço de terra de alguém era invadido pelo rio Nilo, esta 
pessoa deveria ir conversar com o rei, para fazer um ajuste do tributo. 
 
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O conjunto dos números Racionais, cuja notação é ℚ, contém qualquer número que 
possa ser escrito como a razão de dois números inteiros, na forma 
a
b
, onde b ≠ 0, isto é: 
ℚ = {
a
b
 | a, b ∈ ℤ e b ≠ 0} (Lê-se: a dividido por b tal que a e b pertencem ao conjunto dos 
números Inteiros e b diferente de zero). 
 
Obs.: 
a) O número Racional 
1
2
 pode ser escrito na notação decimal como 0,5, ou seja, apesar de não 
estar na notação 
a
b
 , 0,5 é um número racional. 
b) A dízima periódica 0,33333333... é um número Racional, pois pode ser representada por 
sua fração geratriz que é 
1
3
. Lembre-se que dízima periódica é uma sequência que se repete 
infinitamente. 
c) O número Racional 
6
3
 representa o inteiro 2, logo qualquer número Inteiro pode ser 
representado na forma de um número Racional. Dessa maneira podemos estabelecer algumas 
relações entre os conjuntos numéricos, tais como: 
ℕ ⊂ ℤ (O conjunto dos números Naturais está contido no conjunto dos números Inteiros). 
ℤ ⊂ ℚ (O conjunto dos números Inteiros está contido no conjunto dos números Racionais). 
ℕ ⊂ ℚ (O conjunto dos números Naturais está contido no conjunto dos números Racionais). 
 
1.2.1.4 Conjunto dos números Irracionais 
No século VI, Pitágoras, um matemático, descobriu a relação entre as medidas de um 
triângulo retângulo. Mais tarde esta relação foi chamada de Teorema de Pitágoras. Aplicando 
este teorema, Pitágoras chegou a números do tipo 
2
. Como só eram conhecidos os números 
Naturais e Racionais positivos, ele não conseguia descobrir o valor que correspondesse a esse 
resultado, pois é impossível por tentativas. Com isso surgem os números Irracionais. 
Exemplos: 
2
= 1,4142135623730950488016887242097... 
  = 3,1415926535897932384626433832795... 
Portanto, os números Irracionais, cuja notação é ℚ′, são aqueles que não podem ser 
representados na forma fracionária, ou seja, sua notação decimal não tem uma dízima 
periódica, isto é, a parte decimal não tem uma sequência de números que se repete. 
 
 
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1.2.1.4 Conjunto dos números Reais 
A união do conjunto dos números Racionais com o conjunto dos números Irracionais 
resulta num conjunto numérico chamado de conjunto dos números Reais, cuja notação é ℝ. O 
conjunto dos Números Reais contém vários subconjuntos (Naturais, Inteiros, Racionais e 
Irracionais), representados no diagrama de Venn: 
 
Observações: 
a) ℚ ∪ ℚ′ = ℝ (A união entre o conjunto dos números Racionais e dos Irracionais resulta no 
conjunto dos números Reais). 
b) ℚ ∩ ℚ′ = ∅ (A intersecção entre o conjunto dos números Racionais e dos Irracionais tem 
como resultado um conjunto vazio, isto é, um conjunto sem elementos). 
 
1.2.1.5 Conjunto dos números Complexos 
O conjunto dos números Complexos, cuja notação é ℂ, é formado pelos números 
escritos na forma retangular a + bi, para a ∧ b ∈ ℝ e i = √−1, sendo 𝐚 relativo à parte real e 
𝐛 relativo à parte imaginária. É representado como ℂ = {z = a + bi|a, b ∈ ℝ ∧ i2 = −1}. 
 
Exemplos: 
a) Para 1 + √−4, temos: 
1 + √−4 = 1 + √(−1) × 4 (Pode-se escrever (– 4) como: [(-1) . 4] 
1 + √(−1). √4 (Aplicando a propriedade da radiciação √a . b = √a . √b) 
1 + 2√(−1) (Lembre-se que √−1 = i) 
1 + 2i 
Logo, para a parte real 𝐚, temos que a = 1 e para a parte imaginária 𝐛 temos que b = 2. 
 
Para √−9, temos: 
 √−9 = √9 x (−1) 
 √9 x √−1 (Lembre-se que √−1 = i) 
 3i 
 
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Portanto, para 𝐚 um número Real qualquer tal que, a ∈ ℝ, e a = a + 0i, temos que 𝐚 é 
um Número Complexo com a parte real 𝐚 e a parte imaginária 𝟎𝐢. 
 
Observação: 
a) ℝ ⊂ ℂ (O conjunto dos números Reais está contido no conjunto dos números Complexos). 
 
1.3 OUTROS CONCEITOS RELACIONADOS AO ESTUDO DE CONJUNTOS 
 
Os tópicos que se estudam neste subcapítulo se aplicam tanto para um conjunto 
qualquer, quanto para os conjuntos numéricos. 
 
1.3.1 Relação de pertinência 
Quando um determinado elemento 𝐠 faz parte de um conjunto 𝐏, temos que g “pertence 
a” P, estabelecendo, deste modo, uma relação de pertinência entre g e P. Representa-se essa 
pertinência por 𝐠 ∈ 𝐏. Os símbolos “pertence” (∈) e “não pertence” (∉) são utilizados para 
relacionar elementos e conjuntos. 
 
Exemplo 
a) Seja o conjunto A o conjunto das estações do ano. Utilize o símbolo correto nas seguintes 
relações: 
a) Verão ______ A 
Primeiro você deve explicitar o conjunto: 
E = {verão, outono, inverno, primavera} 
Segundo, analisar os elementos do conjunto. O elemento “verão” faz parte do conjunto E. 
Logo, o elemento “verão” pertence ao conjunto “estações do ano”. Matematicamente 
representamos por: verão ∈ A. 
b) Março _____ A 
Observando os elementos do conjunto E, não encontramos o elemento “março”. 
Matematicamente representamos por: março ∉ 𝐴. 
 
 
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10 
 
2 ∈ {1, 2, 3} 
1
3
∉ {1, 2, 3} 
22 𝑒 44 ∈ {2, 4, 6, 8, 10, … } 
33 ∉ {2, 4, 6, 8, 10, … } 
 
1.3.2 Representação dos conjuntos 
Representam-se conjuntos de diferentes formas, como: por extensão, por compreensão e 
geometricamente. 
 
a) Por extensão, os conjuntos são representados por letras maiúsculas e seus elementos, entre 
chaves, por letras minúsculas separadas por vírgulas. Exemplos: 
1) Dado o conjunto A, formado pelos elementos a, b, c, d, representa-se por: 
A = {a, b, c, d} 
2) Dado o conjunto B, formados pelas estações do ano, representa-se por: 
B = {verão, outono, inverno, primavera} 
 
b) Por compreensão, os conjuntos são representados por meio de uma propriedade que 
caracteriza os seus elementos. Exemplo: 
1) Representar, por compreensão, o conjunto C formados pelos números Naturais pares. 
C = { ∀x | xé um número natural par}. 
 
c) Geometricamente, um conjunto pode ser representado por uma linha fechada denominado 
diagrama de Venn. Verificando as relações de pertinência, no diagrama de Venn,temos: 
 
 
 
 
Observe os exemplos 
de relação entre 
elementos e conjuntos 
 
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1.3.3 Conjunto unitário 
Define-se como conjunto unitário todo conjunto que tem somente um elemento. 
Exemplo: 
a) Conjunto formado pelos meses do ano que iniciam com a letra f. 
M = {fevereiro} 
 
1.3.4 Conjunto vazio 
Define-se como conjunto vazio o conjunto que não tem elementos sendo representado 
por { } ou ∅. Exemplo: 
a) Seja A o conjunto dos números Inteiros maiores que 10 e menores que 9, temos que 
A = { } ou A = ∅ (É um conjunto vazio, pois entre 9 e 10 não existem números Inteiros). 
 
1.3.5 Subconjunto 
Denomina-se que o conjunto A é subconjunto de B se todos os elementos de A 
pertencem também a B. Exemplo: 
a) Seja A = {22, 44} e B = {22, 33, 44}, A é subconjunto de B (Observe que todos os 
elementos do conjunto A fazem parte do conjunto B). 
 
1.3.3 Conjunto universo e conjunto verdade 
Para solucionar um problema matemático que envolva conjuntos, é necessário admitir a 
existência de um conjunto denominado conjunto universo representado por U. Vamos analisar 
uma situação envolvendo estes conceitos. 
a) Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5 
1º) Resolva a equação: 
x + 2 = 5 
x = 5 – 2 
x = 3 
2º) Lembre-se que o conjunto A, neste exemplo é o conjunto universo. Para que esta equação, 
neste conjunto universo, tenha solução o valor encontrado para x, deve ser um elemento do 
conjunto universo. Podemos afirmar que 3 ∈ A, portanto o conjunto {3} é o conjunto verdade 
dessa equação. 
 
b) Determine os números Inteiros que satisfazem a equação x² = 49. 
1º) Identifique no enunciado o conjunto universo. Neste exemplo U = ℤ. 
 
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2º) Resolva a equação. 
x2 = 49 
x = ± √49 
x = ±7 
3º) Verifique se – 7 e 7 são elementos de U. (– 7 ∊ ℤ e 7 ∊ ℤ). 
4º) Portanto, os números – 7 e 7 satisfazem a equação. Logo formam o conjunto verdade (V). 
Então: V = {– 7, 7}. 
 
c) Determine os números Naturais que satisfazem a equação x² = 16. 
1º) Identifique no enunciado o conjunto universo. Neste exemplo U = ℕ. 
2º) Resolva a equação. 
x2 = 16 
x = ± √16 
x = ±4 
3º) Verifique se – 4 e 4 são elementos de U. (– 4 ∉ ℕ e 4 ∊ ℕ). 
4º) Portanto, apenas 4 satisfaz a equação. Logo, V = {4}. 
 
d) Determine os números Naturais que satisfazem a equação x + 6 = 3. 
1º) Identifique no enunciado o conjunto universo. Neste exemplo U = ℕ. 
2º) Resolva a equação. 
x + 6 = 3 
x = 3 − 6 
x = −3 
3º) Verifique se (– 3) é elemento de U. (– 3 ∉ ℕ). 
4º) Portanto, (– 3) não satisfaz a equação. Logo, V = { } ou V = ∅ 
 
Observações: 
a) Conjunto universo (U) é o conjunto de todos os valores que a variável pode assumir. 
b) Conjunto verdade (V) é o conjunto dos valores de U, que tornam verdadeira a equação. 
c) O conjunto verdade é um subconjunto do conjunto universo. 
d) O conjunto verdade é também conhecido como conjunto solução e é indicado por S. 
 
 
 
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1.3.4 Relação de Inclusão 
Quando A é um subconjunto de B, temos que 𝐀 ⊂ 𝐁. Os símbolos: está contido (⊂); 
não está contido (⊄); contém (⊃) e não contém (⊅) são utilizados para as relações entre 
conjuntos. Exemplos: 
a) Dados os conjuntos A = {22, 44}, B = {22, 33, 44} e C = {2, 4, 6, 8, 10}, analise as 
seguintes afirmações. 
1) A ⊂ B (Lê-se: A está contido em B). 
Para que essa afirmação seja verdadeira é necessário compreender o significado do símbolo 
⊂ (está contido). Para que A esteja contido em B, todos os elementos do conjunto A devem 
fazer parte do conjunto B. 
A = {𝟐𝟐, 𝟒𝟒} B = {𝟐𝟐, 33, 𝟒𝟒} 
Conclui-se que A ⊂ B, pois todos os elementos de A fazem parte de B, isto é, A é um 
subconjunto de B. 
 
2) B ⊂ A (Lê-se: B está contido em A). 
Para que B esteja contido em A todos os elementos de B devem fazer parte de A. 
B = {22, 𝟑𝟑, 44} A = {22, 44} 
Observe que o elemento 33 do conjunto B não é elemento do conjunto A. Conclui-se que 
B ⊄ A (Lê-se: B não está contido em A), pois B não é um subconjunto de A. 
 
3) B ⊃ A (Lê-se: B contém em A). 
Para que essa afirmação seja verdadeira, é necessário que em B, se encontre todos os 
elementos de A. B contém todos os elementos de A. 
B = {𝟐𝟐, 33, 𝟒𝟒} 
A = {𝟐𝟐, 𝟒𝟒} 
Como B contém todos os elementos de A, podemos dizer que esta afirmação é verdadeira. 
 
4) A ⊂ C (Lê-se: A está contido em C). 
Para que essa afirmação seja verdadeira, é necessário que em C, se encontre todos os 
elementos de A. 
C = {2, 4, 6, 8, 10} 
A = {22, 44} 
Como os elementos de A não fazem parte do conjunto C à afirmação A ⊂ C não é verdadeira. 
 
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Logo, A ⊄ C (Lê-se: A não está contido em C). 
 
Observações: 
a) O conjunto vazio está contido em todo e qualquer conjunto. Então: ∅ ⊂ A, ∅ ⊂ B, ∅ ⊂ C. 
b) Todo e qualquer conjunto está contido nele mesmo, assim como todo e qualquer conjunto 
contém ele mesmo. Então: A ⊂ A, A ⊃ A. 
 
1.3.5 Operações com conjuntos 
Neste subcapítulo estudam-se as operações entre conjuntos. São elas: união, intersecção, 
diferença e complementar. 
 
1.3.5.1 Operação união 
A união entre dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos elementos pertencentes 
a A ou a B. Na notação matemática escreve-se A ∪ B = {x|x ∈ A ∨ x ∈ B}. Lê-se: A união 
entre os conjuntos A e B formam um conjunto de elementos x, tal que x pertence a A ou x 
pertence a B. 
Exemplos: 
a) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5}, determine A ∪ B 
 O conjunto que irá representar à solução da operação A ∪ B deve ser formado por todos os 
elementos do conjunto A e do conjunto B. Portanto: 
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} (Lembre-se que dentro de um conjunto não pode haver elementos 
repetidos, por isso, na solução, o elemento 3 aparece apenas uma vez). 
 
b) Dados os conjuntos A = { x|x ∈ ℤ ∧ x é número par} e B = {2, 4, 6, 8, 10}, determine 
A ∪ B. 
1º) Reescreva o conjunto A. A = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...} (Observe que esse conjunto é infinito). 
2º) B é um subconjunto de A (Todos os elementos de B pertencem a A). 
3º) A ∪ B = A 
 
c) Dados os conjuntos A = {−2, −1, 0, 1, 2} e B = ∅, determine A ∪ B 
A ∪ B = A (Lembre-se que o símbolo ∅ representa um conjunto vazio, isto é, um conjunto 
que não possui elementos). 
 
 
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1.3.5.1.1 Propriedades da união 
Para quaisquer A, B e C, temos que: 
a) A ∪ A = A (A união de um conjunto com ele mesmo tem como resultado o próprio 
conjunto). 
 
b) A ∪ ∅ = A (A união de um conjunto com o conjunto vazio tem como resultado o próprio 
conjunto). 
 
c) A ∪ B = B ∪ A (Vamos analisar essa propriedade). 
 
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6, 7}, determine: 
1) A ∪ B (Lembre-se que o conjunto resultado da operação união deve conter todos os 
elementos de A e B, sem repeti-los). 
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 
 
2) B ∪ A (Lembre-se que o conjunto resultado da união deve conter todos os elementos de B e 
A, sem repeti-los). 
Logo, B∪ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 
Observe que os conjuntos resultantes na situação 1 e 2 são iguais. Por isso, podemos afirmar 
que A ∪ B = B ∪ A (Esta propriedade é chamada de comutativa). 
 
d) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (Vamos analisar essa propriedade). 
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7} e C = {7, 8, 9}, determine: 
1) (A ∪ B) ∪ C (Lembre-se que quando uma expressão matemática contem parênteses 
devemos iniciar as operações que estão entre eles, nesse caso A ∪ B) 
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ∪ C (Agora vamos realizar a união entre o conjunto resultante de (A ∪ B) 
com o conjunto C). 
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ∪ {7, 8, 9} 
(A ∪ B) ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
 
2) A ∪ (B ∪ C) (Lembre-se que deve-se iniciar com a operação que está entre parênteses). 
(B ∪ C) = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
 
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A ∪ {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (Verifique que os resultados da situação 1 e 
2 são iguais, comprovando a propriedade). 
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (Esta propriedade é chamada de associativa). 
 
e) Se A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B (Vamos analisar esta propriedade). 
A ⊂ B (Lê-se o conjunto A está contido no conjunto B. Recorde que se A ⊂ B, significa que 
todos os elementos de A são também elementos de B). 
Dados os conjuntos A = {2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (Observe que todos os elementos de 
A também são elementos de B). 
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (O conjunto da solução de A ∪ B é igual ao conjunto B). 
Por isso, podemos afirmar que se A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B 
 
1.3.5.2 Operação intersecção 
A intersecção entre dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos elementos 
pertencentes a A e a B, isto é, elementos comuns entre A e B. 
Matematicamente escreve-se: A ∩ B = {x|x ∈ A ∧ x ∈ B}. Lê-se: A intersecção entre os 
conjuntos A e B resultado em um conjunto de elementos x, tal que x pertence ao conjunto A e 
x pertence ao conjunto B. 
Exemplos: 
a) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5}, determine A ∩ B 
A = {1, 2, 𝟑, 𝟒} B = {𝟑, 𝟒, 5} (3 e 4 são os elementos comuns à A e B). 
A ∩ B = {3, 4} 
 
b) Dados os conjuntos A = { x|x ∈ ℤ ∧ x é número ímpar} e B = {3, 5, 7} determine A ∩ B 
A = {1, 3, 5, 7, 9, ...} 
B = {3, 5, 7} 
A ∩ B = {3, 5, 7} 
 
c) Dados os conjuntos 𝐴 = {−2, −1, 0, 1, 2} e 𝐵 = ∅, determine 𝐴 ∩ 𝐵 
𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ (Lembre-se que o símbolo ∅ representa um conjunto vazio, isto é, conjunto que 
não possui elementos). 
 
1.3.5.2.1 Propriedades da intersecção 
 
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Anteriormente verificaram-se, com exemplos, as propriedades da operação união entre 
conjuntos. Neste item apresentam-se as propriedades e espera-se que vocês comprovem as 
mesmas, seguindo o mesmo método utilizado na operação união. 
Para quaisquer conjuntos A, B e C, temos que: 
 
a) A ∩ A = A (A intersecção entre um conjunto e ele mesmo, resulta no próprio conjunto). 
 
b) A ∩ ∅ = ∅ (A intersecção entre um conjunto e um conjunto vazio, resulta no conjunto 
vazio). 
 
c) A ∩ B = B ∩ A (Propriedade comutativa). 
 
d) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (Propriedade associativa). 
 
e) Se A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A (Se A está contido em B então A ∩ B = A) 
 
1.3.5.3 Diferença entre dois conjuntos 
A diferença entre dois conjuntos A e B, (𝐴 − 𝐵) é o conjunto formado pelos elementos 
pertencentes a A e que não pertencentes a B. 
Matematicamente escreve-se: A − B = {x|x ∈ A ∧ x ∉ B}. Lê-se: A diferença entre os 
conjuntos A e B resulta em um conjunto formado por elementos x, tal que x pertence ao 
conjunto A e x não pertence ao conjunto B. 
Cuidado: 
 B − A = {x|x ∈ B ∧ x ∉ A} , então A − B ≠ B − A. 
 
Exemplos 
a) Dados os conjuntos A = {3, 4, 5} e B = {5, 7, 9}, determine A − B. 
Lembre-se que a diferença entre os conjuntos A e B resulta em um conjunto formado por 
elementos x, tal que x pertence ao conjunto A e x não pertence ao conjunto B. Portanto, temos 
que encontrar elementos em A que não façam parte do conjunto B. 
A = {𝟑, 𝟒, 5} B = {5, 7, 9}, 
A − B = {3, 4} 
 
 
 
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b) Dados os conjuntos A = {3, 4, 5} e B = {5, 7, 9}, determine B - A. 
Lembre-se que a diferença entre os conjuntos B e A resulta em um conjunto formado por 
elementos x, tal que x pertence ao conjunto B e x não pertence ao conjunto A. Portanto, temos 
que encontrar elementos em B que não façam parte do conjunto A. 
A = {3, 4, 5} B = {5, 𝟕, 𝟗}, 
B − A = {7, 9} 
 
c) Dados os conjuntos A = { x|x ∈ ℤ ∧ x é número ímpar} e B = { x|x ∈ ℤ ∧ x é número par}, 
determine A – B. 
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...} 
A − B (Encontrar elementos em A que não façam parte do conjunto B. Observe que todos os 
elementos de A não fazem parte de B). 
Logo, A − B = A. 
 
d) Dados os conjuntos A = { x|x ∈ ℕ ∧ 4 ≤ x ≤ 9} e B = { x|x ∈ ℕ ∧ 7 ≤ x ≤ 11}, 
determine A – B. 
A = {4, 5, 6, 7, 8, 9} B = {7, 8, 9, 10, 11} 
A – B = {4, 5, 6} (Encontrar elementos em A que não façam parte do conjunto B). 
 
e) Dados os conjuntos A = { x|x ∈ ℕ ∧ 4 ≤ x ≤ 9} e B = { x|x ∈ ℕ ∧ 7 ≤ x ≤ 11}, 
determine B – A. 
A = {4, 5, 6, 7, 8, 9} B = {7, 8, 9, 10, 11} 
B – A = {10, 11} (Encontrar elementos em B que não façam parte do A). 
 
1.3.5.3.1 Propriedades da diferença entre conjuntos 
Para quaisquer A, B e C, temos que: 
 
a) A - A = ∅ 
 
b) A - ∅ = A 
 
c) ∅ - A = ∅ 
 
d) Se A ⊂ B ⇒ A − B = ∅ 
 
e) Se A ≠ B ⇒ A − B = A 
 
 
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Observações: 
1) Para A = B, todo e qualquer elemento pertencente a A também pertence a B. 
2) Para A ≠ B, todo e qualquer elemento pertencente a A não pertence a B; denomina-se 
então que A e B são conjuntos disjuntos, isto é, conjuntos disjuntos são aqueles que não 
possuem elementos comuns. 
 
1.3.5.4 Complementar de dois conjuntos 
Para dois conjuntos A e B, o complementar de A em B, para 𝐴 ⊂ 𝐵, é o conjunto 
formado pela diferença 𝐵 − 𝐴. 
 
Cuidado: 
Complementar de A em B escreve-se como CBA = B – A 
Complementar de B em A escreve-se como CAB = A – B 
 
Exemplos 
a) Dados os conjuntos A = {3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, determine CBA 
CBA (Complementar de A em B, que é igual a B – A). 
CBA = B – A (Elementos de B que não pertencem a A). 
CBA = {1, 2, 6} 
 
b) Para A = { x|x ∈ ℤ ∧ x é número par } e B = { x|x ∈ ℤ ∧ x é número positivo }, 
determine CBA. (Elementos de B que não pertencem a A). 
CBA = {1, 3, 5, 7, … } , ou seja, CBA = { x|x ∈ ℤ ∧ x é número ímpar positivo } 
 
Observação 
a) Quando a indicação do complementar é em relação ao conjunto Universo, utiliza-se o 
símbolo 𝐴’ ou �̅�. 
 
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1.4 RETA ORIENTADA E INTERVALOS NUMÉRICOS 
 
Pode-se representar o conjunto dos números Reais associando-se cada número x ∈ ℝ a 
um ponto de uma reta r. Assim, convenciona-se uma origem O, associando-se a ela o zero, 
adotando-se uma unidade e um sentido positivo para esta reta, tem-se aquela que denomina-se 
reta orientada. 
 
 
Portanto, o conjuntodos números Reais é graficamente representado por uma reta de 
maneira que, considerando-se a reta real e os números representados por a e b tem-se que, se 
a está esquerda de b então a < b, com b a direita de a então b > a. 
 
 
 
Considerando-se a reta real e a marcação do número real zero com o valor 0, tem-se 
para o número real 𝒂 a esquerda de 0, ou seja, 𝒂 < 0 que 𝒂 é um real negativo e, para um 
número real 𝒃 a direita de 0, ou seja, 𝒃 > 0 que 𝒃 é um número real positivo. 
 
 
 
O conjunto dos números Reais é ordenado, por isso pode-se comparar dois números 
reais iguais ou não iguais, com os sinais de igualdade ou desigualdade (maior que, menor 
que). 
 
 
 
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Notação: 
a) x > 3 (x é maior que 3). 
b) x ≥ - 
1
2
 (x é maior ou igual a −
1
2
). 
c) – 2 < x ≤ 6 (x é maior que – 2 e menor ou igual a 6). 
d) os números reais entre (– 3) e (– 0,8) (−3 < x < −0,8) 
e) os números reais maiores ou iguais a zero (x ≥ 0) 
f) os números reais maiores que zero (x > 0) 
 
As desigualdades definem intervalos sobre a reta real, que podem ser limitados 
(intervalos fechados) ou ilimitados (intervalos abertos). 
 
1.4.1 Intervalos numéricos na reta dos números Reais 
Existem diferentes tipos de intervalos numéricos. Este é o tópico de estudo neste 
subcapítulo. O estudo dos intervalos é de extrema importância, pois servirá de base para 
determinar o domínio e a imagem de diferentes funções. 
 
1.4.1.1 Intervalos limitados 
Entre os diferentes tipos de intervalos limitados existem os que são fechados ou abertos. 
 
a) Intervalo fechado 
Um intervalo é fechado quando for composto por números reais maiores ou iguais a a e 
menores ou iguais a b. Algebricamente representa-se por: {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} ou [a, b]. Na 
reta numérica dos reais é representado da seguinte forma: 
 
 
Observe as representações: 
 
Na reta Conjunto Intervalo 
 
{x ∈ ℝ | − 2 ≤ x ≤ 5} [−2, 5] 
 
Estas três representações tem o mesmo significado matemático, isto é, este intervalo é 
formado por todos os números Reais maiores ou igual a – 2 e menores ou igual a 5. 
 
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b) Intervalo aberto 
Um intervalo é aberto quando for composto por números Reais maiores que a e 
menores que b. Algebricamente é representado por: {x ∈ ℝ | a < x < b} ou (a, b) ou ]a, b[. 
Na reta numérica dos reais é representado da seguinte forma: 
 
 
Observe as representações: 
 
Na reta Conjunto Intervalo 
 
{x ∈ ℝ | − 2 < x < 5} ]−2, 5[ 
 
Estas três representações tem o mesmo significado matemático, isto é, este intervalo é 
formado por todos os números reais maiores que – 2 e menores que 5. 
 
c) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita 
Um intervalo é fechado à esquerda e aberto à direita quando for formado por 
números reais maiores ou iguais a a e menores que b. Algebricamente é representado por: 
{x ∈ ℝ | a ≤ x < b} ou [a, b) ou [a, b[. Na reta numérica dos reais é representado da seguinte 
forma: 
 
Observe as representações: 
 
Na reta Conjunto Intervalo 
 
{x ∈ ℝ | − 2 ≤ x < 5} [−2,5[ 
 
Estas três representações tem o mesmo significado matemático, isto é, este intervalo é 
formado por todos os números reais maiores ou igual a – 2 e menores que 5. 
 
d) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita 
Um intervalo é aberto à esquerda e fechado à direita quando for composto por números 
reais maiores que a e menores ou igual a b. Algebricamente é representado por: 
 
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 {𝑥 ∈ ℝ | 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} ou (𝑎, 𝑏] ou ]𝑎, 𝑏]. Na reta numérica dos Reais é representado da 
seguinte forma 
 
 
Observe as representações: 
 
Na reta Conjunto Intervalo 
 
{x ∈ ℝ | − 2 < x ≤ 5} ]−2,5] 
 
Estas três representações tem o mesmo significado matemático, isto é, este intervalo é 
formado por todos os números reais maiores que – 2 e menores ou igual a 5. 
 
1.4.1.2 Intervalos ilimitados 
São intervalos formados por semirretas ou pela própria reta dos Números Reais. 
a) Menores que 𝐚 
a.1) Aberto em a 
Algébricamente é representado por {𝑥 ∈ ℝ |𝑥 < 𝑎} ou (−∞, 𝑎) ou ]−∞, 𝑎[. Na reta 
numérica é representado por: 
 
Observe as representações: 
 
Na reta Conjunto Intervalo 
 
{x ∈ ℝ |x < 3} ]−∞, 3[ 
 
Estas três representações tem o mesmo significado matemático, isto é, este intervalo é 
formado por todos os números reais menores que 3. 
 
 
 
 
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a.2) Fechado em a 
Algébricamente é representado por {𝑥 ∈ ℝ |𝑥 ≤ 𝑎} ou (−∞, 𝑎] ou ]−∞, 𝑎]. Na reta 
numérica é representado por: 
 
Observe as representações: 
 
Na reta Conjunto Intervalo 
 
{x ∈ ℝ |x ≤ 3} ]−∞, 3] 
 
Estas três representações tem o mesmo significado matemático, isto é, este intervalo é 
formado por todos os números reais menores e igual a 3. 
 
b) Maiores que a 
b.1) Aberto em a 
Algébricamente é representado {x ∈ ℝ |x > a} ou (a, ∞) ou ]a, +∞[. Na reta numérica 
é representado por: 
 
Observe as representações: 
 
Na reta Conjunto Intervalo 
 
{x ∈ ℝ |x > 3} ]3, +∞[. 
 
Estas três representações tem o mesmo significado matemático, isto é, este intervalo é 
formado por todos os números Reais maiores que 3. 
 
b.2) Fechado em a 
Algébricamente é representado por {x ∈ ℝ |x ≥ a} ou [a, + ∞) ou [a, ∞[. Na reta 
numérica é representado por: 
 
Observe as representações: 
 
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Na reta Conjunto Intervalo 
 
{x ∈ ℝ |x ≥ 3} [3, ∞[. 
 
Estas três representações tem o mesmo significado matemático, isto é, este intervalo é 
formado por todos os números reais maiores ou igual a 3. 
 
Observação: 
a) A reta numérica dos números Reais também pode ser representada sob a forma de conjunto 
e de intervalo. 
 
Na reta Conjunto Intervalo 
 
ℝ ]−∞, +∞[ 
 
1.5 OPERAÇÕES COM INTERVALOS NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
 
Este subcapítulo é dedicado ao estudo das operações com intervalos nos números Reais. 
 
1.5.1 Operação União 
Para a operação de união, tem-se que todos os elementos dos conjuntos fazem parte do 
conjunto solução. O mesmo se procede quando se trabalha com intervalos. Porém, é muito 
importante cuidar dos extremos dos intervalos, isto é, observar se o intervalo é fechado (inclui 
o extremo) ou se é aberto (exclui o extremo). Exemplos: 
 
a) Considerando os intervalos A = ]3,6]; B = ]4,5[ e C = [2, 4[, determine A ∪ B. 
1º passo: Represente cada um dos intervalos em uma reta numérica. Faça um traço vertical 
para assinalar o primeiro e o último número (de A ou B) e identifique o resultado. 
 
 
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2º passo: Na reta numérica com a representação de 𝐴 ∪ 𝐵, observe o primeiro e o último 
elemento. Cuide também se o intervalo é aberto (bolinha aberta) ou se é fechado (bolinha 
fechada). 
 
3º passo: Registre o resultado: 
 A ∪ B = ]3,6] ou A ∪ B = {x ∈ ℝ |3 < x ≤6} 
 
b) Dados os conjuntos A = [−2, 6] e b = [0, 9[, determine A ∪ B. 
 
A ∪ B = {x ∈ ℝ | − 2 ≤ x < 9} ou [−2, 9[ 
 
c) Dados os intervalos A = [-1, 2] e B = [1, 3[, determine A ∪ B. 
Para resolver este exercício vamos representar de outra forma os intervalos A e B. 
Observe que representamos com verde o intervalo A e amarelo o intervalo B. Observe 
também “as bolinhas fechadas ou abertas”. 
 
Identifique na reta as “bolinhas”. A primeira e a última, pois estas definem A ∪ B. 
Portanto, A ∪ B = {x ∈ ℝ | − 1 ≤ x < 3} ou [−1, 3[. 
 
1.5.2 Operação Intersecção 
Na operação de intersecção o conjunto solução é formado pelos elementos em comum 
aos conjuntos. Exemplo: 
 
a) Dados os intervalos A = [-1, 2] e B = [1, 3[, determine A ∩ B. 
Observe que representamos com verde o intervalo A e amarelo o intervalo B. Observe 
também “as bolinhas fechadas ou abertas”. 
 
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Identifique na reta a parte dos intervalos que está pintada tanto de verde quanto de 
amarelo. Esta é a parte comum aos dois intervalos. A primeira e a última “bolinha” da parte 
comum são as que definem A ∩ B. Portanto, A ∩ B = {x ∈ ℝ |1 ≤ x ≤ 2} ou [1, 2]. 
 
b) Dado os intervalos A = ]2, 5[ e B = [3, 9[, determine A ∩ B. 
 
A ∩ B = {x ∈ ℝ |3 ≤ x < 5} ou [3, 5[ 
_____________________________________________________________________ 
 
REFERÊNCIAS 
 
HOMA, A. I. Laboratório de Matemática. Canoas/RS: ULBRA, 2013. 
 
SEIBERT, T. E. Dimensão Profissional I. Canoas/RS: ULBRA, 2013. 
 
TEORIA DOS CONJUNTOS. Disponível em: 
< http://www.infoescola.com/matematica/teoria-dos-conjuntos/>. Acesso em 07 jul 2015. 
___________________________________________________________________ 
 
ATIVIDADES 
1) Represente na reta numérica os seguintes intervalos. 
a) [−3, 5] b) {x ∈ ℝ | − ∞ < x ≤
7
3
} 
c) ]0, +∞[ d) [−π, 4[ 
e) {x ∈ ℝ |
2
3
< x < 8} f) ]−4, 2] 
 
2) Escreva por compreensão os intervalos 
a) (−∞, 7) b) [−1, 8] 
 
 
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28 
3) Para os intervalos T = ]1, 3[; G = [2, 4]; W = [0, 4]; P = ]3, +∞[, determine e escreva em 
forma de intervalo o resultado das operações 
a) T ∩ W b) P ∪ G 
c) W − G d) P ∩ G 
 
4) Efetue as operações com os conjuntos numéricos 
a) ℕ ∩ ℤ+
∗ = b) ℚ ∪ ℚ′ = c) ℕ ∪ ℤ = 
 
5) Enumere os números inteiros entre – 2 e 8. 
 
6) Enumere os números inteiros positivos de – 8 a – 1. 
 
7) Enumere todos os números inteiros negativos maiores que -5. 
 
8) Enumere todos os números inteiros positivos maiores que 7 ou iguais a 7. 
 
9) Classifique em racional (ℚ) ou irracional (ℚ’) os números Reais dados: 
a) 6,020000 b) 1,666666 
c) 0,01001000100001... d) 0,93875679383431... 
e) √27 f) √
1
4
 
 
10) Dados os conjunto A = {a, b, c}, B = {c, d, e}, C = {c, e}, determine: 
a) A ∪ B = b) (A ∪ C) ∩ B c) B − C 
 
11) Dados A = [2, 7], B = [−1, 5] e E = [3, 9[ , calcule: 
a) A – B b) B – A c) A – E d) E – B 
 
12) Dados A = ]−4, 3], B = [-5, 5] e E = ]−∞, 1[, calcule: 
a) A ∩ B ∩ E b) A ∪ B ∪ E c) (A ∪ B) ∩ E 
______________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
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29 
RESPOSTAS 
1) 
 
 
2) a) {x ∈ ℝ | − ∞ < x ≤ 7} b) {x ∈ ℝ | − 1 ≤ x ≤ 8} 
 
3) a) T ∩ W = ]1, 3[ b) P ∪ G = ]3, +∞[ 
c) W − G = [0, 2[ d) P ∩ G = [2, 4] 
 
4) a) ℕ∗ b) ℝ c) ℤ 
 
5) {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 
 
6) { } 
 
7) { - 4, -3, -2, 1} 
 
8) {7, 8, 9, 10, ...} 
 
9) a) ℚ b) ℚ c) ℚ’ d) ℚ’ e) ℚ’ f) ℚ 
 
10) a) A ∪ B = {a, b, c, d, e} b) (A ∪ C) ∩ B = {c, e} c) B − C = {d} 
 
11) a) ]5, 7] b) [−1, 2[ c) [ 2, 3[ d) ]5, 9[ 
 
12) a) ]−4, 1[ b) ]−∞, 5] c) [−5, 1[ 
 
___________________________________________________________________________