Capitulo 2 - Polinômios

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Profª Tania Elisa Seibert 
 CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO 
UNIDADE 1 – CAPÍTULO 2 
1 
2 POLINÔMIOS: CONCEITOS E OPERAÇÕES 
 
Este capítulo tem como objetivo a abordagem de conceitos algébricos que são 
fundamentais no processo de aprendizagem de funções. Porém, aconselha-se que antes de 
prosseguir, revisem os conteúdos de potenciação e radicação, disponíveis no material 
complementar da unidade 1. 
 
2.1 MONÔMIOS 
Denomina-se de monômio ou termo algébrico toda a expressão algébrica determinada 
por apenas um número real, uma variável ou pelo produto de números e variáveis. Por 
exemplo, para −3xy2, o coeficiente numérico é o número Inteiro (-3) e a parte literal xy². No 
quadro a seguir outros exemplos: 
 
Monômio Coeficiente numérico Parte literal 
x2y 1 x2y 
−ab3 -1 ab3 
−5x2 -5 5x2 
bc
3
 
1
3
 
bc 
 
Observações: 
a) Monômios semelhantes são aqueles que possuem a mesma parte literal, como por exemplo, 
os monômios x2, 3x2, −5x2, que, por possuírem a mesma parte literal (x²) são chamados de 
monômios semelhantes. 
b) Monômio nulo é o monômio cujo coeficiente numérico é igual a 0, como por exemplo, o 
termo algébrico 0x², que tem como coeficiente numérico o número zero. 
c) Todo número Real é um monômio, como por exemplo √3, pois √3 ∈ ℝ. 
 
2.1.1 Operações com monômios 
Definido o que é monômio estuda-se, neste subcapítulo, os procedimentos envolvidos 
nas operações entre monômios. 
 
 
 
 
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2 
2.1.1.1 Adição e subtração 
As operações de adição ou de subtração de monômios são definidas somente para 
monômios semelhantes, isto é, para monômios com a mesma parte literal. De modo 
simplificado diz-se que na adição e na subtração de monômios semelhantes, conserva-se a 
parte literal e opera-se com a parte numérica. 
Exemplos: 
a) x2 + 4x2 = (Observe que o coeficiente do primeiro x² é 1 e por isso, “não aparece”). 
𝟏x2 + 𝟒x2 = (1 + 4)x² 
x2 + 4x2 = 5x2 
 
b) 3xy − 2xy + 6xy = (Observe a parte literal e perceba que é a mesma em todos os 
monômios. Identifique os coeficientes numéricos. Só depois disso realize a operação). 
3xy − 2xy + 6xy = (3 – 2 + 6)xy 
3xy − 2xy + 6xy = 7xy 
 
c) 2xy – 4x²y = (Observe as partes literais e perceba que elas não são iguais, portanto os 
monômios não são semelhantes. Logo, não podemos realizar a operação). Portanto: 
2xy – 4x²y = 2xy – 4x²y 
 
d) 4x²y³ - 5xy³ + 8x²y³ = (Observe com atenção as partes literais para identificar os monômios 
semelhantes). 
4x²y³ - 5xy³ + 8x²y³ = (Opere apenas com os monômios semelhantes). 
4x²y³ - 5xy³ + 8x²y³ = (4 + 8)x²y³ - 5xy³ 
(4 + 8)x²y³ - 5xy³ = 12 x²y³ - 5xy³ Logo: 
4x²y³ - 5xy³ + 8x²y³ = 12 x²y³ - 5xy³ 
 
e) 
xy
2
+
2
3
xy − 
3xy
4
= (Primeiro observe que todos os monômios são semelhantes. Depois 
observe as diferentes formas que podem ser escritos monômios com coeficientes numéricos 
racionais. Agora realize as operações envolvendo frações). 
1𝑥𝑦
2
+
2
3
𝑥𝑦 − 
3𝑥𝑦
4
 = (As frações estão destacadas em vermelho). 
 
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3 
1
2
+
2
3
−
3
4
= (Na adição ou subtração de frações com denominadores diferentes, precisamos 
encontrar o Mínimo Múltiplo Comum – MMC, dos denominadores, decompondo-os em 
fatores primos). 
 
2, 3, 4 2 (Decompor em fatores primos – Só utilizar números primos
1
). 
1, 3, 2 2 (Dividir novamente por dois). 
1, 3, 1 3 (Dividir por três). 
1, 1, 1 (Agora multiplicar os fatores primos: 2 x 2 x 3 = 12). 
 
Logo mmc(2, 3, 4) = 12 
Retomando o cálculo: 
1
2
+
2
3
−
3
4
= (Deve-se dividir o mmc por cada um dos denominadores, O resultado da 
divisão deve ser multiplicado pelo numerador). 
1
2
= 
6
12
 (12: 2 = 6; 6 x 1 = 6). 
2
3
= 
8
12
 (12: 3 = 4; 4 x 2 = 8). 
3
4
= 
9
12
 (12: 4 = 3; 3 x 3 = 9). 
Reescrevendo: 
1
2
+
2
3
−
3
4
= 
6
12
+
8
12
−
9
12
 
6
12
+
8
12
−
9
12
=
5
12
 (Adição e subtração de frações com mesmo denominador conserva-se o 
denominador e opera-se com os numeradores). Logo: 
𝑥𝑦
2
+
2
3
𝑥𝑦 − 
3𝑥𝑦
4
= 
5𝑥𝑦
12
 
 
2.1.1.2 Multiplicação 
Na operação de multiplicação entre monômios realiza-se primeiramente a multiplicação 
entre os coeficientes numéricos e logo após a multiplicação entre as partes literais. Na parte 
literal aplica-se a propriedade da potência a
m
 . a
n
 = a
m+n
. 
 
 
 
1
São chamados de números primos todos os números que tem dois divisores: o número 1 e o próprio número. 
Conjunto dos números primos P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...} 
 
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4 
Exemplos: 
a) (3x2). (−5xy) (Primeiro opere com os coeficientes numéricos). 
3 . (−5) = −15 (Depois dos coeficientes numéricos opere com a parte literal). 
x² . xy = x³y (Aplica-se a propriedade da potenciação de mesma base: am . an = am+n). Logo: 
(3x2). (−5xy) = −15x³y 
 
b) (−2a). (−5ab). (3ab3) = (Lembre-se: opere primeiramente com os coeficientes numéricos e 
depois com a parte literal. Na parte liberal aplique a propriedade da multiplicação de bases 
iguais, isto é, conserve a base e some os expoentes). 
(−2a). (−5ab). (3ab3) = 
(−2) . (−5) . 3 = 30 (Coeficiente numérico). 
(a). (ab) . (ab3) = a3b4 (Parte literal). Logo: 
(−2a). (−5ab) × (3ab3) = 30a3b4 
 
c) (
2x²y
3
) . (−
5xy³
4
) = (Inicia-se com os coeficientes numéricos. Lembre-se que na 
multiplicação de frações não é necessário realizar o mmc, basta multiplicar numerador por 
numerador e denominador por denominador). 
(
2
3
) . (−
5
4
) = − 
10
12
 (Agora simplifique o resultado, isto é, divida o numerador e o 
denominador pelo mesmo número, até encontrar a fração irredutível
2
). 
− 
10
12
 = − 
5
6
 (Divisão por dois). 
(x²y). (xy³) = x³y4 (Na parte literal aplica-se a propriedade am . an = am+n). 
 
2.1.1.3 Divisão 
Na operação de divisão entre monômios realiza-se primeiramente a divisão entre os 
coeficientes numéricos e logo após a divisão entre as partes literais. Na parte literal aplica-se a 
propriedade da potência a
m
 : a
n
 = a
m-n
. 
Exemplos: 
a) (15x²) ∶ (−5xy³) (Podemos escrever esta mesma divisão como 
15𝑥2
−5𝑥𝑦3
). 
15 : (−5) = −3 (Divisão entre os coeficientes numéricos). 
𝑥²
𝑥𝑦³
 = 
𝑥
𝑦³
 (Parte literal). Logo: 
 
2
Chamamos de Fração irredutível aquela em que não é mais possível realizar simplificações. 
 
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15𝑥2
−5𝑥𝑦3
= −
3𝑥
𝑦³
 
 
b) 
2a³b
4ab5
 (Escrevendo de outra forma para auxiliar no entendimento). 
2a³b
4ab5
= 
2 .a.a.a.b
4 .a.b.b.b.b.b
 (Simplificando). 
2 .a.a.a.b
4 .a.b.b.b.b.b
= 
1.a.a
2.b.b.b.b
 (Reescrevendo). 
1.a.a
2.b.b.b.b
 = 
a²
2b4
 
Logo: 
2a³b
4ab5
= 
a²
2b4
 
 
Observação: 
a) Para dividir frações pode-se utilizar um método prático. Lembre-se também, que na divisão 
não é necessáriorealizar o mmc entre denominadores. Observe: 
1) 
3
4
∶ 
5
7
 (Reescreve-se trocando a divisão pela multiplicação e inverte-se a segunda fração). 
3
4
 .
7
5
=
21
20
 
Logo: 
3
4
∶ 
5
7
=
21
20
 
 
2.1.1.4 Potenciação 
Na operação de potenciação de monômios realiza-se primeiramente a potenciação do 
coeficiente numérico e logo após a potenciação da parte literal. Na parte literal aplica-se a 
propriedade da potência (𝐚𝐦)𝐧 = 𝐚𝐦 . 𝐧. 
 Exemplos: 
a) (x2)5 = x2 . 5 = x10 (Aplicando a regra (am)n = am . n). 
 
b) (−3𝑥)2 = (Primeiro trabalha-se com o coeficiente numérico). 
(−3)2 = 9 (Agora com a parte literal). 
(x)2 = x1 . 2 = x² Logo: 
(−3x)2 = 9x² 
 
 
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6 
c) (−
2
5
𝑥²𝑦³𝑧)
3
 (É preciso ter paciência e atenção). 
(−
2
5
)
3
= −
8
125
 (Aplica-se a regra (
𝑎
𝑏
)
𝑛
= 
𝑎𝑛
𝑏𝑛
) 
(x²y³z)3 = [(x2)3. (y3)3. (z1)3] = x6y9z3 (Aplicam-se as regras: (a. b)n = an. bn e depois 
(an)m = an . m). 
 
2.1.1.3 Radiciação 
A operação da radiciação segue as propriedades dos radicais, por isso é muito 
importante que estudem o material complementar da operação radiação, que faz parte da 
unidade 1. Vamos analisar alguns exemplos: 
a) √x2y2 = (Lembre-se que: √a . b
n
= √a
n . √b
n
). 
√x2y2 = √x2 . √y2 (Lembre − se que: √am
n
= a
m
n ). 
x
2
2 . y
2
2 (Simplifique as frações). 
x
2
2 . y
2
2 = xy Logo: 
√x2y2 = xy 
 
b) √16𝑎4
4
= (Lembre-se que: √𝑎 . 𝑏
𝑛
= √𝑎
𝑛
 . √𝑏
𝑛
). 
√16𝑎4
4
 = √16
4
 . √𝑎4
4
 (Lembre − se que: √𝑎𝑚
𝑛
= 𝑎
𝑚
𝑛 ). 
√16
4
 . √𝑎4
4
= 2 . 𝑎
4
4 (Simplifique as frações). 
2 . a
4
4 = 2a 
 
Observação: 
√16
4
= (Fatorando 16 encontra-se: 16 = 24). 
√24
4
= 2
4
4 = 2 (Propriedade: √am
n
= a
m
n ). 
 
2.2 POLINÔMIOS 
 
Um monômio ou uma soma de monômios é chamado de polinômio. 
Observações: 
a) Todo monômio é considerado um polinômio. 
b) Os monômios integrantes de um polinômio são chamados de termos do polinômio. 
 
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Exemplos: 
a) −9x²y é um polinômio de um termo ou um monômio. 
b) b – 2c é um polinômio de dois termos ou um binômio. 
c) a² + 2ab + b² é um polinômio de três termos ou um trinômio. 
d) a³ − 2ab + 4x – 6 é um polinômio de quatro termos e assim sucessivamente. 
 
2.2.1 Operações com polinômios 
Para operar com polinômios utilizam-se, muitas vezes, conceitos estudados sobre 
monômios. 
 
2.2.1.1 Adição e subtração 
A operação da adição e da subtração de polinômios é realizada operando somente os 
termos semelhantes, isto é, termos com a mesma parte literal. Exemplos: 
a) 3x − 2x2 + 5x + 7x2 − x3 = (Reconhecer os termos semelhantes) 
 3x − 2x2 + 5x + 7x2 − x3 = 
8x + 5x2 − x3, logo: 
3x − 2x2 + 5x + 7x2 − x3 = −x3 + 5x2 + 8x 
 
b) 3x + 2x + y = 
3x + 2x + y = 5x + y 
3x + 2x + y = 5x + y 
 
c) (4a – 7) + (−2a + 9) = 
4a – 7 − 2a + 9 = 2a + 2 
 
d) 2x2 − 3x – 2 – (3x2 − 5x + 2) = (Cuidado! 2x2 − 3x – 2 – 1(3x2 − 5x + 2). É 
necessário multiplicar todos os termos que estão dentro do parênteses por (-1)). 
2x2 − 3x – 2 – (3x2 − 5x + 2) = 
2x2 − 3x – 2 – 3x2 + 5x − 2 = −x2 + 2x 
 
e) (−4y2 + 5y – 3) + (4y2 + 3) = 
−4y2 + 5y – 3 + 4y2 + 3 = 5y 
 
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8 
f) 2x2 − 5x + 3 – (9x −
1
2
) = 
2x² − 5x + 3 − 9x +
1
2
= 2x2 − 14x +
7
2
 
 
g) Sejam os polinômios A(x) = 2x³ - 5x + 4 e B(x) = - 3x³ + 2x² - 8, determine: 
A(x) + B(x) = 
(2x³ - 5x + 4) + (- 3x³ + 2x² - 8) = 
2x³ - 3x³ + 2x² - 5x + 4 – 8 = 
- x³ + 2x² - 5x – 4 
 
h) Sejam os polinômios A(x) = 2x³ - 5x + 4 e B(x) = - 3x³ + 2x² - 8, determine: 
A(x) – B(x) = A(x) + [− B(x)] 
(2x³ - 5x + 4) + (3x³ - 2x² + 8) = 
2x³ + 3x³ - 2x² - 5x +4 + 8 = 
5x³ - 2x² - 5x + 12 
 
Observação: 
a) Na adição a soma de dois ou mais polinômios é um polinômio cujos termos são a soma 
algébrica dos termos semelhantes (mesma parte literal). 
b) Na subtração a diferença de dois ou mais polinômios é o polinômio que se obtém 
adicionando um polinômio ao oposto do outro: A(x) – B(x) = A(x) + [− B(x)] 
 
2.2.1.2 Produto de monômio por polinômio 
Observe com atenção os exemplos. Lembre-se das propriedades da potenciação. 
a) 𝐱(x3 + x2 − x + 3) = (Multiplique o monômio x por cada um dos termos do polinômio 
que está entre parênteses). 
𝐱(x3 + x2 − x + 3) = 
𝐱 x3 + 𝐱 x2 − 𝐱 x + 𝐱 3 = x4 + x3 − x2 + 3x 
 
b) (x + y − z) 𝐲 = 
x 𝐲 + y 𝐲 + (−z) 𝐲 = xy + y2 − zy 
 
c) (−𝐚)(a + b − 3) = 
(−𝐚)(a) + (−𝐚)b + (−𝐚)(−3) = −a2 − ab + 3a 
 
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9 
d) Determine a área de um retângulo, cuja base é maior que a altura em 2m. 
1º) Represente o problema com um desenho: 
 
2º) Represente a multiplicação por um desenho: 
 
x(x + 2) = x² + 2x , logo a área do retângulo é igual a (x² + 2x) m². 
 
Portanto, dado um monômio 𝐚 e um polinômio (𝐛𝟏 + 𝐛𝟐 + 𝐛𝟑 + ⋯ + 𝐛𝐧), para n ∈
ℕ∗o produto a . (b1 + b2 + b3 + ⋯ + bn) = ab1 + ab2 + ab3 + ⋯ + abn. 
 
2.2.1.3 Produto de polinômio por polinômio 
A multiplicação com polinômio (com dois ou mais monômios) pode ser realizada de 
três formas: 
a) Multiplicação de monômio com polinômio. 
b) Multiplicação de número natural com polinômio. 
c) Multiplicação de polinômio com polinômio. 
As multiplicações serão efetuadas utilizando a propriedade: a
n
 . a
m 
= a 
n + m
 
 
Exemplo: 
a) (x + 3) (x² + 5) (Desmembra-se o primeiro binômio para depois multiplicar). 
x(x² + 5) + 3(x² + 5) = 
x³ + 5x + 3x² + 15 = (Como não possui termos semelhantes, esta é a resposta). 
x³ + 3x² + 5x + 15 (Escrita levando em conta os expoentes – do maior ao menor). 
 
b) (a + b)(c − d + e) = 
a(c – d + e) + b(c – d + e) = 
ac − ad + ae + bc − bd + be 
 
 
 
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10 
c) (x + 3)(2x + 2) = 
x(2x) + x(2) + 3(2x) + 3(2) = 
2x2 + 2x + 6x + 6 = 
2x2 + 8x + 6 
 
d) Sejam os polinômios A(x) = 2x³ - 5x + 4 e B(x) = - 3x³ + 2x² - 8 determine: 
A(x) . B(x) = 
(2x³ - 5x + 4) . (- 3x³ + 2x² - 8) = 
- 6x
6
 + 4x
5
 – 16x³ + 15x4 – 10x³ + 40x – 12x³ + 8x² - 32 = 
- 6x
6
 + 4x
5
 + 15x
4
 – 16x³ – 10x³ – 12x³ + 8x² + 40x – 32 = 
- 6x
6
 + 4x
5
 + 15x
4
 – 38x³ + 8x² + 40x – 32 
 
Portanto, dados os polinômios (a1 + a2 + ⋯ + an) e (b1 + b2 + ⋯ + bn), n ∈ ℕ
∗, o 
produto (a1 + a2 + ⋯ + an). (b1 + b2 + ⋯ + bn) = 
a1(b1 + b2 + ⋯ + bn) + a2(b1 + b2 + ⋯ + bn) + ⋯ + an(b1 + b2 + ⋯ + bn) = 
a1b1 + a1b2 + ⋯ + a1bn + a2b1 + a2b2 + ⋯ + a2bn + ⋯ + anb1 + ⋯ + anbn 
 
Observação: 
a) Na multiplicação o produto de dois polinômios é um polinômio que se obtém 
multiplicando–se cada termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo e 
adicionando-se os termos semelhantes dos produtos obtidos. Lembre-se que na multiplicação 
de potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes. 
 
2.2.1.4 Divisão de polinômio por polinômioRealiza-se a divisão de polinômios através da divisão entre os coeficientes numéricos e 
da divisão de potências de mesma base. Na divisão de potências de mesma base utiliza-se a 
propriedade a
n
 : a
m 
= a 
n – m
. 
Efetuar uma divisão de um polinômio P(x) pelo polinômio B(x) é, por definição, achar 
um par de polinômios Q(x) e um polinômio R(x), de tal maneira que: 
P(x) ≡ B(x) . Q(x) + R(x) (≡ Este símbolo significa idêntico). 
Denomina-se: 
P(x): dividendo; B(x): divisor; Q(x): quociente; R(x): resto. 
Na divisão o grau de R(x) < grau B(x) ou R(x) ≡ 0 
 
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11 
Observe que a definição de divisão exige que o grau do resto seja menor que o grau do 
divisor ou, então, que o resto seja nulo. Quando R(x) = 0, a divisão é exata. 
Representa-se esta divisão da seguinte forma: 
, onde P(x) = Q(x) . B(x) + R(x) 
 
Observe a divisão 489 : 21: 
 
489 = 21 . 23 + 6 (6 < 21) 
 
Esta divisão também pode ser feita na forma polinomial: 
489 = 4 . 10² + 8 . 10¹ + 9 . 10
0
 
 21 = 2 . 10¹ + 1 . 10
0
 
 
 
 
Com os polinômios realiza-se o mesmo algoritmo. Por exemplo: 
 
a) Dividir P(x) = 4x² + 8x + 9 por D(x) = 2x + 1. 
 
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b) Determine o resto da divisão de P(x) = x² + 4x + 9 pelo binômio do 1º grau B(x) = x – 1. 
 
c) Para 
 10x2−43x+40
2x−5
, temos: 
 
 
d) Para 
𝑥5+𝑥4+𝑥2+𝑥
𝑥3+1
, temos: 
 
 
 
 
 
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13 
2.3 PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
Alguns produtos entre polinômio apresentam um padrão, uma regularidade em seus 
resultados. Por esse motivo são chamados de produtos notáveis. 
 
2.3.1 Quadrado de uma soma indicada 
a) Dado um quadrado de lado medindo (x + a) cm, determine a sua área. 
 
Calculando a área (A = b x h) de cada uma das partes que resultaram da divisão do 
quadrado tem-se: 
, logo: 
 
(x + a) . (x + a) = (x + a)2 = x² + ax + ax + a² = x² + 2ax + a² 
(x + a)2 = x² + 2ax + a² 
 
 Pode-se também encontrar o resultado por multiplicação de polinômios: 
(𝐱 + 𝐚) . (x + a) = 
x(x + a) + a(x + a) = x² + ax + ax + a² (Adição de monômios semelhantes). 
x² + ax + ax + a² = x² + 2ax + a² 
 
b) (y + 3)2 = 
(y + 3). (y + 3) = 
y(y + 3) + 3(y + 3) = y² + 3y + 3y + 9 (Adição de monômios semelhantes). 
y² + 3y + 3y + 9 = y² + 6y + 9 
 
 
 
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Observe o padrão encontrado: 
(a + b)2 = a² + 2ab + b² 
 
1º termo 
da soma 
2º termo 
da soma 
Quadrado 
do 1º termo 
Dobro do 
produto do 
1º pelo 2º 
termo 
Quadrado 
do 2º termo 
 
c) (5𝑥 + 4)2 (Aplicando a regra do produto notável) 
(5𝑥)2 + 2 . 5𝑥 . 4 + 4² = 25x² + 40x + 16 
 
2.3.2 Quadrado de uma diferença indicada 
a) (a − b)2 = (𝐚 − 𝐛). (a − b) 
a (a – b) – b(a – b) = a² − ab − ab + b² 
a² − ab − ab + b² = a² − 2a + b² 
 
b) (x − 3)2 = (𝐱 − 𝟑) . (x − 3) 
𝐱(x − 3) − 𝟑(x − 3) = x² − 3x − 3x + 9 = x2 − 6x + 9 
(x − 3)2 = x2 − 6x + 9 
 
O padrão encontrado nesta multiplicação é: (a − b)2 = a² − 2ab + b² 
 
c) (3x − 5)2 (Aplicando a regra do produto notável) 
(3x)2 − 2 . 3x . 5 + (−5)² = 9x² - 30x + 25 
 
2.3.3 Produto de uma soma indicada por uma diferença indicada 
a) (a + b). (a − b) = 
(𝐚 + 𝐛). (a − b) = 
a (a – b) + b(a – b) = a² − ab + ab − b² 
a² − ab + ab − b2 = a2 − b² (Cuidado: −ab + ab = 0) 
 
b) (x + 4) . (x − 4) = 
(𝐱 + 𝟒) . (x − 4) = 
𝐱(x − 4) + 𝟒(x − 4) = x² − 4x + 4x − 16 
x² − 4x + 4x − 16 = x2 − 16 
 
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O padrão encontrado nesta multiplicação é: (a + b). (a − b) = a² − b² 
 
c) (3x − 4) . (3x + 4)(Aplicando a regra do produto notável) 
(3x)2 − (4)² = 9x² - 16 
 
2.3.4 Cubo de uma soma indicada 
a) (x + 5)3 = (x + 5)2 . (x + 5) (Primeiro resolve-se (x + 5)2) 
(x + 5)2 = x² + 10x + 25 (Regra do produto notável (a + b)²) 
(𝐱 + 𝟓). (x2 + 10x + 25) = x(x² + 10x + 25) + 5(x² + 10x + 25) = 
x³ + 10x² + 25x + 5x² + 50x + 125 = x³ + 15x² + 75x + 125 
 
b) (a + b)3 = (a + b)2 . (a + b)(Desmembra-se desta forma para facilitar o cálculo). 
(a + b)2 = a² + 2ab + b² (Regra do produto notável) 
(a + b) . (a² + 2ab + b²) = 𝐚(a² + 2ab + b²) + 𝐛(a² + 2ab + b²) = 
a³ + 2a²b + ab² + a²b + ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 
 
O padrão encontrado no cubo de uma soma é: (a + b)3 = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 
 
c) (2x + 5)3(Aplicando a regra do produto notável) 
(2x)3 + 3. (2x)2. 5 + 3 . (2x) . 5² + 5³ = 
8x³ + 3 . 4x² . 5 + 3 . 2x . 25 + 125 = 
8x³ + 60x² + 150x + 125 
 
2.3.5 Cubo de uma diferença indicada 
a) (x − 5)3 = (x − 5)2 . (x − 5) (Primeiro resolve-se (x − 5)2) 
(x − 5)2 = x² − 10x + 25 (Regra do produto notável (a - b)²) 
(𝐱 − 𝟓). (x2 − 10x + 25) = x(x² - 10x + 25) - 5(x² - 10x + 25) = 
x³ - 10x² + 25x - 5x² + 50x - 125 = x³ - 15x² + 75x - 125 
 
b) (a − b)3 = (a − b)2 . (a − b)(Desmembra-se desta forma para facilitar o cálculo). 
(a − b)2 = a² − 2ab + b² (Regra do produto notável) 
(a - b) . (a² − 2ab + b²) = 𝐚(a² − 2ab + b²) − 𝐛(a² − 2ab + b²) = 
a³ − 2a2b + ab2 − a2b + 2ab2 − b3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b³ 
 
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O padrão encontrado no cubo de uma diferença é: (a − b)3 = a³ − 3a2b + 3ab2 − b³ 
 
c) (2x − 5)3(Aplicando a regra do produto notável). 
(2x)3 − 3. (2x)2. 5 + 3 . (2x) . 52 − 5³ = 
8x³ - 3 . 4x² . 5 + 3 . 2x . 25 - 125 = 8x³ - 60x² + 150x - 125 
 
2.4 FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 
A fatoração de expressões algébricas consiste na representação de uma expressão 
algébrica na forma de produto entre duas ou mais expressões algébricas. Tem por objetivo 
representar a soma polinomial de números e incógnitas através do produto de termos. Para a 
fatoração de expressões algébricas utilizam-se diferentes métodos. 
 
2.3.1 Fator comum 
Para fatorar uma expressão algébrica utilizando esse primeiro caso de fatoração, todos 
os monômios da expressão algébrica devem ter pelo menos algum termo em comum. 
A fatoração é feita colocando o termo comum em evidência. Devem-se seguir os seguintes 
passos: 
1º) Identificar o maior fator comum em todos os termos da expressão algébrica. 
2º) Dividir cada termo da expressão algébrica pelo fator comum. 
3º) Representar a expressão pelo produto do fator comum e o quociente da divisão. 
 
Exemplos: 
a) Fatorar a expressão algébrica 6x − 12x3 + 15x2 
1º) Identificar o fator comum em todos os termos da expressão algébrica. 
Fator comum entre os números 6, 12, 15 (Identificar o maior número que divide 6, 12 e 15. 
Neste exemplo o maior número é 3). 
 
6, 12, 15 
3, 6, 15 
3, 3, 15 
1, 1, 5 
1, 1, 1 
2 (Não dividiu todos os números) 
2 (Não dividiu todos os números) 
3 (Dividiu todos os números) 
5 (Não dividiu todos os números) 
 
Logo, o fator comum dos coeficientes numéricos é 3. 
 
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Fator comum entre as partes literais. 
x, x³, x² (Primeiro observar se a variável – letra – aparece em todos os termos. Segundo optar 
pelo menor expoente. Portanto, o fator comum da parte literal, deste exemplo, é x). 
Então, o fator comum que será colocado em evidência é 3x. 
 
2º) Dividir cada termo da expressão algébrica pelo fator comum. 
6x − 12x3 + 15x2 
6x
3x
= 2 
−12𝑥3
3x
= −4x² 
15𝑥2
3x
= 5x 
 
3º) Representar a expressão pelo produto do fator comum e os quocientes das divisões. 
6x − 12x3 + 15x2 = 3x( − 4x2 + 5x) 2
Para verificar se a resposta está correta pode-se realizar a multiplicação: 
3x(2 − 4x2 + 5x) = 6x − 12x3 + 15x2 
 
b) Fatorar a expressão algébrica 20x²y − 4x3y² + 12x2 
1º) Identificar o fator comum em todos os termos da expressão algébrica. 
Fator comum entre os números 20, 4, 12 (Identificar o maior número que divide 20, 4, 12. 
Neste exemplo o maior número é 4). 
 
20, 4, 12 
10, 2, 6 
 5, 1, 3 
 5, 1, 1 
 1, 1, 1 
2 (Dividiu todos os números) 
2 (Dividiu todos os números) 
3 (Não dividiu todos os números) 
5 (Não dividiu todos os números) 
 
Logo, o fator comum dos coeficientes numéricos 2 x 2 = 4 
 
Fator comum entre as partes literais. 
x²y, x3y², 12x2 (Primeiro observar se as variáveis – letras – aparecem em todos os termos. A 
letra x está presente em todos os termos, então é um fator comum. A letra y não aparece em 
 
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todos os termos, então não é fator comum. Segundo, identificar o menor expoente de x, que 
neste exemplo é 2. Portanto, o fator comum da parte literal é x²). 
Então, o fator comum que será colocado em evidência é 4x². 
 
2º) Dividir cada termo da expressão algébrica pelo fator comum. 
20x²y − 4x3y² + 12x2 
20x²y
4x²
= 5y 
−4x³y²
4x²
= −xy² 
12x²
4x²
= 3 
 
3º) Representar a expressão pelo produto do fator comum e o quociente da divisão. 
20x²y − 4x3y² + 12x2 = 4x²(5y – xy² + 3) 
 
2.3.2 Fatoração por agrupamento 
Para trabalhar com este tipo de fatoração (fatoração por agrupamento) devem-se seguir 
dois passos. 
1º) Separa-se em grupos de termos de modo que haja pelo menos um fator comum em 
cada grupo. 
2º) Aplica-se o método do fator comum em cada agrupamento de termos. 
3º) Reescrever a nova fatoração. 
 
Exemplos: 
a) ax + ay + bx + by = 
1º) Separa-se em grupos de termos de modo que haja pelo menos um fator comum em 
cada grupo (Separar os termos com o coeficiente a e depois os termos com coeficiente b). 
ax + ay + bx + by = (ax + ay) + (bx + by) 
2º) Aplica-se o método do fator comum em cada agrupamento de termos. 
(ax + ay) = a(x + y) 
(bx + by) = b(x + y) (A fatoração de dois grupos separadamente, deve gerar um fator 
comum para nova fatoração. Neste exemplo o novo fator comum é (x + y). 
3º) Reescrever a nova fatoração. 
ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) 
 
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a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y) 
 
b) 2x² − 4x + 3xy − 6y = 
1º) Separa-se em grupos de termos de modo que haja pelo menos um fator comum em 
cada grupo. 
2x² − 4x + 3xy − 6y = (2x² − 4x) + (3xy − 6y) 
2º) Aplica-se o método do fator comum em cada agrupamento de termos. 
(2x² − 4x) = 2x(x − 2) 
(3xy − 6y) = 3y(x − 2) (A fatoração de dois grupos separadamente deve gerar um fator 
comum para nova fatoração. Neste exemplo o novo fator comum é (x − 2)). 
3º) Reescrever a nova fatoração. 
2x² − 4x + 3xy − 6y = 2x(x − 2) + 3y(x − 2) 
2x(x − 2) + 3y(x − 2) = (x − 2) (2x + 3y) Logo: 
2x² − 4x + 3xy − 6y = (x − 2) (2x + 3y) 
 
2.3.3 Trinômio quadrado perfeito (TQP) 
Quando um polinômio se apresenta na forma (P2 + 2PQ + Q2), para P e Q dois 
polinômios quaisquer então: (P2 + 2PQ + Q2) = (P + Q)2. 
Para trabalhar com esse caso de fatoração devemos seguir os seguintes passos: 
1º) Determinar a raiz quadrada do primeiro termo. 
2º) Determinar a raiz quadrada do terceiro termo. 
3º) Verificar se: 
a) Para 2PQ > 0, representa-se a expressão pelo quadrado da soma das raízes. 
b) Para 2PQ < 0, representa-se a expressão pelo quadrado da diferença das raízes. 
 
Exemplos: 
a) x² + 6x + 9 
1º) Determinar a raiz quadrada do primeiro termo. 
√x2 = x 
2º) Determinar a raiz quadrada do terceiro termo. 
√9 = 3 
3º) Verificar se: 2PQ > 0 ou 2PQ < 0 
Neste exemplo, 2PQ = 6x (Portanto > 0). 
 
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Então, representa-se a expressão pelo quadrado da soma das raízes. Logo: 
x² + 6x + 9 = (x + 3)2 
 
b) x² -10x + 25 
1º) Determinar a raiz quadrada do primeiro termo. 
√x2 = x 
2º) Determinar a raiz quadrada do terceiro termo. 
√25 = 5 
3º) Verificar se: 2PQ > 0 ou 2PQ < 0 
Neste exemplo, 2PQ = −10x (Portanto < 0). 
Então, representa-se a expressão pelo quadrado da diferença das raízes. Logo: 
x² − 10x + 25 = (x − 5)2 
 
c) 4x² - 20x + 25 
1º) Determinar a raiz quadrada do primeiro termo. 
√4x2 = 2x 
2º) Determinar a raiz quadrada do terceiro termo. 
√25 = 5 
3º) Verificar se: 2PQ > 0 ou 2PQ < 0 
Neste exemplo, 2PQ = −20x (Portanto < 0). 
Então, representa-se a expressão pelo quadrado da diferença das raízes. Logo: 
4x² − 20x + 25 = (2x − 5)2 
 
2.3.4 Diferença de dois quadrados 
Quando o polinômio de apresenta na forma (P2 − Q2), para P e Q dois polinômios 
quaisquer então (P2 − Q2) = (P + Q)(P − Q). 
Para trabalhar com esse caso de fatoração devemos seguir os seguintes passos: 
1º) Determinar a raiz quadrada do primeiro termo. 
2º) Determinar a raiz quadrada do terceiro termo. 
3º) Representar a expressão pelo produto das raízes. 
 
Exemplos: 
 
 
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a) x² - 36 = 
1º) Determinar a raiz quadrada do primeiro termo. 
√x2 = x 
2º) Determinar a raiz quadrada do segundo termo. 
√36 = 6 
3º) Representar a expressão pelo produto das raízes. 
x2 − 36 = (x + 6)(x − 6) 
 
b) 9x4 − 81 = 
1º) Determinar a raiz quadrada do primeiro termo. 
√9x2 = 3x 
2º) Determinar a raiz quadrada do segundo termo. 
√81 = 9 
3º) Representar a expressão pelo produto das raízes. 
9x4 − 81 = (3x + 9)(3x − 9) 
 
2.3.5 Soma de dois cubos 
Observe que x
3
 + y
3
 é uma expressão algébrica de dois termos, onde os dois estão 
elevados ao cubo e somados. Assim, pode-se concluir que x
3
 + y
3
 é uma forma geral da soma 
de dois cubos onde x e y poderão assumir qualquer valor real. Este tipo de fatoração é o 
caminho inverso do seguinte desenvolvimento: 
(𝐱 + 𝐲). (x2 − xy + y2) = 
x(x2 − xy + y2) + y(x2 − xy + y2) = 
x³ − x2y + xy2 + x2y − xy2 + y3 = x3 + y³ (Opera-se com os termos semelhantes). 
Logo, podemos afirmar que: 
x³ + y³ = (x + y). (x2 − xy + y2) 
 
Exemplos: 
a) b³ + 1 000 (Neste exemplo o primeiro termo é b e o segundo termo é 1 000). 
1º) Extrair a raiz cúbica do primeiro termo: 
√b
3
= b 
2º) Extrair a raiz cúbica do segundo termo: 
√1000
3
= 10 
 
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22 
3º) Substituir na forma (x + y). (x2 − xy + y2) (Neste exemplo x = b e y = 10). 
b³ + 1 000 = (b + 10) (b²- 10b + 100) 
 
b) 8c³ + 27 (Neste exemplo o primeiro termo é c e o segundo termo é 27). 
1º) Extrair a raiz cúbica do primeiro termo: 
√8c3
3
= 2c 
2º) Extrair a raiz cúbica do segundo termo: 
√27
3
= 3 
3º) Substituir na forma (x + y). (x2 − xy + y2) (Neste exemplo x = 2c e y = 3). 
8c³ + 27 = (2c + 3) (4c² - 6c + 9) 
 
2.3.6 Diferença de dois cubos 
O raciocínio é o mesmo que na soma de dois cubos. Observe que x
3
 - y
3
 é uma 
expressão algébrica de dois termos, onde os dois estão elevados ao cubo e subtraídos. Assim, 
pode-se concluir que x
3
 - y
3
 é uma forma geral da diferença de dois cubos onde x e y poderão 
assumir qualquer valor real. Este tipo de fatoração é o caminho inverso do seguinte 
desenvolvimento: 
(𝐱 − 𝐲). (x2 + xy + y2) = x3 − y³ 
𝐱(x2 + xy + y2) − 𝐲(x2 + xy + y2) = x3 − y³ 
x³ + x2y + xy2 − x2y − xy2 − y3 = x3 − y³ (Opera-se com os termos semelhantes). 
Logo, podemos afirmar que: 
x³ − y³ = (x − y). (x2 + xy + y2) 
 
Exemplos: 
a) b³ - 1 000 (Neste exemplo o primeiro termo é b e o segundo termo é 1 000). 
1º) Extrair a raiz cúbica do primeiro termo: 
√b
3
= b 
2º) Extrair a raiz cúbica do segundo termo: 
√1000
3
= 10 
3º) Substituir na forma (x − y). (x2 + xy + y2) (Neste exemplo x = b e y = 10). 
b³ - 1 000 = (b - 10) (b² + 10b + 100) 
 
b) 8c³ - 27 (Neste exemplo o primeiro termo é c e o segundo termo é 27). 
 
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1º) Extrair a raiz cúbica do primeiro termo: 
√8𝑐3
3
= 2c 
2º) Extrair a raiz cúbica do segundo termo: 
√27
3
= 3 
3º) Substituir na forma (x − y). (x2 + xy + y2) (Neste exemplo x = 2c e y = 3). 
8c³ - 27 = (2c - 3) (4c² + 6c + 9) 
 
2.4 SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS 
 
Para simplificar frações algébricas, em muitos casos, a fatoração é fundamental. 
Exemplos: 
 
a) 
3x²−xy
x
= 
x(3x−y)
x
= 3x − y (Fator comum em evidência e simplificação do x). 
 
b) 
b²−25
b−5
= 
(b−5)(b+5)
(b−5)
= b + 5 (Diferença de dois quadrados e simplificação de (b – 5)). 
 
c) 
x²−10x+25
x−5
=
(x−5)2
x−5
=
(x−5)(x−5)
(x−5)
= x − 5 (TQP e simplificação de (x-5)). 
 
d) 
8c³ + 27 
2c + 3
=
(2c + 3) (4c² − 6c + 9)
(2c + 3)
= 4c² − 6c + 9 (Soma de dois cubos e simplificação de 
(2c + 3)). 
 
Observação: 
Podemos escrever uma equação na forma fatorada: a(x – x’) (x – x”) ... Por exemplo: 
 
a) Escreva na forma fatorada a equação x² - 5x + 6 = 0. Aplicando a fórmula de Báskara 
encontramos as raízes: x’ = 2 e x” = 3. Escrevendo na forma fatorada: 
 x² - 5x + 6 = a(x – x’) (x – x”) = 1 (x – 2) (x – 3), portanto: 
x² - 5x + 6 = (x – 2) (x – 3) = 0 
 
b) Simplifique 
𝑥²+7𝑥+10
𝑥+2 
 
As raízes de x² + 7x + 10 = 0, são: x’ = -5 e x” = - 2 (Aplique Báskara). 
 
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24 
Escrevendo na forma fatorada: (x + 5) (x + 2). 
x²+7x+10
x+2 
= 
(x+5)(x+2)
(x+2)
= x + 5 
 
2.5 BINÔMIO DE NEWTON 
 
A potência da forma (a + b)n, em que a e b ∈ ℝ e n ∈ ℕ, é chamada de Binômio de 
Newton. Observe o desenvolvimento de algumas potências na forma (a + b)n, quando: 
n = 0, temos: (a + b)0 = 1 
n = 1, temos: (a + b)1 = 1a + 1b 
n = 2, temos: (a + b)2 = 𝟏a2 + 𝟐ab + 𝟏b2 
n = 3, temos: (a + b)3 = 𝟏a3 + 𝟑a2b + 𝟑ab2 + 𝟏b³ 
n = 4, temos: (a + b)4 = 𝟏a4 + 𝟒a3b + 𝟔𝑎2b2 + 𝟒a𝑏3 + 𝟏𝑏4 
. 
. 
. 
n = n, temos: (a + b)n = 1anb0 + n an−1b1 + ⋯ +n a1bn−1 + 1a0bn 
(a + b)n = ∑ (
n
p
)
n
k=0
an−pbp, sendo (
n
p
) =
n!
p! (n − p)!
 
 
Observações: 
a) Dados os números Naturais n e p, n ≥ p o número (
n
p) é chamado de número binomial n 
sobre p. 
b) Lembre-se que: Cn,p = (
n
p) =
n!
p!(n−p)!
 
c) Lembre-se que o símbolo !, na Matemática, significa fatorial. O fatorial de um número 
natural n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais 
a n. Por exemplo: 
8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40 320 
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 
3! = 3 x 2 x 1 = 6 
2! = 2 x 1 = 2 
1! = 1 
0! = 1 
d) O número fatorial n! pode ser escrito de diferentes formas, como por exemplo: 
 
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n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3)! 
e) Divisão de fatoriais (“Abrir” o maior número fatorial até encontrar o menor). 
7!
5!
=
7 x 6 x 5!
5!
= 7 x 6 = 42 
f) Calcular números binomiais: [Cn,p = (
n
p) =
n!
p!(n−p)!
] 
(
3
0
) = C3,0 = 
3!
0!(3−0)!
=
3!
0!3!
=
3!
3!
= 1 
 
(
3
1
) = C3,1 =
3!
1!(3−1)!
=
3!
1!2!
=
3x2!
2!
= 3 
 
(
3
2
) = C3,2 =
3!
2!(3−2)!
=
3!
2!1!
=
3x2!
2!
= 3 
 
(
3
3
) = C3,3 =
3!
3!(3−3)!
=
3!
3!0!
=
3!
3!
= 1 
 
g) Os resultados destes números binomiais formam o Triângulo de Pascal, descrito a seguir. 
 
1 
1 1 
1 2 1 
1 3 3 1 
1 4 6 4 1 
 
E assim sucessivamente. Observe que os números binomiais de uma potência de n = 3, 
formam a quarta linha do Triângulo de Pascal (a primeira linha é chamada de zero, pois 
representa um potência de n = 0). A construção do triângulo de Pascal é facilmente realizada 
tomando-se a primeira e a última coluna de cada linha como “1”, e utilizando-se a relação de 
Stifel para as demais colunas, ou seja, a soma de 2 termos consecutivos em uma mesma linha 
é igual ao termo da linha seguinte da mesma coluna da segunda parcela. 
 
 
 
 
 
 
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Nº da linha 0 1 2 3 ... n - 1 n 
0 1 
1 1 1 
2 1 2 1 
3 1 3 3 1 
4 1 4 6 4 1 
5 1 5 10 10 5 1 
. 
. 
. 
 
n – 1 1 n - 1 ... ... n - 1 1 
N 1 n n 1 
 
h) Observa-se que para desenvolver (a + b)n, podemos usar o coeficiente (n
p
) do termo 
an−pbp, dado pelo triângulo de Pascal, para n a linha e p a coluna, como no exemplo: 
 
(a + 3)4 = (4
0
)a430 + (4
1
)a331 + (4
2
)a232 + (4
3
)a133 + (4
4
)a034 
(a + 3)4 = 1a41 + 4a331 + 6a232 + 4a133 + 1a034 
(a + 3)4 = a4 + 12a3 + 54a2 + 108a + 81 
 
Exemplos: 
a) Desenvolva a expressão (2x + 3)4 
(2x + 3)4 = (
4
0
) (2x)430 + (
4
1
) (2x)331 + (
4
2
) (2x)232 + (
4
3
) (2x)133 + (
4
4
) (2x)034 
(2x + 3)4 = 1 . 16x4. 1 + 4 . 8x³ . 3 + 6 . 4x² . 9 + 4 . 2x . 27 + 1 . 1. 81 
(2x + 3)4 = 16x4 + 96x³ + 216x² + 216x + 81 
 
2) Desenvolva a expressão (x − 3)5 
= (
5
0
) x5(−3)0 + (
5
1
) x4(−3)1 + (
5
2
) x3(−3)2 + (
5
3
) x2(−3)3 + (
5
4
) x1(−3)4 + (
5
5
) x0(−3)5 
= 1 . x5. 1 + 5 . x4 . (−3) + 10 . x³ . 9 + 10 . x² . (−27) + 5 . x . 81 + 1.1 . (−243) 
(x − 3)5 = x5 − 15x4 + 90x³ − 270x² + 405x − 243 
 
_____________________________________________________________________________ 
 
 
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REFERÊNCIAS 
 
 
DANTE, L. R. Tudo é matemática. 7ª série. São Paulo: Ática, 2005. 
 
DANTE, L. R. Matemática: ensino médio. v. único. São Paulo: Ática, 2005. 
 
HOMA, A. I. Laboratório de Matemática. Canoas/RS: ULBRA, 2013. 
 
___________________________________________________________________________ATIVIDADES 
 
1) Efetue as operações com monômios. 
a) (
x
5
) . (3x) = b) (−4a³b). (3ab2) = 
c) (−9x³) ∶ (
1
2
x²) = d) (−
3
4
x²y)
3
 = 
e) √−8x3y6
3
 = f) 2xy² - 7xy + 3xy = 
 
2) Efetue as operações com polinômios. 
a) (r + 5) (r – 3) = b) (x – 7)² = 
c) (b² - 5) (b² + 5) = d) (2x4 + 3x³ − 2x2 + x) ∶ x = 
e) (15x² + 2x – 8) : (5x + 4) = f)(6x4 − x3 − 13x2 + 5x − 16): (6x² − x + 5) 
 
3) Fatore. 
a) 16x² - 72xy + 81y² = b) 6x²y² - 9x²y + 15xy² = 
c) ab + 3b – 7a – 21 = d) t² - 81 = 
e) 27x³ + 1 = f) x³ - 64 
 
4) Sendo P(x) = 3x
4
 + 2x³ + x – 1 e Q(x) = 5x4 + 3x + 7, calcular: 
a) P(x) + Q(x) = b) P(x) – Q(x) = 
 
5) Sendo Q(x) = 5x² - 3x + 2 e L(x) = 4x – 6, calcular: 
a) 3Q(x) = b) Q(x) . L(x) = 
 
6) Determine o termo central (ou termo médio) no desenvolvimento de (x − 3)6. 
 
 
 
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RESPOSTAS 
 
1a) 
3𝑥²
5
 b) −12𝑎4𝑏³ c) -18x 
d) −
23
64
𝑥6𝑦3 e) −2𝑥𝑦² f) -4xy 
 
2a) r² + 2r – 15 b) x² = 14 x + 49 c) b4 – 25 
d) 2x³ + 3x² - 2x + 1 e) 3x – 2 f) x² - 3 e resto 2x - 1 
 
3a) (4𝑥 − 9𝑦)2 b) 3xy(2xy – 3x + 5y) c) (a + 3) (b – 7) 
d) (t + 9) (t – 9) e) (3x + 1) (9x² - 3x + 1) f) (x – 4) (x² + 4x + 16) 
 
4a) 8x
4
 + 2x³ + 4x + 6 b) -2x
4
 + 2x³ - 2x – 8 
 
5a) 15x² - 9x + 6 b) 20x³ - 42x² + 26x - 12 
 
6) – 540x³ 
 
___________________________________________________________________________