Capitulo 5 - Função Exponencial

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Profª Tania Elisa Seibert 
 CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO 
UNIDADE 2 – CAPÍTULO 5 
1 
5 FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Inicia-se este capítulo com o estudo das equações e inequações exponenciais, que serão 
necessárias no desenvolvimento das funções exponenciais. 
 
5.1 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
 
A equação exponencial é uma equação cuja incógnita encontra-se no expoente, como 
nos exemplos: 2x−5 = 16 e 7x
2−x = 1 A solução da equação exponencial pode ser realizada 
através de diferentes formas, como se estuda a seguir: 
 
a) Decomposição dos termos em uma mesma base 
Observe a resolução de alguns exemplos: 
 
1) 2x+1 = 8 (Decompor 8 na base 2 para igualar as bases). 
2x+1 = 23 (Desconsiderar as bases igualando somente os expoentes). 
 x + 1 = 3 
x = 2, logo V = {2} 
 
2) 32x =
1
9
 (Decompor 9 na base 3). 
32x =
1
32
 (Aplicar a propriedade 
1
an
= a−n). 
32x = 3−2 (Desconsiderar as bases igualando somente os expoentes). 
2x = −2 
x =
−2
2
 
x = −1, logo V = {−1} 
 
3) 34x = 3−2 (As bases já são iguais, portanto igualar somente os expoentes). 
4x = −2 
x =
−2
4
 
x = −
1
2
, logo V = {−
1
2
} 
 
 
 
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4) 9x = 27 (Decompor 9 e 27 na base 3). 
(32)x = 33 
32x = 33 
2x = 3 
x =
3
2
 , logo V = {
3
2
} 
 
5) (
1
5
)
𝑥
= 125 
5−𝑥 = 53 
−𝑥 = 3 
𝑥 = −3 , logo V = {−3} 
 
6) (√3)
x
= √81
3
 
(3
1
2)
x
= √34
3
 
(3
1
2)
x
= 3
4
3 
3
x
2 = 3
4
3 
x
2
=
4
3
 
3x = 8 
x =
8
3
 , logo V = {
8
3
} 
 
7) 7x+3 = 1 (Lembre-se que a0 = 1) 
7x+3 = 70 
x + 3 = 0 
x = −3 , logo V = {−3} 
 
8) 2x
2−7x+12 = 1 
2x
2−7x+12 = 20 
x2 − 7x + 12 = 0 (Aplicando Baskara) 
x1 = 3 e x2 = 4 , logo V = {3, 4} 
 
 
 
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b) Substituição do termo 𝐛𝐱 por 𝐦, para 𝐱 a incógnita e 𝐛 a base e 𝐦 uma incógnita 
qualquer. 
Observe a resolução de alguns exemplos: 
 
1) 3x+1 + 3x−1 = 10 (Lembre-se que: am+n = am . an e am−n = am ∶ an. Aplicar estas 
propriedades e reescrever a equação). 
3x. 3 + 3x. 3−1 = 10 (Lembre-se que 3-1 = 
1
3
) 
3x. 3 + 3x.
1
3
= 10 (Substituir 3x = m) 
3m +
m
3
= 10 (mmc) 
9m + m = 30 
10m = 30 
m = 3 (Voltando à condição 3x = m) 
3x = m (Substituindo m pelo valor encontrado. Neste exemplo m = 3). 
3x = 3 
x = 1, logo V = {1} 
 
2) 3x+1 − 3x = 3x−2 + 51(Lembre-se que: am+n = am . an e am−n = am ∶ an. Aplicar estas 
propriedades e reescrever a equação). 
3x. 31 − 3x = 3x. 3−2 + 51 
3x. 3 − 3x = 3x.
1
9
+ 51 (Lembre − se que 3−2 =
1
32
=
1
9
) (Substituir 3x = m) 
3m − m =
m
9
+ 51 
2m − 
m
9
= 51 (mmc) 
18m − m = 459 
17m = 459 
m = 27 (Voltando à condição 3x = m) 
3x = m 
3x = 27 
3x = 33 
x = 3, logo V = {3} 
 
 
 
 
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3) 2x−3 + 2x−1 + 2x = 52 
2x . 
1
23
+ 2x.
1
2
+ 2x = 52 
2x
8
+
2x
2
+ 2x = 52 (Substituir 2x = m) 
m
8
+
m
2
+ m = 52 (mmc) 
m + 4m + 8m = 416 
13m = 416 
m = 32 (Voltando à condição 2x = m) 
2x = 32 
2x = 25 
x = 5, logo V = {5} 
_____________________________________________________________________ 
ATIVIDADES 
1) Resolva as equações exponenciais 
a) (
2
3
)
x
=
8
27
 b) 2x = √4
3
 
c) 125x+2 = 1 d) 22x − 5. 2x + 4 = 0 
e) 3x−1 + 3x+ = 90 f) 
16x+64
5
= 4x+1 
 
RESPOSTAS 
1a) V = {3} b) V = {
2
3
} 
c) V = {−2} d) V = {0,2} 
e) V = {3} f) V = {1,2} 
_________________________________________________________________________ 
 
5.2 INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
 
Inequação exponencial é uma desigualdade entre expressões cuja incógnita encontra-se 
no expoente, como por exemplo 2x−5 > 16 e 7x
2−x ≤ 1. A solução da inequação exponencial 
pode ser realizada através dos mesmos métodos da equação exponencial. A seguir alguns 
exemplos de resolução. 
 
 
 
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1) 9x ≤ 27 
32x ≤ 33 
2x ≤ 3 
x ≤
3
2
 
V = {x ∈ ℝ|x ≤
3
2
} 
2) (
1
9
)
x
≤ 27 
(3−2)x ≤ 33 
3−2x ≤ 33 
−2x ≤ 3 (Cuidado: sinal da incógnita negativo. Não se esqueça de inverter o sinal da 
desigualdade). 
2x ≥ −3 
x ≥
−3
2
 
V = {x ∈ ℝ|x ≥
−3
2
} 
 
3) 32x + 3x − 12 > 0 (Substituir 3x = m). 
m2 + m − 12 > 0 (Aplicando Baskara) 
m1 = 3 e m2 = −4 (Voltando para 3
x = m) 
3x > m 
3x > 3 
x > 1 
3x < −4 ⇒ ∄x ∈ ℝ| 3x < −4 
V = {x ∈ ℝ|x > 1} 
 
_________________________________________________________________________ 
ATIVIDADES 
1) Resolva as inequações exponenciais 
a) 2𝑥 ≥ 128 b) 4𝑥 + 4 > 5. 2𝑥 c) 25𝑥 − 5. 5𝑥 + 5 < 0 
 
RESPOSTAS 
1a) S = {x ∈ ℝ|x ≥ 7} b) S = {x ∈ ℝ|x < 0 ou x > 2} c) S = {x ∈ ℝ|0 < x < 1} 
___________________________________________________________________________ 
 
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5.3 FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Para a função f: ℝ → ℝ, na forma f(x) = ax, para a = base tal que a ϵ ℝ | a > 0 e a ≠ 1, 
denomina-se a f(x) como uma função exponencial. Exemplos de funções exponenciais: 
f(x) = 2x, f(x) = (
2
3
)
x
e f(x) = 3x+2 
Graficamente a função exponencial, f(x) = ax em ℝ tem as seguintes formas> 
 
1) Para a > 1 (Lembre-se que a é a base) 
 
D = ℝ 
Im = {y ∈ ℝ|y > 0} 
Função crescente 
 
2) Para 0 < a < 1 
 
D = ℝ 
Im = {y ∈ ℝ|y < 0} 
Função decrescente 
 
5.3.1 Características da função exponencial 
As funções exponenciais têm algumas características: 
 
x
y
x
y
 
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1) Características da função exponencial na sua forma geral 𝐟(𝐱) = 𝐚𝐱 
 
(Observe os gráficos da página anterior para compreender melhor as características). 
a) Sobre as raízes ou zeros da função exponencial: não tem raiz. 
b) Sobre o domínio: D = ℝ; 
c) Sobre a imagem: Im = {yϵℝ|y > 0}. 
d) Para a > 1 a função é crescente para todo o domínio. 
e) Para 0 < a < 1 a função é decrescente para todo o domínio. 
f) f(x) > 0: positiva para todo o domínio. 
g) f(x) < 0: não existe parte negativa, portanto: ∄xϵℝ| f(x) < 0, logo V = ∅ 
 
2) Características da função exponencial na forma 𝐟(𝐱) = 𝐚𝐱 − 𝐛 
 
 a > 0 𝟎 < 𝐚 < 𝟏 
 
a) Sobre as raízes: a função exponencial tem raiz em f(x) = 0. Exemplo: 
f(x) = 2x − 4 
0 = 2x − 4 
4 = 2𝑥 
22 = 2𝑥 
𝑥 = 2 
V = {2} 
b) Sobre o domínio: D = ℝ 
c) Para a > 1 a função é crescente para todo o domínio. 
d) Para 0 < a < 1 a função é decrescente para todo o domínio 
e) Positiva no intervalo, para: 
e.1) a > 1, f(x) > 0 para x >, raiz, logo V = {xϵℝ|x > raiz}; 
e.2) 0 < a < 1, f(x) > 0 para x < raiz, logo V = {xϵℝ|x < raiz}. 
x
y
x
y
 
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f) Negativa no intervalo, para: 
f.1) a > 1, f(x) < 0 para x > raiz, logo V = {xϵℝ|x < raiz}; 
f.2) 0 < a < 1, f(x) < 0 para x < raiz, logo V = {xϵℝ|x > raiz}. 
 
__________________________________________________________________________ 
 
ATIVIDADES 
1) Esboce os gráficos e analise as características das funções: 
1) f(x) = 2x 2) f(x) = (
1
5
)
x
 3)f(x) = 3x − 3 
 
2) O número de bactérias em um meio duplica de hora em hora. Se, inicialmente, existem 8 
bactérias no meio, determine o número de bactérias no fim de 10 horas. 
 
3) Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura, em função do tempo t, 
medido em horas, é dado por B(t) = 2
t
12 . Determine o número de bactérias após 5 dias da 
hora zero. 
 
4) Uma certa substância se decompõe aproximadamente segundo a lei Q(t) = k . 2−0,5t, em 
que K é uma constante, t indica o tempo em minutos e Q(t) indica a quantidade da substância, 
em gramas, no instante t. Considerando os dados desse processo de decomposição mostrados 
no gráfico, determine os valores de K e de a. 
 
5) O montante M é a quantia a ser recebida após a aplicação de um capital C, a uma taxa i, 
durante certo tempo t. No regime de juros compostos, esse montante é calculado pela relação 
M = C(1 + i)2. Considere um capital de R$ 10.000 aplicado a uma taxa de 12% ao ano 
durante 4 anos. Qual seria o montante ao final dessa aplicação? 
 
RESPOSTAS 
1a) Gráfico de f(x) = 2x 
 
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b) Domínio: ℝ c) Imagem: ]0, +∞[ 
d) Raiz: V = ∅ e) Intervalo onde a função é crescente: ℝ 
d) Intervalo onde a função é decrescente: nunca é decrescente - V = ∅ 
e) Intervalo no qual a função é positiva: ℝ 
f) Intervalo no qual a função é negativa: nunca é negativa - V = ∅ 
 
2a) Gráfico de f(x) = (
1
5
)
x
 
 
b) Domínio: ℝ c) Imagem: ]−∞, 0[ d) Raiz: V = ∅ 
e) Intervalo onde a função é crescente: nunca é crescente - V = ∅ 
d) Intervalo onde a função é decrescente: ℝ e) Intervalo no qual a função é positiva: ℝ 
f) Intervalo no qual a função é negativa: nunca é negativa - V = ∅ 
 
3a) Gráfico de f(x) = 3x − 3 
 
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10 
 
b) Domínio: ℝ c) Imagem: ]−3, + ∞[ d) Raiz: V {1} 
e) Intervalo onde a função é crescente: ℝ 
d) Intervalo onde a função é decrescente: ∅ 
e) Intervalo no qual a função é positiva: ]1, +∞[ 
f) Intervalo no qual a função é negativa: ]−∞, 1[ 
 
2) O número de bactérias em um meio duplica de hora em hora. Se, inicialmente, existem 8 
bactérias no meio, determine o número de bactérias no fim de 10 horas. 
No tempo t = 0, o número de bactérias é igual a 8. 
No tempo t = 1, o número de bactérias é dado por 8.2 = 16. 
No tempo t = 2, o número de bactérias é dado por 8.2.2 = 32. 
Assim, no tempo t = x, o número de bactérias é dada por n = 8 . 2x 
Logo, no tempo desejado, ou seja, ao fim de 10 horas, o número de bactérias será: 
n = 8 . 2x 
n = 8 . 210 
n = 23 . 210 
n = 213 
n = 20.000.000.000.000 de bactérias 
 
3) Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura, em função do tempo t, 
medido em horas, é dado por B(t) = 2
t
12 . Determine o número de bactérias após 5 dias da 
hora zero. 
5 dias após o início da hora zero representam um total de 5. 24 = 120 horas. 
 
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11 
Portanto: 
B(t) = 2
t
12 
B(120) = 2
120
12 
B(120) = 210 
B(120) = 210 = 1024 
Logo, o número de bactérias após 5h será 1024. 
 
4) Uma certa substância se decompõe aproximadamente segundo a lei Q(t) = k . 2−0,5t, em 
que K é uma constante, t indica o tempo em minutos e Q(t) indica a quantidade da substância, 
em gramas, no instante t. Considerando os dados desse processo de decomposição mostrados 
no gráfico, determine os valores de K e de a. 
Representação gráfica: 
 
A função exponencial Q(t) = k . 2−0,5t , passa pelos pontos (a, 512) e (0, 2048). 
Substituindo esses pontos na função, temos: 
Q(t) = k . 2−0,5t (Substituir os valores do ponto (0, 2048) na função). 
Q(0) = k . 2−0,5.0 
Q(0) = k . 2−0,5.0 
2048= k . 20 
k = 2048 (Substituir o valor de k na função). 
Q(t) = 2048 . 2−0,5t (Substituir os valores do ponto (a, 512) na função). 
512 = 2048 . 2−0,5a 
512
2048
= 2−0,5a 
1
4
= 2−0,5a 
1
22
= 2−0,5a 
2−2 = 2−0,5a 
−2 = −0,5a 
 
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12 
−2
−0,5
= a 
a = 4 
 
5) O montante M é a quantia a ser recebida após a aplicação de um capital C, a uma taxa i, 
durante certo tempo t. No regime de juros compostos, esse montante é calculado pela relação 
M = C(1 + i)n. Considere um capital de R$ 10.000 aplicado a uma taxa de 12% ao ano 
durante 4 anos. Qual seria o montante ao final dessa aplicação? 
M = C(1 + i)4 (Fórmula do montante no regime de juros compostos; montante é a soma entre 
o capital aplicado e os juros recebidos). 
M = 10000(1 + 0,12)4 (Transformar a taxa de 12% para número decimal: 
12
100
= 0,12) 
M = 10000(1,12)4 
M = 10000 . 1,57352 
M = 15 735,20 
Logo, o montante será de R$ 15 735,20 
_______________________________________________________________________ 
 
REFERÊNCIAS 
 
HOMA, A. I. Laboratório de Matemática. Canoas/RS: ULBRA, 2013. 
 
JACKSON, R. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia. v. 1. São Paulo: Scipione, 
2010. 
 
LOGEN, A. Matemática: uma atividade humana. Ensino Médio. v.1. Curitiba: Base, 2003. 
 
__________________________________________________________________________