Capitulo 7 - Trigonometria no Triângulo Retângulo

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Profª Tania Elisa Seibert 
 CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO 
UNIDADE 3 – CAPÍTULO 7 
1 
7 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
A palavra Trigonometria tem origem no grego trigonos (triângulo) + metrum (medida). 
Pode dizer-se que, etimologicamente, significa medida de triângulo. Enquanto ramo do 
conhecimento científico, a Trigonometria é indissociável da Astronomia (um dos primeiros 
interesses científicos do homem), cujo desenvolvimento progressivo como Ciência exata 
passou a exigir medições e cálculos de crescente precisão. 
A Trigonometria, como outros ramos da Matemática, não foi obra de um só homem. 
Antigos egípcios e babilônios conheciam e usavam alguns teoremas sobre razões entre os 
lados de triângulos semelhantes, mas como não dominavam o conceito de ângulo não 
avançaram na elaboração da teoria trigonométrica. 
Durante dois séculos e meio, desde Hipócrates até Eratóstenes (276-194 a.C.), foram 
estudados diferentes problemas sobre Astronomia, mas disso não resultou uma Trigonometria 
sistemática. Porém os gregos, conhecendo o trabalho dos egípcios e babilônios sistematizaram 
estes conhecimentos, estabelecendo correspondências entre ângulos e o comprimento das 
cordas de uma circunferência, bem como a apresentação de algumas propriedades sobre as 
medições desses ângulos (LEDUR, ENRICONI, SEIBERT, 2001). 
O primeiro sábio a construir uma tabela trigonométrica contendo e relacionando cordas 
e arcos foi o grego Hiparco de Nicéia (180 - 125 a.C.) movido por necessidade de seus 
cálculos em astronomia, influenciado na astronomia babilônica construída a partir do sistema 
de numeração sexagesimal. Por este motivo é considerado "Pai da Trigonometria". 
Hiparco pouco deixou escrito sobre os seus estudos. A principal fonte de conhecimento 
de seu trabalho é a obra deixada por outro grande astrônomo grego que viveu três séculos 
mais tarde - Cláudio Ptolomeu - que, no seu livro Almagesto, desenvolve vários temas que 
podem ser atribuídos a Hiparco. Ptolomeu expôs, em Almajesto, métodos usados na 
construção de tabelas trigonométricas. Muitos conceitos da Trigonometria já eram conhecidos 
e utilizados por Ptolomeu. Ptolomeu, em seus cálculos, usou uma circunferência com raio de 
60 unidades, o mesmo que fez Hiparco. 
Apenas no século VIII é que os cientistas voltariam a sua atenção para as obras 
trigonométricas de um povo, que sempre surpreendera o mundo com sua matemática original 
e criativa: os hindus. 
Apesar do amplo domínio do Almajesto, no final do século IV começou a surgir na 
Índia um conjunto de textos matemáticos denominados de Siddhanta, cujo significado é 
sistemas de astronomia. Estes apresentaram um trabalho fundamental para a trigonometria, 
 
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que viria melhorar o trabalho de Ptolomeu. Nesta obra ao invés de serem relacionados o arco 
com a corda, como fizeram Hiparco e posteriormente Ptolomeu na obra Almajesto, foram 
relacionados pelos hindus o arco com a meia corda. 
Esta meia corda era chamada de jiva (posteriormente traduzida como seno) e foi usada 
pelos hindus, pois eles buscaram, no interior do círculo, um triângulo retângulo (GUELLI, 
1991). 
Durante algum tempo os matemáticos árabes oscilaram entre o Almajesto e a 
trigonometria de jiva. Até que entre os anos de 850 e 929, o matemático árabe al-Battavi 
adotou a trigonometria hindu, introduzindo uma inovação: o círculo de raio unitário, e assim 
calculou as razões, criando então a trigonometria que utiliza-se até os dias de hoje, 
modificando-se apenas a notação, após várias traduções. 
Tales (624 - 548 a.C.) foi considerado um homem de rara inteligência, com obras 
discutidas e aprovadas pelos sábios do mundo grego. Os gregos dos tempos posteriores 
consideravam Tales o fundador da ciência, da matemática e da filosofia grega, creditando-lhe 
a paternidade da maior parte do saber. Viveu na Grécia, era comerciante e por esse motivo 
viajava muito. No Egito, entrou em contato com a cultura científica - em particular 
astronômica e geométrica. Sua nacionalidade não era conhecida. Foi ele quem transformou a 
Geometria, de uma ciência de noções apenas esparsas, em um sistema lógico (GUELLI, 
1993). 
Tales é considerado o primeiro filósofo e o primeiro dos sete sábios, discípulo dos 
egípcios e caldeus, e recebe o título de "primeiro matemático" verdadeiro, tentando organizar 
a Geometria de forma dedutiva. 
O fato histórico pelo qual ele é sempre lembrado é o de ter medido a altura da pirâmide 
de Quéops, no Egito, através da semelhança de dois triângulos. Observou as sombras e os 
raios solares e descobriu que a sombra de uma estaca qualquer era proporcional à sombra da 
pirâmide. 
Ao responder a uma pergunta de um sacerdote egípcio, Tales fez uso da 
proporcionalidade de lados de triângulos semelhantes para calcular a altura de uma pirâmide. 
Disse ele que “espetaria na areia uma estaca qualquer, cujo comprimento é conhecido e 
mediria a sua sombra. Mediria também, na mesma hora, a sombra da pirâmide e adicionaria a 
metade do comprimento do lado da base”. Assim ele saberia a altura da pirâmide. Como Tales 
mediu a altura da grande pirâmide? 
 
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3 
 
Fonte: SEIBERT, 2014 
 
Ao medir, na mesma hora, as sombras da pirâmide e da estaca têm-se dois ângulos 
agudos iguais (um em cada triângulo retângulo da figura abaixo). Como os triângulos são 
semelhantes, as medidas dos seus lados são proporcionais, isto é: 
 
Fonte: SEIBERT, 2014 
 
 
s
s'
a
a'

 que é equivalente a: 
s' . 
s
a
 a' 
a
a'

s
a
 
 
 É indiferente a escolha da estaca, pois qualquer que seja o seu comprimento, é 
constante o quociente entre a medida do comprimento a e a medida da sua sombra s, na 
mesma hora. 
 
7.1 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Antes de iniciar o estudo das razões trigonométricas, é necessário revisar o conceito de 
triângulo retângulo. Considerando o triângulo retângulo ABC: 
 
 
 
 
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Denomina-se como hipotenusa o segmento oposto ao ângulo de 90º, logo o segmento 
BC = a é a hipotenusa do triângulo ABC. 
Denomina-se como cateto oposto o segmento oposto ao ângulo de referência, logo o 
segmento CA = b é o cateto oposto em relação a β e o segmento BA = c é o cateto oposto em 
relação a γ. 
Denomina-se como cateto adjacente o segmento adjacente ao ângulo de referência, e 
que não é a hipotenusa, logo o segmento BA = c é o cateto adjacente em relação a β e o 
segmento CA = b é o cateto adjacente em relação a γ. 
 
Observa-se, na figura a seguir, o triângulo retângulo com os ângulos internos de 30º, 60º 
e 90º. A hipotenusa deste triângulo é o segmento de reta 
AB
; o cateto oposto ao ângulo de 
30º é o segmento de reta 
AC
 e o cateto adjacente a este ângulo é o segmento de reta 
BC
. 
 
As medidas dos lados desse triângulo são: 
AB
 = 5,8 cm = 2,9 cm = 5 cm 
 
As razões entre estes lados são: 

AB
AC
2,9 cm
5,8 cm
 = 0,5 

AC
AB 
5,8 cm
2,9 cm
 = 2 
 
AC BC
 
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5 

AB
BC
5 cm
5,8 cm
 ≅ 0,86 

BC
AB
5,8 cm
5 cm
 ≅ 1,16 
 

BC
AC
2,9 cm
5 cm
 =0,58 

AC
BC
5 cm
2,9 cm
 ≅ 1,72 
 
A estas razões chama-se de seno, cosseno, tangente, cossecante, secante e cotangente. 
 
Em relação ao ângulo de 30º, é chamado de cateto oposto. Logo: 
a razão 
hipotenusa
oposto cateto
, é chamada de seno de um ângulo. 
a razão 
oposto cateto
hipotenusa
, é chamada de cossecante de um ângulo. 
Consequentemente, o valor da cossecante de um ângulo é o inverso do valor do seno 
deste mesmo ângulo. 
 
Em relação ao ângulo de 30º, é chamado de cateto adjacente. Logo: 
a razão 
hipotenusa
adjacente cateto
, é chamada de cosseno de um ângulo. 
a razão 
adjacente cateto
hipotenusa
, é chamada de secante de um ângulo. 
Consequentemente, o valor da secante de um ângulo é o inverso do valor do cosseno 
deste mesmo ângulo. 
 
Ainda em relação ao ângulo de 30º pode-se afirmar que: 
A razão 
adjacente cateto
oposto cateto
, é chamada de tangente de um ângulo. 
A razão 
oposto cateto
adjacente cateto
, é chamada de cotangente de um ângulo. 
Consequentemente, o valor da cotangente de um ângulo é o inverso do valor da tangente 
deste mesmo ângulo. 
 
 
AC

AB
AC

AC
AB
BC

AB
BC

BC
AB

BC
AC

AC
BC
 
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Resumindo 
1) Em um triângulo retângulo chama-se de hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto e os 
outros lados de cateto. 
 
2) Em relação aos ângulos internos, têm-se: 
 
b̂ → ângulo interno do triângulo retângulo â → ângulo interno do triângulo retângulo 
AC̅̅̅̅ → cateto oposto (co) ao ângulo b̂ BC̅̅̅̅ → cateto oposto (co) ao ângulo â 
BC̅̅̅̅ → cateto adjacente (ca) ao ângulo b̂ AC̅̅̅̅ → cateto adjacente (ca) ao ângulo â 
AB̅̅ ̅̅ → hipotenusa (h) AB̅̅ ̅̅ → hipotenusa (h) 
 
EXEMPLOS 
 
1) Determine o valor de x (em cm). 
a) 
 
â = 30º 
co = x 
ca = 30 cm 
tg â = 
co
ca
 
 
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tg 30o = 
x
30
 
0,57735 = 
x
30
 
0,57735 . 30 = x 
x = 17,32 cm 
 
b) 
 
â = 60º 
ca = 150 cm 
cos â = 
ca
ℎ
 
cos 60𝑜 = 
150
𝑥
 
0,5 = 
150
x
 
0,5x = 150 
x = 
150
0,5
 
x = 300 cm 
 
c) 
 
â = x 
co = 12 cm 
ca = 9 cm 
h = 15 cm 
sen â = 
co
h
 
sen â = 
12
15
 
 
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sen â = 0,8 (calculadora sen-1) 
â = 53,13º (53º7’48”) 
 
2) Veja a figura a seguir. Pode-se tombar a árvore em direção a casa, sem atingir a 
construção? 
 
â = 52º 
co = x 
ca = 20 m 
tg â = 
co
ca
 
tg 52o = 
x
20
 
1,28 = 
x
20
 
1,28 . 20 = x 
x ≅ 25,6 m 
A árvore não pode ser tombada, porque a altura da mesma é de, aproximadamente, 25, 6 m e 
por isso atingiria a casa. 
 
3) Uma escada medindo 3 m precisa fazer um ângulo de 40º com a parede para que não 
escorregue. A que distância o pé da escada precisa ficar da parede? 
 
â = 40º 
co = x 
h = 3 m 
sen â = 
co
h
 
 
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sen 40𝑜 = 
x
3
 
0,64279 = 
x
3
 
0,64279 . 3 = x 
x ≅ 1,93 m 
 
___________________________________________________________________________ 
ATIVIDADES 
 
1) Observe a figura e calcule o ângulo que a escada faz com o solo. 
 
 
2) No plano cartesiano, marque os pontos A (-4, -2), B (3, 3), C (4, 3) e D (8, -2). Una os 
pontos A, B, C e D. Em seguida, determine o valor do cosseno do ângulo 
Dˆ
. 
 
3) Lucas mediu a altura do edifício onde mora. Para isso, ele mediu o ângulo de elevação do 
prédio e depois a distância do prédio até o lugar onde estava o teodolito. A medida do ângulo 
é 54º e a da distância é 10 m. Qual a altura do prédio? 
 
 
 
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4) Agora ficou fácil medir a altura que a pipa de Melissa atingiu! Ela descarregou toda a linha 
de um carretel de 40 m, e fez com a horizontal um ângulo de 60°. Afinal, que altura a pipa 
atingiu, considerando que Melissa tem 1,5 m de altura 
 
 
5) Determine a tangente do ângulo oposto ao menor lado de um triângulo retângulo, sabendo 
que um dos seus catetos mede a e a hipotenusa mede 3a. 
 
RESPOSTAS 
1) â ≅ 76º 2) cos D̂ ≅ 0,625 
3) A altura do prédio é de, aproximadamente, 15,3 metros. 
4) A altura da pipa é de, aproximadamente, 36,1 metros. 
5) tg â = 
√2
4
 
 
__________________________________________________________________________ 
 
4.4 ARCOS NOTÁVEIS 
 
Este subcapítulo tem como objetivo determinar o valor exato das razões trigonométricas 
dos chamados arcos notáveis (30º, 45º e 60º). 
 
a) Determine o valor do seno, do cosseno e da tangente de 45° 
1º passo: desenha-se um quadrado de lado L e traça-se uma de suas diagonais. 
 
 
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2º passo: determina-se a medida da diagonal (x) do quadrado. 
 
Aplica-se o Teorema de Pitágoras: 
x² = L² + L² 
x² = 2L² 
x = √2L2 
x = L√2 
 
3º passo: determinam-se as razões trigonométricas do ângulo de 45º. 
sen 45o = 
co
h
= 
L
L√2
 .
√2
√2
= 
√2
2
 
cos 45o = 
ca
h
= 
L
L√2
 .
√2
√2
= 
√2
2
 
tg 45o = 
co
ca
= 
L
L
= 1 
Portanto: 
sen 45º = 
√2
2
; cos 45º = 
√2
2
; tg 45º = 1. 
 
b) Determine o valor do seno, do cosseno e da tangente de 30°. 
1º passo: desenha-se um triângulo equilátero de lado L e traça-se a sua altura. 
 
2º passo: trabalha-se com o triângulo retângulo em destaque na figura anterior e determina-se 
o valor de x. 
 
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Aplica-se o Teorema de Pitágoras: 
L² = x² + (
L
2
)
2
 
L² = x² + 
L2
4
 
L² - 
L2
4
 = x² 
4L2−L²
4
 = x² 
x² = 
3L2
4
 
x = √
3𝐿²
4
 
x = 
𝐿√3
2
 
 
3º passo: determinam-se as razões trigonométricas do ângulo de 30º. 
sen 30o = 
co
h
= 
𝐿
2
L
= 
𝐿
2
 .
1
𝐿
=
1
2
 
cos 30o = 
ca
h
= 
𝐿√3
2
𝐿
= 
𝐿√3
2
 .
1
𝐿
=
√3
2
 
tg 30o = 
co
ca
= 
𝐿
2
𝐿√3
2
=
𝐿
2
.
2
𝐿√3
=
1
√3
.
√3
√3
=
√3
3
 
Portanto: 
 sen 30o =
1
2
; cos 30º = 
√3
2
; tg 30º = 
√3
3
. 
 
c) Determine o valor do seno, do cosseno e da tangente de 60°. 
No mesmo triângulo retângulo da questão anterior determinam-se as razões para o ângulo de 
60º. 
 
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sen 60o = 
co
h
= 
𝐿√3
2
𝐿
= 
𝐿√3
2
 .
1
𝐿
=
√3
2
 
cos 60o = 
ca
h
= 
𝐿
2
L
= 
𝐿
2
 .
1
𝐿
=
1
2
 
tg 60o = 
co
ca
= 
𝐿√3
2
𝐿
2
= 
𝐿√3
2
 .
2
𝐿
= √3Portanto: 
sen 60o =
√3
2
; cos 60º = 
1
2
; tg 60º = √3. 
 
Tabela de valores das razões trigonométricas dos arcos notáveis 
 30º 45º 60º 
sen 1
2
 √2
2
 
√3
2
 
cos √3
2
 
√2
2
 
1
2
 
tg √3
3
 
1 √3 
 
_________________________________________________________________________ 
ATIVIDADE 
 
a) Para cada um dos valores dos arcos notáveis da tabela anterior divida o valor do sen â pelo 
valor do cos â e compare com o valor da tg â. O que você pode concluir? 
 
b) Compare o valor do sen 30º com o valor do cos 60º; o valor do sen 45º com o valor do cos 
45º. Lembre que dois ângulos cuja soma resulta em 90º são chamados de complementares. O 
que você pode concluir? 
 
 
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RESPOSTAS 
a) 
sen â
cos â
= tg â 
b) sen â = cos (90º - â); cos â = sen (90º - â). 
___________________________________________________________________________ 
EXEMPLOS 
1) Para determinar a altura de um edifício, um observador coloca-se a 30 m de distância e 
assim o observa segundo um ângulo de 30°, conforme mostra a figura. Calcule a altura do 
edifício a partir do solo horizontal. 
 
â = 30º 
ca = 30 m 
co = x 
tg â = 
co
ca
 
tg 30𝑜 = 
x
30
 
√3
3
 = 
x
30
 
3x = 30√3 
x = 
30√3
3
 
x = 10√3 
Adicionando os 3 metros de altura do observador sobre uma pedra têm-se: 
x = (10√3 + 3) m, que é a altura do prédio. 
 
2) Um avião levanta voo sob um ângulo de 30° em relação à pista. Qual será a altura do avião 
quando este percorrer 4 000m em linha reta? 
â = 30º 
h = 4 000 m 
co = x 
sen â = 
co
h
 
 
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 sen 300 = 
x
4 000
 
1
2
= 
x
4 000
 
1
2
 . 4000 = x 
x = 2 000 m 
A altura do avião será de 2 000 m. 
_________________________________________________________________________ 
 
ATIVIDADES 
 
1) Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 cm e um dos seus ângulos agudos mede 
30°. Determine a área desse triângulo. 
 
2) Calcule os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 6 cm e um dos ângulos 
mede 60º. 
 
3) É preciso facilitar o acesso dos deficientes físicos a todos os lugares. Pensando nisso, 
construíram na escola de José uma rampa de acesso ao auditório, como mostra a figura. Em 
que altura está o auditório? 
 
 
4) Determine a medida n. 
 
 
 
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5) (UNESP, 1994) Do quadrilátero ABCD da figura a seguir, sabe-se que: os ângulos internos 
de vértices A e C são retos; os ângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45° e 30°; o 
lado CD mede 2dm. Então, os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm: 
 
a) √6 e √3. b) √5 e √3. c) √6 e √2. d) √6 e √5. e) √3 e √5. 
 
6) (CESGRANRIO, 1995) Uma escada de 2m de comprimento está apoiada no chão e em 
uma parede vertical. Se a escada faz 30° com a horizontal, a distância do topo da escada ao 
chão é de: 
a) 0,5 m b) 1 m c) 1,5 m d) 1,7 m e) 2 m 
 
7) (UFPE, 1995) Considere os triângulos retângulos PQR e PQS da figura a seguir. Se 
RS=100, quanto vale PQ? 
 
a) 100√3 b) 50√3 c) 50 d) 
50√3
3
 e) 25√3 
 
8) A base de um canteiro de forma retangular tem 50m de comprimento. Sabe-se que a 
diagonal desse retângulo forma com a base um ângulo cuja medida é de 60°. Quanto mede a 
outra dimensão desse retângulo? 
a) 17,32 m b) 8,66 m c) 173,2 m d) 866 m e) 86,6 m 
 
9) (PUC Campinas, 1997) A figura a seguir é um corte vertical de uma peça usada em certo 
tipo de máquina. No corte aparecem dois círculos, com raios de 3cm e 4cm, um suporte 
vertical e um apoio horizontal. 
 
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A partir das medidas indicadas na figura, conclui-se que a altura do suporte é 
a) 7 cm b) 11 cm c) 12 cm d) 14 cm e) 16 cm 
 
RESPOSTAS 
1) A = 
25√3
2
 cm² 2) 3 cm e 3√3 cm. 3) 2 m 4) 20√3 cm 
 
5) c 6) b 7) b 8) e 
 
9) b 
 
__________________________________________________________________________ 
 
REFERÊNCIAS 
 
GUELLI, O. Contando a história da Matemática: dando corda na Trigonometria. São 
Paulo: Ática, 1993. 
 
HOMA, A. I. Laboratório de Matemática. Canoas/RS: ULBRA, 2013. 
construção de conceitos. São Leopoldo: UNISINOS, 2001. 
 
LIMA, E. L. et al. A matemática no ensino médio. v. 1. Rio de Janeiro: SBM, 1996. 
 
SEIBERT, T. E. Dimensão profissional II. Canoas/RS: ULBRA, 2014. 
 
LEDUR, B. S.; ENRICONI, M. H. S.; SEIBERT, T. E. A trigonometria por meio da 
construção de conceitos. São Leopoldo: UNISINOS, 2001. 
 
LIMA, E. L. et al. A matemática no ensino médio. v. 1. Rio de Janeiro: SBM, 1996. 
_________________________________________________________________________