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Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 3 – CAPÍTULO 8 1 8 CICLO TRIGONOMÉTRICO OU CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMETRIA Neste capítulo se estuda a Trigonometria do Ciclo Trigonométrico ou Circunferência Trigonométrica. A circunferência trigonométrica é uma circunferência orientada, de raio unitário, na qual se adota um sentido de percurso para os arcos, a partir de um ponto de referência, denominado origem dos arcos. Na Matemática adotou-se o sentido anti-horário como positivo. Para o centro da circunferência coincidindo com a origem do sistema cartesiano ortogonal, são obtidas quatro regiões denominadas quadrantes. No quadro a seguir a distribuição dos ângulos dentro dos quadrantes. 1º quadrante 2º quadrante 3º quadrante 4º quadrante 0 < â < 90º 90º < â < 180º 180º < â < 270º 270º < â < 360º Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 3 – CAPÍTULO 8 2 8.1 UNIDADE DE MEDIDA DE ÂNGULOS Na Geometria trabalha-se com a unidade grau para medir ângulos. Esta unidade de medida também é utilizada na Trigonometria para medir arcos. 8.1.1 Unidade de medida: grau O grau é originário da civilização babilônica. Para estabelecerem o grau, os babilônios dividiram o círculo em 360 partes iguais, pois acreditavam que essa era a quantidade de dias referente ao período de um ano e porque seu sistema de numeração era sexagesimal (base 60). Assim, a cada dia que o Sol percorria um pedaço, correspondia a 1 360 (um trezentos e sessenta avos) da circunferência. Essa unidade passou a ser a unidade de medida de um ângulo e se denomina grau (1º). Hoje se sabe que a Terra é que gira em torno do Sol. A órbita não é circular, mas sim, elíptica. Uma volta completa dura 365 dias, 6 horas e alguns minutos (seis horas compensadas nos anos bissextos). No entanto, o sistema sexagesimal para a medida de um ângulo dos babilônios, foi mantido. Como cada uma das 360 divisões do círculo corresponde a um grau, tem-se que: 1 volta = 360 graus = 360° 1 2 volta = 180 graus = 180° (ângulo raso) 1 4 volta = 90 graus = 90° (ângulo reto) 8.1.2 Unidade de medida: radiano Um ângulo central é um ângulo cujo vértice é o centro de um círculo, e duas semirretas que o compõem, e que, portanto, cruzam a circunferência em dois pontos distintos. O ângulo central determina um arco entre estes dois pontos, cuja medida é, por definição, igual à medida do próprio ângulo central. Este ângulo possui duas medidas: uma angular e outra linear. No exemplo a seguir representa o ângulo central por 𝐴𝛼�̂�. Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 3 – CAPÍTULO 8 3 Um radiano é o ângulo central que corresponde a um arco cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência que o contém. Dentro deste círculo “cabem” seis radianos e sobra uma pequena parte do radiano em uma volta completa, logo em um círculo “cabem” 2𝜋 rad. 8.1.3 Conversão de graus em radianos e de radianos em graus Como se sabe, o comprimento de uma circunferência é 2𝜋r. Então “cabem” em uma circunferência 2 𝜋 arcos de comprimento igual ao raio, o que equivale dizer que 360º corresponde a 2𝜋rad e 1 rad corresponde a 3600 2𝜋 ou 1 rad = 57,29577951º = 57º 17’ 44,81”. Simplificando tem-se que: 360º = 2𝜋rad 180º = 𝜋rad Utilizando esta proporção, podem-se converter radianos em graus e graus em radianos. 1º quadrante 2º quadrante 3º quadrante 4º quadrante 0 < â < 90º 90º < â < 180º 180º < â < 270º 270º < â < 360º 0 < â < π 2 π 2 < â < 2π 2π < â < 3π 2 3π 2 < â < 2π Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 3 – CAPÍTULO 8 4 Exemplos 1) Qual a medida, em radianos, dos ângulos: a) raso 1 ângulo raso = 180º Utilizando a proporção: 180º = 𝜋rad Logo, a medida de um ângulo raso em radianos é 𝜋rad. b) reto 1 ângulo reto = 90º Utilizando a proporção: 180º = 𝜋rad, tem-se: 180º - 𝜋rad 90º - x (Regra de três) 180º . x = 90º . 𝜋rad x = 90o .πrad 180o (simplificar a unidade grau com a unidade grau e 90 com 180) x = π 2 rad Logo, a medida de um ângulo reto em radianos é 𝜋 2 rad. 2) Um atleta percorre dois terços de uma pista circular, correndo sobre a linha de uma circunferência. Determine a medida do arco percorrido em grau e em radianos. Uma circunferência completa tem um arco de 360º ou 2𝜋rad. 2 3 de 360º = 240º 2 3 de 2πrad = 4 3 πrad Então 240º correspondem a 4 3 πrad. 3) Uma roda-gigante tem raio igual a 8m. Utilizando 𝜋 = 3,14, determine quanto percorre, em metros, uma pessoa que deu: a) uma volta c = 2πr (comprimento de uma circunferência com raio r) c = 2 . 3,14 . 8 c = 50,24 m b) dez voltas Se em uma volta a pessoa percorre 50,24 m em dez voltas ela percorre 502,4 m. Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 3 – CAPÍTULO 8 5 4) O raio de uma circunferência é de 6 cm. Calcule o comprimento do arco dessa circunferência, sabendo que o ângulo central mede 120º (use 𝜋 = 3,14). c = 2πr c = 2 . 3,14 . 6 c = 37,68 cm (arco de uma volta completa que corresponde a 360º) 37,68 – 360º (Regra de três ou perceber que 120º é a terça parte de 360º) x - 120º 37,68 . 120º = 360º . x x = 37,68 . 120O 360O x = 12,56 cm ________________________________________________________________________ ATIVIDADES 1) Utilizando a proporção 𝜋 rad = 180º, preencha a tabela a seguir: Grau Radiano Grau Radiano Grau Radiano 30º 3𝜋 4 5𝜋 3 𝜋 2 7𝜋 6 315º 45º 240º 225º 270º 150º 210º RESPOSTAS Grau Radiano Grau Radiano Grau Radiano 30º 𝜋 6 135º 3𝜋 4 300º 5𝜋 3 90º 𝜋 2 210º 7𝜋 6 315º 7𝜋 4 45º 𝜋 4 240º 4𝜋 3 225º 5𝜋 4 270º 3𝜋 2 150º 5𝜋 6 210º 7𝜋 6 _________________________________________________________________________ Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 3 – CAPÍTULO 8 6 8.2 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DE UM TRIÂNGULO QUALQUER Observe a notação que se utiliza no triângulo qualquer a seguir. Utilizando este triângulo como exemplo, estuda-se a Lei dos Senos, Lei dos Cossenos e o Teorema das Áreas para um triângulo qualquer. 8.2.1 Lei dos Senos A lei dos senos estabelece a relação entre a medida de um lado do triângulo e o seno do ângulo oposto a esse lado. Para um triângulo ABC, de lados a, b, c, pode-se escrever: a sen = b senB̂ = c senĈ Exemplos: 1) Dados: Ĉ = 60º e AB̅̅ ̅̅ = 12 cm, determine a medida da hipotenusa do triângulo da figura. Dados do problema (adaptando a notação deste problema para a notação adotada na definição da Lei dos Senos).  = 90º Ĉ = 60º AB̅̅ ̅̅ = c = 12 cm Hipotenusa = a a sen = c senĈ Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 3 – CAPÍTULO 8 7 a sen90o =12 sen600 a 1 = 12 √3 2 a = 12 √3 2 a = 12 . 2 √3 a = 24 √3 a = 24 √3 . √3 √3 = 24√3 3 a = 8√3 cm Logo, a medida da hipotenusa do triângulo é 8√3 cm. 2) Determine o valor de x Primeiro: Determine o valor do ângulo oposto ao lado de medida 5: Lembre que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer equivale a 180º. Logo, o valor deste ângulo é de 60º. a sen = c senĈ x sen 450 = 5 sen600 x √2 2 = 5 √3 2 x . √3 2 = 5 . √2 2 𝑥 . √3 = 5√2 𝑥 = 5√2 √3 𝑥 = 5√2 √3 . √3 √3 = 5√6 3 Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 3 – CAPÍTULO 8 8 8.2.2 Lei dos Cossenos Considere um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c. Para esses triângulo pode-se escrever: a² = b² + c² − 2. b. c. cos  b² = a² + c² − 2. a. c. cos B̂ c² = a² + b² − 2. a. b. cos Ĉ Em qualquer triângulo O quadrado da medida de um lado é igual a soma dos quadrados dos demais lados, menos duas vezes o produto destes lados pelo cosseno do ângulo formado por eles. Observação a) Para o triângulo retângulo com  = 90° temos: a2 = b2 + c2 − 2bc cos 90° (Como cos 90° = 0). a2 = b2 + c2 EXEMPLOS Observação: Certifique-se que a calculadora usada esteja em graus antes de executar os cálculos. a) Dois lados de um triângulo medem 6m e 10m e formam entre si um ângulo de 120º. Determinar a medida do terceiro lado. Representando geometricamente a situação apresentada no problema: Aplicando a lei dos cossenos para encontrar o valor de x: Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 3 – CAPÍTULO 8 9 a² = b² + c² − 2. b. c. cos  x² = 10² + 6² − 2.10.6. cos 1200 x² = 100 + 36 − 2.10.6. (− 1 2 ) x² = 136 + 60 x² = 196 x = ±√196 x = ±14 (Neste exercício, por se tratar da medida de um lado, o único valor que responde o exercício é 14). Logo: O lado do triângulo mede 14 cm. 2) (UNIRIO) Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB = 80 km e AC = 120 km, onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura. Sabendo que o ângulo A mede 60º, determine a distância entre B e C, em km. a² = b² + c² − 2. b. c. cos  x² = 120² + 80² − 2.120.80. cos 600 x² = 14400 + 6400 − 19200. ( 1 2 ) x² = 11200 x = ±√11200 x = ±√11200 x ≅ 105 km 8.2.2 Teorema da área de um triângulo qualquer Neste teorema a área do triângulo é dada em função da medida dos lados que conhecemos e do ângulo entre estes lados. Área = b . c . sen  2 Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 3 – CAPÍTULO 8 10 Esta expressão é denominada de Teorema das Áreas: “A área do triângulo é igual ao semiproduto das medidas de dois lados pelo sendo do ângulo formado por estes lados”. Exemplos 1) Qual é a área de um triângulo ABC onde c = 2 cm, b = 3 cm e  = 60º. Área = b . c . sen  2 Área = 3 . 2 . sen 60𝑜 2 Área = 6 . √3 2 2 Área = 6 . √3 2 2 Área = 3√3 2 cm² 2) Determine a área do triângulo (medido em m) sabendo que o ângulo C mede 30º. Área = 120 . 80 . sen 300 2 Área = 9600 . 1 2 2 Área = 4800 2 Área = 2400 m² ___________________________________________________________________________ Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 3 – CAPÍTULO 8 11 ATIVIDADES 1) No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30º. Quanto vale o seno do ângulo B? 2) Determine o valor de x. 3) Determine o valor da área do triângulo da figura. 4) (UNICAMP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa d’água a 50 m de distância. A casa está a 80 m de distância da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixa d’água-bomba e caixa d’água-casa é de 60º. Se se pretende bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento são necessários? Profª Tania Elisa Seibert CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO UNIDADE 3 – CAPÍTULO 8 12 5) Na figura abaixo, calcule o valor de x 6) Sabendo que as medidas do ângulo  = 45º e B̂ = 120º, determine o valor de x. RESPOSTAS 1) sen B = 2 3 2) x = 2√7 3) x ≅ 10,4 4) 70 m 5) 100√2 6) 122,5 m ___________________________________________________________________________ REFERÊNCIAS GUELLI, O. Contando a história da Matemática: dando corda na Trigonometria. São Paulo: Ática, 1993. HOMA, A. I. Laboratório de Matemática. Canoas/RS: ULBRA, 2013. LEDUR, B. S.; ENRICONI, M. H. S.; SEIBERT, T. E. A trigonometria por meio da construção de conceitos. São Leopoldo: UNISINOS, 2001. LEI DOS SENOS E COSSENOS. Disponível em: <http://www.infoescola.com/trigonometria/lei-dos-senos-e-dos-cossenos/>. Acesso em 02 ago. 2015. LIMA, E. L. et al. A matemática no ensino médio. v. 1. Rio de Janeiro: SBM, 1996. SEIBERT, T. E. Dimensão profissional II. Canoas/RS: ULBRA, 2014. QUADRANTES NO CICLO TRIGONOMÉTRICO. Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/identificando-os-quadrantes-ciclo- trigonometrico.htm>. Acesso em 02 ago. 2015.
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