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Capitulo 8 - Ciclo Trigonométrico

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Profª Tania Elisa Seibert 
 CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO 
UNIDADE 3 – CAPÍTULO 8 
1 
8 CICLO TRIGONOMÉTRICO OU CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMETRIA 
 
Neste capítulo se estuda a Trigonometria do Ciclo Trigonométrico ou Circunferência 
Trigonométrica. 
A circunferência trigonométrica é uma circunferência orientada, de 
raio unitário, na qual se adota um sentido de percurso para os arcos, a partir 
de um ponto de referência, denominado origem dos arcos. Na Matemática 
adotou-se o sentido anti-horário como positivo. 
 
 
Para o centro da circunferência coincidindo com a origem do sistema cartesiano 
ortogonal, são obtidas quatro regiões denominadas quadrantes. 
 
No quadro a seguir a distribuição dos ângulos dentro dos quadrantes. 
 
1º quadrante 2º quadrante 3º quadrante 4º quadrante 
 
0 < â < 90º 90º < â < 180º 180º < â < 270º 270º < â < 360º 
 
 
Profª Tania Elisa Seibert 
 CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO 
UNIDADE 3 – CAPÍTULO 8 
2 
8.1 UNIDADE DE MEDIDA DE ÂNGULOS 
 
Na Geometria trabalha-se com a unidade grau para medir ângulos. Esta unidade de 
medida também é utilizada na Trigonometria para medir arcos. 
 
8.1.1 Unidade de medida: grau 
O grau é originário da civilização babilônica. Para estabelecerem o grau, os babilônios 
dividiram o círculo em 360 partes iguais, pois acreditavam que essa era a quantidade de dias 
referente ao período de um ano e porque seu sistema de numeração era sexagesimal (base 60). 
Assim, a cada dia que o Sol percorria um pedaço, correspondia a 
1
360
 (um trezentos e 
sessenta avos) da circunferência. Essa unidade passou a ser a unidade de medida de um 
ângulo e se denomina grau (1º). 
 
 
Hoje se sabe que a Terra é que gira em torno do Sol. A órbita não é circular, mas sim, 
elíptica. Uma volta completa dura 365 dias, 6 horas e alguns minutos (seis horas compensadas 
nos anos bissextos). No entanto, o sistema sexagesimal para a medida de um ângulo dos 
babilônios, foi mantido. Como cada uma das 360 divisões do círculo corresponde a um grau, 
tem-se que: 
1 volta = 360 graus = 360° 
1
2
 volta = 180 graus = 180° (ângulo raso) 
1
4
 volta = 90 graus = 90° (ângulo reto) 
 
8.1.2 Unidade de medida: radiano 
Um ângulo central é um ângulo cujo vértice é o centro de um círculo, e duas 
semirretas que o compõem, e que, portanto, cruzam a circunferência em dois pontos distintos. 
O ângulo central determina um arco entre estes dois pontos, cuja medida é, por definição, 
igual à medida do próprio ângulo central. Este ângulo possui duas medidas: uma angular e 
outra linear. No exemplo a seguir representa o ângulo central por 𝐴𝛼�̂�. 
 
Profª Tania Elisa Seibert 
 CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO 
UNIDADE 3 – CAPÍTULO 8 
3 
 
Um radiano é o ângulo central que corresponde a um arco cujo comprimento é igual ao 
comprimento do raio da circunferência que o contém. 
 
Dentro deste círculo “cabem” seis radianos e sobra uma pequena parte do radiano em 
uma volta completa, logo em um círculo “cabem” 2𝜋 rad. 
 
8.1.3 Conversão de graus em radianos e de radianos em graus 
Como se sabe, o comprimento de uma circunferência é 2𝜋r. Então “cabem” em uma 
circunferência 2 𝜋 arcos de comprimento igual ao raio, o que equivale dizer que 360º 
corresponde a 2𝜋rad e 1 rad corresponde a 
3600
2𝜋
 ou 1 rad = 57,29577951º = 57º 17’ 44,81”. 
Simplificando tem-se que: 
360º = 2𝜋rad 
180º = 𝜋rad 
 
Utilizando esta proporção, podem-se converter radianos em graus e graus em radianos. 
 
1º quadrante 2º quadrante 3º quadrante 4º quadrante 
 
0 < â < 90º 90º < â < 180º 180º < â < 270º 270º < â < 360º 
0 < â < 
π
2
 
π
2
 < â < 2π 2π < â < 
3π
2
 
3π
2
 < â < 2π 
 
 
Profª Tania Elisa Seibert 
 CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO 
UNIDADE 3 – CAPÍTULO 8 
4 
Exemplos 
1) Qual a medida, em radianos, dos ângulos: 
a) raso 
1 ângulo raso = 180º 
Utilizando a proporção: 180º = 𝜋rad 
Logo, a medida de um ângulo raso em radianos é 𝜋rad. 
b) reto 
1 ângulo reto = 90º 
Utilizando a proporção: 180º = 𝜋rad, tem-se: 
180º - 𝜋rad 
90º - x (Regra de três) 
180º . x = 90º . 𝜋rad 
x = 
90o .πrad
180o
 (simplificar a unidade grau com a unidade grau e 90 com 180) 
x = 
π
2
rad 
Logo, a medida de um ângulo reto em radianos é 
𝜋
2
rad. 
 
2) Um atleta percorre dois terços de uma pista circular, correndo sobre a linha de uma 
circunferência. Determine a medida do arco percorrido em grau e em radianos. 
Uma circunferência completa tem um arco de 360º ou 2𝜋rad. 
2
3
 de 360º = 240º 
2
3
 de 2πrad = 
4
3
 πrad 
Então 240º correspondem a 
4
3
 πrad. 
 
3) Uma roda-gigante tem raio igual a 8m. Utilizando 𝜋 = 3,14, determine quanto percorre, em 
metros, uma pessoa que deu: 
a) uma volta 
c = 2πr (comprimento de uma circunferência com raio r) 
c = 2 . 3,14 . 8 
c = 50,24 m 
b) dez voltas 
Se em uma volta a pessoa percorre 50,24 m em dez voltas ela percorre 502,4 m. 
 
 
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UNIDADE 3 – CAPÍTULO 8 
5 
4) O raio de uma circunferência é de 6 cm. Calcule o comprimento do arco dessa 
circunferência, sabendo que o ângulo central mede 120º (use 𝜋 = 3,14). 
c = 2πr 
c = 2 . 3,14 . 6 
c = 37,68 cm (arco de uma volta completa que corresponde a 360º) 
 
37,68 – 360º (Regra de três ou perceber que 120º é a terça parte de 360º) 
 x - 120º 
37,68 . 120º = 360º . x 
x = 
37,68 . 120O
360O
 
x = 12,56 cm 
________________________________________________________________________ 
ATIVIDADES 
1) Utilizando a proporção 𝜋 rad = 180º, preencha a tabela a seguir: 
Grau Radiano Grau Radiano Grau Radiano 
30º 3𝜋
4
 
 5𝜋
3
 
 𝜋
2
 
7𝜋
6
 
 315º 
45º 240º 225º 
270º 150º 210º 
 
RESPOSTAS 
 
Grau Radiano Grau Radiano Grau Radiano 
30º 𝜋
6
 135º 
3𝜋
4
 
 300º 5𝜋
3
 
90º 𝜋
2
 210º 
7𝜋
6
 
 315º 7𝜋
4
 
45º 𝜋
4
 240º 
4𝜋
3
 
 225º 5𝜋
4
 
270º 3𝜋
2
 
 150º 5𝜋
6
 
 210º 7𝜋
6
 
_________________________________________________________________________ 
 
 
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UNIDADE 3 – CAPÍTULO 8 
6 
8.2 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DE UM TRIÂNGULO QUALQUER 
 
 
Observe a notação que se utiliza no triângulo qualquer a seguir. 
 
 
Utilizando este triângulo como exemplo, estuda-se a Lei dos Senos, Lei dos Cossenos e 
o Teorema das Áreas para um triângulo qualquer. 
 
8.2.1 Lei dos Senos 
A lei dos senos estabelece a relação entre a medida de um lado do triângulo e o seno do 
ângulo oposto a esse lado. Para um triângulo ABC, de lados a, b, c, pode-se escrever: 
 
a
senÂ
=
b
senB̂
=
c
senĈ
 
Exemplos: 
1) Dados: Ĉ = 60º e AB̅̅ ̅̅ = 12 cm, determine a medida da hipotenusa do triângulo da figura. 
 
Dados do problema (adaptando a notação deste problema para a notação adotada na definição 
da Lei dos Senos). 
 = 90º 
Ĉ = 60º 
AB̅̅ ̅̅ = c = 12 cm 
Hipotenusa = a 
a
senÂ
=
c
senĈ
 
 
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7 
a
sen90o
=12
sen600
 
a
1
=
12
√3
2
 
a =
12
√3
2
 
a = 12 .
2
√3
 
a = 
24
√3
 
a = 
24
√3
.
√3
√3
=
24√3
3
 
a = 8√3 cm 
Logo, a medida da hipotenusa do triângulo é 8√3 cm. 
 
2) Determine o valor de x 
 
Primeiro: Determine o valor do ângulo oposto ao lado de medida 5: 
Lembre que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer equivale a 
180º. 
Logo, o valor deste ângulo é de 60º. 
a
senÂ
=
c
senĈ
 
x
sen 450
=
5
sen600
 
x
√2
2
=
5
√3
2
 
x .
√3
2
 = 5 .
√2
2
 
𝑥 . √3 = 5√2 
𝑥 =
5√2
√3
 
𝑥 =
5√2
√3
 .
√3
√3
 = 
5√6
3
 
 
 
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UNIDADE 3 – CAPÍTULO 8 
8 
8.2.2 Lei dos Cossenos 
Considere um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c. 
 
Para esses triângulo pode-se escrever: 
a² = b² + c² − 2. b. c. cos  
b² = a² + c² − 2. a. c. cos B̂ 
c² = a² + b² − 2. a. b. cos Ĉ 
 
Em qualquer triângulo O quadrado da medida de um lado é igual a soma dos quadrados 
dos demais lados, menos duas vezes o produto destes lados pelo cosseno do ângulo formado 
por eles. 
 
Observação 
a) Para o triângulo retângulo com  = 90° temos: 
a2 = b2 + c2 − 2bc cos 90° (Como cos 90° = 0). 
a2 = b2 + c2 
 
EXEMPLOS 
Observação: Certifique-se que a calculadora usada esteja em graus antes de executar os 
cálculos. 
 
a) Dois lados de um triângulo medem 6m e 10m e formam entre si um ângulo de 120º. 
Determinar a medida do terceiro lado. 
Representando geometricamente a situação apresentada no problema: 
 
Aplicando a lei dos cossenos para encontrar o valor de x: 
 
 
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9 
a² = b² + c² − 2. b. c. cos  
x² = 10² + 6² − 2.10.6. cos 1200 
x² = 100 + 36 − 2.10.6. (−
1
2
) 
x² = 136 + 60 
x² = 196 
x = ±√196 
x = ±14 (Neste exercício, por se tratar da medida de um lado, o único valor que responde o 
exercício é 14). Logo: 
O lado do triângulo mede 14 cm. 
 
2) (UNIRIO) Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa, sem 
escala. Sabe-se que AB = 80 km e AC = 120 km, onde A é uma cidade conhecida, como 
mostra a figura. Sabendo que o ângulo A mede 60º, determine a distância entre B e C, em km. 
 
a² = b² + c² − 2. b. c. cos  
x² = 120² + 80² − 2.120.80. cos 600 
x² = 14400 + 6400 − 19200. (
1
2
) 
x² = 11200 
x = ±√11200 
x = ±√11200 
x ≅ 105 km 
 
8.2.2 Teorema da área de um triângulo qualquer 
Neste teorema a área do triângulo é dada em função da medida dos lados que 
conhecemos e do ângulo entre estes lados. 
 
Área = 
b . c . sen Â
2
 
 
 
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10 
Esta expressão é denominada de Teorema das Áreas: “A área do triângulo é igual ao 
semiproduto das medidas de dois lados pelo sendo do ângulo formado por estes lados”. 
 
Exemplos 
 
1) Qual é a área de um triângulo ABC onde c = 2 cm, b = 3 cm e  = 60º. 
 
Área = 
b . c . sen Â
2
 
Área = 
3 . 2 . sen 60𝑜
2
 
Área = 
6 . 
√3
2
2
 
Área = 
6 . 
√3
2
2
 
Área = 
3√3
2
 cm² 
 
2) Determine a área do triângulo (medido em m) sabendo que o ângulo C mede 30º. 
 
Área = 
120 . 80 . sen 300
2
 
Área = 
9600 . 
1
2
2
 
Área = 
4800
2
 
Área = 2400 m² 
___________________________________________________________________________ 
 
 
 
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11 
ATIVIDADES 
 
1) No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente, e o ângulo A 
vale 30º. Quanto vale o seno do ângulo B? 
 
 
2) Determine o valor de x. 
 
 
3) Determine o valor da área do triângulo da figura. 
 
 
4) (UNICAMP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma 
caixa d’água a 50 m de distância. A casa está a 80 m de distância da caixa d’água e o ângulo 
formado pelas direções caixa d’água-bomba e caixa d’água-casa é de 60º. Se se pretende 
bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento são 
necessários? 
 
 
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12 
5) Na figura abaixo, calcule o valor de x 
 
 
6) Sabendo que as medidas do ângulo  = 45º e B̂ = 120º, determine o valor de x. 
 
 
RESPOSTAS 
 
1) sen B = 
2
3
 2) x = 2√7 
3) x ≅ 10,4 4) 70 m 
5) 100√2 6) 122,5 m 
___________________________________________________________________________ 
 
REFERÊNCIAS 
 
GUELLI, O. Contando a história da Matemática: dando corda na Trigonometria. São 
Paulo: Ática, 1993. 
 
HOMA, A. I. Laboratório de Matemática. Canoas/RS: ULBRA, 2013. 
 
LEDUR, B. S.; ENRICONI, M. H. S.; SEIBERT, T. E. A trigonometria por meio da 
construção de conceitos. São Leopoldo: UNISINOS, 2001. 
 
LEI DOS SENOS E COSSENOS. Disponível em: 
<http://www.infoescola.com/trigonometria/lei-dos-senos-e-dos-cossenos/>. Acesso em 02 
ago. 2015. 
 
LIMA, E. L. et al. A matemática no ensino médio. v. 1. Rio de Janeiro: SBM, 1996. 
 
SEIBERT, T. E. Dimensão profissional II. Canoas/RS: ULBRA, 2014. 
 
QUADRANTES NO CICLO TRIGONOMÉTRICO. Disponível em: 
<http://www.brasilescola.com/matematica/identificando-os-quadrantes-ciclo-
trigonometrico.htm>. Acesso em 02 ago. 2015.

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