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� UNIVERSIDADE ANHANGUERA SÃO PAULO (SP) VILA MARIANA CURSO: ENGENHARIA CIVIL NOTURNO 3º /4º SEMESTRE DISCIPLINA: CALCULO III ROBISON BESERRA DA SILVA RA 1299119942 CAROLINA CRISTINA DA S. MODESTO RA 1299120084 FLAVIO EDUARDO DA SILVA PAULO S. DARROZ RA 1299121159 FLORISANEIDE DOS SANTOS PEREIRA RA 1299120795 JESSICA DE OLIVEIRA ARAUJO RA 1299121077 RELATÓRIO 1 INTEGRAL DEFINIDA, INTEGRAL INDEFINIDA Aplicar conhecimento matemático cientifico tecnológico e instrumentais a engenharia. Projetar e conduzir experimentos e interpretar resultados. Identificar, formular e resolver problemas de engenharia Profº Silvia Regina Lamas Assis SÃO PAULO Setembro/2015 ÍNDICE DESAFIO OBJETIVO DO DESAFIO ETAPA 1 PASSO 1 RESOLUÇÃO PASSO 2 DESAFIO A DESAFIO B DESAFIO C DESAFIO D PASSO 3 7.1.1 PARA DESAFIO A 7.1.2 PARA DESAFIO B 7.1.3 PARA DESAFIO C 7.1.4 PARA DESAFIO D PASSO 4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. DESAFIO O petróleo (do latim petroleum, onde petrus = pedra e oleum = óleo) é um recurso natural abundante, definido como um composto de hidrocarboneto, oleoso, inflamável, geralmente menos denso que na água e que possui uma coloração que varia dom incolor até o preto. Na antiguidade, era usado para fins medicinais e para lubrificação. Atribuíam-se ao petróleo propriedades laxantes, cicatrizantes e antissépticas. Atualmente, se configura a principal fonte de energia do planeta. Além de gerar gasolina, que serve de combustível para grande parte dos automóveis que circulam no mundo, vários produtos são derivados do petróleo, como por exemplo, a parafina, o asfalto, querosene, solventes e óleo diesel. O processo de extração do petróleo varia muito, de acordo com a profundidade em que om óleo se encontra, e pode estar na\s primeiras camadas do solo ou até milhares de metros abaixo do nível do mar. A empresa Petrofuels tem como principal atividade, a extração de petróleo no brasil. Para tanto, de tempo em tempo, são levantadas por geógrafos, agrônomos, paleontólogos, engenheiros e outros especialistas, regiões que apresentam maior probabilidade de se encontrar petróleo. Por meio de estudos com aviões sonda, satélites e de pequenos terremotos artificiais, essas regiões são selecionadas e se confirmada a presença de petróleo, inicia-se o projeto para extração do mesmo. Recentemente, a empresa petrofuels descobriu gigantescas reservas na bacia de Santos. O desafio geral propõe identificar qual é a quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído deste poço recém descoberto. Para tanto, quatorze desafios são propostos. Cada desafio, após ser devidamente realizado, deverá ser associado a um número (0 a 9) n. Esses números, quando colocados lado a lado e na ordem de realização das etapas, fornecerão os algarismos que irão compor a quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído. 2. OBJETIVO DO DESAFIO Encontrar a quantidade total mensal de óleo, estimada pelos engenheiros da petrofuels, que pode ser extraída de um poço recém descoberto. 3. ETAPA 1 Aula-tema: Integral Definida, Integral Indefinida. Esta etapa e importante para fixa de forma pratica, a teoria de integrais indefinida e definida, desenvolvida previamente em sala de aula. Também irá aprender o conceito de integral como função inversa da derivada. 4. PASSO 1 Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas. Pesquisem também em livros didáticos, na internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização da teoria de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das integrais e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo I. Essa pesquisa será imprescindível para az compreensão e realização dos próximos passos. 5. RESOLUÇÃO Integrais Definidas, Indefinidas e Calculo de Áreas, desde a antiguidade os matemáticos se preocupavam em determinar a área de uma figura plana. Matematicamente podemos dizer que a área pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de uma superfície. O método mais utilizado foi o da exaustão, que consiste em aproximar a figura dada por meio de outras com áreas já conhecidas. A partir do Teorema Fundamental do Cálculo, Leibniz e Newton perceberam a possibilidade de calcular facilmente áreas e integrais sem a necessidade de utilizar o método de limites de soma descrito pelo matemático Riemann. A integral indefinida e uma função ou também podemos entender como uma família de funções. E a integral que consiste no processo inverso da derivação, onde uma função F(x) e chamada de primitiva da função f(x) que está sempre definida sobre algum intervalo. Quando não determinamos o intervalo e nos referimos a duas primitivas da mesma função f, entendemos que essas funções são primitivas de f no mesmo intervalo i. A integral definida teve origem com a formalização matemática dos problemas de áreas e problemas físicos. Inicialmente conhecida como soma de Riemann, a integral definida de uma função pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos, ou subintervalos, onde o produto entre a altura e a base de cada um destes retângulos resultam na área e que somados em um intervalo de ‘a’ a ‘b’ resultam na área da figura plana Uma integral definida pode ser classificada como própria ou impropria, convergentes ou divergentes. No caso do limite do intervalo definido não existir ou não ser finito, dizemos que a integral impropria diverge, se o limite existe e é um número real a integral indefinida é definida é um número e não depende de uma variável x. 6. PASSO 2 6.1.1. DESAFIO A Qual das alternativas abaixo representa s integral indefinida de: ∫(a3/3+3/a3+3/a) da? (a) F(a) = 12 a4 – 3 a-2/2 + ln [3 a]+ C (b) F(a) = a4/12 – 3/2 a2 + 3ln [a]+ C (c) F(a) = a4/12+ 2/3 a2 - 3ln [a]+ C (d) F(a) = 12a4 + 3/2 a-2 + ln [a]+ C (e) F(a) = a4 + 3/2 a2 + 3ln [a]+ C Resolução F(a) = 13 a3+31 a3+31 a = F(a) = 13 a44+31 a-2-2+3lna= F(a) = a4/12-3/2 a2 +3lna+c A alternativa correta corresponde a letra (b) 6.1.2. DESAFIO B Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$10,000 e um custo marginal de C’(q) = 1000+50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10,000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é: (a) C(q) = 10.000 + 1.000q + 25 q2 (b) C(q) = 10.000 + 25q + 1.000 q2 (c) C(q) = 10.000q2 (d) C(q) = 10.000 + 25q2 (e) C(q) = 10.000 + q2 + q3 Resolução 1000dq+50d.dq= C(q) = 1000q+50q22= C(q) = 1000q+25q2+c= C(q) = 1000+25q2+10000 A alternativa correta corresponde a letra (a) 6.1.3. DESAFIO C No Início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t) = 16,1*e0,07t. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade entre 1992 e1994? (a) 56,43 bilhões de barris de petróleo (b) 48,78 bilhões de barris de petróleo (c) 39,76 bilhões de barris de petróleo (d) 26,54 bilhões de barris de petróleo (e) Nenhuma das alternativas Resolução Para 1992 Para 1994 Ct = 16,01*e0,07t= Ct = 16,01*e0,07t= C2 = 16,1*e0,07t*2= C= 16,1*e0,07*4= C2=18,52 bilhões C2 = 21,30bilhões 18,52 bilhões + 21,30 bilhões = 39,76 bilhões A alternativa correta corresponde a letra (c) 6.1.4. DESAFIO D A área sob a curva y = ex/2 de x = -3ª x = 2 é dada por: (a) 4,99 (b) 3,22 (c) 6,88 (d) 1,11 (e) 2,22 Resolução -32ex2dx u = x2 du = ddxx*2-x*ddx222=24dx= du = 12dx= 2du= dx -32eu2*du= 2-32eudu=2*ex22-3=2e22-2*e-32=5,43-0,44=4,99 A alternativa correta corresponde a letra (a) 7. PASSO 3 Marque a resposta correta dos desafios A, B, C e D, justificando através dos cálculos realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada. 7.1.1 PARA DESAFIO A Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (a). Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (b). Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (c). Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (d). Associem o número 7, se a resposta correta for a alternativa (e). Resolução A resposta que obtemos nos cálculos executados para esse desafio foi a alternativa (b) que direciona a associação ao número 3, para execução dos cálculos usamos os conhecimentos com integral indefinida, no passo anterior mostra com clareza as passagens matemáticas utilizadas, assim chegando na resposta exata. 7.1.2 PARA DESAFIO B Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (a). Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (b). Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (c). Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (d). Associem o número 6, se a resposta correta for a alternativa (e). Resolução A resposta que obtemos nos cálculos executados para esse desafio foi a alternativa (a) que direciona a associação ao número 3, o desenvolvimento deste desafio utilizamos uma ferramenta de cálculo II onde se falava de custo marginal, juntando esse conhecimento com as regras para integração chegamos num resultado final, onde obtemos uma formula que mostrara o custo final conforme a variação da medida da perfuração. 7.1.3 PARA DESAFIO C Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (a). Associem o número 6, se a resposta correta for a alternativa (b). Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (c). Associem o número 9, se a resposta correta for a alternativa (d). Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (e). Resolução A resposta que obtemos nos cálculos executados para esse desafio foi a alternativa (c) que direciona a associação ao número 1, usando a formula dada no desafio C estabelecemos duas soluções usando o algarismo final dos anos citados no desafio, no caso de 1992 usamos o número 2, e no caso de 1994 usamos o número 4, quando esses valores foram substituídos nas formulas gerou um re4sultado que ao somados mostrou a quantidade de petróleo consumida no período de 1992 a 1994. 7.1.4 PARA DESAFIO D Associem o número 9, se a resposta correta for a alternativa (a). Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (b). Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (c). Associem o número 4, se a resposta correta for a alternativa (d). Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (e). Resolução A resposta que obtemos nos cálculos executados para esse desafio foi a alternativa (a) que direciona a associação ao número 9, nesse desafio foi solicitado que fizéssemos um cálculo para descobrir qual valor era dada a área da curva, usamos a regrada substituição para integração, onde chegamos ao valor final desejado de 4,99 correspondente a alternativa (a) 8. PASSO 4 A sequência dos números que encontramos foi 3019, portanto esse e resultado e quantidade de petróleo que poderá ser extraído mensalmente visando os cálculos dos quatros primeiros desafio que compõe a ATPS. 9. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS HUGHES-HALET, D; GLEASON, Andrew (orgs); MCCALLUM, Willian G (orgs) et al. Calculo de Uma Variável. 3ª ed. Rio de janeiro: LTC Livros Técnicos e Científicos, 2004, v.1 <http://www.geogebra.org/cms/ptbr> Página �PAGE�1� de �NUMPAGES�10�
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