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Numeros Complexos

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PUC GOIA´S
DEPARTAMENTO DE COMPUTAC¸A˜O
CMP1055 Fundamentos de Computac¸a˜o III
Marco A. F. Menezes
AULA 10
Refereˆncias: esta aula esta´ baseada nos seguintes livros,
1. Kenneth Hardy. Linear algebra for engineers and scientists using MAT-
LAB. Pearson, 2005.
2. G. Strang. Linear algebra and its applications. 3a edic¸a˜o, USA: Har-
court Brace Jovanovich, 1988.
Aulas anteriores
Unidade 2 - Nu´meros Complexos
Ideia
2.1 Definic¸o˜es e forma polar
Nu´mero complexo Um nu´mero complexo z e´ chamado nu´mero com-
plexo se e´ da forma
z = a+ bi,
em que a e b sa˜o nu´meros reais e o s´ımbolo i satisfaz a equac¸a˜o i2 = −1.
Chamamos a a parte real de z e b a parte imagina´ria de z. O conjunto de
todos os nu´meros complexos e´ denotado por C.
1
Plano complexo Considere o conjunto de nu´meros complexos C. O eixo
das abscissas e´ a parte real, denotada por Re e o eixo das ordenadas e´ a parte
imagina´ria, denotada por Im.
Valor absoluto: para z = a+ bi,
|z| =
√
a2 + b2.
Por exemplo, para z = 4 + 3i,
|z| =
√
42 + 32 = 5.
Conjugado complexo: para z = a+ bi,
z¯ = a− bi.
Por exemplo, para z = 4 + 3i,
z¯ = 4− 3i.
Igualdade, adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o com nu´meros complexos: para
z1 = a+ bi e z2 = c+ di,
z1 = z2 ⇔ a = c e b = d;
z1 + z2 = (a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i;
z1z2 = (a+ bi) + (c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i.
Forma polar Considere o plano complexo. Sejam dados um nu´mero
complexo z = a+ bi e um ponto P = (a, b), tais que
a = r cos(θ) e b = r sin(θ).
A forma polar para z e´:
z = a+ bi = r cos(θ) + r sin(θ)i = r(cos(θ) + i sin(θ)).
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Matrizes Uma matriz A, m × n, e´ chamada matriz complexa se suas
entradas sa˜o nu´meros complexos. Por exemplo,
A =
[
i 2 1 + i
1− i 3i 0
]
∈ C2×3 e v =
[
1 + 2i
3
]
∈ C2.
Exerc´ıcios para casa Lista 6.
Pro´xima aula Unidade 2 - Nu´meros complexos: resoluc¸a˜o da Lista 6.
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