manual de projeto de lajes treliçadas

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ASSOCIAÇÃO DOS FABRICANTES DE LAJE DE SÃO PAULO
MANUAL DE PROJETO DE LAJES PRÉ-MOLDADAS TRELIÇADAS
Autor: Engenheiro Civil Vitor Faustino Pereira - e-mail: pereira@ldnet.com.br
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CAPÍTULO 01: Sistemas de lajes treliçadas pré-moldadas
01.01-) Introdução
O uso de lajes pré-moldadas na construção de edifícios apresenta a grande
vantagem da redução da quantidade de formas a serem empregadas. Quando são
executadas de forma nervurada, adquirem ainda a vantagem da redução do volume de
concreto e armaduras.
Por estas razões o emprego de lajes nervuradas pré-moldadas tem ganho, cada vez
mais a preferência dos construtores.
Considerando ainda que o material utilizado na confecção das lajes (concreto, aço e
formas) corresponde a uma grande parcela do total utilizado no edifício, a otimização das
lajes repercute de forma majoritária na otimização da estrutura de um edifício.
Devido a isto fato surgiu mercado uma série muito grande de alternativas para
execução de lajes pré-moldadas com nervuras.
Aqui no Brasil ficaram muito conhecidas as lajes do tipo Volterrana, executadas com
nervuras pré-moldadas. Hoje em dia este sistema está sendo substituído pelo sistema
treliçado onde as nervuras pré-moldadas são executadas com armaduras treliçadas.
Deve-se ressaltar que ambos os sistemas não devem ser caracterizados como lajes
pré-moldadas, mas sim como lajes executadas com elementos pré-moldados, visto que
parte da laje é moldada in-loco. Mesmo assim o sistema conserva a vantagem principal dos
pré-moldados, que é a redução da quantidade de formas. Isto acontece porque os
elementos empregados apresentam grande capacidade portante por ocasião da moldagem
do restante da laje, reduzindo assim a quantidade de formas e escoramentos em relação a
um sistema convencional.
Este manual apresenta uma seqüência de procedimentos a serem adotados no
dimensionamento de lajes nervuradas executadas com elementos pré-moldados com
armadura treliçada. Para facilidade de expressão denomina-se ao sistema assim constituído
simplesmente de lajes treliçadas.
01.02-) Elementos constituintes de uma laje treliçada
Os elementos constituintes de uma laje treliçada são os seguintes:
a-) Elemento pré-moldado com armadura treliçada.
b-) Concreto lançado in-loco para formação das nervuras e capa.
c-) Material de enchimento inerte.
O elemento pré-moldado empregado é constituído ainda de dois elementos:
a.1-) Armadura treliçada.
a.2-) Sapata de concreto.
Os parâmetros que definem a laje são os seguintes:
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a-) Altura total da laje ( )H .
b-) Espessura da capa de concreto ( )H f .
c-) Intereixo de nervuras ( )b f .
d-) Espessura das nervuras ( )bw .
e-) Tipo de material de enchimento.
f-) Altura da treliça ( )HT .
01.03-) Normas técnicas para dimensionamento de lajes.
Para o dimensionamento de lajes é necessário o conhecimento das seguintes
normas técnicas:
•NBR 08681/84 - Ações e segurança nas estruturas:
Esta norma apresenta os conceitos de segurança para a engenharia estrutural e a
forma de estipular os coeficientes de segurança.
•NBR 06120/80 - Cargas para o cálculo de estruturas de edificações:
Esta norma apresenta os carregamentos a serem empregados no projeto de
estruturas.
•NBR 07480/96 - Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto
armado:
Esta norma especifica os tipos de aço e suas resistências a serem empregados nas
estruturas de concreto armado.
•NBR 06118/80 - Projeto e execução de obras de concreto armado:
É a principal delas. Fornece todos as
•NBR 02:107.01-001 - Lajes pré-fabricadas:
Norma ainda não homologada pela ABNT. Normatiza os tipos de lajes pré-
fabricadas e suas características.
•NBR 02:107.01-004 - Treliça de aço eletro-soldada para armadura de concreto:
Norma ainda não homologada pela ABNT. Apresenta os tipos de treliça a serem
empregadas, padronização suas denominações e geometria.
01.04-) Lajes armadas em uma e duas direções.
Com o sistema treliçado podem ser executadas lajes armadas em uma ou duas
direções. O primeiro caso, também chamado de sistema unidirecional, possui nervuras em
apenas uma direção e o segundo, denominado por sistema bidirecional, possui nervuras em
duas direções.
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As lajes armadas em duas direções, quando convenientemente projetadas,
apresentam um comportamento estrutural melhor do que as lajes armadas em uma direção.
A bidirecionalidade das nervuras diminui os valores dos esforços e deslocamentos
máximos, diminuindo conseqüentemente a altura da laje e o volume de concreto e
armadura.
Apesar das vantagens de uma laje armada em duas direções, é importante deixar
claro que nem toda laje pode ser armada e funcionar de forma bidirecional. Para que este
efeito seja notado, é importante que a relação entre os vãos em direções ortogonais seja
aproximadamente igual a um, isto é; a laje tenha uma geometria aproximadamente
quadrada.
Embora no sistema unidirecional as nervuras sejam colocadas em uma única
direção, geralmente a correspondente ao vão menor, podem ser necessárias nervuras na
direção ortogonal colocadas com a finalidade de travamento ou distribuição de cargas
lineares atuantes perpendiculares às nervuras principais, conforme se vê no exemplo em
anexo. Mesmo com a existência destas nervuras o sistema é denominado de unidirecional.
As recomendações deste manual podem ser aplicadas, em sua maior parte, tanto a
sistemas unidirecionais quanto a sistemas bidirecionais. As diferenças na seqüência de
projeto, não abrangidas neste manual, residem na avaliação do peso próprio e na
determinação dos esforços.
Como o comportamento do sistema bidirecional é fortemente influenciado pelas
rigidezes das vigas de apoio, recomenda-se que o seu projeto seja feito de forma integrada
com as vigas.
01.05-) Parâmetros para definição de uma laje nervurada treliçada.
Os parâmetros que definem a geometria de uma laje nervurada treliçada são
definidos em função dos esforços, de condições de execução e limitados por normas
técnicas.
a-) Altura da laje ( )H .
A altura da laje é função dos esforços que atuam sobre seus elementos e das
limitações de deslocamentos (flechas). Normalmente, escolhe-se a altura em função do vão,
baseando-se na experiência do engenheiro. No dimensionamento final pode se comprovar a
necessidade ou não de aumentar esta altura.
Em uma primeira aproximação a altura da laje pode ser fixada pelas regras a seguir:
- Lajes armadas em uma direção: H L a L= / /20 30
- Lajes armadas em duas direções: H L a L= / /25 35
onde L é o vão da laje.
A grande variabilidade da altura se justifica pela variabilidade de cargas (pisos de
edifícios residencias ou pisos industriais) e pelas condições de vinculação da laje (com
continuidade ou não). As menores alturas correspondem a lajes com carregamento menor e
continuidade.
b-) Espessura da capa ( )H f .
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A espessura da capa, também denominada de mesa de compressão, é função
geralmente da altura da laje. Normalmente se usam valores de 4 ou 5 cm, sendo o primeiro
para alturas de laje até 20 cm e o segundo para valores acima deste.
A NBR 6118 limita a espessura da capa a um mínimo de 4 cm ou 1/15 da distância
livre entre as faces das nervuras.
c-) Intereixo de nervuras ou largura da mesa de compressão ( )b f .
O intereixo de nervuras é função do tipo de material de enchimento a ser utilizado.
Quanto maior o intereixo adotado, menor será o consumo de concreto da laje. Por
outro lado maior será a armadura em cada nervura. De qualquer forma, maiores intereixosfeito no entanto, com se toda a armadura fosse
constituída de barras de aço CA-50A, visto que este é o material menos resistente entre os
dois utilizados. No dimensionamento próximo do limite, com a deformação na armadura
próxima da deformação de escoamento do aço CA-50A, poderá acontecer do aço CA-60B
não estar em escoamento e com uma tensão inferior a de escoamento do aço CA-50A. Este
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fato no entanto não é muito relevante, visto que nestas situações a armadura da treliça
corresponderá a uma fração muito pequena da armadura total.
05.08-) Dimensionamento de seções T com armadura negativa.
Quando uma laje nervurada é submetida a um momento fletor negativo, com tração
na sua face superior, as mesas das nervuras deixam de serem solicitadas por estarem
localizadas na zona tracionada da seção. Nestes casos o dimensionamento da nervura
deve ser feito como se fosse uma seção retangular de largura igual a largura da alma,
desprezando-se totalmente a mesa. É evidente que neste caso a resistência da nervura
será muito menor, suportando momentos menores e necessitando de maior quantidade de
armadura para absorver um mesmo momento, se comparada à situação de mesa
comprimida.
O valor de βx lim e o de y lim são os mesmos da seção T, porém o momento máximo
será menor pelo fato da largura da mesa ser constante e igual a bw .
M b y d yd u cd w, lim lim( ' )= −σ
O cálculo da armadura necessária pode ser feito como no caso de seção T com
bloco de compressão todo na mesa, considerando-se uma largura para a seção igual a bw ,
ao invés de b f , utilizando-se as fórmulas a seguir:
µ
σ
=
M
b d
d
cd w
2
β µy = − −1 1 2
y dy= β
R b ycd w cd= σ
R Rsd cd=
A
R
fs
sd
yd
=
A tabela na página a seguir ilustra o dimensionamento da mesma seção da tabela
anterior para momentos negativos. Neste caso o momento máximo a que a seção resiste é
de 0,731 tfm.
Comparando-se as duas tabelas observa-se que, para um mesmo momento fletor, a
seção retangular necessita de uma armadura superior à necessária para a seção T.
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M d µd
y Rcd Rst As
0,10 0,065 0,98 713,8 713,8 0,16
0,15 0,098 1,50 1090,8 1090,8 0,25
0,20 0,131 2,04 1483,5 1483,5 0,34
0,25 0,163 2,60 1893,9 1893,9 0,44
0,30 0,196 3,19 2324,8 2324,8 0,53
0,35 0,228 3,81 2779,4 2779,4 0,64
0,40 0,261 4,48 3262,3 3262,3 0,75
0,45 0,294 5,19 3779,5 3779,5 0,87
0,50 0,326 5,96 4339,6 4339,6 1,00
0,55 0,359 6,80 4955,3 4955,3 1,14
0,60 0,392 7,75 5647,4 5647,4 1,30
0,65 0,424 8,86 6454,6 6454,6 1,48
0,70 0,457 10,25 7465,2 7465,2 1,72
0,73 0,477 11,39 8297,2 8297,2 1,91
05.09-) Verificação de seções T para um dado momento.
Um outro problema com que se depara freqüentemente é o da verificação de um
seção. Neste caso conhece-se a seção e armadura e deseja-se conhecer o momento
máximo que pode ser absorvido. Espera-se que esta armadura seja inferior à necessária
para o momento máximo, pois, caso contrário, tem-se uma seção super-armada com
possibilidade de ruína sem que a armadura entre em escoamento.
Admitindo então a armadura em escoamento, a força máxima a ser resistida pela
mesma será:
R A fsd s yd=
Para que seja mantido o equilíbrio interno da seção deve-se determinar a altura do
bloco eqüivalente de compressão de tal forma que:
R Rcd sd=
Admitindo inicialmente que o bloco esteja todo contido na mesa tem-se:
y
R
b
z d
y
M R zcd
cd f
d cd= = − =
σ
; ( ' );
2
expressões válidas para y H f≤ .
No caso da altura do bloco ser superior à espessura da mesa tem-se:
R b H z d
H
cd f cd f f f
f
, ; ( ' )= = −σ
2
y
R R
b
R b y z d H
y
w
cd cd f
cd w
cd w cd w w w f
w=
−
= = − −
,
,; ; '
σ
σ
2
M R z R zd cd f f cd w w= +, ,
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A tabela a seguir ilustra a verificação de uma seção T, idêntica a que foi utilizada no
dimensionamento. Neste caso admite-se que a armadura de tração seja constituída de duas
barras da armadura inferior da treliça, de diâmetro φIT , e de barras adicionais de bitola
φA e quantidade NBA . Admite-se que ambas as barras sejam do mesmo aço CA-50A, e que
o concreto possua resistência característica de 150 Kgf/cm2.
Analisando a tabela se observa que, para a maioria das combinações de armadura,
o bloco eqüivalente de compressão ficou todo contido na mesa. Somente para as duas
últimas ele atingiu a alma.
Observa-se também que na última das combinações de armadura a altura do bloco
eqüivalente chegou a ultrapassar o valor limite indicado na tabela de dimensionamento, que
era de 11,388 cm. Neste caso a armadura não estaria plenamente em escoamento e o
cálculo deveria ser refeito.
No caso de seções retangulares a verificação pode ser conduzida pelas mesmas
expressões, eliminando-se somente a necessidade de verificar se o bloco de compressão
está contido na mesa ou não.
A tabela que segue mostra a verificação de uma seção retangular semelhante a que
foi utilizada no dimensionamento. Na tabela apresenta-se na primeira coluna o número de
barras da armadura de tração e sua bitola. Os símbolos utilizados φS e NBS servem para
lembrar que esta armadura geralmente é posicionada na face superior de seções T.
Na tabela apresentada utilizou-se os mesmos dados da seção e características do
concreto e aço adotados no exemplo de dimensionamento.
NBS φS As Rst y Rcd z M d
1 5,0 0,20 853,7 0,162 853,7 14,419 0,12
1 6,3 0,31 1355,3 0,257 1355,3 14,372 0,19
1 8,0 0,50 2185,5 0,414 2185,5 14,293 0,31
2 6,3 0,62 2710,6 0,513 2710,6 14,243 0,39
1 10,0 0,79 3414,8 0,646 3414,8 14,177 0,48
2 8,0 1,01 4370,9 0,827 4370,9 14,086 0,62
1 12,5 1,23 5335,6 1,010 5335,6 13,995 0,75
05.10-) Lajes contínuas.
Conforme já foi mencionado no item 04.03, no dimensionamento de lajes contínuas
não se costuma adotar os momentos negativos obtidos em regime elástico. Isto decorre do
fato destes momentos serem da mesma ordem de grandeza dos momentos positivos e de
que a resistência da seção T a momentos negativos ser muito inferior à resistência a
momentos positivos.
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φIT NBA φA As Rst y f Rcd f, Rcd w, yw z f zw M d
5,0 0 0,0 0,39 1707,4 0,323 1707,4 0,0 0,000 14,338 0,000 0,24
5,0 1 5,0 0,59 2561,1 0,485 2561,1 0,0 0,000 14,258 0,000 0,37
5,0 1 6,0 0,68 2936,7 0,556 2936,7 0,0 0,000 14,222 0,000 0,42
5,0 1 8,0 0,90 3892,8 0,737 3892,8 0,0 0,000 14,132 0,000 0,55
5,0 1 10,0 1,18 5122,2 0,970 5122,2 0,0 0,000 14,015 0,000 0,72
5,0 2 8,0 1,40 6078,3 1,151 6078,3 0,0 0,000 13,925 0,000 0,85
5,0 1 12,5 1,62 7043,0 1,333 7043,0 0,0 0,000 13,833 0,000 0,97
5,0 2 10,0 1,96 8536,9 1,616 8536,9 0,0 0,000 13,692 0,000 1,17
5,0 2 12,5 2,85 12378,6 2,343 12378,6 0,0 0,000 13,328 0,000 1,65
6,0 0 0,0 0,57 2458,6 0,465 2458,6 0,0 0,000 14,267 0,000 0,35
6,0 1 5,0 0,76 3312,3 0,627 3312,3 0,0 0,000 14,186 0,000 0,47
6,0 1 6,0 0,85 3688,0 0,698 3688,0 0,0 0,000 14,151 0,000 0,52
6,0 1 8,0 1,07 4644,1 0,879 4644,1 0,0 0,000 14,060 0,000 0,65
6,0 1 10,0 1,35 5873,4 1,112 5873,4 0,0 0,000 13,944 0,000 0,82
6,0 2 8,0 1,57 6829,5 1,293 6829,5 0,0 0,000 13,854 0,000 0,95
6,0 1 12,5 1,79 7794,2 1,476 7794,2 0,0 0,000 13,762 0,000 1,07
6,0 2 10,0 2,14 9288,2 1,758 9288,2 0,0 0,000 13,621 0,000 1,27
6,0 2 12,5 3,02 13129,8 2,486 13129,8 0,0 0,000 13,257 0,000 1,74
6,0 2 16,0 4,59 19942,3 3,775 19942,3 0,0 0,000 12,612 0,000 2,52
6,0 3 12,5 4,25 18465,4 3,496 18465,4 0,0 0,000 12,752 0,000 2,35
6,0 4 12,5 5,4723801,0 4,000 21128,6 2672,4 3,668 12,500 8,666 2,87
6,0 3 16,0 6,60 28684,1 4,000 21128,6 7555,5 10,370 12,500 5,315 3,04
Na prática o problema da continuidade é resolvida com adoção de uma armadura
negativa sobre os apoios. Uma tabela como a apresentada permite obter o momento
negativo absorvido com a armadura adotada. A seguir calcula-se as nervuras como se
fossem bi-apoiadas, com momentos aplicados nas extremidades dos vãos de valores iguais
aos momentos resistidos pelas seções retangulares. O cuidado que se deve tomar neste
caso é o de não se impor momentos negativos maiores dos que os que seriam obtidos em
regime elástico.
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CAPÍTULO 06: Dimensionamento de lajes nervuradas ao cisalhamento.
06.01-) Cisalhamento em vigas.
O esforço cortante provoca em vigas tensões tangenciais, também denominadas de
tensões de cisalhamento. Estas se distribuem ao longo da altura da viga de forma
parabólica com valor máximo no centro. No caso de seções T a distribuição apresenta
valores muito baixos na região da mesa de compressão. Desta forma a mesa é desprezada,
para efeito de dimensionamento ao cisalhamento, sendo a seção tratada como se fosse
retangular.
Vale lembrar também que as seções críticas para dimensionamento ao
cisalhamento são, via de regra, as situadas próximo aos apoios, onde os esforços cortantes
são maiores.
A atuação conjunta do esforço cortante e do momento fletor faz com surjam tensões
principais de tração e compressão na alma da peça. Sendo a resistência à compressão do
concreto alta em relação à resistência à tração, ao ser atingida esta ocorre a fissuração da
peça, com a conseqüente descontinuidade física do material. Para que não haja o colapso é
necessário o surgimento de mecanismos eficientes para a transmissão dos esforços.
Um mecanismo muito utilizado e eficiente foi proposto por Mörsch, intitulado de
Analogia de Treliça de Mörsch. Segundo sua teoria, o modelo resistente de uma viga de
concreto armado é semelhante ao de uma viga treliçada de banzos paralelos. Nesta viga
distinguimos os seguintes elementos:
a-) banzo inferior tracionado, representando a armadura longitudinal de tração.
b-) banzo superior comprimido, representando o concreto comprimido da viga.
c-) diagonais ou bielas comprimidas, representando o concreto da alma comprimido
pelo efeito do cisalhamento.
d-) montantes ou diagonais tracionadas, representando a armadura de cisalhamento
constituída de estribos verticais ou inclinados (no caso dos sinusóides das treliças pré-
fabricadas).
A figura a seguir ilustra o modelo com diagonais tracionadas.
O dimensionamento de uma viga de concreto armado por esse modelo consiste dos
seguintes passos:
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a-) Verificação da compressão no concreto do banzo comprimido. Isto é garantido
pelo dimensionamento à flexão ao se impedir que a deformação específica do bordo mais
comprimido ultrapasse 3,5‰.
b-) Cálculo da seção de armadura no banzo inferior para resistir ao esforço de
cálculo. Isto também é garantido pelo dimensionamento à flexão.
c-) Verificação da tensão de compressão no concreto das bielas. Isto é feito pela
própria teoria de Mörsch ao se limitar o valor de cálculo da tensão de cisalhamento
convencional na alma, τ wd , a um valor limite definido pela norma, τ wu .
d-) Cálculo da seção de armadura dos estribos verticais ou inclinados para resistir
às forças de tração. Isto é feito também pela teoria de Mörsch.
06.02-) Verificação da compressão nas bielas em vigas.
A verificação das tensões de compressão na biela é feita através da limitação do
valor de cálculo da tensão convencional de cisalhamento. Este valor é obtido na Teoria de
Mörsch pela expressão a seguir:
τ wd
d
w
V
b d
=
onde Vd é o valor de cálculo do esforço cortante; bw é a largura da alma e d é a
altura útil da seção.
O valor limite dessa tensão, imposto pela NBR 6118 é:
τwu cdf Kgf cm= ≤0 30 55 2, / ; quando a toda a armadura de cisalhamento estiver
inclinada, o que ocorre no caso de uso dos sinusóides da treliça para tal fim.
τwu cdf Kgf cm= ≤0 25 45 2, / ; quando se utilizar estribos verticais para combater o
cisalhamento.
06.03-) Cálculo da armadura de cisalhamento em vigas.
A armadura de cisalhamento é calculada, segundo a Analogia de Mörsch, a partir da
seguinte tensão de referência:
τ τ τd wd c= −115,
onde τ c corresponde a uma parcela do esforço cortante absorvida pela resistência à tração
do concreto e por outros mecanismos alternativos ao modelo original de Mörsch.
τ ψc ckf= 1 ; em unidades de Kgf/cm2.
O valor de ψ 1 depende da quantidade de armadura longitudinal que chega até o
apoio e é dado por:
ψ 1 0 24= , ; se 
A
b d
sl a
w
,
for inferior a 0,001, e:
ψ1 0 45= , ; se 
A
b d
sl a
w
,
for superior a 0,015
Nos casos intermediários entre os dois limites é permitida a interpolação entre os
dois valores.
A armadura de cisalhamento é calculada pelas expressões:
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A
s f
bsw
t
d
yd
w=
τ
;
para armadura de cisalhamento constituída de barras verticais.
A
s f
bsw
t
d
yd
w(sen cos )α α
τ
+ = ;
para armadura de cisalhamento constituída de barras inclinadas de α .
Nas expressões acima st é o espaçamento entre os ramos da armadura de
cisalhamento; Asw é a área da seção transversal de um ramo dessa armadura. A figura a
seguir ilustra os parâmetros envolvidos:
Segundo a norma NBR 6118, toda viga de concreto armado deve possuir uma
armadura mínima de cisalhamento dada por:
A b ssw w t= 0 14%, senα para aços CA-40, CA-50 e CA-60.
06.04-) Cisalhamento em lajes.
No dimensionamento de lajes de concreto armado ao cisalhamento não existe a
obrigatoriedade do uso de armadura transversal desde que:
a-) Pelo menos metade da armadura longitudinal de tração máxima no vão é
prolongada, sem dobrar, até o apoio e aí corretamente ancorada.
b-) A tensão de cisalhamento τ wd não ultrapasse o valor máximo τ w1 dado por:
τ ψw ckf1 4= em Kgf/cm2, onde:
ψ ρ4 1
42 0= , para alturas de laje menores que 15 cm e
ψ ρ4 1
41 4= , para alturas de laje maiores que 60 cm, podendo-se interpolar os
valores para alturas intermediárias.
O valor de ρ1 é dado pela expressão:
ρ1 =
A
b d
sl
w
, não se tomando valores menores que 0,001 e maiores que 0,015.
Quando uma das duas condições não é satisfeita, a laje deve conter,
obrigatoriamente, uma armadura de cisalhamento calculada de maneira idêntica ao que foi
feito para as vigas. Nesse caso o limite da tensão máxima de cisalhamento, τ wd , é o mesmo
das vigas, porém multiplicado por:
0 5, : para alturas de laje menores que 15 cm.
1
3 90
+
h
: para alturas de laje entre 15 e 60 cm.
1 : para alturas de laje maiores que 60 cm.
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Os limites apresentados anteriormente referem-se a lajes maciças. Para lajes
nervuradas a NBR 6118 propõe que:
a-) Se a distância entre as faces das nervuras for superior a 50 cm, que elas sejam
dimensionadas ao cisalhamento como vigas. Isto leva à necessidade de se respeitar os
limites da norma para largura da alma e armadura mínima de cisalhamento, fazendo com
que não se possa mais projetar nervuras sem o uso de tal armadura. Nesse caso deve se
verificar também a necessidade de uma armadura de flexão na mesa.
b-) Se a distância entre as faces das nervuras for inferior a 50 cm, que elas sejam
calculadas como lajes. Nesse caso, se a tensão de referência τwd for inferior ao valor
limiteτ w1 poderá ser dispensada a armadura de cisalhamento.
A tabela a seguir ilustra alguns tipos de seções mais utilizadas com os cortantes
máximos Vd1 e Vd max, . O primeiro cortante refere-se ao limite ao qual se pode chegar sem a
colocação de armaduras de cisalhamento e o segundo refere-se ao limite para que não
ocorra ruptura por compressão das diagonais.
bw
h d ' b f Asl ρ1 ρ1,ad ψ 4 τw1 τ wu v, τ wu l, Vd1 Vd max,
8 12 1,5 58 0,63 0,008 0,008 0,589 7,21 32,14 16,07 0,61 1,35
8 12 1,5 58 1,43 0,017 0,015 0,700 8,57 32,14 16,07 0,72 1,35
8 12 1,5 58 2,23 0,027 0,015 0,700 8,57 32,14 16,07 0,72 1,35
8 16 1,5 58 0,63 0,005 0,005 0,539 6,61 32,14 16,43 0,77 1,91
8 16 1,5 58 1,43 0,012 0,012 0,662 8,11 32,14 16,43 0,94 1,91
8 16 1,5 58 2,23 0,019 0,015 0,695 8,52 32,14 16,43 0,99 1,91
8 20 1,5 33 0,63 0,004 0,004 0,494 6,05 32,14 17,86 0,90 2,64
8 20 1,5 33 1,43 0,010 0,010 0,606 7,42 32,14 17,86 1,10 2,64
8 20 1,5 33 2,23 0,015 0,015 0,677 8,29 32,14 17,86 1,23 2,64
8 20 1,5 33 2,73 0,018 0,015 0,677 8,29 32,14 17,86 1,23 2,64
No caso de uso dos sinusóides laterais da treliça para combater o esforço cortante,
tem-se um espaçamento constante para os ramos de estribos de 20 cm e a inclinaçãoα das
diagonais de tração é dada por:
α =




atn
HT
20
onde HT é a altura da treliça.
A próxima tabela ilustra o cálculo da armadura de cisalhamento da última seção de
nervura da tabela acima, para vários valores de esforço cortante de cálculo. A última coluna
da tabela fornece a bitola, em mm, do fio do sinusóide.
A tabela a seguir pode ser usada também de forma inversa, dada uma bitola do fio
do sinusóide determinar o máximo esforço cortante de cálculo absorvido.
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bw
h d ' HT
α Vd τ wd Asl ρ1 ρ1,ad ψ1 τ c τd Asw φt
8 20 1,5 16 0,675 0,25 1,69 2,73 0,018 0,015 0,450 5,51 0,00 0,000 0,0
8 20 1,5 16 0,675 0,50 3,38 2,73 0,018 0,015 0,450 5,51 0,00 0,000 0,0
8 20 1,5 16 0,675 0,75 5,07 2,73 0,018 0,015 0,450 5,51 0,00 0,000 0,0
8 20 1,5 16 0,675 1,00 6,76 2,73 0,018 0,015 0,450 5,51 0,00 0,000 0,0
8 20 1,5 16 0,675 1,25 8,45 2,73 0,018 0,015 0,450 5,51 4,20 0,110 2,6
8 20 1,5 16 0,675 1,50 10,14 2,73 0,018 0,015 0,450 5,51 6,14 0,161 3,2
8 20 1,5 16 0,675 1,75 11,82 2,73 0,018 0,015 0,450 5,51 8,09 0,212 3,7
8 20 1,5 16 0,675 2,00 13,51 2,73 0,018 0,015 0,450 5,51 10,03 0,263 4,1
8 20 1,5 16 0,675 2,25 15,20 2,73 0,018 0,015 0,450 5,51 11,97 0,313 4,5
8 20 1,5 16 0,675 2,50 16,89 2,73 0,018 0,015 0,450 5,51 13,91 0,364 4,8
06.05-) Limites da distância entre faces de nervuras.
A distância livre entre as faces de nervuras aparece limitada em dois pontos da
norma NBR 6118. É importante esclarecer o significado destes dois limites, pois a
incompreensão dos mesmos pode gerar conclusões erradas.
O primeiro limite, de 100 cm, aparece no item 6.1.1.3-a. Este limite é estabelecido
para que se possa obter os esforços nas lajes por modelos da Teoria das Placas. Acima
deste limite os esforços nas lajes devem ser obtidos por modelos de grelhas. No caso de
lajes uni-direcionais os dois modelos, na maioria dos casos, conduzem a resultados
idênticos, perdendo portanto sentido a observância deste limite.
O segundo limite, de 50 cm, aparece no item 3.3.2.10 e diz respeito ao
dimensionamento das nervuras ao cisalhamento. Esse limite é estabelecido de tal forma a
permitir o dimensionamento das mesmas como lajes, dispensando em alguns casos a
armadura transversal. Para distâncias entre faces superiores a esse valor as nervuras
devem ser dimensionadas como vigas, exigindo sempre uma armadura mínima de
cisalhamento. Portanto, se a armadura de cisalhamento estiver sempre presente e for
superior ao mínimo exigido para as vigas, esse limite também pode ser desprezado.
De forma resumida, e denominando de a à distância entre faces de nervuras, pode-
se afirmar que:
Se a cm> 100 ; obtenção de esforços por modelo de grelha e dimensionamento ao
cisalhamento como vigas.
Se 100 50≥ >a cm ; obtenção de esforços por modelo de placas e dimensionamento
ao cisalhamento como vigas.
Se a cm≤ 50 ; obtenção de esforços por modelo de placas e dimensionamento ao
cisalhamento como lajes.
06.06-) Considerações sobre a relação entre a altura da laje e altura da treliça.
A altura da armadura treliçada guarda uma relação direta com a altura da laje
quando a armadura lateral da treliça é necessária para combater o esforço cortante das
nervuras.
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Em situações onde as nervuras não necessitam de armadura transversal; a cm≤ 50
e τ τws wu≤ 1 , a altura da armadura transversal é determinada única e exclusivamente por
questões de montagem. Maiores alturas das treliças permitirão menor quantidade de linhas
de escoramento para a laje.
Já em situações em que a armadura transversal é necessária, e se quer contar com
a armadura lateral da treliça para tal fim, é importante que o fio superior da treliça seja
posicionado na zona de compressão da viga, como se fosse uma armadura negativa comum
da laje. Isto faz com que tenhamos, conforme figura abaixo:
H H dT = − 2 '
Existe um hábito muito difundido entre os fabricantes de fazer a treliça com altura
igual à altura total da laje menos a espessura da capa. Fazendo dessa forma não se
garante a ancoragem do sinusóide no banzo comprimido da treliça de Mörsch, fazendo com
que toda a formulação apresentada perca sua validade. Uma alternativa aceitável, quando
este detalhe se fizer necessário por questões construtivas, seria a de se fazer a verificação
da nervura ao cisalhamento com uma altura reduzida, eqüivalente à altura total menos a
espessura da capa.
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CAPÍTULO 07: Cálculo de flechas.
07.01-) Estados Limites Últimos e de Utilização.
Nos capítulos 05 e 06 foram apresentadas as teorias para o dimensionamento de
nervuras de lajes para os Estados Limites Últimos. No dimensionamento à flexão procurou-
se observar os Estados Limites Últimos de ruptura no concreto e deformação plástica
excessiva na armadura. No dimensionamento ao cisalhamento procurou-se observar os
Estados Limites Últimos de ruptura por compressão nas bielas e de escoamento da
armadura de cisalhamento. A segurança contra os Estados Limites Últimos se dá através da
aplicação de coeficientes de segurança às ações e às resistências.
No dimensionamento de estruturas deve se verificar também a segurança contra os
Estados Limites de Utilização. Os primeiros correspondem a situações de colapso para a
estrutura das quais procura-se manter uma distância definida pelos coeficientes de
segurança. Os últimos correspondem a situações as quais a estrutura pode estar sujeita
freqüentemente durante sua vida útil, que não a levam necessariamente ao colapso, mas
devem ser limitadas, com a finalidade de não comprometer o uso da estrutura, ou até
mesmo por questões de ordem psicológicas. São exemplos de Estados Limites de Utilização
a serem observados: Deformações excessivas, vibrações excessivas e abertura de fissuras.
Para verificação dos Estados Limites Últimos foram adotadas combinações entre
cargas permanentes e acidentais, definidas no item 5.1, denominadas de combinações
últimas. Estas forneceram os valores e cálculo das ações para verificação dos Estados
Limites Últimos.
Para verificação dos Estados Limites de Utilização trabalha-se com as combinações
de utilização das ações utilizando-se os fatores de utilização ψ da norma NBR 8681. Essa
norma fale em combinações quase-permanentes, freqüentes e raras. Para a verificação de
EstadosLimites de deformações excessivas podem ser utilizadas as combinações
freqüentes dadas por:
M M Md g q= + ψ 1 1
Q Q Qd g q= + ψ1 1
q q qd g q= + ψ1 1
P P Pd g q= + ψ1 1
Na realidade poderia, como indica a norma, ser utilizado um único símbolo, F , para
designar tantos as ações externas, cargas distribuídas ( )q ou concentradas ( )P , como os
esforços internos, momentos fletores ( )M ou cortantes ( )Q , reduzindo as expressões acima
a uma única expressão:
S S Sd g q= + ψ1 1
Nestas expressões o índice g representa as cargas permanentes, peso próprio da
laje, alvenarias e revestimentos, e o índice q representa as cargas variáveis, sobrecargas.
O coeficiente ψ 1 , fornecido pela norma NBR 8681, vale:
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- 0,3: para edifícios onde não haja predominância de pesos de equipamentos que
permaneçam fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de
pessoas.
- 0,6: para edifícios onde haja predominância de pesos de equipamentos que
permaneçam fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de
pessoas.
- 0,7: para Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens.
Como se pode notar, nas verificações dos Estados de Utilização adotam-se os
valores característicos das cargas permanentes e valores característicos reduzidos para as
cargas variáveis. Esta redução se justifica pelo fato de que as cargas variáveis máximas
atuam por períodos de tempo muito curto da vida da estrutura.
07.02-) Estado Limite de deformação excessiva.
As deformações de uma estrutura geram deslocamentos de seus pontos. Os
deslocamentos máximos em vigas e lajes são denominados de flechas. A norma NBR 6118,
no item 4.2.3.1.C, prevê as seguintes limitações para os valores das flechas medidos a
partir da linha, ou plano, que passa pelos apoios:
a-) 1/300 do vão teórico, ou 1/150 do comprimento do balanço, quando atuarem
todas as cargas.
a-) 1/500 do vão teórico, ou 1/250 do comprimento do balanço, quando atuarem
somente as cargas acidentais.
07.03-) Cálculo de flechas em lajes nervuradas uni-direcionais.
O cálculo das flechas em lajes nervuradas uni-direcionais pode ser feito adotando o
modelo de viga bi-apoiada utilizando-se as fórmulas da Resistência dos Materiais. A
continuidade pode ser simulada pela imposição de momentos negativos nas extremidades
dos apoios:
As expressões em anexo, obtidas da resistência dos materiais, permite obter os
deslocamentos em alguns pontos característicos de barras bi-apoiadas:
As expressões em anexo fornecem o valor do deslocamento em um ponto situado
no centro do vão. O valor a ser limitado pela norma é o valor do deslocamento máximo. Em
alguns dos casos apresentados o deslocamento indicado não é o máximo, como no caso de
momentos de extremidades. A situação se torna mais complexa ainda quando atuam sobre
uma barra uma combinação de diversos dos tipos de cargas acima. Nesses casos é difícil a
determinação do ponto onde o deslocamento é máximo e também o valor máximo desse
deslocamento, que seria a flecha propriamente dita.
Quando há uma simetria de carregamento na barra é certo que o deslocamento
máximo ocorre no centro do vão, sendo lícito se somar os resultados das expressões
fornecidas. Mesmo quando a assimetria do carregamento é pequena, o ponto de
deslocamento máximo se afasta pouco do centro, sendo portanto desprezível o erro
cometido. Somente em situações de carregamento fortemente assimétrico deve se atentar
para possíveis erros decorrentes da hipótese de que o deslocamento máximo ocorre no
centro da viga.
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As expressões fornecidas pela Resistência dos Materiais foram obtidas com as
hipótese de que o material seja elástico e linear. Para o concreto armado a teoria da
Resistência dos Materiais perde sua validade devido aos seguintes fatores:
a-) Não linearidade do diagrama tensãoXdeformação do concreto.
b-) Deformação lenta que reduz o módulo de elasticidade com o tempo, aumentado
os valores das flechas.
c-) Fissuração que reduz a inércia efetiva da seção transversal.
Mesmo com estas peculiaridades os deslocamentos em estruturas de concreto
armado são obtidos com as expressões da Resistência dos Materiais, adotando-se para o
módulo de elasticidade e para o momento de inércia valores tais que permitam simular os
efeitos mencionados acima.
07.04-) Módulo de Elasticidade para peças de concreto armado
A norma NBR 6118 indica a utilização de dois módulos de elasticidade diferentes
para cálculo de deslocamentos. O primeiro, denominado de módulo secante, é adotado par
cálculo de deslocamentos devidos a parcela de carga de curta duração, que não provoca
efeitos de deformação lenta.
Para a parcela de carga de longa duração, cargas permanentes, o módulo de
elasticidade a ser adotado é o mesmo anterior multiplicado pela relação entre as curvaturas
da seção entre os instantes final e inicial.
Pelo fato do diagrama tensãoXdeformação do concreto não ser um diagrama linear
fica difícil definir um valor específico de módulo de elasticidade, que seria a inclinação do
diagrama. A norma define então dois valores para esta grandeza: O primeiro, denominado
de módulo tangente na origem, é dado por:
E fc
t
cj= 21000. ; para unidades de Kgf/cm2.
O valor de f cj corresponde à resistência média do concreto na idade em que se
quer obter o módulo de elasticidade. A norma não permite que se adote para essa
resistência média valores maiores que:
f f Kgf cmcj ck= + 35 2/
O módulo de elasticidade utilizado para cálculo dos deslocamentos é o módulo
secante, dado por:
E Ec
s
t
t= 0 9,
A expressão acima fornece o módulo de elasticidade do concreto para ações de
curta de duração. Para as ações de longa duração deve ser considerado o efeito da
deformação lenta que consiste na queda do módulo de elasticidade com o tempo, levando a
um aumento das deformações.
Segundo a NBR 6118, o módulo de elasticidade para um tempo de manutenção de
carga muito grande, Ec
s
,∞ , se relaciona com o módulo de elasticidade para ações de curta
duração, denominado de módulo instantâneo, E c
s
,0 , pela expressão:
E
E
c
s
c
s
,
,
∞
∞
=
0
0κ
κ
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onde κ ∞ e κ 0 são as curvaturas da seção no instante final e inicial, dadas respectivamente
por:
κ
ε ε
∞
∞=
+c s
d
,
e
κ
ε ε
c
c s
d,
,
0
0=
+
onde ε c ,∞ e ε c,0 são as deformações específicas no concreto nos instantes final e inicial e ε s
é a deformação específica no aço, suposta invariável com o tempo. A norma permite adotar
para a deformação específica final do concreto o dobro do valor inicial. Com isto a relação
entre os módulos de elasticidade se reduz à expressão:
E
E
c
s
c
s
c s
c s
,
,
,
,
∞
=
+
+0
0
02
ε ε
ε ε
Dividindo o numerador e o denominador do lado direito da igualdade por ε s tem-se:
E
E
c
s
c
s
c
s
c
s
,
,
,
,
∞ =
+
+0
0
0
1
2
1
ε
ε
ε
ε
Na aplicação desta expressão as deformações específicas no aço e no concreto
devem ser calculadas no estado de utilização, considerando todo o carregamento sem
coeficiente de segurança e considerando a seção fissurada, Estádio II. O equacionamento
desse problema adquire certa complexidade algébrica, principalmente no caso de seções T.
No sentido de tornar a solução do problema mais simples pode-se considerar a deformação
específica no aço no instante inicial como sendo igual à deformação específica do concreto.
Com isto a relação entre os módulos de elasticidade fica reduzida a:
E
c
s
c
s
,
,
∞
=
+
+
=
0
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Com o aumento do momento fletor inicia-se o processo de fissuração. Na realidade
as fissuras se estendem desde a fibra mais tracionada até a fibra onde a tensão no concreto
seja ainda superior à sua resistência. Para momentos fletores mais altos a região onde se
pode aproveitar a resistência do concreto à tração pode ser desprezada. A essa situação se
denomina de Estádio II.
No Estádio I o momento de inércia da seção pode ser dado pelas expressões da
resistência dos materiais. Nesse caso pode se lançar mão do fato do aço possuir um
módulo de elasticidade maior que o do concreto e homogeneizar-se a seção substituindo a
seção de armadura por uma seção de concreto ( )η − 1 vezes maior, onde η é a relação
entre os módulos de elasticidade dos dois materiais.
Já para o Estádio II, com a seção fissurada, tem-se uma redução do momento de
inércia da seção. O valor do momento de inércia depende agora da posição da linha neutra.
Esta posição não é mais aquela determinada no Estado Limite Último, por ocasião do
dimensionamento à flexão, mas sim a referente ao Estado de Utilização, com as solicitações
de serviço.
A norma NBR 6118 indica a utilização do Estádio II para obtenção dos
deslocamentos em barras e permite a adoção do Estádio I para a obtenção dos
deslocamentos em lajes. Evidentemente a utilização do Estádio I torna a solução do
problema mais simples, pois evita-se a determinação da posição da linha neutra. No
entanto, é importante notar que essa permissão da norma aplica-se somente a lajes
maciças, pois nestas as tensões de tração no concreto são tão baixas que dificilmente a
resistência à tração é ultrapassada em serviço. Já para lajes nervuradas isso não acontece,
tornando obrigatória a consideração do Estádio II.
A consideração exata do Estádio II para cálculo dos deslocamentos torna o
problema excessivamente complexo. A rigor deveriam ser consideradas todas as variáveis a
seguir:
a-) Variação da inércia da seção ao longo da viga. Como a inércia depende da
altura da linha neutra e esta depende da solicitação, tem-se um caso de barras com inércia
variável. Nas seções onde o momento fletor é inferior ao momento de fissuração a inércia a
ser considerada adquire o valor referente ao Estádio I. Nas outras seções a inércia efetiva é
inversamente proporcional ao momento atuante:
b-) Colaboração do concreto entre fissuras. Mesmo nas regiões onde o momento
atuante é superior ao momento de fissuração, é possível contar com a colaboração do
concreto entre fissuras. Isto faz com que o momento efetivo nessas regiões seja superior ao
valor referente ao Estádio II.
Considerando estas variáveis e a complexidade algébrica do problema, alguns
autores recomendam algumas expressões para obtenção de uma inércia efetiva média para
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a barra toda. Uma medida de ordem prática para solucionar o problema consiste em se
adotar para toda a viga uma inércia constante igual a 70% da inércia da seção de concreto.
I Ief II, ,= 0 7
É importante lembrar que o valor da inércia efetiva pode se aproximar mais do valor
da inércia da seção íntegra na medida em que as solicitações sejam baixas, fazendo com
que a região não fissurada tome quase todo o vão.
07.06-) Exemplo de cálculo de flechas.
A título de exemplo considere-se o caso a seguir de uma nervura de uma laje com o
carregamento permanente e acidental indicados.
Considerando a laje executada com concreto de resistência característica de 200
Kgf/cm2, a resistência média, o módulo de elasticidade tangente, o módulo secante inicial e
final valem:
f f f Kgf cmc ck c, , ,; /28 28 28
235 200 35 235= + = + =
E f E Kgf cmc
t
c c
t
, , ,. ; . /28 28 28
221000 321924= =
E E E Kgf cmc
s
c
t
c
s
, , ,, ; . /28 28 28
20 9 289 732= =
E
E
E Kgf cmc
s c
s
c
s
,
,
,
,
; . /∞ ∞= =28 2
15
193154
Os momentos de inércia da seção T íntegra e no estádio II são dados por:
I cm I I cmef II= = =10 219 53 0 7 7153 74 4. , ; , . ,,
a-) Flecha imediata devida à carga permanente:
f
gl
EIg
28
45
384
=
f cmg
28
4
8
5 0 10 7
384 2 897 320 7 153 7 10
100 1 508= =
−
* , *
* . . * . , *
* ,
f
M l
Mg
g28
2
16
= −
f cmMg
28
2
8
0 20 7
16 2 897 320 7 153 8 10
100 0 295= − = −−
, *
* . . * . , *
* ,
f cmg M+ = − =28 1 508 0 295 1 213, , ,
b-) Flecha final devida à carga permanente:
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Página 50
Como as flechas são diretamente proporcionais ao módulo de elasticidade do
material, pode-se optar por aumentar diretamente a flecha final em 50% ao invés de reduzir
o módulo de elasticidade em 33%.
f fg M g M+
∞
+= = =28 15 1 213 15 1 820* , , * , ,
c-) Flecha devida à carga acidental:
f
ql
EIq =
5
384
4
f cmq = =−
5 0 15 7
384 2 897 320 7 153 7 10
100 2 263
4
8
* , *
* . . * . , *
* ,
f
M l
Mq
q
= −
2
16
f cmMq = − = −−
0 25 7
16 2 897 320 7153 7 10
100 0 369
2
8
, *
* . . * . , *
* ,
f cmq M+ = − =2 263 0 369 1 894, , ,
d-) Verificação da flecha provocada pela carga acidental
f
l
cmq max, ,≤ = =
500
700
500
1 4
O valor encontrado, 1,894 cm, é 35% superior ao limite da norma.
e-) Verificação da flecha provocada pela carga total
f
l
cmmax. ,≤ = =
300
700
300
2 33
Segundo a norma NBR 6118 para verificação dos estados limites de utilização
pode-se adotar uma combinação de carregamentos com a carga permanente com seu valor
total e 60% da carga acidental. Considerando que existe proporcionalidade entre
carregamentos e flechas, a flecha total pode ser dada por:
f f f cmq M g= + = + =+ 0 6 1 820 0 6 1 894 2 956, , , * , ,
valor 26,9% superior ao limite da norma.
Caso este valor superasse o limite deveria ser aumentada a rigidez da nervura,
aumentando a sua altura, com vista a não deixá-la muito deformável. Uma outra opção seria
impor uma continuidade também do lado direito, o que reduziria mais ainda as flechas tanto
devido às cargas permanentes quanto acidentais.
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CAPÍTULO 08: Projeto executivo
08.01-) Planta de montagem.
A planta de montagem é a representação mais completa do projeto de uma laje pré-
moldada. Nela constam os elementos mais importantes do projeto estrutural original,
acrescidos dos elementos específicos do projeto da laje. Ela deve ser desenhada então a
partir da planta de formas do projeto estrutural do piso em questão.
Geralmente suprimem-se da planta de formas original algumas informações como
dimensões de elementos estruturais, cotas, e acrescentam-se outras como: nome das lajes,
espessuras, posicionamento das nervuras e blocos de enchimento, seções transversais das
diversas lajes diferentes, etc.
As lajes devem receber os mesmos números do projeto estrutural original. Se neste
projeto as lajes não estiverem numeradas, costuma-se fazer a numeração da esquerda para
a direita e de cima para baixo.
No caso de lajes que necessitem de um detalhamento diferente por faixa, devido à
presença de paredes ou vãos desiguais, como no caso de lajes em L ou T, costuma-se
designar as faixas pelo número da laje a que pertencem seguidos de uma letra: L202A,
L202B, etc.
Na planta de montagem são numeradas também as vigotas de cada laje com o
mesmo número da laje precedido dos caracteres VT, para designar vigota treliçada. Assim
sendo VT202 designa as vigotas treliçadas da laje L202 e VT204A designa as vigotas
treliçadas da faixa A da laje L204.
No caso do uso de blocos de enchimento de EPS, costuma-se também numerá-los
na planta de montagem seguindo omesmo critério adotado para numeração das vigotas. No
caso, adota-se um caracter alfabético para designar blocos com cortes diferentes em uma
mesma laje.
Na planta de montagem devem ser indicadas também as posições das linhas de
escoramento e as contra-flechas a serem aplicadas a cada laje. No caso do desenho ficar
muito carregado pode-se gerar a partir da planta anterior uma outra somente com estas
informações.
Finalmente a planta de montagem deve conter o resumo e as especificações dos
materiais a serem empregados no pavimento todo como por exemplo: volume de concreto a
ser lançado e sua resistência característica, volume de EPS e seu tipo ou quantidade de
lajotas, etc.
08.02-) Detalhamento das vigotas.
O detalhamento das vigotas é uma informação importante para o fabricante da laje.
Ele contém um detalhe de cada vigota diferente presente na planta de montagem. A
numeração das vigotas deve ser a mesma daquela planta. Cada desenho deve vir seguido
do número de repetições do elemento na planta.
No desenho de cada vigota devem ser representados:
a-) Comprimento livre da sapata de concreto.
b-) Designação (atribuição de um nome) do apoio a esquerda e a direita.
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c-) Tipo da armadura treliçada e o seu comprimento total.
d-) Quantidade, diâmetro, comprimento e posicionamento das armaduras adicionais.
A relação dos desenhos de todas vigotas constitui o que se denomina de ordem de
fabricação.
Ao final dos desenhos das vigotas costuma-se apresentar um resumo de armaduras
treliçadas e adicionais.
Na definição dos comprimentos dos elementos que constituem a sapata adotam-se
os seguintes critérios:
a-) O comprimento da sapata é tomado com a distância livre entre os apoios.
b-) O comprimento da armadura treliçada é obtido tomando-se o comprimento da
sapata e acrescentando-se a ancoragem da armadura inferior no apoio à esquerda e à
direita. Este comprimento de ancoragem é tomado como sendo igual a dez vezes o diâmetro
da barra da armadura complementar. É recomendável também a adoção de um gancho na
armadura complementar de altura também igual a 10 diâmetros, conforme figura a seguir,
c-) O comprimento da armadura adicional é obtido pelo mesmo critério anterior. No
caso de vigotas muito compridas e com armadura adicional pesada pode ser conveniente
efetuar um corte desta antes do apoio. Neste caso deve-se observar o critério da norma
NBR 6118 que prevê ao menos metade da área de armadura chegando até o apoio.
A figura a seguir ilustra um exemplo de um detalhe de uma vigota treliçada.
08.03-) Detalhamento dos blocos
Detalhes especiais de blocos de enchimento devem ser providenciados no caso do
uso de materiais recortáveis como o EPS. Para cada bloco deve ser feito um desenho em
perspectiva com todas as dimensões. A numeração dos blocos deve ser a mesma constante
na planta de montagem. Cada desenho de cada bloco deve vir seguido do número de
repetições do mesmo.
Ao final dos desenhos, que formam o que se denomina de ordem de corte, deve ser
fornecido um resumo com o volume de material necessário para recortar os blocos.
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A figura a seguir ilustra um detalhe típico de um bloco de EPS.
08.04-) Armaduras secundárias
Denomina-se de armaduras secundárias às armaduras que não são colocadas no
elemento pré-moldado e que, via de regra, não são fornecidas pelo fabricante. Enquadram-
se nesta classificação as armaduras das nervuras de travamento, as armaduras negativas
de ligação das lajes e as armaduras colocadas na capa de compressão com o objetivo de
combater a sua flexão.
As armaduras secundárias podem ser representadas em uma outra planta derivada
da planta de montagem com a supressão de alguns textos designativos de nomes de
nervuras e blocos. Se a planta de montagem não se apresentar muito carregada as
armaduras secundárias podem ser representadas sobre ela mesma, evitando-se a
confecção de mais um desenho.
 08.05-) Detalhes de escoramentos
A indicação do posicionamento das linhas de escoras para uma laje pré-moldada
pode ser feita na própria planta de montagem, se esta não estiver muito carregada de
informações, ou em uma planta a parte. É comum também indicar esta informação junto à
planta com detalhamento das armaduras secundárias, visto que esta última não contém
muitas informações.
O espaçamento das linhas de escoramento da laje é uma informação que deve ser
fornecida pelo fabricante da mesma, visto que o mesmo depende da rigidez dos elementos
pré-moldados e do peso próprio da laje. Muitas vezes esta informação é omitida no projeto
da laje causando sérios problemas de montagem ou levando a um consumo
desnecessariamente elevado de escoramentos.
Na determinação do vão máximo, sem escoramento, para o elemento pré-moldado
deve se levar em conta a altura da treliça e a bitola do fio superior da mesma, além do peso
próprio da laje. A norma de lajes pré-moldadas, ainda em fase de redação, apresenta na
sua versão inicial a tabela a seguir indicada para determinação do vão máximo entre linhas
de escoras em função da altura da treliça e do diâmetro do fio superior.
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Hlaje 10 11 12 13 14 15 16 17 20 21 24 25 29 30
HT Φsup
08 6,0 1,30 1,20 1,10 1,00
12 6,0 1,30 1,30 1,20 1,20 1,20 1,20 1,10 1,10 1,10
12 7,0 1,70 1,70 1,70 1,70 1,60 1,60 1,50 1,40 1,40
16 7,0 1,60 1,50 1,40 1,30 1,30 1,10 1,10
20 7,0 2,00 1,90 1,90 1,80 1,70
25 8,0 1,30 1,30
A tabela foi indicada para lajes com intereixo entre 40 e 45 cm para elementos de
enchimento em cerâmica e intereixos em torno de 60 cm para elementos de EPS.
08.06-) Quantitativos finais e composição de custos
Com os quantitativos apresentados no projeto pode se levantar o custo de todos os
insumos utilizados na fabricação dos elementos pré-moldados e na moldagem in-loco do
restante da laje. É interessante que o fabricante controle o consumo destes insumos em
cada projeto para, a partir de um histórico de projetos anteriores, poder estimar o consumo
em um projeto novo mesmo antes de concluí-lo. Isto pode ser útil para efeito de orçamento
ou ainda como forma de verificação dos projetos.
A melhor maneira de controlar o consumo destes insumos é estabelecer índices de
consumo por metro quadrado de laje. Os valores mais comuns destes índices são
apresentados a seguir:
emc: espessura média de concreto.
eme: espessura média de material de enchimento.
ctmq: consumo de armadura treliçada por metro quadrado de laje.
camq: consumo de armadura adicional por metro quadrado de laje.
csmq: consumo de armadura secundária por metro quadrado de laje.levam, via de regra, a lajes mais econômicas.
A NBR 6118 limita a distância entre as faces das nervuras a um valor máximo de
100 cm para que os esforços nas nervuras possam ser obtidos pela teoria de placas (lajes).
Para distâncias livres maiores que este valor a norma obriga a análise da estrutura com um
modelo de grelha.
No caso de lajes armadas em uma direção não existe diferença significativa entre os
esforços obtidos por um modelo ou pelo outro, a não ser no caso de lajes contínuas
apoiadas em vigas muito flexíveis. No caso de lajes armadas em duas direções,
considerando a grande disponibilidade de programas de análise de grelhas, não se justifica
mais esta restrição, podendo-se adotar qualquer espaçamento de nervuras.
Na realidade, dificilmente se adota intereixos maiores do que 60 cm. Valores
maiores podem levar a grande concentração de armaduras nas nervuras, obrigando o
alargamento das mesmas, aumentando o consumo de concreto.
No caso de blocos cerâmicos adota-se como intereixo um valor igual à largura do
bloco. Devido à pequena largura destes blocos, as lajes, neste caso, acabam ficando com
intereixo bem menor do que quando se usa um material de enchimento que possa ser
recortado em larguras maiores, como o EPS.
Outro detalhe ao qual se deve prestar atenção na definição do intereixo é com
relação à capacidade portante do bloco de enchimento durante a fase de concretagem da
laje. Embora este assunto venha a ser abordado neste manual mais adiante, é importante
cuidar para não se adotar blocos de enchimento de pouca rigidez (pequena altura e grande
largura), o que levaria a ruptura deste bloco sob o peso do concreto ainda fresco.
d-) Largura das nervuras ( bw ).
A largura das nervuras é o parâmetro que menos sofre variação no projeto de lajes
pré-moldadas. No caso de lajes treliçadas este é igual a largura da sapata de concreto,
geralmente 12 cm, descontando-se um valor de cada lado para apoio dos blocos de
enchimento, geralmente 2 cm. Com isto tem-se, geralmente, nervuras com largura de 8 cm.
Valores maiores só se justificam quando a densidade de armadura é muito grande,
ou o esforço cortante na nervura é muito alto. Esta segunda situação acontece quando se
tem parede de alvenaria, transversal às nervuras, muito próximas ao apoio da laje.
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Quando for necessário aumentar a largura das nervuras, deve-se lembrar de
aumentar também a largura da sapata de concreto para que reste um espaço mínimo de
apoio dos blocos sobre a mesma.
e-) Nervuras secundárias ou de travamento
No caso de lajes armadas em uma direção a NBR 6118 preconiza a colocação de
nervuras secundárias ou de travamento, ortogonais às nervuras principais, quando o vão
teórico for superior a 4 metros, exigindo no mínimo duas nervuras se esse vão ultrapassar 6
metros. As nervuras de travamento são indicadas também sempre que houver cargas
concentradas a distribuir entres as nervuras principais.
f-) Tipo de material de enchimento.
O tipo de material de enchimento a ser utilizado é função da disponibilidade local.
Os materiais mais comuns são: blocos cerâmicos, blocos de EPS, blocos de concreto,
blocos de concreto celular.
Os materiais leves, como o EPS e o concreto celular, apresentam a vantagem de
conduzir a um peso próprio menor. Estes materiais apresentam ainda a vantagem de
poderem ser recortados em dimensões desejadas. Com isto, além da laje se tornar mais
leve, pode-se ter intereixos maiores que conduzem a menor volume de concreto.
g-) Altura da treliça ( )HT .
Para definição da altura da treliça duas situações distintas devem ser distinguidas: a
primeira corresponde à situação em que não é necessária armadura de cisalhamento para
as nervuras e a segunda corresponde ao caso contrário. O limite entre as duas situações
será esclarecido posteriormente quando se abordar o dimensionamento da laje ao
cisalhamento.
g.1-) Quando as nervuras necessitam de armadura de cisalhamento:
Neste caso a altura da treliça passa a depender da altura da laje. Como a armadura
de cisalhamento será formada pela armadura lateral da treliça (sinusóide) é importante que
a barra superior da treliça seja ancorada na zona de compressão da mesa. Geralmente
costuma-se adotar para a altura da treliça um valor igual a altura da laje descontada a
espessura da capa. É importante alertar que este valor não é suficiente para garantir a
ancoragem da armadura de cisalhamento.
O ideal é que o ferro negativo da treliça fique na mesma posição da armadura
negativa da laje, cerca de 1,0 centímetro abaixo da face superior da laje. A tabela a seguir
apresenta alguns valores comuns de altura de treliças e as alturas de lajes resultante para
que esta condição seja satisfeita.
No caso das nervuras necessitarem de armadura de cisalhamento, e não se puder
tirar partido da armadura lateral da treliça para combater este efeito, recomenda-se a
adoção de estribos suplementares.
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H cmT ( ) H cmf ( ) H cm( ) HB cm( )
8,0 4,0 11,0 7,0
12,0 4,0 15,0 11,0
16,0 4,0 19,0 15,0
20,0 4,0 23,0 19,0
25,0 5,0 28,0 23,0
30,0 5,0 33,0 28,0
g.2-) Quando as nervuras não necessitam de armadura de cisalhamento.
Neste caso a altura da treliça não fica vinculada à altura da laje. A altura escolhida
definirá tão somente a capacidade portante da vigota treliçada durante a fase de montagem
da laje. Alturas de treliça maiores permitirão adotar um espaçamento maior entre linhas de
escora. Normalmente se adota nestas situações o valor mínimo que é de 8 cm.
A figura 01 ilustra os parâmetros da laje e alguns de seus valores mais comuns:
01.06-) Propriedades geométricas de seções de nervuras.
No dimensionamento de lajes nervuradas é necessário o conhecimento dos valores
de propriedades geométricas das seções das nervuras como a área da seção transversal, a
posição do seu centro de gravidade e o seu momento de inércia.
A área da seção transversal da nervura é dada em função de seus parâmetros pela
expressão:
S b H b H Hf f w f= + −( )
A altura do seu centro de gravidade, y , em relação a fibra inferior é dada por:
y
b H H
H b H H
A
f f
f w f
=
− +
−
( )
( )
2 2
2
O momento de inércia da seção em relação ao eixo que passa pela fibra inferior é
dado por:
I
b H
b H H
H
b
H H
b H H
H H
xx
f f
f f
f
w
f
w f
f
= + − +
−
+ −
−3
2
3
2
12 2 12 2
( )
( )
( )( )
E o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro de gravidade é
dado por:
I I S y
xx xx= −
2
A tabela a seguir ilustra alguns exemplos de seções mais utilizadas com os
respectivos valores das propriedades geométricas calculados pelas fórmulas acima. Os
parâmetros da seção e as propriedades foram calculados com unidade de cm.
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bw b f H f
H S y I xx I
xx
8,0 42,0 4,0 12,0 232,0 8,34 18.389 2.234
8,0 42,0 4,0 16,0 264,0 11,09 37.760 5.286
8,0 42,0 4,0 20,0 296,0 13,68 65.579 10.220
8,0 42,0 5,0 25,0 370,0 17,09 128.083 19.960
8,0 42,0 5,0 30,0 410,0 20,18 200.917 33.903
8,0 58,0 4,0 12,0 296,0 8,70 24.875 2.457
8,0 58,0 4,0 16,0 328,0 11,66 50.389 5.807
8,0 58,0 4,0 20,0 360,0 14,44 86.400 11.289
8,0 58,0 5,0 25,0 450,0 18,06 168.750 22.049
8,0 58,0 5,0 30,0 490,0 21,38 261.583 37.653
01.07-) Utilização de lajes pré-moldadas em edifícios altos.
Freqüentemente se questiona o empregos deste tipo de laje em edifícios altos onde
estas são consideradas como diafragmas rígidos para interligação das estruturas de
contraventamento destes edifícios.
As lajes adquirem neste caso a finalidade adicional de transmitir cargas emseu
plano, além das cargas normais como é usual. Estes cargas no plano da laje referem-se a
interação entre os painéis de contraventamento, isto é: as forças que são transmitidas de
um painel de contraventamento para outro. Estas forças geralmente são de pequena
intensidade e podem causar os seguintes efeitos:
- compressão ou tração nas nervuras seguidas de cisalhamento no plano da capa
de compressão, quando atuam paralelamente às nervuras.
- compressão ou tração na capa de compressão, quando atuam paralelamente às
nervuras.
A avaliação destes esforços pode ser feita pelo projetista da estrutura do edifício e
poderá ser repassada ao fabricante para posterior reforço no dimensionamento da laje. Via
de regra estes esforços não alterarão de forma sensível o dimensionamento das lajes mas
recomenda-se, por precaução, a adoção das seguintes medidas nestes casos:
- utilização de uma espessura para a capa de compressão maior do que o usual.
- adoção de uma tela na capa para combater tensões geradas por cisalhamento em
seu plano.
- adoção de vigas treliçadas compatíveis com as alturas das lajes.
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CAPÍTULO 02: Caracterização dos materiais utilizados.
02.01-) Concreto
O concreto a ser utilizado em estruturas tem sido ao longo do tempo caracterizado
por sua resistência característica, f ck . Mais recentemente, com a preocupação maior com a
durabilidade da estrutura, passou-se a preocupar com outros parâmetros do concreto como:
seu módulo de elasticidade, E c , seu índice de vazios, e outros.
A tendência é, a médio prazo, especificar-se um concreto com mais parâmetros,
além da resistência característica. No momento continua a se especificar somente este
parâmetro, mas garantindo um valor mínimo para o mesmo de tal forma que, indiretamente
se garanta também valores mínimos para outras variáveis que influem na durabilidade do
concreto. A nova norma NBR 6118, ainda em fase de redação, especifica para o concreto
estrutural o valor mínimo de 20 MPa, ou 200 Kgf/cm2.
Para especificação do concreto para a laje, deve se distinguir o concreto a ser
utilizado para a moldagem do elemento pré-fabricado (vigota) do concreto a ser lançado in-
loco para a formação das nervuras da laje. O segundo tem uma função estrutural
importante, pois forma a mesa de compressão de laje, ao passo que o primeiro nem sempre
a possui.
O concreto a ser lançado in-loco será fornecido pelo construtor mas sua resistência
deve ser informada ao engenheiro responsável pelo projeto da laje para que este possa
conduzir os cálculos corretamente. É incompreensível como alguns fabricantes de laje
conseguem orçar, e até fornecer a laje, sem ao menos conhecer a resistência do concreto
que será utilizado para moldá-la.
O concreto para moldagem das vigotas não possui, na maioria das vezes, a mesma
importância estrutural do concreto a ser lançado in-loco. Por isto, nestes casos, ele pode
possuir uma resistência inferior, a ser determinada pelo fabricante da laje. Embora a
resistência possa ser inferior, este concreto não pode perder a finalidade de proteger as
armaduras no interior da sapata de ataques químicos que provoquem corrosão da
armadura. Por isto deve se atentar para sua compacidade e evitar o uso de vigotas com má
concretagem (bicheiras). Para que isto não ocorra recomenda-se o emprego de agregado
de pequeno diâmetro (brita 1) e alto teor de finos, conforme a densidade de armaduras
adicionais na sapata.
Existem situações onde a resistência do concreto das sapatas se torna importante
para a laje. Isto ocorre, por exemplo, onde há continuidade sobre os apoios da laje, com
compressão na sapata da vigota. O ideal neste caso é se adotar a mesma resistência
característica do concreto a ser lançado in-loco.
02.02-) Armadura treliçada
A armadura treliçada está sendo regulamentada pela norma NBR 02:107.01-004,
ainda em fase de redação. A mesma é constituída de um fio de aço no banzo superior,
interligado por dois fios de aço laterais em diagonal (sinusóide) a dois fios de aço no banzo
inferior.
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A altura da treliça pode variar entre 7 e 25 cm. O passo do sinusóide é de 20 cm e a
distância entre as duas barras do banzo inferior é, geralmente, igual a 8 cm.
As treliças são padronizadas por um código TR seguido dos seguintes dígitos: um
ou dois para representar a altura, e três dígitos para representar a bitola em mm do banzo
superior, sinusóide e banzo inferior, respectivamente, sem casas decimais.
A armadura das treliças é constituída de fios de aço CA-60B, com tensão de
escoamento f yk de 6.000 kgf/cm2, nas bitolas de: 3,4, 4,2, 5,0, 6,0, 7,0, 8,0, 9,0 e 12,5 mm.
Desta forma o código TR16856, designa uma treliça de 16 cm de altura, com 1 fio de 8 mm
no banzo superior, sinusóides de 5,0 e dois fios de 6,0 mm no banzo inferior.
Afim de garantir uma rigidez mínima à treliça, a norma prescreve uma bitola mínima
para o fio do banzo superior, conforme a altura da treliça, dada pela tabela a seguir:
HT φSup
8,0 a 11,0 cm 6,0 mm
12,0 a 20,0 cm 7,0 mm
21,0 a 30,0 cm 8,0 mm
02.03-) Armadura complementar ou adicional.
A armadura complementar é colocada pelo fabricante da laje na sapata da vigota
afim de complementar a área de armadura requerida pelo cálculo estrutural.
Ela pode ser composta do mesmo tipo de aço utilizado na treliça, fios de aço CA-
60B, ou ainda de barras de aço CA-50A. Geralmente, até a bitola de 6,0 mm usam-se os
primeiros e a partir daí usam-se os segundos.
É importante o projetista da laje ter clareza sobre que tipo de aço irá utilizar, pois,
sendo as resistências diferentes, as áreas de armaduras adicionais também serão
diferentes.
02.04-) Material de enchimento
O material de enchimento não é considerado um material estrutural no contexto da
laje. A princípio qualquer produto inerte pode ser utilizado para este fim.
Apesar de não ser necessário para a resistência da laje, a boa qualidade deste
material é importante para a segurança durante a fase de montagem e moldagem da laje.
Afinal os blocos de enchimentos são responsáveis por transferir o peso do concreto ainda
fresco às vigotas treliçadas que se apoiam sobre as linhas de escora. Assim sendo torna-se
necessária uma resistência mínima para este material para que esta função não seja
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comprometida. A norma NBR 02:107.01-001, ainda em fase de redação, prevê que estes
blocos devam ter uma resistência mínima a flexão de 25 MPa.
Enquanto esta proposta ainda não está totalmente aprovada deve-se cuidar para
não usar blocos de pequena altura com grandes intereixos. Já se tem notícia de acidentes
em obras com blocos de EPS, de 8 cm de altura, com intereixos de 60 cm.
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CAPÍTULO 03: Carregamentos sobre a laje.
03.01-) Peso próprio.
Conhecendo-se os parâmetros que definem a laje, o peso próprio pode ser
determinado pela seqüência a seguir:
a-) Cálculo da espessura média de concreto, emc :
emc H
b H H
bf
w f
f
= +
−( )
b-) Cálculo da espessura média de enchimento, eme :
eme
b b H H
b
f w f
f
=
− −( )( )
A espessura média de concreto, emc , permite obter o consumo de concreto em
m3/m2 de laje. A espessura média de enchimento, eme , permite obter o consumo de material
de enchimento em m3/m2 de laje.
Denominando de γ c ao peso específico do concreto e de γ e ao peso específico do
material de enchimento o peso próprioda laje é dado por:
pp emc emec e= +( ) ( )γ γ
A tabela a seguir ilustra alguns exemplos de lajes, com seus parâmetros e
respectivos pesos próprios.
b cmw ( ) b cmf ( ) H cmf ( ) H cm( ) e cmmc ( ) e cmme ( ) Mat Ench. γ e tf m( / )3 pp tf m( / )3
8,0 42,0 4,0 12,0 5,52 6,48 Cerâmica 1,20 216
8,0 42,0 4,0 16,0 6,29 9,71 Celular 0,60 215
8,0 42,0 4,0 20,0 7,05 12,95 EPS 0,02 179
8,0 42,0 5,0 25,0 8,81 16,19 EPS 0,02 223
8,0 42,0 5,0 30,0 9,76 20,24 EPS 0,02 248
8,0 58,0 4,0 12,0 5,10 6,90 Cerâmica 1,20 210
8,0 58,0 4,0 16,0 5,66 10,34 Celular 0,60 203
8,0 58,0 4,0 20,0 6,21 13,79 EPS 0,02 158
8,0 58,0 5,0 25,0 7,76 17,24 EPS 0,02 197
8,0 58,0 5,0 30,0 8,45 21,55 EPS 0,02 216
03.02-) Cargas permanentes adicionais.
O peso próprio é uma carga permanente pelo fato de atuar sobre a laje durante toda
a sua vida útil. Outras cargas permanentes atuam sobre as lajes, como por exemplo:
revestimentos, pisos, paredes, telhados. Estas são denominadas de cargas permanentes
adicionais.
De uma forma errada, muitos fabricantes especificam suas lajes diferenciando
apenas as situações de piso ou forro, sem se preocupar com outras cargas permanentes
que variam muito em cada projeto.
Outro erro freqüente é o de se somar todas as cargas e tratar tudo como uma
sobrecarga, sem diferenciar as permanentes das acidentais. Esta diferenciação é
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importante por ocasião da atribuição dos coeficientes de segurança, bem como por ocasião
da verificação das flechas.
É muito importante se observar no projeto os revestimentos que devem ser
colocados sobre as lajes, tanto na sua face superior para regularização do piso, como na
face inferior, para reboco do teto. É comum encontrar-se em algumas edificações, de má
qualidade, regularizações de piso da ordem de 10 cm, sem que tenham sido observadas em
projeto. O peso de uma regularização desta ordem suplanta até mesmo a sobrecarga de
utilização da laje.
O procedimento correto é constar no projeto estrutural as regularizações que foram
adotadas, para fins de estimativas de cargas, e o fabricante de lajes considerar estes
valores no seu projeto também. A falta desta informação muitas vezes leva os fabricantes a
subestimarem o carregamento nas lajes.
A norma NBR 6120 fornece os pesos específicos de alguns materiais utilizados em
regularização, revestimento e paredes:
• Blocos de tijolos cerâmicos furados: 1,3 tf/m3.
• Blocos de tijolos cerâmicos maciços: 1,8 tf/m3.
• Blocos sílico calcário: 2,0 tf/m3.
• Argamassa de cal, cimento e areia: 1,9 tf/m3.
• Piso de madeira (pinho): 0,5 tf/m3.
• Piso de madeira (Ipê): 1,0 tf/m3.
• Piso cerâmico: 1,8 tf/m3.
• Revestimento de mármore ou granito: 2,8 tf/m3.
Considerando-se estes valores pode-se montar uma expressão para cálculo das
cargas permanentes adicionais em uma laje, devidas aos revestimentos, a partir dos
seguintes parâmetros:
ers : espessura da regularização superior
eri : espessura da regularização inferior
γ rs : peso específico da regularização superior
γ ri : peso específico da regularização inferior
evs : espessura do revestimento superior
evi : espessura do revestimento inferior
γ vs: peso específico do revestimento superior
γ vi : peso específico do revestimento inferior
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g e e e ers rs ri ri vs vs vi vi2 = + + +γ γ γ γ
A tabela a seguir ilustra alguns exemplos com as cargas permanentes adicionais de
regularização e revestimentos de lajes.
Reg Superior Reg Inferior Revestimento Superior Revestimento Inferior
ers γ rs eri γ ri evs
Material γ vs evi
Material γ vi
Carga
(cm) (tf/m3) (cm) (tf/m3) (cm) (tf/m3) (cm) (tf/m3) (tf/m2)
4,0 2,0 3,0 1,8 3,0 Granito 2,4 2,0 Gesso 1,2 230
3,0 1,8 2,0 2,0 2,0 Cerâmica 1,8 0,0 0,0 130
6,0 2,0 3,0 1,8 3,0 Assoalho 0,8 2,0 Gesso 1,2 222
0,0 0,0 2,0 1,8 3,0 Granito 2,4 0,0 0,0 108
As cargas permanentes adicionais referentes as alvenarias podem ser obtidas da
mesma forma, a partir dos seguintes parâmetros:
ebp : espessura do bloco com o qual é formada a parede.
γ bp : peso específico do bloco com o qual é formada a parede.
erp : espessura da camada de reboco em cada face da parede.
γ rp : peso específico do material de reboco da parede.
erpe : espessura do revestimento aplicado na face esquerda da parede.
γ rpe:peso específico do material de revestimento na face esquerda da parede
erpd : espessura do revestimento aplicado na face direita da parede.
γ rpd : peso específico do material de revestimento na face direita da parede
g e e e ebp pr rp rp rpe rpe rpd rpd2 2= + + +γ γ γ γ
A carga assim obtida, corresponde a uma carga por unidade de área, tf/m2. Para se
obter a carga ao longo da parede, este valor deve ser multiplicado pela altura da parede.
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No caso de paredes do tipo dry-wall, formadas por duas placas de gesso
acartonado, com estrutura metálica entre elas, a primeira parcela da expressão pode ser
substituída pelo valor de 12 Kgf/m2.
A tabela a seguir ilustra alguns exemplos com as cargas permanentes adicionais de
paredes.
Bloco Reboco Revestimento Esquerda Revestimento Direita
ebp γ bp erp γ rp erpe Material γ rpe erpd Material γ rpd Peso
(cm) (tf/m3) (cm) (tf/m3) (cm) (tf/m3) (cm) (tf/m3) (tf/m2)
12,0 1,2 4,0 1,8 1,0 Cerâmica 1,8 1,0 Gesso 1,2 246
14,0 1,9 0,0 0,0 1,0 Gesso 1,2 1,0 Gesso 1,2 290
9,0 1,2 5,0 1,8 0,0 0,0 0,0 0,0 198
12,0 1,2 5,0 1,8 3,0 Granito 2,4 0,0 0,0 306
Outras cargas permanentes adicionais referem-se aos telhados apoiados sobre as
lajes. Nestes casos podem ser adotados os valores a seguir:
• Telhado com estrutura metálica e telhas de chapas de aço: 8 a 10 Kgf/m2.
• Telhado com estrutura metálica e telhas de amianto: 20 Kgf/m2.
• Telhado com estrutura de madeira e telhas de amianto: 30 Kgf/m2.
• Telhado com estrutura de madeira e telhas de barro: 50 Kgf/m2.
Estas cargas referem-se às situações em que os telhados se apoiam em vários
pontos da laje, permitindo tratar seu carregamento como carga uniformemente distribuída.
Quando este apoio se dá em poucos pontos, gerando cargas lineares ou pontuais, os
valores devem ser aumentados conforme o vão do telhado.
03.03-) Cargas acidentais.
As cargas acidentais dependem da utilização da laje e atuam sobre a mesma em
parte de sua vida útil. A norma NBR 6120 preconiza os seguintes valores:
• Arquibancadas: 400 Kgf/m2.
• Bancos (escritórios e banheiros): 200 Kgf/m2.
• Bancos (salas de diretoria e gerência): 200 Kgf/m2.
• Bibliotecas (salas de leitura): 250 Kgf/m2.
• Bibliotecas (salas para depósitos de livros): 400 Kgf/m2.
• Bibliotecas (salas com estantes de livros): 600 Kgf/m2 (mínimo), avaliar cada caso.
• Casa de máquinas: 750 Kgf/m2 (mínimo), avaliar cada caso.
• Clubes (salões de dança e de esportes): 500 Kgf/m2.
• Clubes (salas de assembléias com assentos móveis): 400 Kgf/m2.
• Clubes (salas de assembléias com assentos fixos): 300 Kgf/m2.
• Edifícios residenciais (dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro): 150 Kgf/m2.
• Edifícios residenciais (Despensa, áreas de serviço, lavanderia): 200 Kgf/m2.
• Escadas (com acesso ao público): 300 Kgf/m2.
• Escadas (sem acesso ao público): 250 Kgf/m2.
• Escolas (corredores e salas de aula): 300 Kgf/m2.
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• Escritórios (salas de uso geral e banheiro): 200 Kgf/m2, (atenção à escritórios de
advocacia).
• Garagens e estacionamentos: 300 Kgf/m2, (para veículos leves, acrescentar
coeficientede impacto).
• Hospitais (dormitórios, salas): 200 Kgf/m2.
• Hospitais (corredores): 300 Kgf/m2.
• Lojas: 400 Kgf/m2, (atenção aos mezaninos).
• Restaurantes: 300 Kgf/m2.
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CAPÍTULO 04: Esforços em lajes armadas em uma direção
04.01-) Esforços internos solicitantes em lajes
As lajes são estruturas planas com carregamento perpendicular ao seu plano. Os
esforços solicitantes que surgem em uma estrutura deste tipo são: momento fletor e esforço
cortante, nas duas direções do plano e momento torçor. Em lajes nervuradas o efeito do
momento torçor nas nervuras pode ser desprezado, a não ser em situações de torção de
equilíbrio.
Conforme já foi mencionado anteriormente, no caso em que as lajes executam papel
de diafragma rígido de ligação das estruturas de contraventamento, podem surgir ainda
esforços normais e tangenciais no plano da laje, fazendo-a funcionar também como chapa.
Em lajes armadas em uma direção, os esforços são os mesmos em qualquer
nervura que se considere. Na realidade, quando se tem nervuras secundárias de
travamento perpendiculares as nervuras principais, as nervuras principais próximas aos
apoios das nervuras de travamento sofrem uma redução sensível de esforços.
Uma outra situação em que ocorre variação de esforços nas nervuras se dá quando
existem paredes apoiadas sobre a laje na direção paralela às nervuras. Neste caso as
nervuras mais próximas à parede são mais solicitadas que as outras. As nervuras de
travamento neste caso adquirem a função de distribuir a carga da parede em nervuras
vizinhas. O exemplo do anexo ilustra os dois casos.
04.02-) Carregamento nas nervuras.
Admitindo-se que a laje trabalhe realmente de forma unidirecional, os
carregamentos em cada nervura, qn e gn , podem ser obtidos a partir dos carregamentos
sobre a laje, q e g , multiplicando-os pelo intereixo de nervuras:
q qb
g gb
n w
n w
=
=
No caso de paredes sobre as lajes devem se analisar dois casos distintos de forma
diferente: o de parede paralela às nervuras e o de parede perpendicular às nervuras.
Ambos os casos ocorrem no exemplo do anexo,
No caso de paredes ortogonais às nervuras a análise ainda pode ser feita
considerando-se a distribuição de cargas unidimensional, desde que a parede se estenda
sobre todas as nervuras de uma mesma laje. Caso isto não ocorra, haverá uma transição do
nível de esforços da nervura mais solicitada para a menos solicitada. Nas nervuras sob a
parede aparecerá uma carga concentrada na posição da parede dada pela expressão a
seguir:
P g H bn p p w=
onde g p é a carga permanente devido à parede, H p é o pé-direito da parede e bw é o
intereixo de nervuras.
No caso de paredes paralelas às nervuras, a análise pode ser feita para uma faixa
de nervuras sob a parede, identificando-a como uma faixa de influência da parede,
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considerando-se esta faixa como solicitada unidirecionalmente. Neste caso o carregamento
nas nervuras desta faixa deve ser acrescido de uma carga permanente adicional, devido à
parede, dada por:
g g H nfp p2 = /
onde nf é o número de nervuras na faixa.
A determinação do número de nervuras na faixa de influência da parede depende
da existência e do espaçamento de nervuras de travamento e do vão da laje.
04.03-) Lajes isoladas e lajes contínuas
Conhecido o carregamento em uma nervura, representativa de uma laje ou de uma
faixa de uma laje, os esforços internos solicitantes podem ser obtidos adotando-se o modelo
de viga.
Quando a laje é isolada, sem continuidade, utiliza-se o modelo de viga biapoiada.
No caso de lajes com continuidade sobre os apoios, pode ser utilizado o modelo de
viga contínua desde que se tenha segurança da capacidade da laje transmitir os momentos
negativos que surgiriam sobre os mesmos. Como as nervuras das lajes são peças lineares
de seção T, elas apresentam uma resistência muito maior para momentos positivos do que
para momentos negativos, no caso do concreto armado. Assim sendo, os momentos
negativos que surgem no modelo de viga contínua com inércia constante dificilmente podem
ser absorvidos pelas nervuras, que sobre os apoios comportam-se como seção retangular.
Uma alternativa para se ter uma boa continuidade é aumentar as inércias das
nervuras nas regiões de apoio, transformando a laje nervurada em uma laje maciça por
exemplo. Isto no entanto apresenta o inconveniente de aumentar o consumo de concreto.
Outra solução é esquecer o modelo de viga contínua e simplesmente arbitrar
momentos sobre os apoios intermediários iguais aos que as seções retangulares das
nervuras são capazes de absorver. Como, via de regra, estes momentos impostos são
inferiores aos que se teria no modelo elástico de viga contínua, o que está sendo feito na
realidade é um cálculo plástico.
Este modelo é válido, do ponto de vista de equilíbrio da estrutura, desde que se
garanta que os momentos impostos sejam inferiores aos que se obteriam em regime
elástico. Isto é verdadeiro na medida em que os comprimentos dos vãos são semelhantes e
o carregamento também. No caso de dúvida, pode ser feito o cálculo elástico antes para
que se escolham momentos menores ou iguais a este modelo.
É importante salientar também que a plastificação das seções das nervuras sobre
os apoios pode gerar abertura de fissuras que venham a comprometer o uso da estrutura. A
atenção do projetista para este problema deve crescer na medida em que os vãos das lajes
também crescem.
04.04-) Engastamento de lajes em vigas
Uma questão que freqüentemente preocupa os projetistas de estruturas se refere à
continuidade da laje sobre os apoios extremos. Alguns projetistas exigem a colocação de
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uma armadura negativa na ligação da laje com a viga de apoio, mesmo que a laje seja bi-
apoiada.
O problema, neste caso, é semelhante ao anterior, com a diferença que agora tem-
se continuidade entre laje e viga e não entre laje e laje. Se a transmissão de momento
negativo de um lado da laje para o outro é difícil, muito mais difícil é a transmissão de
momento fletor negativo na laje para momento torçor na viga. Como a capacidade resistente
das vigas de concreto armado à torção é muito baixa, dificilmente estes esforços podem se
manifestar nestas ligações.
Para que esta transmissão venha a ocorrer, e a armadura venha a ser necessária, é
necessário que a viga de apoio tenha rigidez a torção, o que não acontece com as vigas
usuais de seção retangular.
Por outro lado, se a preocupação for com a fissuração da laje, recomenda-se a
adoção desta armadura mínima negativa sobre o apoio de extremidade da laje. O
dimensionamento da viga de apoio à torção, no entanto, só faz sentido em casos de torção
de equilíbrio, que se manifesta em lajes simplesmente engastada em vigas, como no caso
de marquises.
04.05-) Lajes em balanço.
As lajes nervuradas apresentam pouca eficiência para funcionar em balanço. Nestes
casos o dimensionamento deverá ser feito como seção retangular e não como seção T, pois
a mesa de compressão se localizará na fibra tracionada da nervura.
Embora sejam pouco eficientes e devam ser evitadas, em algumas situações não há
como resolver o problema. O cuidado que se deve tomar nestas circunstâncias é com
relação ao engastamento da laje. Este não se deve dar de forma alguma na viga, pois isto
geraria momento torçor na viga de apoio. A não ser em situações muito especiais, onde a
viga de apoio seja dimensionada corretamente a torção, o ideal é se engastar a laje em
balanço em uma outra laje, que tenha suas nervuras orientadase alinhadas com as
nervuras do balanço.
04.06-) Vãos livres e vãos teóricos.
Denomina-se de vão livre, Lv , à distância entre as faces dos apoios e de vão
teórico, L , à distância entre os pontos teóricos de apoio para a obtenção dos esforços na
laje.
Segundo a norma NBR 6118 o vão teórico pode ser considerado como a distância
entre os centros dos apoios, porém não é necessário adotar-se valores maiores do que:
- em laje isolada: L L Hv= + / 2
- vão extremo de laje contínua: L L H Lv ap= + +/ /2 2
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- balanço: L L Hv= + / 2
Nestas expressões H é a espessura da laje e Lap é a largura do apoio. A tabela a
seguir ilustra alguns exemplos de cálculo do vão teórico. Nesta tabela Lape é a largura do
apoio do lado esquerdo e Lapd é a largura do apoio do lado direito. Observa-se que quanto
maior a largura dos apoios, maior é o erro cometido, a favor da segurança, ao se tomar
como vão livre a distância entre os centros dos apoios.
04.07-) Expressões para os esforços em nervuras isoladas.
No anexo ao final deste manual apresentam-se algumas expressões, obtidas da
Mecânica das Estruturas, para o cálculo dos esforços, momento fletor e esforço cortante,
em nervuras isoladas.
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CAPÍTULO 05: Dimensionamento à flexão de lajes nervuradas.
05.01-) Valores característicos e valores de cálculo.
Todo dimensionamento de estruturas de concreto armado, segundo a NBR 6118, é
baseado no Método dos Estados Limites. Para aplicação deste método é importante
entender o conceito de valores característicos e valores de cálculo.
Primeiramente é importante esclarecer que o conceito de segurança de uma
estrutura é um conceito probabilístico e não determinístico. Isto é, toda estrutura tem uma
probabilidade de ruína.
Isto ocorre porque as resistências dos materiais envolvidos são grandezas
probabilísticas assim como as ações. Quando se especifica uma sobrecarga de 200 kgf/m2,
automaticamente se está aceitando que existe uma probabilidade deste valor ser
ultrapassado. É evidente que se for especificado um valor maior, a probabilidade dele ser
ultrapassado será menor. O objetivo da norma é atribuir um percentual no qual este valor
possa ser ultrapassado, definindo com isto um nível de segurança para a estrutura.
A mesma coisa acontece quando se produz um concreto com resistência
característica de 250 Kgf/cm2. Se forem feitos ensaios em todo o concreto produzido, existe
uma probabilidade de se encontrar valores de resistência abaixo do valor especificado.
Estas considerações permitem introduzir o conceito de valor característico das
ações e das resistências. Os valores característicos são precedidos da letra k : f ck
(resistência característica do concreto), f yk (limite de escoamento característico do aço),
M k (valor característico do momento fletor), Qk (valor característico do esforço cortante), q k
(valor característico de uma carga distribuída) e Pk (valor característico de uma carga
concentrada).
Segundo a norma NBR 8681, valor característico é aquele que possui uma
probabilidade de 5% de ser ultrapassado no seu sentido desfavorável. Assim, se a
resistência característica do concreto é 250 Kgf/cm2, existe uma probabilidade de 5% de se
encontrar amostras com resistências inferiores. Por outro lado, se o valor característico do
carregamento é de 200 Kgf/m2, existe uma probabilidade de 5% de ocorrer carregamentos
superiores a este.
Os valores de carregamento fornecidos pelas normas já são valores característicos.
Os valores das ações determinados com os valores característicos do carregamento
também são valores característicos. As resistências do aço e concreto devem ser
especificadas em projeto também na sua forma característica, f ck e f yk . No caso do
concreto, compete à usina determinar a resistência média de dosagem de tal forma que se
tenha apenas 5% do concreto com resistência abaixo do f ck .
A partir dos valores característicos das resistências são obtidos os valores de
cálculo, dividindo-as pelos coeficientes de minoração das resistências (coeficientes de
segurança):
f fcd ck c= / γ ; f fyd yk s= / γ
onde γc é o coeficiente de minoração do concreto e γs é o coeficiente de minoração do aço.
Segundo a NBR 08681 os valores dos coeficiente de minoração são os seguintes:
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γ c = 1 4,
γ s = 115,
A partir dos valores característicos das solicitações são obtidos os seus valores de
cálculo, multiplicando-as pelos coeficientes de majoração das cargas (coeficientes de
segurança):
M M M Md g k g g k g q q= + +1 1 2 2γ γ γ
Q Q Q Qd g k g g k g q q= + +1 1 2 2γ γ γ
Nestas expressões procurou-se separar os coeficientes de majoração em valores
diferentes para o peso próprio, γg1, para as cargas permanentes adicionais, γg2, e para as
cargas acidentais.
Segundo a NBR 6118, os valores dos coeficientes de majoração das solicitações
são os seguintes:
- γg1 = 1,4, quando o peso próprio é inferior a 75% das cargas permanentes.
- γg1 = 1,3, quando o peso próprio é superior a 75% das cargas permanentes.
- γg2 = 1,4, para cargas permanentes de grande variabilidade.
- γg3 = 1,3, para cargas permanentes de pequena variabilidade. Paredes fixas, por
exemplo.
- γg = 1,4.
Na realidade, a norma permite ainda, quando se tiver cargas acidentais de origens
diferentes e que possam atuar simultaneamente, aplicar um coeficiente de redução ao
carregamento de menor valor.
O dimensionamento no estado limite consiste em se determinar a seção transversal
de tal forma que as solicitações de cálculo na seção não ultrapassem o esforço resistente
obtido com as resistências de cálculo dos materiais. A segurança aos estados limites
últimos é verificada então à nível de valores de cálculo.
05.02-) Hipóteses para o dimensionamento.
O dimensionamento de uma seção de concreto armado submetida à flexão simples
é baseado nas seguintes hipóteses:
a-) Hipóteses da conservação de seções planas
Esta hipótese, também conhecida como hipótese de Navier, afirma que uma seção
transversal plana de uma peça de concreto armado conserva-se plana após a sua
deformação.
A flexão de uma peça provoca a rotação das seções da mesma. A curvatura de
cada seção é proporcional ao momento fletor atuante. Com a rotação da seção algumas
fibras ficam tracionadas e outras comprimidas. A fibra da seção que não sofre deformação
define a linha neutra da seção. Em seções homogêneas a linha neutra localiza-se no centro
de gravidade da seção, mas em seções de concreto armado sua posição fica sendo função
da taxa de armadura da seção.
Conservando-se planas as seções, as deformações de cada fibra ficam
proporcionais às suas distâncias à linha neutra. Conhecendo-se por exemplo a deformação
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na fibra mais comprimida, denominada de εc1 e a altura da linha neutra, x , pode-se
determinar a deformação em um fibra qualquer distante de d s da face superior pela
expressão:
ε ε
ε
ε
x d x
x d
xs
c c s
−
= =
−
;
( )
b-) Aderência plena entre o aço e o concreto:
Admitindo que não haja possibilidade de escorregamento da armadura dentro do
concreto, pode-se afirmar que no ponto da seção da transversal onde está localizada a
armadura, a sua deformação é igual ao do concreto que a envolve.
Caso não haja esta aderência, um escorregamento da armadura pode fazer com
que sua deformação seja diferente do concreto e sua tensão sejamenor do que o esperado,
comprometendo assim a segurança da peça.
Para garantir esta aderência é importante o uso de barras de aço com saliências
(mosas) para diâmetros maiores. A aderência é garantida também pela ancoragem das
barras na extremidade. Uma má ancoragem leva a perda da aderência.
c-) Concreto não colaborante à tração:
No dimensionamento de concreto armado considera-se que o concreto não resiste a
tração. Com isto o concreto situado abaixo da linha neutra não sofre solicitação alguma. Por
isso em lajes nervuradas, para formação de uma seção T, a mesa deve ser colocada do
lado da fibra comprimida.
Quando a seção é solicitada por um momento positivo, produzindo tração na fibra
inferior, a mesa de compressão deve ser colocada na face superior. Quando o momento
fletor é negativo, a tração se dá na fibra superior e a mesa de compressão deve ser
colocada na face inferior. Neste caso ainda, se a mesa continuar a ser colocada na face
superior, este concreto não será considerado como material resistente e a seção deverá ser
dimensionada como seção retangular.
d-) Diagrama de tensões no concreto:
O diagrama de tensões no concreto só existe na região comprimida. A tensão em
cada fibra é proporcional a sua deformação. Por esta razão procura se colocar a mesa de
compressão o mais afastado possível da linha neutra, onde as deformações sejam maiores
e conseqüentemente as tensões também.
A relação entre a tensão em cada fibra e sua deformação depende de uma série de
fatores como: forma da seção transversal, forma de aplicação do carregamento, etc. Na
década de 60 Rüsch formulou uma teoria que permite estabelecer uma relação entre a
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tensão e a deformação. A norma NBR 6118, baseada nesta teoria, propõem o diagrama
parábolaXretângulo a seguir para a relação. Com isto as tensões nas fibras comprimidas
apresentam um trecho onde permanecem constantes, para deformações entre 2‰ e 3,5‰,
e outro trecho onde as tensões variam parabolicamente com as deformações, entre 0 e 2‰.
A tensão máxima que pode ser atingida no concreto é:
σ cd cd ckf f= =0 85 0 85 1 4, , / ,
A equação que relaciona a tensão e a deformação no trecho parabólico é:
σ σ ε
ε
c cd c
c= −( )
2
4
O coeficiente de redução de 0,85 se explica, na teoria de Rüsch, pelo fato da
resistência do concreto sofrer um decréscimo com o tempo com a manutenção da carga. Na
realidade existe ainda o envelhecimento do concreto que provoca um aumento da
resistência, mas o fator 0,85 já considera os dois efeitos.
A consideração do diagrama parábolaxretângulo dificulta bastante o
dimensionamento da seção, introduzindo uma série de integrações difíceis de serem feitas
no caso de seção T. A norma NBR 6118 permite o uso de um diagrama alternativo, mais
simples de se trabalhar, e que será utilizado ao longo deste trabalho. Trata-se do diagrama
retangular de tensões. A idéia é substituir o diagrama parábolaxretângulo por um outro mais
simples, que possua a mesma resultante e o mesmo ponto de atuação da resultante. Utiliza-
se então um diagrama retangular de tensões, com tensão de 0 85, f cd , constante ao longo de
uma altura igual à oitenta por cento da altura da zona comprimida.
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Evidente que este diagrama não eqüivale totalmente ao diagrama parábolaxretângulo
em todas as situações. No entanto o erro cometido na substituição e muito pequeno e a
alternativa pode ser usada sempre.
e-) Diagrama de tensões no aço:
Ao contrário do concreto, o diagrama de tensões no aço se manifesta tanto para
tensões de tração quanto de compressão. Como o comportamento é o mesmo para as duas
solicitações, o diagrama se torna simétrico.
A relação entre tensão e deformação é diferente para os aços A e B.
Para os aços A o diagrama apresenta uma variação linear até a tensão de
escoamento fyd e permanece constante daí para diante. A deformação εyd, correspondente
ao escoamento é dada por:
ε yd
yd
s
f
E
=
onde Es é o módulo de elasticidade do aço que vale 2.100.000 Kgf/cm2.
Para aços CA-50A a deformação correspondente ao escoamento vale:
ε yd = =
5000
115
1
2100 000
2 07
.
. . .
, ‰
Para os aços B não aparece um patamar de escoamento definido. As tensões
variam linearmente até o limite de 70% da tensão de escoamento. Daí para frente as
tensões variam com as deformações segundo um polinômio do terceiro grau atingindo a
tensão de escoamento com uma deformação εyd dada por:
ε yd
yd
s
f
E
= + 2 0, ‰
No caso de aços CA-50B a tensão de escoamento é atingida com uma deformação
de 4,07‰. No caso de aço CA-60B a deformação atinge o valor de 4,48‰.
05.03-) Nomenclatura.
As figuras a seguir ilustram os nomes das variáveis utilizadas no dimensionamento
à flexão. Na primeira delas representa-se as variáveis geométricas da seção transversal e
na segunda representa-se as deformações, tensões e resultantes destas na seção
transversal.
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As variáveis representadas possuem o seguinte significado:
b f : Largura da mesa de compressão.
bw : Largura da alma.
H f : Espessura da mesa de compressão.
Hw : Altura total.
d ': Distância do centro de gravidade da armadura à bordo inferior da seção.
d: Altura útil da seção:
εcd : Encurtamento no concreto na borda comprimida.
εsd : Alongamento na armadura, medido no centro de gravidade da mesma.
x: Distância da linha neutra (LN) à borda comprimida.
y: Altura do bloco eqüivalente de compressão: y x= 0 8,
z: Distância entre as resultantes das forças de compressão e tração.
σ cd : Tensão de compressão no concreto.
σ yd : Tensão de tração na armadura.
Acc : Área da região comprimida da seção transversal.
Rcd : Resultante das forças de compressão no concreto: R Acd cd cc= σ
As : Área da seção transversal da armadura.
Rsd : Resultante das forças de tração na armadura: R Asd sd s= σ
M d : Valor de cálculo do momento fletor.
Normalmente, no dimensionamento de seções T, o bloco eqüivalente de
compressão fica contido todo na mesa. Quando a taxa de armadura é muito elevada este
pode tomar parte da alma, como mostrado na figura anterior. Nestes casos costuma-se
separar a força de compressão no concreto em duas parcelas: uma para a mesa, Rcc f, , e
outra para a alma, Rcc w, , cada uma apresentando um braço de alavanca diferente, z f e zw .
A partir das variáveis elencadas são definidos os seguintes parâmetros
adimensionais:
βx: Altura relativa da linha neutra: βx x d= /
βy: Altura relativa do bloco eqüivalente de compressão: β βy xy d= =/ ,0 8
µ: Momento fletor reduzido: µ
σ
=
M
b d
d
cd w
2
Em alguns casos, para facilidade algébrica, define-se o momento fletor reduzido em
função da largura da mesa, bf, tendo-se então a seguinte expressão:
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µ
σ
=
M
b d
d
cd f
2
A altura relativa da linha neutra pode ser obtida, em função das deformações, pela
expressão:
ε ε ε
ε
β
β
ε
ε
ε
ε β
β
ε
ε ε
cd sd sd
cd
x
x
sd
cd
sd
cd x
x
cd
cd sdx d x
d x
x
=
−
−
=
−
= + = =
+( )
; ; ; ;
1
1
1
05.04-) Estados Limites Últimos na flexão simples.
Segundo a NBR 6118 os Estados Limites Últimos (ELU) a serem observados no
dimensionamento a flexão simples são os seguintes:
a-) Estado Limite Último de ruptura do concreto:
Ocorre quando a deformação na fibra mais comprimida atinge o valor de 3,5‰.
b-) Estado Limite Último de deformação plástica excessiva no aço:
Ocorre quando adeformação na armadura mais tracionada atinge o valor de 10,0‰.
A figura a seguir ilustra o diagrama de deformações na seção transversal da peça
para os dois estados limites últimos. No primeiro caso (a) fixa-se a deformação no bordo
mais comprimido em 3,5 ‰ e, conforme a solicitação, varia a deformação na armadura. No
segundo caso (b) fixa-se a deformação na armadura tracionada em 10,0 ‰ e, conforme a
solicitação, varia a deformação no bordo mais comprimido.
Uma maneira mais abrangente de se visualizar estes estados de deformação é
através dos diagramas de domínios de deformação representado na figura a seguir. Neste
diagrama representa-se todas as possíveis configurações de deformações para uma seção
transversal em uma única figura. Os diagramas de deformações passam por dois pontos
fixos denominados de polos. Um deles (A) corresponde ao Estado Limite Último de ruptura
do concreto e outro (B) ao Estado Limite Último de deformação plástica excessiva na
armadura.
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No diagrama da figura acima pode se definir os seguintes domínios de deformação
correspondentes a Estados Limites Últimos:
a-) Domínio 2.a: Campo de deformações correspondente ao Estado Limite Último de
deformação plástica excessiva da armadura com deformação máxima no concreto inferior a
2‰.
b-) Domínio 2.b: Campo de deformações correspondente ao Estado Limite Último de
deformação plástica excessiva da armadura com deformação máxima no concreto superior
a 2‰ e inferior a 3,5‰.
c-) Domínio 3: Campo de deformações correspondente ao Estado Limite Último de
ruptura do concreto com deformação máxima na armadura tracionada superior ao valor de
escoamento.
d-) Domínio 4: Campo de deformações correspondente ao Estado Limite Último de
ruptura do concreto com deformação máxima na armadura tracionada inferior ao valor de
escoamento.
Os valores das deformações para cada domínio e as posições da linha neutra ficam
sendo então:
a-) Domínio 2.a:
ε ε βsd cd x= ≤ ≥ = ≤de tração necessária para equilibrar um dado momento,
deve-se seguir os seguintes passos:
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a-) Admitir que a posição da linha neutra seja tal que a armadura tracionada se
encontre sempre em escoamento.
ε εsd yd≥
Esta hipótese é válida na medida em que não se admite o dimensionamento no
domínio 4. Nos domínio 2 e 3 a armadura sempre estará em escoamento.
b-) Calcular a posição da linha neutra de tal forma que a resultante de compressão
no concreto e seu braço de alavanca em relação ao centro da armadura produzam um
momento interno igual ao momento de cálculo dado:
R z M Mcd i d= =
Escrevendo a resultante das forças de compressão como função da altura da linha
neutra e fazendo o mesmo com o braço de alavanca interno da seção, tem-se uma equação
em x (altura da linha neutra) ou y (altura do bloco eqüivalente de compressão).
Normalmente utiliza-se y como variável.
Para montagem destas equações deve-se separar duas situações distintas; quando
o bloco eqüivalente de compressão fica todo contido na mesa ou quando este atinge
também a alma da viga. A condição para que este bloco fique todo dentro da mesa é a de
que o momento fletor de cálculo M d seja inferior ao momento M d f, obtido com a mesa
totalmente comprimida.
b.1-) Posição da linha neutra e resultante no concreto para M Md d f≤ ,
Quando isto ocorre o bloco eqüivalente de compressão fica contido na mesa. Como
a alma da viga não é solicitada à compressão a solução do problema é idêntica a de uma
viga de seção retangular com largura bf.
O valor da resultante de compressão no concreto e o valor de seu braço de
alavanca em relação ao centro da armadura são dados por:
R b ycd f cd= σ
z d
y
= −
2
Calculando o momento interno produzido por esta força em relação ao centro da
armadura, e igualando-o ao momento fletor de cálculo, tem-se:
M R z b y d
y
Mi cd f cd d= = − =σ ( )
2
M b yd b y
y
b yd b
y
d f cd f cd f cd f cd= − = −σ σ σ σ
2 2
2
Dividindo-se ambos os lados da igualdade por b df cdσ 2 tem-se:
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M
b d
y
d
y
d
d
f cdσ 2
2
1
2
= − 



Denominando-se a primeira parcela de µd f, , tem-se:
µ β
β
d f y
y
, = −
2
2
β
β µ
y
y d f
2
2
0− + =,
β µy d f= − −1 1 2 ,
y dy= β
Com a altura do bloco eqüivalente de compressão pode se obter a resultante de
compressão no concreto pela expressão já deduzida.
b.2-) Posição da linha neutra e resultante no concreto para M Md d f> ,
Quando isto ocorre o bloco eqüivalente de compressão fica parcialmente contido na
mesa e parcialmente na alma. Pode-se imaginar que parte do momento de cálculo
corresponda à porção do bloco na mesa, M d f, , equilibrado pela resultante Rcd f, no
concreto, e outra parte à porção do bloco na alma, M d w, , equilibrado pela resultante Rcd w, no
concreto.
A parcela absorvida pela mesa é dada pela expressão ___ e a parcela absorvida
pela alma é dada por:
M M Md w d d f, ,= −
Para determinar o valor e a posição da resultante de compressão na alma pode-se
imaginar uma seção retangular correspondente somente à alma, conforme a figura a seguir:
Utilizando a mesma seqüência adotada para o caso de compressão somente na
mesa tem-se:
R b y z d
y
cd w w cd w w w
w
, ;= = −σ
2
M R z b y d
y
Mi w cd w w w cd w w
w
d w, , ,( )= = − =σ
2
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M b y d b y
y
b y d b
y
d w w cd w w w cd w
w
w cd w w w cd
w
, = − = −σ σ σ σ
2 2
2
Dividindo-se ambos os lados da igualdade por b dw cd wσ 2 tem-se:
M
b d
y
d
y
d
d w
w cd w
w
w
w
w
,
σ 2
2
1
2
= −






Denominando-se a primeira parcela de µd w, , tem-se:
µ β
β
d w y w
y w
, ,
,
= −
2
2
β
β µ
y w
y w d w
,
, ,
2
2
0− + =
β µy w d w, ,= − −1 1 2
y d R b yw y w w cd w w cd w= =β σ, ,;
O valor total da resultante de compressão no concreto é dado por:
R R Rcd cd w cd f= +, ,
c-) Obter a resultante de tração na armadura pelo equilíbrio de forças internas na
seção:
R Rsd cd=
d-) Obter a seção da armadura de tração admitindo-a em escoamento:
A
R
fs
sd
yd
=
A tabela na página a seguir ilustra o cálculo de armadura para uma seção T com os
seguintes dados:
Concreto fck 150 Kgf/cm2.
Aço CA-50A: ε βyd x= =2 07 0 6280
00, ; ,lim
Seção transversal: b cm b cm H cm H cm d cmf w f= = = = =58 8 16 4 1 5; ; ; ; ' ,
y cmlim ,= 11 388
Momentos máximos: M tfm M tfmd f d u, ,, ; ,= =2 64 3 01
Todos os momentos estão em tfm, as forças em tf e áreas em cm2.
05.07-) Tipo de aço para armadura complementar.
Calculada a armadura necessária, a escolha das bitolas a serem utilizadas e suas
quantidades é algo simples de ser feito. No caso de lajes treliçadas pode se utilizar a
armadura do bano inferior da treliça como armadura da laje, descontando-a da armadura
total necessária. A diferença entre a armadura necessária e a armadura do banzo inferior da
treliça é denominada de armadura adicional (item 02.05).
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M d Md w, µd f, µd w, y f yw Rcd w, Rcd f, Rcd Rst As
0,40 0,00 0,031 0,000 0,53 0,00 0,0 2810,2 2810,2 2810,2 0,65
0,50 0,00 0,038 0,000 0,67 0,00 0,0 3529,6 3529,6 3529,6 0,81
0,60 0,00 0,046 0,000 0,81 0,00 0,0 4256,2 4256,2 4256,2 0,98
0,70 0,00 0,054 0,000 0,94 0,00 0,0 4990,1 4990,1 4990,1 1,15
0,80 0,00 0,061 0,000 1,09 0,00 0,0 5731,7 5731,7 5731,7 1,32
0,90 0,00 0,069 0,000 1,23 0,00 0,0 6481,1 6481,1 6481,1 1,49
1,00 0,00 0,077 0,000 1,37 0,00 0,0 7238,6 7238,6 7238,6 1,66
1,10 0,00 0,084 0,000 1,52 0,00 0,0 8004,5 8004,5 8004,5 1,84
1,20 0,00 0,092 0,000 1,66 0,00 0,0 8779,0 8779,0 8779,0 2,02
1,30 0,00 0,099 0,000 1,81 0,00 0,0 9562,5 9562,5 9562,5 2,20
1,40 0,00 0,107 0,000 1,96 0,00 0,0 10355,2 10355,2 10355,2 2,38
1,50 0,00 0,115 0,000 2,11 0,00 0,0 11157,5 11157,5 11157,5 2,57
1,60 0,00 0,122 0,000 2,27 0,00 0,0 11969,8 11969,8 11969,8 2,75
1,70 0,00 0,130 0,000 2,42 0,00 0,0 12792,5 12792,5 12792,5 2,94
1,80 0,00 0,138 0,000 2,58 0,00 0,0 13625,8 13625,8 13625,8 3,13
1,90 0,00 0,145 0,000 2,74 0,00 0,0 14470,4 14470,4 14470,4 3,33
2,00 0,00 0,153 0,000 2,90 0,00 0,0 15326,6 15326,6 15326,6 3,53
2,10 0,00 0,161 0,000 3,07 0,00 0,0 16194,9 16194,9 16194,9 3,72
2,20 0,00 0,168 0,000 3,23 0,00 0,0 17076,0 17076,0 17076,0 3,93
2,30 0,00 0,176 0,000 3,40 0,00 0,0 17970,2 17970,2 17970,2 4,13
2,40 0,00 0,184 0,000 3,57 0,00 0,0 18878,3 18878,3 18878,3 4,34
2,50 0,00 0,191 0,000 3,75 0,00 0,0 19800,9 19800,9 19800,9 4,55
2,60 0,00 0,199 0,000 3,93 0,00 0,0 20738,8 20738,8 20738,8 4,77
2,70 0,06 0,207 0,062 4,00 0,80 583,5 21128,6 21712,0 21712,0 4,99
2,80 0,16 0,214 0,168 4,00 2,34 1703,2 21128,6 22831,8 22831,8 5,25
2,90 0,26 0,222 0,274 4,00 4,24 3090,1 21128,6 24218,6 24218,6 5,57
3,00 0,36 0,230 0,380 4,00 7,08 5155,7 21128,6 26284,3 26284,3 6,05
3,01 0,37 0,230 0,388 4,00 7,39 5382,1 21128,6 26510,7 26510,7 6,10
Em lajes de vãos pequenos pode é possível que a armadura inferior da treliça seja
suficiente para cobrir a armadura calculada. Nestes casos então a armadura adicional
torna-se desnecessária. Se a quantidade de armadura adicional for pequena, esta
complementação poderá ser feita com fios de aço CA-60B. Em ambos os casos a armadura
total pode ser calculada considerando-se aço CA-60B.
Já para lajes de vãos maiores, que requeiram grande quantidade de armaduras
adicionais, é comum realizar-se a complementação com barras de aço CA-50A. O cálculo
da armadura necessária deve ser