Resumo de Vetores

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Capitulo 1 
VETORES - PROPRIEDADES 
 i) u // v – Tem a mesma direção; 
 ii) u = v – Tem o mesmo módulo, direção, sentido; 
 iii) vetor unitário – |u|=1 é associado ao vetor u. Todo vetor possui dois 
representantes unitários: u e –u; 
 iv) versor de um vetor – vetor paralelo e de mesmo sentido que o vetor “original” , na 
verdade, paralelo e de mesmo sentido de todos os vetores iguais ao “original. 
 Exemplo: Seja o vetor u o versor do vetor v, então: (u = v/|v|); 
VETORES NO PLANO 
 Operações com vetores: u = (x1,y1); v = (x2,y2); 
 i) u + v = (x1 + x2; y1 + y2); 
 ii) α.u= (α.x1, α.y1); 
 iii) Ponto médio de de um segmento AB. M = ( 
 
 
, 
 
 
); 
 iv) Dois vetores são paralelos quando suas componentes são proporcionais: 
 
 
 
 
 
 
 ; 
 v) Módulo de um vetor, v = (x,y) : ; 
 Exemplo: O versor de v = (3, -4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VETORES NO ESPAÇO (as mesmas fórmulas, porém com um terceiro ponto de coordenada no 
eixo Z). 
Capitulo 2 
PRODUTO ESCALAR 
 i) Sejam os vetores u = x1i+y1j+z1k e v = x2i+y2j+z2k, então: 
 u.v( lê-se u escalar v) = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2; 
 O escalar entre dois vetores, gera um numero real. 
 ii) Definição geométrica: 
 u.v = |u|.|v|.cosθ 
PRORIEDADES 
 i) u.v = v.u 
 ii) u.(v+w) = u.v + u.w 
 iii) α.(u.v) = (αu).v = u.( αv) 
 iv) u.u = |u|² = x² + y² + z² 
 v) |u + v|² = |u|² + 2.u.v + |v|²; |u - v|² = |u|² - 2.u.v + |v|²; 
 vi) (u+v).(u-v) = |u|²-|v|² 
 vii) dois vetores são ortogonais, se somente se, u.v=0; 
ANGULOS DIRETORES 
 i) Ângulos α,β e θ formados por v (x1,y1,z1) e o vetor i, j e k. 
 ii) cosα² + cosβ² + cosθ² = 1; 
 iii) cosα = x1/|v|; cosβ= y1/|v|; cosθ; 
PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE OUTRO 
 i) 
 
 
 
 ; 
Capitulo 3 
PRODUTO VETORIAL 
 i) é o produto de dois vetores que gera um outro vetor. 
 ii) Propriedades de determinantes: 
 a) permutar duas linhas dentro do det, inverte-se o sinal de det; 
 b) se entre duas linhas do det houver proporcionalidade det=0; 
 c) se houver uma linha nula, det=0; 
 d) resolvendo por La Placce: 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 iii) Representação do produto vetorial: u X v; 
CARACTERISTICAS DE u X v 
 i) DIREÇÃO: é ortogonal a u e a v; 
 ii) SENTIDO: regra da mão direita; 
 iii) |u X v| = |u|.|v|. senθ; 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA 
 i) |u X v| é proporcional a área da do paralelogramo formado por estes vetores; 
Capitulo 4 
PRODUTO MISTO 
 i) representação: (u,v,w) ou u.(v X w); 
 ii) para calcularmos o produto vetorial, basta calcular o determinante formato por 
u,v,w; 
PROPRIEDADES DO PRODUTO MISTO 
 i) se mudarmos um vetor de posição, mudasse o sinal do valor final. 
 ii) (u+x,v,w) = (u,v,w) + (x,v,w) 
 iii) α.(u,v,w) = (αu,v,w) = (u, αv,w) = (u,v, αw); 
 iv) (u,v,w) = 0 se, e somente se, todos forem coplanares; 
 OBS: se um dos vetores for nulo det=0; se houver dois vetores paralelos, então det=0; 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA 
 i) Geometricamente, o produto misto u.(v X w) é igual, em módulo, ao volume do 
paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores não coplanares u,v e w. 
 ii) VOLUME DO TETRAEDRO = (1/6).(u,v,w)