Aula_1_CS

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Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
 
1 
 EMENTA 
Desenvolvimento e aplicação das equações vetoriais que relacionam 
as várias grandezas cinemáticas envolvidas no estudo dos 
movimentos de sólidos. Classificação dos movimentos do sólido. 
Aplicação dos princípios e equações cinemáticas nos movimentos de 
dispositivos compostos por vários sólidos e vínculos. 
 
 OBJETIVOS GERAIS 
 Desenvolver no aluno uma visão factível da mecânica, 
criando no mesmo uma "intuição" correta dos fenômenos mecânicos. 
 Capacitar o estudante de engenharia a entender e resolver 
problemas que envolvam a cinemática dos sólidos e dispositivos, que 
são comuns no exercício da profissão de engenheiro. 
 OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
 Estabelecer os conceitos básicos sobre Cinemática do 
Sólido. Preparar os alunos para entender os dispositivos mecânicos 
comuns à vida do Engenheiro. 
 Fornecer ferramentas aos estudantes para entender e 
acompanhar em bom nível as disciplinas específicas do curso, em 
especial aquelas ligadas à cinemática de dispositivos, vibrações e 
outras. 
 
 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
 1. Cinemática da Partícula; 
(a) Vetor Posição; 
(b) Vetor Velocidade; 
(c) Vetor Aceleração; 
 i. aceleração tangencial; 
 ii. aceleração normal; 
 2. Cinemática do Sólido; 
(a) Classificação dos Movimentos; 
(b) Movimento de Translação; 
 i. equações vetoriais de velocidade e 
aceleração; 
(c) Movimento Plano; 
(d) Rotação com Eixo Fixo; 
 i. equações vetoriais de velocidade e 
aceleração; 
(e) Movimento Plano em geral; 
 i. equações vetoriais de velocidade e 
aceleração; 
(f) Centro Instantâneo de Rotação; 
(g) Movimento Geral; 
 
 BIBLIOGRAFIA Básica 
BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R. Mecânica vetorial 
para engenheiros: cinemática e dinâmica 5ª ed. 2v. São 
Paulo: Makron, 1994. 
HIBBELER, R. C. Dinâmica: Mecânica para Engenharia. 
8.ed. Rio de Janeiro Prentice Hall Brasil, 2004. 
KRAIGE,L.G.;MERIAN,J.L. Mecânica: dinâmica. Rio de 
Janeiro: LTC,2004. 
FRANÇA, L.N.F.;MATSUMURA,A.Z. Mecânica Geral.Edgar 
Blucher, 2005. 
GERE, J. Mecânica dos materiais. São Paulo: Pioneira Thomson 
Learning, 2003 
KAMINSKI, P.C. Mecânica geral para engenheiros. Edgar 
Blucher, 2000. 
SEARS,F.;YOUNG H. D. Física. vol.1, Mecânica. Addison Wesley, 
2008. 
Cinemática dos Sólidos,Unip, Versão 2, 2009. 
 Vetor Posição: 
ˆˆ ˆr x i y j z k     
 
 Vetor velocidade média 
mv

 : 
m
r
v
t





 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Vetor Velocidade instantânea: 
dr
v
dt



 
 Vetor aceleração média: 
m
v
a
t





 
 Vetor Aceleração instantânea: 
dv
a
dt



 
 Aplicação: Lançamento Oblíquo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Eixo x: MU: 
0 0x
x x v t  
 
 Eixo y: MUV: 2
0 0
2y
t
y y v t g    
 
0yy
v v g t  
 
 Decomposição da velocidade inicial 
0v

: 
0 0 0 0cosx yv v v v sen     
 
 Tempo de subida: 
0y
s
v
t
g

 
 Alcance: 
 
2
0 2m
v
x sen
g

 
 Altura máxima: 
0
2
2
y
v
h
g

 
 
 
 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
 
2 
 Movimentos curvilíneos MCU e MCUV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MCU 
R Na a
 
 MCUV
R N Ta a a 
  
 
 e Nv a
 
perpendiculares 
Função angular horária 
 t
 
  0t t    
 
  20 0
1
2
t t t        
Velocidade angular 
 t 
  ctet 
 
  0t t    
 
2 2
0 2       
Velocidade linear
 v t 
v r  
Aceleração angular 
 t 
  0t 
 
 t cte  
Aceleração resultante 
R cpa a
 2 2R cp Ta a a  
Aceleração tangencial 
0Ta 
 
T T
dv
a a r
dt
   
 
Aceleração centrípeta e Força centrípeta 
2
2
cp cp cp
v
a a R F m a
R
      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cinemática dos Corpos Rígidos 
Movimentos: 
 Translação. 
 Rotação sobre um eixo fixo. 
 Movimento Geral sobre um plano 
 Movimento sobre um ponto fixo 
 Movimento Geral qualquer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Translação 
 
 
 
 
 
 
 
 
B A BAr r r 
  
 
 
B Av v
 
 
 
B Aa a
 
 
 Rotação sobre um eixo fixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
01 2 360rev rad  
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
 
3 
 
dr
v
dt



 
ds
v s BP BP r sen
dt
        
 
d
v r sen
dt

   v r sen    

 
Velocidade angular: 
kˆ  
  
 Como o ângulo entre 
r
 e

 é , lembrando da 
propriedade do módulo do produto vetorial: 
r r sen r sen v              
v r  
 
 
dv d d dr
a a r r
dt dt dt dt
        
 
    
 
d
a r v
dt
    

  
 
 Aceleração angular: 
d
dt

 


 
ˆ ˆ ˆk k k                
 a r r           
 Rotação de uma placa em torno de um eixo fixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sendo
kˆ  
 ˆv r v k r           
 Como 
kˆ r v r     
 a r r          
 
 ˆ ˆ ˆa k r k k r           
 
 2ˆ ˆ ˆa k r k k r         
 
 ˆ ˆk k r        u v w u w v u v w      
        
 
     ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆk k r k r k k k r        
 
 ˆ ˆk k r r    
 
2ˆa k r r        
 Aceleração tangencial: 
ˆ
T Ta k r a r       
 
 Aceleração normal 
2 2
N Na r a r        
 
 Resumo: Rotação com eixo fixo: 
1. Todos os pontos apresentam trajetórias circulares. 
2. Todos os pontos apresentam a mesma velocidade 
angular, e esta tem a direção do eixo de rotação: 
ˆ ˆ
d
e e
dt
       
 
A direção do vetor velocidade angular é ortogonal ao 
plano formadopelo movimento do ponto P, possui a direção 
do eixo de rotação do sólido. 
O sentido do vetor velocidade angular é dado pela regra 
da mão direita: o ponto P, deslocando-se no sentido anti-
horário, acompanha-se o sentido do movimento de P ao longo 
de sua trajetória circular, com os quatro dedos da mão direita; 
com exceção do polegar que indicará seu sentido, apontando 
para o ponto A. 
3. Todos os pontos apresentam a mesma aceleração 
angular, e esta tem a direção do eixo de rotação: 
ˆ ˆ
d
e e
dt
       
 
 4. O vetor velocidade instantânea no ponto P é dado por: 
P
P P
dr
v v r r P A
dt
      

   
 
 5. O vetor aceleração do ponto P é dado por: 
dv
a v a
dt
   

    P Pa r r      
    
 
    a P A P A          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplos Resolvidos 
 
1. Ache os vetores velocidade e a aceleração dos pontos 
1.1 Os discos indicados para cada caso, em cada instante 
de tempo. O disco parte do repouso em t = 0s. 
(a) α = 2 rad/s2; =4rad/s, t = 3 s; Pontos A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
Cinemática dos Sólidos– Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
 
4 
(b) α = 2 rad/s2; t = 3 s; ; Pontos A e B, C e D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ponto B: 
ˆ ˆ0.2 cos30 0.2 30Br i sen j     
 
ˆ ˆ0.173 0.1Br i j   
 
2
ˆ2
rad
k
s
     
 

 
0 0 2 3 6
rad
t
s
            
 
ˆ6
rad
k
s
     
 

 
 ˆ ˆ ˆ6 0.173 0.1B B Bv r v k i j          
 
   
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ6 0.173 6 0.1B
j i
v k i k j

       

 
ˆ ˆ0.6 1.038B
m
v i j
s
 
      
 

 
T NB B B
a a a  
  
B B Ba r v       
 
TB B
a r  
 
 ˆ ˆ ˆ2 0.173 0.1
TB
a k i j     

 
   
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ2 0.173 2 0.1
TB
j i
a k i k j

       

 
2
ˆ ˆ0.2 0.346
TB
m
a i j
s
 
      
 

 
NB B
a v  
 
 ˆ ˆ ˆ6 0.6 1.038
NB
a k i j      

 
    
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ6 0.6 6 1.038
TB
j i
a k i k j

        

 
2
ˆ ˆ0.828 3.6
NB
m
a i j
s
 
      
 

 
ˆ ˆ ˆ ˆ0.2 0.346 0.828 3.6
B BT N
B
a a
a i j i j         
 

 
 
2
ˆ ˆ1.028 3.254B
m
a i j
s
 
      
 

 
1.2 O sistema ilustrado, composto por placas soldadas a 
um eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular 
 = 5 rad/s, que cresce a taxa de 4 rad/s2. No instante 
ilustrado, o ponto E está descendo. Pedem-se: 
(a) o vetor velocidade angular. 
(b) o vetor aceleração angular. 
(c) a velocidade do ponto D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pontos x y z (x,y,z) 
A 0 0.203 0 (0,0.203,0) 
B 0 0 0.152 (0,0,0.152) 
D 0.178 0 0 (0.178,0,0) 
   0,0.203,0 0,0,0.152BA A B BA    
  
 0,0.203, 0.152BA  
 
ˆˆ ˆ0 0.203 0.152BA i j k     

 
 
22 20 0.203 0.152 0.254BA BA     
  
0 0.203 0.152 ˆˆ ˆˆ ˆ
0.254 0.254 0.254
BA
e e i j k
BA
    


 
ˆˆ ˆˆ 0 0.8 0.599e i j k     
 
 ˆˆ ˆˆ 5 0 0.8 0.599e i j k            
 
 ˆˆ ˆ0 4 2.977i j k rad s      
 
 ˆˆ ˆˆ 4 0 0.8 0.599e i j k            
 
2ˆˆ ˆ0 3.202 2.397i j k rad s         
 
 ˆˆ ˆ0 4 2.977i j k rad s      
 
   0.178,0,0 0,0.203,0AD D A AD    
  
 0.178, 0.203,0AD  
 
ˆˆ ˆ0.178 0.203 0AD i j k     
 
v AD 
 
   ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 4 2.977 0.178 0.203 0v i j k i j k           
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 4 2.977 0 4
0.178 0.203 0 0.178 0.203
i j k i j
v  
 
 
ˆˆ ˆ0.608 0.533 0.712
m
v i j k
s
 
        
 

 
z 
x 
y 
B 
A C 
0.203 m 
0.152 m 
0.178 m 
D 
E 
30° 
B 
C 
D 
45° 
60° 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
 
5 
  Da D A v       
 
 
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 3.202 2.397 0 3.202
0.178 0.203 0 0.178 0.203
i j k i j
D A    
 

  ˆˆ ˆ0.487 0.427 0 570D A i j k           
 
D
DA
v
D
r
D A v  
 
     
 
 


   

 
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 4.002 2.997 0 4.002
0.608 0.533 0.712 0.608 0.533
i j k i j
v  
    
  
ˆˆ ˆ4.447 1.822 2.433v i j k         
 
  Da D A v       
 
ˆˆ ˆ0.487 0.427 0 570
ˆˆ ˆ 4.447 1.822 2.433
a i j k
i j k
        
     
 
2
ˆˆ ˆ4.934 1.395 3.003
m
a i j k
s
 
        
 

 
2. No problema anterior, determine a velocidade e a 
aceleração no vértice D, supor que a velocidade angular é  = 
5 rad/s e aumenta à razão de 20 rad/s
2
. 
 ˆˆ ˆ0 4 2.977i j k rad s      
 
 ˆˆ ˆˆ 20 0 0.8 0.599e i j k            
 
2ˆˆ ˆ0 16 11.98i j k rad s         
 
   ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 4 2.977 0.178 0.203 0v i j k i j k           
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 4 2.977 0 4
0.178 0.203 0 0.178 0.203
i j k i j
v  
 
 
ˆˆ ˆ0.608 0.533 0.712
m
v i j k
s
 
        
 

 
ˆˆ ˆ0.178 0.203 0AD i j k     
 
v AD 
 
   ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 4 2.977 0.178 0.203 0v i j k i j k           
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 4 2.977 0 4
0.178 0.203 0 0.178 0.203
i j k i j
v  
 
 
ˆˆ ˆ0.608 0.533 0 712
m
v i j k
s
 
         
 

 
 D Da D A v       
 
 
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 16 11.98 0 16
0.178 0.203 0 0.178 0.203
i j k i j
D A    
 

  ˆˆ ˆ2.4319 2.13244 2.848D A i j k          
   DD A v         
 
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 4.002 2.997 0 4.002
0.608 0.533 0.712 0.608 0.533
i j k i j
v  
    
  
ˆˆ ˆ4.447 1.822 2.433v i j k         
  Da D A v       
 
ˆˆ ˆ2.4319 2.13244 2.848
ˆˆ ˆ 4.447 1.822 2.433
a i j k
i j k
       
     
 
2
ˆˆ ˆ6.8789 0.31044 0.415
m
a i j k
s
 
        
 

 
3. A peça rígida mostrada na figura consiste de um 
eixo ABC soldado a uma placa retangular DEFH. O conjunto 
gira uniformemente a uma velocidade angular de 9 rad/s, em 
torno do eixo ABC. Sabendo que o movimento quando visto 
de C é anti-horário, determine a velocidade e a aceleração do 
vértice F. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pontos P x y z P(x,y,z) 
A 0 0.1 0 (0,0.1,0) 
B 0.175 0 0.1 (0.175,0,0.1) 
C 0.35 -0.1 0.2 (0.35,-0.1,0.2) 
D 0.35 0 0 (0.35,0,0) 
F 0 0 0.2 (0,0,0.2) 
   0.35, 0.1,0.2 0,0.1,0AC C A AC     
  
 0.35, 0.2,0.2AC  
 
ˆˆ ˆ0.35 0.2 0.2AC i j k     

 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
 
6 
 
22 20.35 0.2 0.2 0.45AC AC     
 
 
0.35 0.2 0.2 ˆˆ ˆˆ ˆ
0.45 0.45 0.45
AC
e e i j k
AC
    


 
ˆˆ ˆˆ 0.778 0.444 0.444e i j k     
 
 ˆˆ ˆˆ 9 0.778 0.444 0.444e i j k            
 
 ˆˆ ˆ7.002 3.996 3.996i j k rad s       
   0,0,0.2 0,0.1,0AF F A AF    
  
 0, 0.1,0.2AF   
 ˆˆ ˆ0 0.1 0.2AF i j k     
 
Fv AF 

   ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ7.002 3.996 3.996 0 0.1 0.2v i j k i j k           
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
7.002 3.996 3.996 7.002 3.996
0 0.1 0.2 0 0.1
i j k i j
v   
 
 
ˆˆ ˆ0.3996 1.4 0 7F
m
v i j k
s
 
         
 

 
  Fa F A v       
 
0 

  0F A   

 
   FF A v         
 
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
7.002 3.996 3.996 7.002 3.996
0.3996 1.4 0.7 0.3996 1.4
F
i j k i j
v   
    
 
 
ˆˆ ˆ8.39 3.304 11.399Fv i j k        
 
0
F Fa F A v     

  

 
2
ˆˆ ˆ8.39 3.304 11.399
m
a i j k
s
 
       
 

 
 4. No problema anterior, use  = 9 rad/s e decresce 
à razão de 13.5 rad/s
2
, encontre a velocidade e aceleração do 
vértice H. 
 5. Sabe-se que a força de atrito estática entre o 
bloquinho B e a placa será vencida e o bloco deslizará quando 
sua aceleração alcançar 3 m/s
2
. Se a placa parte do repouso em 
t = 0 s e acelera uniformemente à razão de 4 rad/s
2
, determine 
o instante t e a velocidade angular da placa quando o bloco 
começar a escorregar;r = 200 mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2
2
3R N T R
m
a a a a
s
   
 
2
4 0.2 0.8T T T
m
a r a a
s
      
 
2 2 2 2
2
3 9 0.8 2.891N T N N
m
a a a a
s
      
 
2 2.891 3.801
0.2
N
N
a rad
a r
r s
          
 
0 t    
 
3.801
3.801 0 4 0.95
4
t t s t s      
 
 6. O bloquinho B repousa sobre a placa horizontal 
que gira em torno de um eixo fixo. A placa parte do repouso 
em t = 0 e acelera à razão constante de 0.5 rad/s
2
. Sabendo-se 
que r = 200 mm, determinar o módulo da aceleração total do 
bloco quando: (a) t = 0 s. (b) t = 1 s e (c) t = 2 s. 
2 2
R N Ta a a 
 
2
0.5 0.2 0.1T T T
m
a r a a
s
      
 
0 0rad s 
 
2
00 0N Nt a r a     
 
2
0.1R T R
m
a a a
s
  
 
1t 
 
0 0 0.5 1 0.5
rad
t
s
            
 
2 2
2
1 0.5 0.2 0.05N N N
rad
t a r a a
s
        
2
0.1T T
m
a r a
s
   
 
2 2 2 2
2
0.05 0.1 0.118R R N T R R
m
a a a a a a
s
       
 
 
 
 
00.1 2 63.43
0.05
T
N
a
tg tg arctg
a
         
 
2t  
2
0.1T T
m
a r a
s
   
 
0 0 0.5 2 1
rad
t
s
            
2 2
2
2 1 0.2 0.2N N N
rad
t a r a a
s
         
B 
A 
 
α 
Na

 
Ra

 
Ta

 

 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
 
7 
2 2 2 2
2
0.2 0.1 0.2236R R N T R R
m
a a a a a a
s
       
 
 
 
 
00.1 1 26.56
0.2 2
T
N
a
tg tg arctg
a
           
 
 
 
7. A peça rígida mostrada na figura consiste de um 
eixo AB soldado a uma placa retangular DEBC. O conjunto 
gira uniformemente a uma velocidade angular constante de 10 
rad/s, em torno do eixo AB. Sabendo que o movimento quando 
visto de B é anti-horário, determine a velocidade e a 
aceleração do vértice E. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pontos P x y z P(x,y,z) 
A 0 0.225 0 (0,0.225,0) 
B 0.5 0 0.3 (0.5,0,0.3) 
C 0 0 0.3 (0,0,0.3) 
D 0 0 0 (0,0,0) 
E 0.5 0 0 (0.5,0,0) 
   0.5,0,0.3 0,0.225,0AB B A AB    
  
 0.5, 0.225,0.3AB  
 
ˆˆ ˆ0.5 0.225 0.3AB i j k     

 
 
22 20.5 0.225 0.3 0.625AB AB m     
  
0.5 0.225 0.3 ˆˆ ˆˆ ˆ
0.625 0.625 0.625
AB
e e i j k
AB
    


 
ˆˆ ˆˆ 0.8 0.36 0.48e i j k     
 
 ˆˆ ˆˆ 10 0.8 0.36 0.48e i j k            
 
 ˆˆ ˆ8 3.6 4.8i j k rad s      
 
   0.5,0,0 0.5,0,0.3BE E B BE    
  
 0,0, 0.3BE  
 
ˆˆ ˆ0 0 0.3BE i j k     
 
Ev BE 
 
   ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ8 3.6 4.8 0 0 0.3v i j k i j k           
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
8 3.6 4.8 8 3.6
0 0 0.3 0 0
i j k i j
v   

 
ˆˆ ˆ1.08 2.4 0E
m
v i j k
s
 
       
 

 
    a E B E B          
 
0 

  0F A   

 
   EE B v         
 
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
8 3.6 4.8 8 3.6
1.08 2.4 0 1.08 2.4
E
i j k i j
v     
ˆˆ ˆ11.52 5.184 23.088Ev i j k        
 
    
0 E
E
v
a E B E B        
 
  
 
 
2
ˆˆ ˆ11.52 5.184 23.088E
m
a i j k
s
 
        
 

 
8. Atividade 1: Encontre a velocidade e a aceleração 
do ponto C considerando que a velocidade angular é 10 rad/s e 
decresce a taxa de 20 rad/s
2
. 
 
 9. O rotor de um motor elétrico tem freqüência de 
1800 rpm quando é desligado. O rotor pára após executar 625 
voltas. Supondo movimento uniformemente retardado, pedem-
se: (a) a aceleração angular do rotor. 
 (b) o tempo total do movimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1800
1800 30
60
f rpm f Hz f Hz    
 
0 0 0
188.5
2 2 30 60
rad
f
s
           
 
3926.99
2 2 625 1250 n rad              
 
 
Na

 
Ra

 
Ta

 

 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
 
8 

2
2 2 0
0
0
2
2
            
 
 
2 2
2
4.524
60 3600
1.44
2 1250 2500
rad
s
      

        
  
 
0
188.5
0 188.5 4.524 41.67
4.524
t t t t s            
 10. Atividade 1: Suponha que um rotor de um motor 
execute 2400 rpm em 4 s quando ligado e quando o rotor é 
desligado ele retorna ao repouso em 40 s. Assumindo que a 
aceleração do movimento é uniforme, determine o número de 
voltas dado pelo rotor: 
(a) quando é ligado até atingir 2400 rpm. 
(b) estando em 2400 rpm, até parar. 
 
 11. Na figura, o disco B inicialmente em repouso, é 
posto em contato com o disco A que gira inicialmente no 
sentido horário com freqüência 450 rpm. Após o contato, 
ocorre escorregamento com as superfícies, durante 6 s e 
durante os quais, os discos apresentam acelerações angulares 
diferentes, mas ambas constantes. Ao término do 
escorregamento, o disco A apresenta freqüência constante de 
140 rpm. Pedem-se: 
 (a) as acelerações angulares de cada disco. 
 (b) a velocidade final do ponto de contato. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Determinando a freqüência angular inicial e final do 
disco A: 
0 0 0 0
450
2 2 47.12
60
A A A A
rad
f
s
          
 
140
2 2 14.66
60f f f f
A A A A
rad
f
s
          
 
 Disco A: MCUVR: desacelera de 450 rpm a 140 rpm. 
Depois fica com MCU a 140 rpm: 
 MCUVR: 
2
14.66 47.12
14.66 47.12 6 5.41
6
A A A
rad
s
         
 
 MCU: 
14.66 0.08 1.17
A f A AP A A P P
m
v r v v
s
       
 Disco B possui os movimentos: 
1. Parte do repouso e acelera uniformemente por 6 s. 
MCUVA. 
2. Mantem movimento uniforme. MCU. 
 MCU: Neste segundo movimento, as velocidades 
tangenciais de B e A serão iguais: 
1.17
A B BP P P
m
v v v
s
  
 
 MCUVA: 
1.17
1.17 0.12
0.12B f f f
P B B B Bv r        
 
9.75
fB
rad
s
 
 
Ou seja, parte do repouso e atinge essa velocidade 
angular 
fB

em 6 s: 
0
0
f
f
B B
B B B Bt
t
         
 
2
9.75 0
1.63
6
B B
rad
s
   
 
 12. Na polia dupla, ligadas por fios inextensíveis, 
suspensos pelos blocos A e B, os fios não escorregam sobre a 
polia. O bloco A parte no instante t = 0 s, com aceleração 
constante aA = 300 mm/s
2
 e velocidade inicial vA = 240 mm/s, 
ambas de baixo para cima. Determine: 
 (a) o número de revoluções executadas pela polia em 
t = 3 s. 
 (b) a velocidade e a posição de B em 3 s. 
 (c) a aceleração do ponto D da polia em t = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Polia menor: 
0.3
0.12
A
A
T
T A A A A
A
a
a r
r
       
 
2
2.5A
rad
s
 
 
0
0 0 0 0
0.24
0.12
A
A A A AA
A
v
v r
r
       
 
0 2.0A
rad
s
 
 
2
0 0
1
2A
At t       
 
2
0 0
1
2A
At t          
 
A 
120 mm 
B 
80 mm 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
 
9 
2
0 0
1
2A
At t         
 
212 3 2.5 3
2
    
 

2.75
17.25
17.25
2
rad rev 

    
 
 Polia maior: 
0 02.0A B
rad
s
  
 
2
2.5A B
rad
s
  
 
0 2 2.5 3BB B Bt         
 
9.5B
rad
s
 
 
9.5 0.18 1.71B B B B B
m
v r v v
s
       
 
2
0 0
1
2B
Bt t          
 
212 3 2.5 3 17.25
2
rad        
 
17.25 0.18 3.10571B B B Bs r s s m          
 Aceleração em D: 
2
2.5
DT D B D A
rad
a r
s
      
 
2.5 0.18
D DT D B T
a r a     
2
0.45
DT
m
a
s

 
2
0 2D AN D B D
rad
a r
s
      
 
2
2
2 0.18 0.72
D DN N
m
a a
s
   
 
2 2
D D DR T N
a a a 
 
2 2
2
0.45 0.72 0.849
D DR R
m
a a
s
    
 
0.45
0.72
D
D
T
N
a
tg tg
a
   
 
0.625 32arctg     
 
 
 
 
 
 
13. O sistema ilustrado, composto por placas soldadas a 
um eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular 
 = 5 rad/s, que cresce a taxa de 4 rad/s2. No instante 
ilustrado, o ponto C está subindo. Pedem-se: 
(a) a velocidade no ponto C. 
(c) a aceleração do ponto C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pontos x y z (x,y,z) 
A 0 0.56 0 (0,0.56,0) 
B 0 0 0.8 (0,0,0.8) 
C 0.56 0 0 (0.56,0,0) 
   0,0.56,0 0,0,0.8BA A B BA    
  
 0,0.56, 0.8BA  
 
ˆˆ ˆ0 0.56 0.8BA i j k     

 
 
22 20 0.56 0.8 0.976BA BA     
  
0 0.56 0.8 ˆˆ ˆˆ ˆ
0.976 0.976 0.976
BA
e e i j k
BA
    


 
ˆˆ ˆˆ 0 0.573 0.819e i j k     
 
Como o ponto C está subindo (horário): 
 ˆˆ ˆˆ 5 0 0.573 0.819e i j k              
 
 ˆˆ ˆ0 2.865 4.095i j k rad s       
 ˆˆ ˆˆ 4 0 0.573 0.819e i j k             
 
2ˆˆ ˆ0 2.292 3.276i j k rad s         
 
   0.56,0,0 0,0.56,0AC C A AC    
  
 0.56, 0.56,0AC  
 
ˆˆ ˆ0.56 0.56 0AC i j k     
 
Cv AC 
 
   ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 2.865 4.095 0.56 0.56 0Cv i j k i j k           

ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 2.865 4.095 0 2.865
0.56 0.56 0 0.56 0.56
C
i j k i j
v   
 
 
DT
a

 
DN
a

 
D 
DR
a

 
 
z 
x 
y 
B 
A C 
0.56 m 
0.80 m 
0.56 m 
D 
E 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
 
10 
ˆˆ ˆ2.293 2.2932 1.599C
m
v i j k
s
 
       
 

 
C Ca AC v    
   
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 2.292 3.276 0 2.292
0.56 0.56 0 0.56 0.56
i j k i j
AC    
 

ˆˆ ˆ1.8346 1.8346 1.2835AC i j k       
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 2.865 4.095 0 2.865
2.293 2.293 1.599 2.293 2.293
C
i j k i j
v     
ˆˆ ˆ13.97 9.389 6.569Cv i j k         
 
C Ca AC v    
   
ˆˆ ˆ1.8346 1.8346 1.2835
ˆˆ ˆ 13.97 9.389 6.569
Ca i j k
i j k
      
     
 
2
ˆˆ ˆ12.1354 11.2236 7.8525C
m
a i j k
s
 
        
 

 
 14. O conjunto ilustrado é constituído por um disco 
soldado a um eixo vertical e gira no sentido anti-horário a 
partir do repouso. A aceleração angular é constante e de valor 
α = 1 rad/s2. Um bloco apoia-se no disco a 0.35 m do eixo e 
não escorregará em relação ao mesmo até que sua aceleração 
total atinja 6.5 m/s
2
. Pedem-se: 
 (a) a aceleração 1.0 s após o início do movimento do disco. 
 (b) o instante que o bloco deslizará. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ˆ ˆ1j j       
 
 0 1
0
ˆ ˆ ˆ1j t j t j                 
 
 
   
ˆ0.35r i 
 
v r  
 
     
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ1 0.35 1 0.35
k
v t j i v t j i

         
 
 
ˆ0.35v t k   
 
 
T Na a
a r v    
 
   
 
       ˆˆ ˆ ˆ1 0.35 1 0.35a j i t j t k          
 
   
ˆ ˆ
ˆˆ ˆ ˆ1 0.35 0.35
ik
a j i t t j k

       

 
2 2ˆ ˆˆ ˆ0.35 0.35 0.35 0.35a k t i a t i k            
  
  2 ˆˆ1 0.35 1 0.35a t i k      

 
  2
ˆˆ1 0.35 0.35
m
a t i k
s
 
       
 

 
2 2 2ˆ ˆ0.35 0.35 T Na k t i a a a        
 
   
222 2 2 2 20.35 0.35T Na a a a t       
 
2 46.5 0.1225 0.1225 t  
442.25 0.1225 0.1225 t  
 
4
4
42.1275
0.1225 42.1275
0.1225
t t   
 
4 343.897 4.31t t s  
 
 
 15. O sistema ilustrado é composto por duas rodas A 
e B de raios iguais a 30 mm, que giram em torno de eixos 
fixos e por um anel C, encaixado entre as mesmas. O anel tem 
raio interno 72 mm e raio externo 76 mm (espessura 4 mm). 
Não ocorre escorregamento entre as superfícies de contato. A 
roda superior A, gira com freqüência constante f = 400 rpm no 
sentido anti-horário. Pedem-se: 
 (a) a velocidade do anel C; 
 (b) a velocidade angular da roda inferior B. 
 (c) as acelerações dos pontos das rodas em contato 
com o anel. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.667
400
400 2 41.887
60
A A A A A
rad
f rpm f Hz f
s
         
 
ext ext
ext
A
A C A A C C C A
C
r
v v r r
r
         
 
30
41.887 16.534
76
C C
rad
s
     
 
int
int int
C
B C B B C C B C
B
r
v v r r
r
         
 
y 
z 
B 
0.35 m 
A 
x 
jˆ
 
kˆ
 iˆ 
B 
A 
C 
x 
y 
z 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
 
11 
72
16.534 39.682
30
B B
rad
s
    
 
2 2ˆ ˆ41.887 0.03
A AN A A N
a r j a j       
 
2
ˆ0 52.635
A A AT R N
m
a a a j
s
 
      
 
  
 
 2 2ˆ ˆ39.682 0.03
B BN B B N
a r j a j         
 
2
ˆ0 47.239
B B BT R N
m
a a a j
s
 
       
 
  
 
16. Na figura estão representaas duas engrenagens A 
e B, com eixos fixos e com raios rA = 800 mm e rB = 384 mm, 
respectivamente. A engrenagem A parte do repouso, acelera 
uniformemente no sentido horário e atinge freqüência de 
rotação 120 rpm em 5 s, que matém daí por diante. Pedem-se: 
(a) a aceleração angular das engrenagens; 
(b) a velocidade angular final da engrenagem B; 
(c) a velocidade final do ponto pertencente à 
engrenagem B, que faz contato com a engrenage, A. 
(d) a aceleração do ponto citado no item anterior, nas 
mesmas condições. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

0
2
120
0 120
60
A A Af rpm f Hz     
 
12.566
2 4
fA A A
rad
f
s
        
 
0 12.566 0
5
fA A
A A A
t t
         
 
 
2
2.51A
rad
s
   
 o negativo é devido ao sentido horário. 
A
A B A A B B B A
B
r
v v r r
r
         
 
800
12.566 26.17
384
B B
rad
s
    
 
ˆ26.17B
rad
k
s
     
 

 
0 26.17 0
5
fB B
B B B
t t
        
 
 
2
5.236B
rad
s
  
 
26.17 0.384 10.049B B B B B
m
v r v v
s
      
 
ˆ10.049B
m
v j
s
 
   
 

 
0
T R NB B B
a a a  
  
 
2 2
2
10.049
262.98
0.384N N N
B
B B B
B
v m
a a a
r s
   
 
2
ˆ262.98
NB
m
a i
s
 
   
 

^ 
17. O sistema ilustrado é formado por uma plca de 
dimensões 0.20 x 0. 40 m soldada ao eixo fixo AB; no instante 
ilustrado, o sistema gira em torno do eixo fixo com velocidade 
angular de 15 rad/s, que decresce a taxa de 7 rad/s
2
. Quando 
obsevada de um ponto B, a placa gira no sentido anti-horário. 
Para o instante ilustrado, pedem-se: 
(a) a velocidade do ponto C; 
(b) a aceleração do ponto C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pontos x y z (x,y,z) 
A 0 0.1 0 (0,0.1,0) 
B 0.4 -0.1 0.2 (0.4,-0.1,0.2) 
C 0.4 0 0.2 (0.4,0,0.2) 
   0.4, 0.1,0.2 0,0.1,0AB B A AB     
  
 0.4, 0.2,0.2AB  
 
ˆˆ ˆ0.4 0.2 0.2AB i j k     

 
 
22 20.4 0.2 0.2 0.4899AB AB     
  
0.4 0.2 0.2 ˆˆ ˆˆ ˆ
0.4899 0.4899 0.4899
AB
e e i j k
AB
       


 
ˆˆ ˆˆ 0.8165 0.4082 0.4082e i j k     
 
Anti-horário: 
y 
x 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
 
12 
 ˆˆ ˆˆ 15 0.8165 0.4082 0.4082e i j k             
 ˆˆ ˆ12.2475 6.123 6.123i j k rad s       
 ˆˆ ˆˆ 7 12.2475 6.123 6.123e i j k             
2ˆˆ ˆ85.7325 42.861 42.861i j k rad s          
 
   0.4,0,0.2 0,0.1,0AC C A AC    
  
 0.4, 0.1,0.2AC  
 
ˆˆ ˆ0.4 0.1 0.2AC i j k     
 
Cv AC 
 
   ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ12.2475 6.123 6.123 0.4 0.1 0.2Cv i j k i j k           

ˆˆ ˆ ˆ ˆ
12.2475 6.123 6.123 12.2475 6.123
0.4 0.1 0.2 0.4 0.1
C
i j k i j
v   
 
 
ˆˆ ˆ0.61232 0 1.225C
m
v i j k
s
 
        
 

 
C Ca AC v    
   
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
85.7325 42.861 42.861 85.7325 42.861
0.4 0.1 0.2 0.4 0.1
i j k i j
AC     
 

ˆˆ ˆ4.2861 0 8.571AC i j k       
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
12.2475 6.123 6.123 12.2475 6.123
0.61232 0 1.225 0.61232 0
C
i j k i j
v   
 
  
ˆˆ ˆ7.5 18.7534 3.7492Cv i j k         
C Ca AC v    
   
ˆˆ ˆ4.2861 0 8.571
ˆˆ ˆ 7.5 18.7534 3.7492
Ca i j k
i j k
      
     
 
2
ˆˆ ˆ3.2139 18.7534 12.3202C
m
a i j k
s
 
        
 

 
18. O sistema ilustrado, composto por placas soldadas a 
um eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular 
constante de  = 5 rad/s. No instante considerado o ponto C 
está descendo. Pedem-se: 
(a) o vetor velocidade angular. 
(b) a velocidade do ponto C na forma vetorial. 
(c) a aceleração do ponto C na forma vetorial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pontos x y z (x,y,z) 
A 0 0.203 0 (0,0.203,0) 
B 0 0 0.152 (0,0,0.152) 
C 0.178 0.203 0 (0.178,0.203,0) 
D 0.178 0 0 (0.178,0,0) 
   0,0.203,0 0,0,0.152BA A B BA    
  
 0,0.203, 0.152BA  
 
ˆˆ ˆ0 0.203 0.152BA i j k     

 
 
22 20 0.203 0.152 0.254BA BA     
  
0 0.203 0.152 ˆˆ ˆˆ ˆ
0.254 0.254 0.254
BA
e e i j k
BA
    


 
ˆˆ ˆˆ 0 0.8 0.599e i j k     
 
 ˆˆ ˆˆ 5 0 0.8 0.599e i j k            
 
 ˆˆ ˆ0 4 3i j k rad s      
 
ˆ 0e        
   0.178,0.203,0 0,0.203,0AC C A AC    
  
 0.178,0,0AC 
 
ˆˆ ˆ0.178 0 0AD i j k     
 
v AD 
 
   ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 4 3 0.178 0 0v i j k i j k           
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 4 3 0 4
0.178 0 0 0.178 0
i j k i j
v  
 
z 
x 
y 
B 
A C 
0.203 m 
0.152 m 
0.178 m 
D 
E 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
 
13 
ˆˆ ˆ0 0.53 0.71
m
v i j k
s
 
       
 

 
   Ca C A v          
 
  0C A   

 
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 4.0 3 0 4.0
0 0.53 0.71 0 0.53
C
i j k i j
v  
  
  
ˆˆ ˆ4.43 0 0Cv i j k        
 
 C Ca C A v       
 
ˆˆ ˆ0 0 0
ˆˆ ˆ 4.43 0 0
a i j k
i j k
      
     
 
2
ˆ4.43
m
a i
s
 
    
 

 
 
19. O sistema ilustrado, composto por placas soldadas a 
um eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular 
constante de  = 5 rad/s. No instante ilustrado, o ponto C está 
descendo. Pedem-se: 
(a) o vetor velovidade angular. 
(b) a velocidade do ponto E na forma vetorial. 
(c) a aceleração do ponto E na forma vetorial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pontos x y z (x,y,z) 
A 0 0.5 0 (0,0.5,0) 
B 0 0 0.5 (0,0,0.5) 
E 0.4 0.1 0 (0.4,0.1,0) 
   0,0.5,0 0,0,0.5BA A B BA    
  
 0,0.5, 0.5BA  
 
ˆˆ ˆ0 0.5 0.5BA i j k     

 
 
22 20 0.5 0.5 0.707BA BA     
  
0 0.5 0.5 ˆˆ ˆˆ ˆ
0.707 0.707 0.707
BA
e e i j k
BA
    


 
ˆˆ ˆˆ 0 0.707 0.707e i j k     
 
 ˆˆ ˆˆ 5 0 0.707 0.707e i j k            
 
 ˆˆ ˆ0 3.535 3.535i j k rad s       
ˆ 0e        
   0.4,0.1,0 0,0.5,0AE E A AE    
  
 0.4, 0.4,0AC  
 
ˆˆ ˆ0.4 0.4 0AE i j k     
 
Ev AE 
 
   ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 3.535 3.535 0.4 0.4 0Ev i j k i j k           

ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 3.535 3.535 0 3.535
0.4 0.4 0 0.4 0.4
E
i j k i j
v  
 
 
ˆˆ ˆ1.414 1.414 1.414E
m
v i j k
s
 
        
 

 
 E Ea E A v       
 
  0E A   

 
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
0 3.535 3.535 0 3.535
1.414 1.414 1.414 1.414 1.414
E
i j k i j
v  
    
 
 
ˆˆ ˆ10 5 5Cv i j k        
 
 E Ea E A v       
 
ˆˆ ˆ0 0 0
ˆˆ ˆ 10 5 5
Ea i j k
i j k
      
     
 
2
ˆˆ ˆ10 5 5E
m
a i j k
s
 
        
 

 
 
20. Uma pedra de esmeril, de formato cilíndrico, com 
raio R = 0.45 m, gira com freqüência constante f0 = 1800 rpm; 
quando se desliga o motor elétrico do esmeril, a pedra gasta 10 
s até parar; considerando movimento uniformemente variado, 
pedem-se: 
(a) a aceleração angular α da pedra; 
(b) a velocidade de um ponto P da borda da pedra 
quando a freqüência é 1800 rpm; 
(c) a aceleração de um ponto P da borda da pedra, 
quando a freqüência é 1800 rpm. 
 
 
z 
x 
y 
B 
A C 
0.4 m 
0.1 m 
D G 
0.1 m 
0.4 m 
0.2m 
0.2m 
D E 
F 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30
0 0
1800
1800 2 188.5
60
rad
f rpm f Hz f
s
          
0 0 188.5
10t t
        
 
 
2
18.85
rad
s
   
 
188.5 0.45 84.82P P P
m
v r v v
s
      
 
2 2
2
188.5 0.45 15989.1
N N NP P P
m
a r a a
s
       
0 é cte
TP
a  
 
R N T R NP P P P P
a a a a a   
    
 
 
21. Dois discos de raios RB = 45 mm e RA = 20 mm 
estão em contato sem escorregar. 
O disco A(inferior) parte do repouso e acelera de 
forma uniforme com aceleração αA = 3 rad/s
2
. Para o instante 
em que a velocidade angular do disco A atinge valor A = 20 
rad/s, pedem-se: 
 (a) a aceleração angular do disco B.(b) a velocidade angular do disco B. 
 (c) a velocidade de um ponto na borda do disco B. 
(d) a aceleração de um ponto na borda do disco B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Disco A: MCUVA: 
0A A A
t    
 

6.67
20
20 0 3
3
t t s    
 
 
Disco B: 
A
A B A A B B B A
B
R
v v R R
R
          
 
20
20 8.89
45
B B
rad
s
    
 
0B B B
t    
 

2
1.33
8.89
8.89 0 6.67
6.67
B B
rad
s
     
 
20 0.02 0.4A A A A A B
m
v R v v v
s
        
2
1.33 0.045 0.05985
T T TB B B B B
m
a R a a
s
      
 
2 2
2
0.4
3.55
0.045N N N
B
B B B
B
v m
a a a
R s
    
 
2 2
R N T R N TB B B B B B
a a a a a a    
  
 
2 2
2
3.55 0.05985 3.56
R RB B
m
a a
s
   
 
22. O disco de raio R = 80 mm parte do repouso e 
acelera de maneira uniforme, atingindo a velocidade angular  
= 30 rad/s em 10 voltas. Pedem-se: 
(a) a aceleração angular do disco; 
(b) o tempo gasto nessas 10 voltas iniciais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disco: MCUVA: 
2
0
1
2
t t      
 

62.832
2 10 20 rad        
 
2 2 2 2
0 2 30 0 2 62.831             
2
2
30
7.16
2 62.831
rad
s
   

 
0 30 0 7.16t t        
 
z 
y 
R 
x 
A 
PB 
B 
PA 
80 mm 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
 
15 
30
4.19
7.16
t t s  
 
 22. A haste ABCD gira apoiada nas articulações A e 
D; no instante ilustrado, a velocidade angular da barra é 95 
rad/s, que decresce à taxa de 380 rad/s
2
. E o ponto C está 
subindo. Pedem-se: 
 (a) a velocidade do ponto B, para o instante ilustrado; 
 (b) a aceleração do ponto B, no instante ilustrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pontos x y z (x,y,z) 
A 0 0.2 0.12 (0,0.2,0.12) 
B 0.3 0.2 0.12 (0.3,0.2,0.12) 
D 0.3 0 0 (0.3,0,0) 
   0,0.2,0.12 0.3,0,0DA A D DA    
  
 0.3,0.2,0.12DA  
 
ˆˆ ˆ0.3 0.2 0.12DA i j k      

 
 
2 2 20.3 0.2 0.12 0.38DA DA     
  
0.3 0.2 0.12 ˆˆ ˆˆ ˆ
0.38 0.38 0.38
DA
e e i j k
DA
        


 
ˆˆ ˆˆ 0.789 0.5263 0.3158e i j k      
 
Anti-horário: 
 ˆˆ ˆˆ 95 0.789 0.5263 0.3158e i j k              
 ˆˆ ˆ75 50 30i j k rad s       
 
 ˆˆ ˆˆ 380 75 50 30e i j k              
2ˆˆ ˆ28500 19000 11400i j k rad s         
 
   0.3,0.2,0.12 0,0.2,0.12AB B A AB    
  
 0.3,0,0AB 
 
ˆˆ ˆ0.3 0 0AB i j k     
 
Bv AB 
 
   ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ75 50 30 0.3 0 0Bv i j k i j k            

ˆˆ ˆ ˆ ˆ
75 50 30 75 50
0.3 0 0 0.3 0
B
i j k i j
v  
 
ˆˆ ˆ0 9 15B
m
v i j k
s
 
       
 

 
B Ba AB v    
   
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
28500 19000 11400 28500 19000
0.3 0 0 0.3 0
i j k i j
AB     

ˆˆ ˆ0 3420 5700AB i j k       
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
75 50 30 75 50
0 9 15 0 9
B
i j k i j
v   

  
ˆˆ ˆ1020 1125 675Bv i j k        
 
B Ba AB v    
   
ˆˆ ˆ0 3420 5700
ˆˆ ˆ 1020 1125 675
Ba i j k
i j k
      
     
 
2
ˆˆ ˆ1020 4545 5025B
m
a i j k
s
 
        
 

 
 
23. O sistema de engrenagens ilustrado, deve 
suspender o bloco alçando-o por 6.10 m. A engrenagem A 
parte do repouso e, mantendo aceleração angular constante, 
atinge a freqüência de 120 rpm em 5 s, mantendo-se constante 
após atingí-la. Pedem-se: 
 (a) o número de rotações da engrenagem; 
 (b) o tempo gasto na operação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Engrenagem A: 
A 
D 
z 
x 
300 mm 
200 mm 
120 mm C 
B 
76.2 
381 
76.2 
457 
Em mm 
A B 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
 
16 
0
120
0 2 2
60
A A Af          
 
12.566A
rad
s
 
 
2
12.566
2.513
5
A A A
rad
t s
      

 
A
A B A A B B B A
B
r
v v r r
r
          
 
0.0762
12.566 2.095
0.457
B B
rad
s
    
 
N o MUV o  de B percorrido em 5s será: 
2 2
0 2B B      
 
2 2 2 2
0 2.095 0
2 2 0.419B
  
 
    
 
 
0
5.2375
BB i
rad s r     
 
0 0
0.381 5.2375 2B Bs s m   
 
6.1
0.381i
i
B
B B B B B
B
s
s r
r
         
 
16.01B rad 
 
2
2.095
0.419
5
B B B
rad
t s
      

 
Faltam: 
0
6.1 6.1 2 4.1Bs m   
 
 Nesses 4.1 m a engrenagem B percorre em 
velocidade angular constante; o tempo gasto será de: 
4.1
2.095 0.381
iB B B
s
v r
t t
      
 
 
4.1
5.1365
2.095 0.381
t t s    

 
A polia A gastará 5 s em MUVA e 5.1365 s em MU: 
12.566A
rad
s
 
 
12.566 5.1365A A At       
64.546
MUA
rad 
 
Em MUV: 
0
21
2MUV
A A At t      
 
210 2.513 5 31.4125
2MUV MUV
A At rad        
 
64.546 31.4125
MU MUVA A
    
 
95.9585
MU MUVA A
rad   
 
95.9585
2 2
MU MUVA A rev
 
 
 

 
15.27
2
MU MUVA A rev
 

 

 
5 5.1365T MUV MUt t t      10.1365Tt 
 
24. A polia ilustrada na figura possui raio R = 0.32 m 
e é acionada por um motor elétrico, com o intuito de 
suspender o bloco A. Quando a polia apresenta freqüência de 
rotação f0 = 120 rpm, o motor é desligado. Mesmo assim, o 
bloco ainda sobe h = 0.80 , antes de parar. Pedem-se: 
(a) a aceleração angular da polia; 
(b) o tempo gasto até parar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 0 0
120
2 2 12.566
60
rad
f
s
           
0.8
2.5
0.32
h
h R rad
R
             
 2 2
2 2 0
0 2
2
F
F
      

     

 
2 2
2
0 12.566
31.58
2 2.5
rad
s
    

 
0 0 12.566 31.58t t        
 
12.566
0.397
31.58
t t s  
 
25. A figura figura ilustra uma correia que move-se 
entre duas polias A e B, de raios RA = 0.06 m e RB = 0.02 m, 
respectivamente, sem que ocorra escorregamento entre as 
superfícies em contato. A velocidade da correia aumenta 
uniformemente, desde v1 = 0.8 m/s até v2 = 2.4 m/s, em 5 s. 
Pedem-se: (a) a aceleração angular de cada polia; (b) o 
número de voltas efetuadas por cada uma das polias, nos 5 s. 
 
 
 
 
 
 
 
A R 
RA 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
 
17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4 0.8
0.32
5
c c c
v m
a a a
t s
 
    

 
A
c A A A A A
A
a
a a a R
R
      
 
2
0.32
5.33
0.06
A A
rad
s
   
 
B
c B B B B B
B
a
a a a R
R
      
 
2
0.32
16
0.02
B B
rad
s
   
 
B
B B B B
B
v
v R
R
    
 
2.4
120
0.02
B B
rad
s
   
 
0
0 0 0
B
B B B B
B
v
v R
R
    
 
0 00.8
40
0.02
B B
rad
s
   
 
0
0
2 2
2 2 2
2
B B
B B B B B
B
      

      

 
2 2120 40
400
2 16
B B rad     

 

63.7
400
2
B rev 
 
 
A
A A A A
A
v
v R
R
    
 
2.4
40
0.06
A A
rad
s
   
 
0
0 0 0
A
A A A A
A
v
v R
R
    
 
0 0
0.8
13.33
0.06
A A
rad
s
   
 
0
0
2 2
2 2 2
2
A A
A A A A A
A
      

      

 
2 240 13.33
133.42
2 5.33
A A rad     

21.2
133.42
2
A rev 
 

 
26. Uma polia dupla, de raios R1 = 1.5 m e R2 = 0.8 
m, gira sob ação de dois blocos A e B, conforme ilustrado. O 
bloco A apresenta aceleração aA = 4 m/s², com velocidade 
inicial (em t = 0 s), vA0 = 5 m/s. Considerando o intervalo de 
tempo de 2 s, pedem-se: 
(a) o número de voltas da polia; 
(b) as correspondentes velocidade e percurso do 
bloco B; 
(c) a aceleração centrípeta de um ponto da borda mais 
externa da polia (R1 = 1.5 m). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
5 4 2 13A A A A A
m
v v a t v v
s
        
 
 
1
1
A
A A A
v
v R
R
    
 
13
8.667
1.5
A A
rad
s
   
 
0
0 0 01
1
A
A A A
v
v R
R
    
 
0 0
5
3.33
1.5
A A
rad
s
   
 
1
1
A
A A A
a
a R
R
    
 
2
4
2.67
1.5
A A
rad
s
   
 
0
0
2 2
2 2 2
2
A A
A A A A A
A
      

      

 
v 
v RB 
R1 R2 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
 
18 
2 28.667 3.33
11.99
2 2.67
A A rad     

 
11.99
1.91
2
A Arev rev     
 
2 8.667 0.8B B Bv R v    
 
6.93B
m
v
s

 
0 0 0 02 2B B B B
v R v R     
 
0 0
3.33 0.8 2.664B B
m
v v
s
   
 
2 2.67 0.8B B Ba R a    
 
2
2.136B
m
a
s

 
0
0
2 2
2 2 2
2
B B
B B B B B
B
v v
v v a s s
a

      

 
2 26.93 2.664
9.58
2 2.136
B Bs s m

   

 
0
2 2
2
1
5
16.67
1.5A A A
A
cp cp cp
v m
a a a
R s
    
 
27. As engrenagens ilustradas A, B e C, tem 
respectivamente raios RA = 0.24 m, RB = 0.16 m e RC = 0.32 m 
e apresentam eixos fixos. A engrenagem A gira com 
velocidade angular constante A = 5 rad/s, no sentido horário. 
Pedem-se: 
(a) as velocidades angulares das engrenagens B e C; 
(b) a aceleração de um ponto periférico da 
engrenagem A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
7.50 3.75 ; 4.5B C
rad rad m
a
s s s
    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exercícios 
1. Uma polia está conectada por cabos inextensíveis 
conforme mostra a figura. O movimento da polia é 
controlado pelo cabo C o qual tem uma aceleração constante 
de 9 in/s
2
 e uma velocidade inicial de 12 in/s, ambas para a 
direita.Determine: 
 (a) o número de revoluções executados pela polia em 2 s. 
 (b) a velocidade e a mudança na posição do corpo B após 
2s. (c) a aceleração do ponto D da polia interior no instante t 
= 0s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
0 0 0 0
12 3 4Dv r rad s         
 
29 3 3
tD
a r rad s          
 
1 
14 2.23 rev
2 
rev
rad
rad
 
 
 
 
0 4 3 2 10t rad s             
2 2
0
1 1
4 2 3 2 14
2 2
t t rad               
 
5 10 50B B Bv r v v in s       
5 14 70B B By r y y in         
  29D Cta a in s  
 
 
     2 2 20 3 4 48D D D Dn n na r a a in s       
48 48
tan arctan 79.4
9 9
       
 
2
48
79.4 48 48.8
79.4
D D D
in
a sen a a
sen s
      

 
RB 
RA 
RC 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
 
19 
 
 
 
 
 
 
 
 2. O movimento de um corpo é dado por: 
   3 29 15t t t t SI     
. 
 Determine a posição angular, a velocidade angular e 
a aceleração angular nos instantes: 
 (a) t = 0 s (b) t =3s. 
 
 3. No problema anterior, determine a posição angular 
e a aceleração nos instantes em que a velocidade angular se 
anula. 
 
 4. A cinta conecta as rodas do auto. O eixo B possui 
aceleração angular constante de 120 rad/s
2
 em sentido anti-
horário, Ela está inicialmente em repouso, Determine a 
aceleração da cinta no ponto C, quando: 
 (a) t = 0.5 s (b) t = 2s. 
 
 
 
 
 
 5. Uma série de componentes pequenos estão 
sendo movidos por um transportador. O cinto passa por 
uma polia tensora de 6 in de raio. No instante mostrado, 
a velocidade do ponto A é 15 in/s para a esquerda e sua 
aceleração vale 9 in/s
2
 para a direita. 
Determinar: 
(a) a velocidade angular e aceleração angular 
da polia, 
(b) a aceleração total da máquina 
componente em B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15
2.5
6
B
B B B B
v rad
v r
r s
           
2
9
1.5
6
B
B
T
T
a rad
a r
r s
           
2 2
2
15
37.5
6B B B
B
N N N
v in
a a a
r s
    
 
2 2
B BB N T
a a a 
 
2 237.5 9Ba  
 
2
38.6B
in
a
s

 
 
 
 
37.5
tan tan
9
B
B
N
T
a
a
   
 
037.5arctan 76.5
9
   
 
 6. A vara dobrada ABCDE gira sobre uma linha que 
une os pontos A e E com uma velocidade angular constante de 
9 rad/s. Sabendo que a rotação observada do ponto E é no 
sentido horário, determine a velocidade e a aceleração de C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: 
ˆ
AE
AC CE AE e
AE
   

  

 
eˆ  
 
AC

 AC AE CE    
   
 
EC CE 
  
 
0 pois AE
AC AE EC AE EC

          
 

       

 
AC EC      
Logo, tanto faz escolher o ponto A ou E!!! 
A (0,0.4,0.2); C(0,0.15,0); E(0.4,0,0) 
ACr C A 

 
(0,0.15,0) (0,0.4,0.2)ACr  

 
ˆˆ ˆ0 0.25 0.2ACr i j k     
 
ˆ
EA
EA
n
EA



 
   0,0.4,0.2 0.4,0,0EA A E EA    
  
ˆˆ ˆ0.4 0.4 0.2AE i j k      
 
 
2 2 20.4 0.4 0.2 0.6AE AE     
  
0.4 0.4 0.2 ˆˆ ˆˆ
0.6 0.6 0.6
AEn i j k      
 
 
B 
BT
a

 
BN
a

 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
 
20 
ˆ
EAn  

 
0.4 0.4 0.2 ˆˆ ˆ9
0.6 0.6 0.6
i j k          
 

 
ˆˆ ˆ6 6 3i j k       
 
Cv r 
 
 
   ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ6 6 3 0 0.25 0.2Cv i j k i j k            

 
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
6 6 3 6 6
0 0.25 0.2 0 0.25
C
i j k i j
v   
  
 
       ˆˆ ˆ6 0.2 0.25 3 1.2 6 0.25Cv i j k            

 ˆˆ ˆ0.45 1.2 1.5Cv i j k m s      

 
C Ca v 
 
 
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
6 6 3 6 6
0.45 1.2 1.5 0.45 1.2
C
i j k i j
a   
   

 
2ˆˆ ˆ12.6 7.65 9.9Ca i j k m s        

 
 7. A aceleração angular de um disco oscilando é 
definidapela relação: 
k   
 
 Determine: 
 (a) o valor de k para o qual  = 8 rad/s quando  = 0 
e  = 4 rad quando  = 0. 
 (b) a velocidade angular do disco quando  = 3 rad. 
 (a) 4 s
-2
 (b) 5.29 rad/s 
 
 8. Resolva o problema 2 encontrando a posição 
angular e a aceleração angular quando a velocidade angular 
for nula. 
 
 9. No problema 6, determine a velocidade e a 
aceleração do ponto B. Assuma que a velocidade angular é 9 
rad/s e aumenta a uma taxa de 45 rad/s
2
. 
 
 10. A Terra faz uma volta completa a cada 23h e 56 
min. Sabendo que o seu raio é 3960 mi, determine a 
velocidade linear e a aceleração linear em um ponto sobre o 
equador. 
 
 11. O anel C possui raio interno de 55 mm e raio 
externo de 60 mm e está posicionado entre duas rodas A e B, 
cada uma de raio externo de 24 mm. Sabendo que a roda A 
gira com freqüência 300 rpm e que não ocorre deslizamento, 
determine: 
 (a) a velocidade angular do anel C e da roda B. 
 (b) a aceleração dos pontos A e B que estão em 
contato com C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A A Av r 
ext extA C C C
v v r   
 
2 2
ext extA A C C A A C C
r r f r f r            
300 24
120 rpm
60
ext
A A
C C C
C
f r
f f f
r
 
    
 
int int
2 2B B C C B B C Cr r f r f r            
int
120 55
275 rpm
24
C C
B B B
B
f r
f f f
r
 
    
 
2
2 A
A A A A
A
v
a r a
r
   
 
300
2 2 0.024
60
A A A Av f r v       
 
0.754A
m
v
s

 
2
2
0.754
23.7
0.024
A A
m
a a
s
   
 
275
2 2 0.024
60
B B B Bv f r v        
0.6911B
m
v
s
 
2
2 B
B B B B
B
v
a r a
r
    
2
2
0.6911
19.9
0.024
B B
m
a a
s
    
 
 12. Um cilindro A está se movendo para baixo a uma 
velocidade de 9 ft/s quando um breque é aplicado 
repentinamente no tambor. Sabendo que o cilindro se move 18 
ft para baixo antes de parar, e, assumindo movimento com 
aceleração uniforme, determine: 
 (a) a aceleração angular da roda. 
 (b) o tempo que leva para o cilindro parar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
 
21 
 
 
 
 
9
12
0.75
A
A A A A A A
A
v rad
v r
r s
          
2 2
0 2      
 
18
24 rad
0.75
s
s r
r
             
2
2 2
2
12
0 12 2 24 3
48
rad
s
           
2
0 0
1
2
t t       
 
2124 0 12 3
2
t t    
 
2 23 24 48 0 8 16 0t t t t         
 
2 4 8 64 64
4
2 2
b b a c
t t t s
a
      
    

 
 
13. Uma polia e dois pesos são conectados por uma 
corda inextensível. O peso A tem uma aceleração constante de 
300 mm/s
2
 e uma velocidade inicial de 240 mm/s, ambos 
dirigidos para cima. Determine: 
(a) o número de revoluçõe executados pela polia em 3 s. 
(b) a velocidade e a posição do peso B após 3s. 
(c) a aceleração do ponto D na borda da polia, em t = 0s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14. Uma chapa circular está inicialmente em repouso. 
Sabendo que r = 200 mm e que a placa possui aceleração 
angular constante de 0.3 rad/s
2
, determine a magnitude da 
aceleração total no ponto B quando: 
 
 (a) t = 0, (b) t = 2 s, (c) t = 4 s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15. O anel B tem um raio interno r2 e externo r3. A 
barra A de raio r1 gira com velocidade angular constante A. 
Não há escorregamento entre as superfícies. Determine as 
relações entre os raios r1, r2, r3 e A para: (a) a velocidade 
angular do anel B; (b) a aceleração dos pontos entre a barra A 
e o anel B que estão em contato. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16. Um disco circular de raio r = 0.16 m gira em 
relação a um eixo fixo O com velocidade angular  = 2 rad/s e 
aceleração angular  = 3 rad/s2 com sentidos indicados na 
figura. Determine os valores instantâneos da velocidade e da 
aceleração no ponto A da figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
O  x 
y 
4
r
 
r 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
 
22 
 
ˆ ˆcosAr OA r i r sen j        
21cos 1 cos
4
sen     
2
1
1
4
sen     
 
 
15
0.968
4
sen sen    
ˆ ˆ0.25 0.968Ar r i r j     

 
ˆ ˆ0.16 0.25 0.16 0.968Ar i j     

 
ˆ ˆ0.04 0.15488Ar i j   

 
ˆ ˆ2k k          
A Av r 
 
 
 ˆ ˆ ˆ2 0.04 0.15488Av k i j      

 
   

   
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ2 0.04 2 0.15488A
j i
v k i k j

         

 
ˆ ˆ ˆ ˆ0.08 0.30976 0.30976 0.08A Av j i v i j          
 
ˆ ˆ3k k        
 
A A Aa r v       
 
 ˆ ˆ ˆ3 0.04 0.15488Aa k i j     

 
   ˆ ˆ ˆ2 0.30976 0.08k i j       
 
ˆ ˆˆ ˆ0.12 0.4646Aa k i k j     

 
ˆ ˆˆ ˆ0.6194 0.16k i k j     
 
 ˆ ˆ0.12 0.4646Aa j i    

 
 ˆ ˆ0.6194 0.16j i    
 
ˆ ˆ0.12 0.4646Aa j i   

 
ˆ ˆ0.6194 0.16j i   
 
ˆ ˆ0.3046 0.739Aa i j   

 17. Para testar a resistência de um adesivo, é 
colocado um bloco de massa m = 0.3 kg em um disco que gira 
a partir do repouso em t = 0 s com aceleração angular 
uniforme  = 2 rad/s2. Se a fita se solta depois de 3 s do 
movimento do disco, quantas voltas o disco execuitará? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18. A correia acoplada ao conjunto de polias faz girar 
o sistema aumentando sua velocidade angular. Num certo 
instante, a velocidade da correia é 1.5 m/s e a aceleração total 
do ponto A é 75 m/s
2
.Para esse instante, determine: 
 (a) a velocidade angular e a aceleração angular da 
polia B. (b) a aceleração total do ponto B. 
 (c) a aceleração do ponto C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19. O ponto A da polia está na posição angular  = 0 
em t = 0s. O disco tem velocidade angular inicial 0 = 0.1 
rad/s em t = 0 e é acelerado com uma aceleração angular 
constante  = 2 rad/s2. Determine a velocidade e a aceleração 
do ponto A, no instante t = 1 s, em função dos vetores 
unitários 
iˆ
e 
jˆ
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20. Uma fita magnética utilizada para gravar dados 
em um computador consiste no sistema indicado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se a velocidade v da fita é constante e a magnitude da 
aceleração do ponto A é 4/3 a aceleração do ponto B, 
determine o raio de A. 
 
 21. As características de um sistema de engrenagens 
é ilustrado a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
 
23 
 
 
 
 
 A engrenagem B está girando no sentido horário, com 
300 rev/min, quando um torque é aplicado na engrenagem A, 
em t = 2 s, forçando-a a girar no sentido anti-horário com uma 
aceleração angular  que varia com o tempo conforme o 
gráfico indicado, durante 4 s. Determine a velocidade da polia 
B, quando t = 6 s. 
 
 23. A potência de um motor elétrico quando ligado o 
faz girar a 3300 rpm em 6 s, e quando é desligado ele retorna 
ao repousoem 80 s. Assumindo aceleração uniforme, 
determine o número de revoluções dado pelo motor quando: 
 (a) é ligado e atinge a máxima rotação; 
 (b) é desligado a partir da máxima rotação até atingir 
o repouso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24. Assumindo que a Terra gira em torno de seu eixo 
em 23h e 56 min e seu raio é aproximadamente 6400 km, 
determine a velocidade de rotação sobre um ponto da 
superfície do Equador. E num ponto na latitude de 40
0
 N? 
 
 25. No sistema de polias abaixo, o disco B está em 
repouso quando é colocado em contato com o disco A que está 
girando no sentido horário a 450 rpm. Após 6 s de 
deslizamento, cada disco tem uma aceleração angular 
constante e o disco A possui uma freqüência de 140 rpm no 
sentido horário. Determine a aceleração angular de cada disco 
durante o período de deslizamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Movimento Plano Geral 
 
Um movimento plano geral pode ser considerado 
como a soma de uma translação e de uma rotação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Movimento geral = Translação + Rotação 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
 
24 
 
 Movimento de um corpo decomposto em uma 
translação e uma rotação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Velocidade absoluta e relativa: 
/B A B Av v v 
  
 
 
:Bv

 velocidade absoluta do ponto B. 
:Av

translação da placa com A. 
/ :B Av

velocidade relativa associada à rotação da 
placa ao redor do ponto A, medida em relação a eixos com 
origem em A e de orientações fixas. Denotando por : 
/ :B Ar

vetor de posição de B em relação a A: 
/B Ar B A 

 
kˆ 
: velocidade angular em relação aos eixos de 
orientações fixas. 
/ /
ˆ
B A B Av k r  
  
/
ˆ
B A B Av v k r   
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Movimento plano = Translação com A + Rotação em torno de A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observe que: 
/
/
B A
B A B A
v
v v tg v l
l
        
 
/
/
cos
cos
A A
B A
B A
v v
v
v
   
 
cos
Av
l




 
 
 Chega-se ao mesmo resultado escolhendo B como 
pono de referência. Decompondo-se o movimento dado em 
uma translação com B e uma rotação ao redor de B (vide 
figura), teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Movimento plano = Translação com B + Rotação em torno de B. 
 
 
 
 
 
 
 
/A B A Bv v v 
  
 
 Observe que: 
/ / / /A B B A A B B Av v v v l         
 
 O sentido da velocidade relativa deponde do ponto de 
referência escolhido e deverá ser cuidadosamente determinada 
a partir dos diagramas ilustrados. Finalmente, observemos que 
a velocidade angular  da barra em sua rotação ao redor de B 
é a mesma que em sua rotação ao redor de A. Em ambos os 
casos é medida pela derivada temporal do ângulo : 
d
dt
     
 
 Este resultado é geral; assim, sempre a velocidade 
angular  de um corpo rígido animado de movimento 
plano é independente do ponto de referência. 
 A maior parte dos mecanismos mecânicos constam 
não de um, mas de vários elementos em movimento. Quando 
tais elementos se encontram articulados, pode-se estudá-los 
considerando cada um como um corpo rígido, sem, contudo, 
esquecer que os pontos de articulação de dois deles devem ter 
a mesma velocidade absoluta. Um estudo semelhante pode ser 
feito quando se trata de engrenagens, já que os dentes em 
constato devem ter a mesma velocidade absoluta. Entretanto, 
se os elementos de um mecanismo possuem um deslizamento 
relativo entre si, deve-se levar em consideraçãoa velocidade 
relativa das partes em contato. 
 
Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori 
Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
 
25 
 Exemplos resolvidos 
 
1. A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre 
a cremalheira inferior estacionária; a velocidade do seu centro 
A é de 1.2 m/s para a direita. Determinar: 
(a) a velocidade angular da engrenagem, 
(b) as velocidades da cremalheira superior R e do 
ponto D da engrenagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como a engrenagem rola sobre a cremalheira 
inferior, seu centro A percorrerá uma distância igualao 
comprimento da circunferência exterior, 2r1, para cada 
rotação completa da engrenagem. Como 1 ver = 2 rade, 
quando A rola para a direita, (xA > 0), a engrenagem gira em 
sentido horário ( < 0), escrevemos: 
1Ax r   
 
1 1
A
A
dx d
r v r
dt dt
       
 
1
1.2
8
0.150
Av rad
r s
         
 
ˆ ˆ8
rad
k k
s
        
 
 O rolamento é decomposto em dois movimentos: um 
de translação do centro A e outro de rotação ao redor deste 
centro. Na translação, todos os pontos da engrenagem 
deslocam-se com a mesma velocidade va. Na rotaça, cada 
ponto P da engrenagem se desloca ao redor de A com 
velocidade: 
P APv r 
 
APr P A  

 
 Aqui 
PAr

 é o vetor de posição de P em relação a A. 
 Assim, a velocidade da cremalheira superior é a 
velocidade do ponto B: 
R B B A ABv v v v v   
    
 
B A ABv v r  
  
 
   ˆˆ ˆ1.2 8 0.1Bv i k j      

 
ˆ
ˆˆ ˆ1.2 0.8
i
Bv i k j

    
 
ˆ ˆ ˆ1.2 0.8 2.0B B
m
v i i v i
s
 
        
 
 
 
 Velocidade do ponto D: 
D A ADv v r  
  
 
   ˆˆ ˆ1.2 8 0.15Dv i k i       

 
 
ˆ
ˆˆ ˆ1.2 8 0.15
j
Dv i k i     
 
ˆ ˆ1.2 1.2D
m
v i j
s
 
     
 

 
2 21.2 1.2 2.88 1.7D D
m
v v
s
 
      
 
 
 
tan 1 45     
ˆ ˆ1.2 1.2 1.7 45D D
m m
v i j v
s s
   
          
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2. No sistema esboçado, a manivela AB possui uma 
velocidade angular constante de 2000 rpm (freqüência f) no 
sentido horário. Determinar para a posição da manivela 
indicada na figura: 
 (a) a velocidade angular da biela BD. 
 (b) a velocidade do pistão P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 100
2000 2000
60 3
f rpm f Hz f Hz    
 
 
200
2 209.45
3
rad rad
f
s s
        
 
 
 
 
 
 
 
0.0762 209.45AB AB ABv r v    
 
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Notas de aula 01 – 1° Bimestre 
 
26 
015.95 50AB
m
v
s
 
 
 Movimento da Biela BD: 
 Aplicando a lei dos senos: 
40 40
0.0762
0.0762 0.203 0.203
sen sen sen
sen
     
 
0.241 0.241 13.96sen arcsen        
 Observe que a velocidade vD do ponto D, onde a biela 
se une ao pistão, deve ser horizontal. Decompondo o 
movimento de BD: 
 
 
 
 
 
Movimento plano de BD= Translação + rotação 
D B DBv v v 
  
 
 Fazendo o diagrama vetorial dessa relação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53.9 50 76.1
D DB Bv v v
sen sen sen
 
  
 
15.9 15.9
50
53.9 50 76.1 76.1
D DB
DB
v v
v sen
sen sen sen sen
    
   12.5DB
m
v
s
 
  
 
76.1° 
15.9
53.9 13.2
76.1
D D
m
v sen v
sen s
    
