Movimento Ondulatorio_FisII exercicios

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Física II – LESI 2002/2003 Movimento Ondulatório
 
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MOVIMENTO ONDULATÓRIO 
 
1. Verifique que as seguintes equações descrevem a mesma onda progressiva: 
( )



λ
−π= vtxAy 2sin 

 

 −ππ= ftx
kAy
2
2sin 


 

 −λπ= T
txAy 2sin 

 

 −ω−=
v
xtAy sin 
 
2. A equação de uma certa onda é: ( )[ ]txy 10022sin10 −π= , com x em metros e t em 
segundos. Calcule: 
a) A amplitude, o comprimento de onda, a frequência e a velocidade de propagação da 
onda. (A = 10 m; λ = 0.5 m; f = 100 Hz; ω = 200 π rad/s; v = 50 m/s) 
b) A expressão da elongação das partículas para as posições x = 0, x = 0.25, x = 0.5. 
 (y(x=0,t) = 10sin(-200πt + π) ou 10sin(200πt + π)) 
(y(x=0.25,t) = 10sin(π - 200πt) ou 10sin(200πt)) 
(y(x=0.5,t) = 10sin(2π - 200πt) ou 10sin(200πt - π)) 
c) A posição da corda nos instantes t = 0 e t = 0.01 s. 
 (y(x,t=0) = 10 sin(4πx); y(x,t=0.01 s) = 10 sin(4πx-2π)) 
 
3. A equação de uma onda transversal progressiva numa corda vibrante é dada por 
( )txy π+π= 0.84.0sin0.5 onde x e y são expressos em cm e t em s. Calcule: 
a) A amplitude, o comprimento de onda, a frequência, a velocidade de propagação da 
onda e o sentido de propagação da onda. (A = 5 cm; λ = 5 cm; f = 4 Hz; v = -20 cm/s) 
b) O módulo da velocidade transversal máxima de uma partícula da corda vibrante. 
 (vy, max = 40π cm/s) 
 
4. Uma onda sinusoidal propaga-se ao longo de uma corda. Um dado ponto da corda move-
se desde o deslocamento máximo até ao deslocamento zero num intervalo de tempo de 
0.2 s. Suponha que o comprimento de onda seja igual a 1.2 m. Determine o período, a 
frequência e a velocidade de propagação da onda. 
 (T = 0.8 s; f = 1.25 Hz; v = 1.5 m/s) 
 
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5. Escreva a equação de uma onda sinusoidal que se propaga no sentido positivo do eixo OX, 
com amplitude 1.5 m, período 0.04 s e velocidade de propagação 250 m/s, admitindo que 
no instante inicial o deslocamento transversal em x = 0 era y = 0.8 m e a velocidade 
transversal inicial nesse ponto era negativa. 
 ( )563.050
5
sin(5.1),( +π−π= txtxy ) 
 
6. Mostram-se de seguida dois gráficos correspondentes a uma onda progressiva transversal 
que se propaga com uma velocidade positiva segundo a direcção x. No gráfico (A) indica-
se o deslocamento transversal em função da posição para um tempo de 5 s e no (B) o 
deslocamento transversal em função do tempo para m1=x . Calcule a amplitude, 
frequência e frequência angular, o periodo, o comprimento de onda e o número de onda e 
a velocidade de propagação. 
 (A = 0.2 m; f = 1 s-1; ω = 2 π rad/s; T = 1 s; λ = 0.5 m; k = 4 π rad/m; v = 0.5 m/s) 
 
7. A figura seguinte mostra o deslocamento transversal 
no instante inicial para uma onda progressiva que se 
propaga com uma velocidade m/s5=v segundo a 
direcção x. Calcule a amplitude, frequência e 
frequência angular, o periodo, o comprimento de onda 
e o número de onda. 
 (A = 0.1 m; f = 2.5 s-1; ω = 5 π rad/s) 
(T = 0.4 s; λ = 2 m; k = π rad/m) 
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8. Uma onda sinusiodal progressiva tem comprimento de onda 0.27 m e propaga-se com 
uma velocidade de 13 m/s. Calcule o número de onda e a frequência desta onda. 
 (k = 23.3 rad/m; f = 48.2 s-1) 
 
9. O comboio de alta velocidade TGV (acrónimo de Train à Grand Vitesse) desloca-se num 
determinado troço do seu percurso a 300 km/h. Calcule a frequência a que passam as 
carruagens do comboio por um determinado ponto sabendo que o comprimento das 
carruagens é 30 m. (f = 2.8 s-1) 
 
10. Um sistema mecânico vibra ligado a uma mola helicoidal e produz uma onda sinusoidal 
longitudinal que se propaga continuamente ao longo da mola. A frequência da fonte de 
vibração é igual a 20 Hz e a distância entre duas rarefacções sucessivas na mola é igual a 
20 cm. O deslocamento longitudinal máximo de uma partícula da mola é igual a 2.5 mm e 
a onda propaga-se no sentido negativo do eixo OX. Suponha que a fonte de vibração esteja 
no ponto x = 0 e que nesse ponto, no instante t = 0, o deslocamento seja nulo. 
a) Calcule a velocidade de propagação da onda. (v = 4 m/s) 
b) Escreva a equação da onda. 
 ( ( ))4(10sin105.2),( 3 txtxy +π×= − ou ( ))4010sin105.2 3 tx π+π× − / m) 
 
11. Uma pessoa está à entrada de um porto de pesca e vê ondas sinusiodais a aproximarem-se 
do porto. Conta 50 cristas de onda a passarem pelo local em que se encontra durante 
1 min. e estima a distância entre cristas sucessivas como sendo aproximadamente 3 m 
(observando um barco ancorado próximo). Calcule o comprimento de onda e o número de 
onda, a frequência e frequência angular, o periodo, e a velocidade de propagação. 
 (λ = 3 m; k=2.1 rad/m; f = 0.83 s-1; ω = 5.2 rad/s; T = 1.2 s; v = 2.5 m/s) 
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12. Dois pontos de um fio são observados quando uma onda progressiva passa por eles. Os 
pontos são x1 = 0 e x2 = 1 m. O movimento transversal destes dois pontos é descrito, 
respectivamente, por: 
( )ty π= 3sin2.01 


 π+π=
8
3sin2.02 ty 
Determine o sentido do movimento da onda, a velocidade de propagação da onda, o 
comprimento de onda e a frequência. (v = -24 m/s; λ = 16 m; f = 1.5 Hz) 
 
 
13. Uma onda progressiva transversal é representada 
matematicamente pela seguinte expressão: 
( ) ( ) 13
2, 2 +−= txtxy 
onde x e y são representados em centimetros e t em segundos. A 
figura mostra esta onda no instante inicial e num instante 
genérico t. Calcule a amplitude e a velocidade de propagação da 
onda. 
 (A = 2 cm; v = 3 cm/s) 
 
 
14. Uma onda sinusiodal desloca-se no sentido positivo do 
eixo dos xx com uma amplitude de 15.0 cm, um 
comprimento de onda de 40 cm e uma frequência de 
8.00 s-1. O deslocamento vertical do meio a t = 0 e x = 0 
é de 15.0 cm. Calcule: 
a) O número de onda, a frequência angular, o periodo e 
a velocidade de propagação da onda. 
 (k = 0.157 rad/cm; ω = 50.3 rad/s; T = 0.125 s; v = 320 cm/s) 
b) Escreva uma expressão geral para a onda. 
 ( ( ) 

 π+−=
2
3.50157.0sin15, txtxy / cm) 
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15. Mostra-se na figura um sistema gerador de 
ondas numa corda. A vareta metálica à qual 
se encontra ligada a corda no lado esquerdo é 
posta a oscilar com um movimento 
harmónico simples com frequência 5.00 Hz. 
A amplitude da oscilação é 12.0 cm e a 
velocidade de propagação da onda 20.0 m/s. 
a) Determine a frequência angular e o 
número de onda. 
 (ω = 31.4 rad/s; k = 1.57 rad/m) 
b) Escreva uma expressão geral para a onda. 
 ( ( ) ( )txtxy 4.3157.1sin120.0, −= / m) 
c) Se soubesse que na origem x = 0 a posição e velocidade transversal iniciais a t = 0 
eram zero e um valor diferente de zero mas positivo, qual a equação que descreve a 
onda de forma completa ? Quais as semelhanças e diferenças em relação à equação da 
alínea anterior ? 
 ( ( ) ( )π+−= txtxy 4.3157.1sin120.0, / m) 
 
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MOVIMENTO ONDULATÓRIO – CORDA VIBRANTE 
 
16. Calcule a velocidade de propagação de uma onda transversal numa corda, cujo 
comprimento é igual a 1.5 m e cuja massa é de 50 g, quando submetida a uma tensão de 
400 N. (v = 109.5 m/s) 
 
17. Uma onda transversal, que se propaga numa corda cuja densidade linear é de 
Kg/m103.1 4−× , é descrita pela equação: ( )txy 30sin021.0 += , onde x e y são medidos 
em metros e t em segundos. Qual a tensão da corda ?(T = 0.117 N) 
 
18. Uma onda sinusoidal transversal é gerada numa das 
extremidades de uma longa corda horizontal, mediante uma 
barra horizontal que se desloca para cima e para baixo de 
16 cm em relação à posição central. O movimento é contínuo 
repetindo-se regularmente duas vezes, em cada segundo. 
a) Admita que a corda tem densidade linear de 0.23 kg/m 
sendo mantida sob uma tensão de 10 N. Determine a 
velocidade, a amplitude, a frequência e o comprimento de 
onda do movimento ondulatório resultante. (v = 6.59 m/s; A = 0.16 m; λ = 3.3 m) 
b) Escreva a equação da onda supondo que se propaga da esquerda para a direita e que no 
instante t = 0 a extremidade da corda cuja posição é x = 0, esteja na posição de 
equilíbrio (y = 0) e a velocidade transversal é positiva. 
 ( [ ]π+−= )59.6(91.1sin16.0),( txtxy ou ( )π+π− tx 491.1sin16.0 ) 
c) Quando a onda se propaga ao longo da corda, cada uma das suas partículas move-se 
perpendicularmente à direcção de propagação do movimento ondulatório. Determine a 
velocidade e a aceleração de uma partícula localizada a 3.0 m da extremidade. 
 ( ( )π+π−−== ttxvy 472.5cos01.2),3( )
 ( ( )π+π−−== ttxay 472.5sin3.25),3( ) 
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19. Uma onda sinusoidal contínua propaga-se numa corda com velocidade de 50 cm/s. 
Verifica-se que o deslocamento das partículas da corda no ponto x = 10 cm, varia com o 
tempo de acordo com a equação ( )ty 0.40.1sin0.5 −= cm. A densidade linear da corda é 
de 4.0 g/cm. Determine: 
a) A frequência da onda. (f = 2/π Hz) 
b) O comprimento de onda. (λ = 25 π cm) 
c) A equação geral que descreve o deslocamento transversal das partículas da corda, em 
função da posição e do tempo. ( )2.0408.0(sin5),( +−= txtxy / cm) 
d) A tensão da corda. (T = 0.1 N) 
 
20. Uma onda transversal harmónica simples 
propaga-se ao longo de uma corda para a 
esquerda. A figura mostra um gráfico do 
deslocamento em função da posição, no instante 
t = 0. A tensão da corda é de 3.6 N e a sua 
densidade linear é de 25 g/m. Determine: 
a) A amplitude, o comprimento de onda, a 
velocidade de propagação, o período e a 
velocidade transversal máxima de uma 
partícula da corda. (A = 5 cm; λ =0.4 m; v = 12 m/s; Τ = 3.33×10-2 s; vy, max = 9.4 m/s) 
b) A equação de propagação da onda sabendo que no instante inicial a t = 0 
( ) m05.00,m05.0 === txy . ( ( )4/605sin05.0),( π+π−π= txtxy / m) 
 
21. Uma onda sinusoidal transversal é gerada numa das extremidades de uma longa corda 
horizontal através de uma massa que se desloca para cima e para baixo com um 
movimento harmónico simples de 14 cm de 
amplitude conforme se mostra na figura. Este 
movimento produz uma onda de comprimento de 
onda m5.2=λ que se propaga no sentido positivo 
do eixos dos xx com uma velocidade m/s245=v . 
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-6
-4
-2
0
2
4
6
y 
(c
m
)
x (cm)
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a) Qual a frequência da onda progressiva ? (f = 98 Hz; ω = 196 π rad/s) 
b) Qual a velocidade transversa máxima de um ponto da corda ? (vy, max = 86.2 m/s) 
c) Qual a aceleração transversa máxima de um ponto da corda ? (ay, max = 53081 m/s2) 
 
22. Uma onda transversal propaga-se numa corda. O deslocamento transversal y é dado por 
( )txy 43sin2 −= , onde x e y são dados em centímetros e t em segundos. Determine a 
expressão da velocidade transversal vy de uma partícula da corda em função de x e t. 
 ( ( ) )43cos(8, txtxvy −−= / cm/s) 
 
23. Uma corda uniforme tem massa 0.300 kg e 
comprimento 6.00 m. Suspende-se uma massa de 2 kg 
na corda como se indica na figura. Qual a velocidade 
de propagação de uma onda progressiva nesta corda ?
 (19.8 m/s) 
 
24. Uma corda bastante comprida é mantida sob tensão 
através de vários pesos que se colocam suspensos na 
corda usando uma roldana como se mostra na figura. A 
velocidade de uma onda progressiva que se propaga na 
corda é 51 m/s. A corda é substituida por uma outra 
corda com o mesmo tamanho mas com uma densidade 
tripla da corda original e suspende-se o dobro dos pesos que foram usados na situação 
original. Qual a velocidade de propagação das ondas na nova situação ? (41.6 m/s) 
 
 
25. Um montanhista de 68 kg está a ser içado por um companheiro através de 
uma corda de nylon de 28 m. A massa total da corda é 1.3 kg. Admita que 
essa massa é suficientemente pequena para que se possa admitir que a 
tensão na corda é constante. Qual o tempo que leva uma onda progressiva 
a propagar-se do homem suspenso até ao ser companheiro no topo do 
rochedo ? (0.23 s)