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CEFET-RJ 07/01/2013 NOME: ASSINATURA: Exame Final (MODELO) GEXT 7303 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS, Prof. Bassani, 2º. Semestre 2013. (Duração: 120 minutos; Sem Consulta; Não é permitido o uso de calculadoras) (100 pontos equivale a grau 10,0) 1) (30 Pontos) a) Seja a equação 0)22( dyyeyxdxy , determine um fator de integração e resolva a equação. b) Resolva o problema de valor inicial 0 2 )0(,2 yyyty e determine como o intervalo no qual a solução existe depende do valor inicial 0y . c)Determine a solução do problema de valor inicial: tetyyy 23 ; 4/1)0(,1)0( yy , e 2/3)0( y aplicando o método dos coeficientes indeterminados. d) Determinar a solução geral da equação definida por )21(/'2" tteyyy . 2) (40 Pontos) Usar a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo: a) 0464)4( yyyyy ; 0)0( y , 1)0( y , 0)0( y , 1)0( y . b) )(22 tgyyy onde )(20)(5)( tututg ; 0)0( y , 0)0( y . c) )5(22 tyyy ; 0)0( y , 0)0( y . d) )(44 tgyyy , 2)0( y , 3)0( y , apresentar a solução em termos de uma integral de convolução. 3) (30 Pontos) a) Transforme a equação 0)25,02(2 ytytyt em um sistema de equações de primeira ordem. b) Determinar a matriz fundamental ψ(t) do sistema de equações xx 358 112 111 . Determine também a matriz fundamental Φ(t) que satisfaz Φ(0) = I. OBS.: Tabela de Transformadas de Laplace, em anexo. 304 Chapter 6. The Laplace Transform TABLE 6.2.1 Elementary Laplace Transforms f (t) = L−1{F(s)} F(s) = L{ f (t)} Notes 1. 1 1 s , s > 0 Sec. 6.1; Ex. 4 2. eat 1 s − a , s > a Sec. 6.1; Ex. 5 3. tn; n = positive integer n! sn+1 , s > 0 Sec. 6.1; Prob. 27 4. t p, p > −1 (p + 1) s p+1 , s > 0 Sec. 6.1; Prob. 27 5. sin at a s2 + a2 , s > 0 Sec. 6.1; Ex. 6 6. cos at s s2 + a2 , s > 0 Sec. 6.1; Prob. 6 7. sinh at a s2 − a2 , s > |a| Sec. 6.1; Prob. 8 8. cosh at s s2 − a2 , s > |a| Sec. 6.1; Prob. 7 9. eat sin bt b (s − a)2 + b2 , s > a Sec. 6.1; Prob. 13 10. eat cos bt s − a (s − a)2 + b2 , s > a Sec. 6.1; Prob. 14 11. tneat , n = positive integer n! (s − a)n+1 , s > a Sec. 6.1; Prob. 18 12. u c (t) e−cs s , s > 0 Sec. 6.3 13. u c (t) f (t − c) e−cs F(s) Sec. 6.3 14. ect f (t) F(s − c) Sec. 6.3 15. f (ct) 1 c F ( s c ) , c > 0 Sec. 6.3; Prob. 19 16. ∫ t 0 f (t − τ )g(τ ) dτ F(s)G(s) Sec. 6.6 17. δ(t − c) e−cs Sec. 6.5 18. f (n)(t) sn F(s)− sn−1 f (0)− · · · − f (n−1)(0) Sec. 6.2 19. (−t)n f (t) F (n)(s) Sec. 6.2; Prob. 28
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