Aula 06 - Física IV

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Física IV 
Prof. Neri Alves 
Faculdade de Ciência e Tecnologia , FCT/UNESP 
Presidente Prudente, 01 de Junho de 2015 
 
Conteúdo: 
• Interferência – Continuação 
• Adição de ondas pelos fasores; 
• Mudança de fase pela reflexão; 
• Interferência em filmes finos; 
• Interferômetro de Michelson; 
• Difração – Fraunhofer - fenda simples; 
• Resolução; 
• Rede de difração 
 
Combinações de lentes delgadas 
 Calcula –se a imagem formada pela primeira 
lente como se a segunda lente não estivesse 
presente; 
 a luz se aproxima da segunda lente como se 
estivesse vinda da imagem formada pela 
segunda lente; 
 a imagem da primeira lente é tratada como 
objeto para a segunda lente; 
 a imagem formada pela segunda lente é a 
imagem final. 
Supondo duas lentes delgadas de distância focais f1 e f2: 
𝟏
𝒔𝟏
+
𝟏
𝒔𝟏′
=
𝟏
𝒇𝟏
 𝒔𝟐=−𝒔𝟏′ 
𝟏
𝒔𝟐
+
𝟏
𝒔𝟐′
=
𝟏
𝒇𝟐
 
(1) (2) 
Breve Revisão 
Supondo duas lentes delgadas de distância focais f1 e f2: 
𝟏
𝒇𝒆𝒒
=
𝟏
𝒇𝟏
+
𝟏
𝒇𝟐
 
Duas lentes delgadas em contato são equivalentes a uma única 
lente delgada cuja distância focal é dada pela equação 3. 
Instrumentos Óticos: 
lente de aumento simples 
Ampliação Angular mθ: 
𝒎𝜽 = 
𝜽′
𝜽
 
𝒎𝜽 ≈
𝟐𝟓 𝒄𝒎
𝒇
 
A ampliação é máxima quando s’ → Pp 
s’ = 25 cm 
𝒎𝜽 =
𝒉
𝒔 
𝒉
𝟐𝟓 
= 
𝟐𝟓
𝒔
=
𝟐𝟓
𝟐𝟓𝒇
𝒇 + 𝟐𝟓 
= 𝟏 +
𝟐𝟓
𝒇
 
Aumento máximo!!! 
Instrumentos Óticos: microscópio composto 
Objetiva → f0b ˂ 1cm 
Ocular → fe (alguns centímetros) fe ˃ f0 
L ˃ fob 
L ˃ foc 
Ampliação final do microscópio 
composto: 
𝑴 = 𝒎𝒐𝒃𝒎𝒐𝒄 = −
𝑳
𝒇𝒐𝒃
 
𝟐𝟓 𝒄𝒎
𝒇𝒐𝒄
 
Instrumentos Óticos: telescópio refrator 
𝑳 = 𝒇𝒐𝒃 + 𝒇𝒐𝒄 
𝒎𝜽 =
𝜽
𝜽𝟎
 
𝜽𝟎 ≈
𝒉′
𝒇𝒐𝒄
 𝜽 ≈
𝒉′
𝒇𝒐𝒄
 
𝒎𝜽 = 
𝒉′
𝒇𝒐𝒄
𝒉′
𝒇𝒐𝒃
=
𝒇𝒐𝒃
𝒇𝒐𝒄
 
Interferência 
Ótica Ondulatória → a luz como uma onda 
Princípio de Huygens 
Todos os pontos de uma frente de onda se 
comporta como fontes pontuais de ondas 
secundárias. Depois de um intervalo de 
tempo t, a nova posição da frente de onda é 
dada por uma superfície tangente a essas 
ondas secundárias. 
Onda se propagando no vácuo 
Interferência: defasagem ao atravessar dois meios 
Para calcular a diferença de fase entre as duas 
ondas, basta determinar o módulo da 
diferença entre N1 e N2. Supondo que n2 ˃ n1, 
temos: 
𝑵𝟐 − 𝑵𝟏 =
𝑳𝒏𝟐
𝝀
−
𝑳𝒏𝟏
𝝀
= 
𝑳
𝝀
 𝒏𝟐 − 𝒏𝟏 
Difração 
Um feixe luminoso que passa por uma fenda 
sofre um alargamento (é difratado). 
Para um comprimento de onda λ, 
quanto menor a largura da fenda 
mais pronunciada é a difração. 
Difração: Experimento de Young 
Figura de Interferência 
franjas brilhantes e escuras 
Difração: Experimento de Young 
Interferência construtiva → franjas brilhantes 
Interferência destrutiva → franjas escuras 
Interferência no experimento de Young 
Relações quantitativas na experiência de Young 
∆𝑳 = 𝒓𝟐 − 𝒓𝟏 = 𝒅𝒔𝒆𝒏𝜽 
∆𝑳 = 𝒅𝒔𝒆𝒏θ = 𝒎λ 
𝒎 = (𝟎, ±𝟏, ±𝟐, … ) 
INTERFERÊNCIA CONSTRUTIVA. 
INTERFERÊNCIA DESTRUTIVA. 
∆𝑳 = 𝒅𝒔𝒆𝒏𝜽 = (𝒎 +
𝟏
𝟐
)𝝀 
Posição das franjas brilhantes e escuras 
𝒀𝒃𝒓𝒊𝒍 =
𝒎𝝀𝑳
𝒅
 𝒚𝒆𝒔𝒄 =
(𝒎 +
𝟏
𝟐)𝝀𝑳
𝒅
 
Interferência 
 
Continuação 
𝑬𝟏 = 𝑬𝒐𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 
𝑬𝟐 = 𝑬𝒐𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 + 𝝓 
 A diferença de fase 
 𝝓 depende do percurso 
𝚫𝒍 = 𝒓𝟐 − 𝒓𝟏 
𝚫𝒍 = 𝝀 → 𝝓 = 𝟐𝝅 
𝚫𝒍 = 
𝝀
𝟐
 → 𝝓 = 𝝅 
𝝀 → 𝟐𝝅 
𝚫𝒍 → 𝝓 
 
𝝀
𝚫𝒍
=
𝟐𝝅
𝝓 
 
𝝓 = 
𝟐𝝅
𝝀
𝚫𝒍 
 Mas 
𝚫𝒍 = 𝒅 𝒔𝒆𝒏 𝜽 Então 
𝝓 = 
𝟐𝝅
𝝀
𝒅 𝒔𝒆𝒏 𝜽 
𝑬𝑷 = 𝑬𝒐 + 𝑬𝟐 
𝑬𝑷 = 𝑬𝒐 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 + 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 + 𝝓 
𝒔𝒆𝒏𝑨 + 𝒔𝒆𝒏 𝑩 = 𝟐𝒔𝒆𝒏 
𝑨 + 𝑩
𝟐
𝒄𝒐𝒔
𝑨 − 𝑩
𝟐
 
𝑨 = 𝝎𝒕 + 𝝓 e B= 𝝎𝒕 
𝑬𝑷 = 𝟐𝑬𝒐𝒔𝒆𝒏 
𝝎𝒕 + 𝝓 + 𝝎𝒕
𝟐
𝒄𝒐𝒔
𝝎𝒕 + 𝝓 − 𝝎𝒕
𝟐
 
𝑬𝑷 = 𝟐 𝑬𝒐 𝒄𝒐𝒔
𝝓 
𝟐
𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 +
𝝓 
𝟐
 
𝑬𝑷 = 𝑬𝟏 + 𝑬𝟐 
𝑬𝑷 = 𝟐 𝑬𝒐 𝒄𝒐𝒔
𝝓 
𝟐
𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 +
𝝓 
𝟐
 
𝑬𝟏 = 𝑬𝒐𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 
𝑬𝟐 = 𝑬𝒐𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 + 𝝓 
Interferência construtiva 
Quando 𝝓 = 𝟎, 𝟐𝝅, 𝟒𝝅, . . . a amplitude em P é 𝟐 𝑬𝒐 
Interferência construtiva 
Quando 𝝓 = 𝝅, 𝟑𝝅, 𝟓𝝅, . . . a amplitude em P é nula 
Sen A + Sen B = 𝟐𝑬𝒐 𝒔𝒆𝒏
A+B 
𝟐
𝑪𝒐𝒔 
A−B 
𝟐
 
Intensidade 
𝑰𝑷 ∝ 𝑬𝑷 
𝟐 = 𝟒 𝑬𝒐 
𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐
𝝓 
𝟐
𝒔𝒆𝒏𝟐 𝝎𝒕 +
𝝓 
𝟐
 
A média no tempo nos dá: 
𝑰𝒎é𝒅𝒊𝒐 = 𝑰𝑴𝒂𝒙 𝒄𝒐𝒔
𝟐
𝝓 
𝟐
 onde 𝑰𝒎𝒂𝒙 = 𝟐 𝑬𝒐 
𝟐 
ou 𝑰𝒎é𝒅𝒊𝒐 = 𝑰𝑴𝒂𝒙 𝒄𝒐𝒔
𝟐
𝝅𝒅 𝒔𝒆𝒏 𝜽
𝝀
 
mas 𝒔𝒆𝒏 𝜽 ≅
𝒚
𝑳
 
𝑰𝒎é𝒅𝒊𝒐 = 𝑰𝑴𝒂𝒙 𝒄𝒐𝒔
𝟐
𝝅𝒅 𝒚 
𝝀 𝑳
 logo 
Interferência construtiva ocorre quando 
 múltiplos de π m = 𝟎,±𝟏,±𝟐,±𝟑 
𝝅𝒅 𝒚 
𝝀 𝑳
= 𝒎𝝅 
Ou seja haverá interferência 
construtiva quando 
𝒚 = 
𝝀𝑳 
𝒅
𝒎 
Obs. Esta analise só vale 
quando L>>d 
Adição de onda pelos Fasores 
𝑬𝟏 = 𝑬𝒐𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 
+ = 
𝑬𝑹 = 𝑬𝒐𝒄𝒐𝒔 𝜶 + 𝑬𝒐𝒄𝒐𝒔 𝜶= 2 𝑬𝒐𝒄𝒐𝒔 𝜶 
ou 
𝑬𝑹 = 𝟐 𝑬𝒐𝒄𝒐𝒔 
𝝓
𝟐
 
A projeção no eixo vertical é dada, em qualquer tempo por: 
𝑬𝑷 = 𝑬𝑹𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 +
𝝓
𝟐
 
ou 
𝑬𝑷 = 𝟐 𝑬𝟎𝒄𝒐𝒔 
𝝓
𝟐
 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 +
𝝓
𝟐
 
 
Diagrama de fasores de duas fontes coerentes 
𝝓 = 
𝟐𝝅 
𝝀
𝚫𝑳 
𝝅
𝟒
= 
𝟐𝝅 
𝝀
𝚫𝑳 → 𝚫𝑳 =
𝝀
𝟖
 𝚫𝑳 = 𝟎 
𝚫𝑳 =
𝝀
𝟒
 
𝚫𝑳 =
𝝀
𝟐
 𝚫𝑳 =
𝟑𝝀
𝟒
 
𝚫𝑳 = 𝝀 
O fasor ER é a resultante de 
quatro fasores de igual 
amplitude Eo 
Diagrama de fasores de três fontes coerentes 
Mudança de fase em virtude da reflexão 
Defasagem de 180o quando n1 < n2 
Defasagem de 0o quando n1 > n2 
Espelho de LLoyd 
Interferência em filmes finos 
Raio 1 -> muda de fase φ= 180o 
Raio 2 -> não muda de fase, 
mas percorre um percurso maior de 
~2L. 
𝒔𝒆 𝝀𝒏 =
𝝀
𝒏
 temos interferência construtiva quando 
2L = 𝒎 +
𝟏
𝟐
 𝝀𝒏 2nL = 𝒎 +
𝟏
𝟐
 𝝀 ou 
E destrutiva quando 2nL = 𝒎𝝀 
Onde m = 0, 1, 2, 3 ... 
Interferência em filmes MUITO finos 
L<<𝝺 
Corresponde a m =0 
Interferência destrutiva 
Filme escuro 
Interfererometro de Michelson 
Se M2 se desloca de 𝝺/4 a 
figura de interferência 
 se desloca meia franja. 
Se um filme transparente 
é colocado na frente de m1 
𝑵𝒎 =
𝟐𝑳
𝝀𝒏
=
𝟐𝑳𝒏
𝝀
 
Onde n é o número de 
comprimento de ondas 
dentro do filme. 
𝑵𝒎 − 𝑵𝑨 =
𝟐𝑳𝒏
𝝀
−
𝟐𝑳
𝝀
=
𝟐𝑳
𝝀
 𝒏 − 𝟏 
𝑳 =
 𝑵𝒎 − 𝑵𝑨 
𝟐 𝒏 − 𝟏 
𝝀 
Difração 
Um feixe luminoso que passa por pequenas 
aberturas na fenda sofre um alargamento (é 
difratado). 
A intensidade da 1a franja brilhante é 
maior que a intensidade na região de 
iluminação uniforme devido a 
interferência construtiva neste ponto. 
Fresnel x Poisson 
Defendia 
teoria 
ondulatória Se a teoria ondulatória 
valesse teria um ponto 
brilhante no centro da 
sombra de um disco. 
Fresnel x Poisson 
Defendia 
teoria 
ondulatória Se a teoria ondulatória 
valesse teria um ponto 
brilhante no centro da 
sombra de um disco. 
Difração de Fraunhofer 
Ocorre quando os 
Raios que interfere 
São paralelos. 
 
Na prática: 
• Tela longe da fenda; 
• Lente convergente. 
Difração numa fenda simples 
Principio de Huygens 
Cada pontoda fenda atua como se fosse 
uma fonte pontual de ondas e a luz de 
um segmento pode interferir com a de 
outro. 
 
Obs. 
1. Todas as ondas que emerge da 
fenda estão em fase. 
2.Ondas da metade superior interferem 
destrutivamente com ondas de metade 
inferior quando. 
𝒔𝒆𝒏 𝜽 =
𝝀
𝒂
 𝒂
𝟐
𝒔𝒆𝒏 𝜽 =
𝝀
𝟐
 
Se dividirmos a fenda em 4 partes: 
Se dividirmos a fenda em 6 partes: 
𝒔𝒆𝒏 𝜽 =
𝟐𝝀
𝒂
 
𝒔𝒆𝒏 𝜽 =
𝟑𝝀
𝒂
 
A condição geral é quando: 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝒎
𝝀
𝒂
 
Com 𝒎 = ±𝟏, ±2, ±3…… 
Para franjas escuras. As franjas claras, formadas por 
interferência construtivas estão no meio de duas escuras 
adjacentes. 
L >> a 
Intensidade na figura de difração de uma 
fenda simples 
• Divide a fenda em n zonas; 
• Cada zona atua como uma 
fonte de ondas coerente de 
intensidade 𝞓E 
• No ponto P a amplitude total 
do campo elétrico é E 
 
• A diferença de fase das zonas 
adjacentes é 
 𝐄 = 𝐧∆𝑬) 
∆𝛃
𝟐𝝅
=
∆𝒚 𝒔𝒆𝒏𝜽
𝝀
 
∆𝛃 =
𝟐 𝝅
𝝀
 ∆𝒚 𝒔𝒆𝒏𝜽 
Diagrama de fase 
Cada zona 𝞓y -> 𝞓 E 
1. No centro do anteparo 
𝑬𝒐 = 𝐍∆𝑬 
Acima do de centro 
(ângulo pequeno) 𝑬 < 𝑬𝒐 e 𝜷 = 𝑵𝚫𝜷 
Ângulo 
entre o fasor 
e o anterior 
𝐴𝐸𝑅 = 𝐸𝜃 < 𝐸0 
𝐴𝐸𝑅 = 𝐸0 
Então comparando a zona do topo da fenda 
com a da base temos. 
𝜷 =
𝑵
𝝀
𝟐𝝅𝚫𝒚 𝒔𝒆𝒏 𝜽 onde N 𝚫𝒚 = 𝒂 
Logo 𝜷 =
𝟐𝝅
𝝀
𝒂 𝒔𝒆𝒏 𝜽 
𝜷 = 𝟐𝝅 Quando temos 𝟐𝝅 =
𝟐𝝅
𝝀
𝒂 𝒔𝒆𝒏 𝜽 
 𝒔𝒆𝒏 𝜽 =
𝝀
𝒂
 Ou seja 
A primeira interferência 
destrutiva 
𝐴𝐸𝜃 = 0 
Segundo máximo 
𝜷 = 𝟑𝟔𝟎𝒐 + 𝟏𝟖𝟎𝒐 = 𝟓𝟒𝟎𝒐 = 𝟑𝝅𝒓𝒂𝒅 Quando 
Segundo mínimo 
𝜷 = 𝟑𝟔𝟎𝒐 + 𝟑𝟔𝟎𝒐 = 𝟕𝟐𝟎𝒐 = 𝟑𝟒𝝅𝒓𝒂𝒅 Quando 
Caso limite 
𝚫𝒚 → 𝟎 𝒆 𝑵 → ∞ 
Onde R é o raio de curvatura. 
O comprimento do arco é: 
𝒔𝒆𝒏 
𝛃
𝟐
=
𝑬𝜽
𝟐
𝑹
 
𝑬𝟎 = 𝑹𝜷 (com 𝜷 em rad) 
𝑬𝜽 = 𝟐𝑹 𝒔𝒆𝒏 
𝜷
𝟐
 
𝑬𝜽 = 𝟐
𝑬𝟎
𝜷
 𝒔𝒆𝒏 
𝜷
𝟐
 
Eo 
𝑬𝜽 = 𝑬𝟎
𝒔𝒆𝒏 
𝜷
𝟐 
𝜷
𝟐
 
Como a intensidade I é proporcional a 𝑬𝟐 
𝑰𝜽 = 𝑰𝟎
𝒔𝒆𝒏 
𝜷
𝟐 
𝜷
𝟐
 
𝟐
 
Onde 𝑰𝟎 é a intensidade em 𝜽 = 𝟎 (máximo central) e 
𝜷 =
𝟐𝝅𝒂
𝝀
𝒔𝒆𝒏 𝜽 
Logo 
𝑰𝜽 = 𝑰𝟎
𝒔𝒆𝒏
𝝅𝒂
𝝀 𝒔𝒆𝒏𝜽 
𝝅𝒂
𝝀 𝒔𝒆𝒏𝜽
 
𝟐
 
Os mínimos ocorrem quando 𝑰𝜽 = 𝟎, ou seja 
𝝅𝒂
𝝀
𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎𝝅 e 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎 
𝝀
𝒂
 𝒎 = ±𝟏,±𝟐,±𝟑… 
Resolução de uma fenda simples 
A natureza ondulatória da luz limita a capacidade de 
resolução dos microscópios e telescópios 
Imagem resolvida 
Imagem não - resolvida 
Critério de Rayleigh 
Quando o máximo central de uma imagem se 
superpõe a o primeiro mínimo de outra imagem as 
duas estão minimente resolvidas. 
Separação angular mínima 
𝜽𝒎𝒊𝒏= ? 
𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 
𝝀
𝒂
 1° mínimo de um difração é: 
Para 𝝀 ≪ 𝒂 θ é pequeno e 𝐬𝐞𝐧 𝛉 ≅ 𝜽 
𝜽𝒎𝒊𝒏 = 
𝝀
𝒂
 
Para abertura circular 
𝜽𝒎𝒊𝒏 = 𝟏, 𝟐𝟐 
𝝀
𝒂
 
Rede de difração 
Grande número de fendas. 
Milhares de linhas por centímetros (5000) 
• Cada fenda corresponde a uma fonte; 
• Todas as ondas que partem da fenda tem a mesma fase. 
𝒅𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎𝝀 𝒎 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … .) 
Obs.: O máximo depende do comprimento de onda. 
Em θ=0 todos os comprimento de onda tem seu máximo (máximo 
de ordem zero). 
 
• Máximo de primeira ordem (m=1) é em 
 
• Máximo de segunda ordem (m=2) é em 
s𝒆𝒏𝜽 =
𝝀
𝒅
 
s𝒆𝒏𝜽 =
𝟐𝝀
𝒅
 
Telescópio de rede de difração 
• Interferência – Continuação 
•Adição de ondas pelos fasores; 
•Mudança de fase pela reflexão; 
• Interferência em filmes finos; 
• Interferômetro de Michelson; 
•Difração – Fraunhofer - fenda simples; 
• Resolução; 
• Rede de difração 
Síntese 
Obrigado!