Aula 09 - Física IV

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Física IV 
Prof. Neri Alves 
Faculdade de Ciência e Tecnologia , FCT/UNESP 
Presidente Prudente, 12 de maio de 2014 
 
Conteúdo: 
• Fótons x ondas; 
• A luz como onda de probabilidade; 
• Quantização do momento angular; 
• Difração de eletros na fenda dupla; 
• Difração em única fenda; 
• Principio da incerteza; 
• Introdução à mec. Quântica; 
• Função de onda. 
Limitações do modelo de Bohr: 
 
1.Não explica espectro de átomos complicados; 
 
2.Não explica como átomos se interagem. 
 
 
Mecânica quântica ou mecânica relativística 
 
Permite a compreensão de fenômenos envolvendo 
átomos, moléculas , núcleos e sólidos. 
Fótons x Ondas 
 
A luz ao se interagir com 
a matéria se comporta 
como partícula. 
 
 
 
 
 
𝐸 = ℎ𝑓 
𝑃 =
h 
𝜆
 
 
Efeito fotoelétrico 
Efeito Compton 
 
Efeitos de 
interferência e 
difração 
Caracteriza a luz como 
onda eletromagnética. 
Luz: 
Onda ou partícula? 
 
A teoria dos fótons e a 
teoria ondulatória se 
complementam. 
Se fóton é partícula! 
Então: 
1.Qual o significado da frequência? 
2.Qual o significado de comprimento de onda? 
3.O que determina a energia e o momento? 
4.Não tem massa em repouso? 
5.Se tem massa em movimento o campo gravitacional 
o atrai? 
6.Qual o tamanho do fóton? 
7.Como o elétron absorve ou espalha um fóton? 
 
Estas perguntas são baseadas na física 
clássica: ondas ou partículas? 
Luz não é partícula! 
Luz não é onda! 
 
Luz é luz e se comporta como partícula (na 
interação) e como onda (na propagação). 
Ondas de Rádio 
2,5 x 106Hz 
λ=5x103 m 
Infravermelho 
1 x 1013Hz 
λ=5x10-4 m 
Visível 
8 x 1014Hz 
λ=500 nm 
Raios x 
5 x 1018Hz 
λ=5x10-9 m 
Aumenta efeito de partícula 
Aumenta efeito ondulatório 
Luz como onda de probabilidade 
 Pensando em fótons. 
A probabilidade de detecta-
los-varia de um ponto para 
outro. 
 
 
 
Assim a probabilidade é 
 
𝐼 =
𝐸𝑅𝑀𝑆
2 
𝑪𝝁𝒐
 
𝐼 ∝ 𝐸2 
LUZ 
Onda eletromagnética 
 
Onda de probabilidade (Probabilidade de 
detectar um fóton a cada ponto da tela.) 
Difração com fótons isolados 
 
1. Um fóton pode passar pelas duas fendas 
simultaneamente e interferir com ele mesmo? 
2. Não há informação no percurso. 
3. Só detecta o fóton com a interação. 
4. Fóton se propaga com uma onda que preenche todo 
espaço (especulação), passa pela duas fendas 
simultaneamente e desaparece quando o fóton é 
absorvido em algum ponto da tela. 
5. Não é possível determinar onde o fóton será 
absorvido. 
6. É possível calcular a probabilidade de absorção. 
1992 Ming Hai 
 JeanClaude Diels 
Ocorre interferência 
ao variar a posição 
do espelho. 
Espelho 
semitransparente 
Como pode um fóton se 
propagar em direções 
diametralmente opostas e 
interagir com ele mesmo? 
Quando a fonte (molécula) emite um fóton, uma onda 
de probabilidade se propaga em todas as direções. 
As propriedades ondulatórias das partículas 
De Broglie (1923) : Todas as formas de matéria tem propriedades 
ondulatórias e também corpuscular. Fóton (massa de repouso mo= 0) 
 
As partículas materiais de momento p também deve ter 
propriedades ondulatórias e um comprimento de onda 
determinado. 
 
𝑃 =
𝐸 
𝑐
 E= ℎ𝑓 =
hc
𝜆
 
𝑃 =
hc
𝜆
𝑐
=
h 
𝜆
 𝑃 =
h 
𝜆
 
𝜆 =
h 
𝑃
=
𝒉
𝒎𝒗
 f=
E 
𝒉
 
A natureza 
ama simetria 
Quantização do momento angular 
Em uma corda presa nas 
duas extremidades as ondas 
estacionárias tem 
necessariamente nós nas 
extremidades, e portanto o 
número de comprimento de 
ondas possíveis é 
Qualquer onda livre é formada pela superposição 
de ondas estacionárias. 
𝒏𝜆
2
=L É 
Quantizado! 
L 
𝒏𝜆 = 𝟐𝝅𝒓 
𝒏ℏ = 𝒎𝒗𝒓 
𝜆 =
𝒉
𝒎𝒗
 Como 
𝒏𝒉
𝒎𝒗
= 𝟐𝝅𝒓 
n = 3 
Quantização 
do momento 
angular 
proposta por 
Bohr. 
Elétrons nas orbitas 
correspondem a ondas 
estacionárias que se 
ajustam a à orbita. 
A difração de elétrons na fenda dupla. 
Experiência de Davisson-Germer (1927) prova a difração 
de elétrons. 
Monoenergéticos 
Figura de interferência 
ou probabilidade de 
detectar elétrons. 
Supondo que um único elétron 
produz ondas em fase nas fendas. 
𝒅 𝒔𝒆𝒏𝜽 
Mínimo 
Interferência 
destrutiva 
𝒅 𝒔𝒆𝒏𝜽 =
𝝀
𝟐
 
Como 𝝀 =
𝒉
𝑷𝒙
, para o elétron na direção x 
𝒔𝒆𝒏𝜽 ≅ 𝜽 =
𝒉
𝟐𝒑𝒙𝒅
 
A difração de elétrons na fenda dupla. 
Um elétron por vez 
Seja 𝝀<< a 85% da luz (ou elétrons) 
 se concentra no máximo central. 
𝜽𝟏 →Delimita o máximo central e o primeiro mínimo 
a 
𝒔𝒆𝒏𝜽 ≅
𝒎𝝀
𝒂
 𝒎 = ±𝟏,±𝟐,±𝟑… 
𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 ≅ 𝜽𝟏 ≅
𝝀
𝒂
 
Elétrons  ondas 
 Particulas (probabilidades) 
𝑷𝒙
𝑷𝒚
= 𝒕𝒂𝒏 𝜽𝟏 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝜽𝟏 ≅ 𝒕𝒂𝒏 𝜽𝟏 
𝑷𝒚 = 𝜽𝟏 𝑷𝒙 
Então 
𝑷𝒚 = 𝑷𝒙 
𝝀
𝒂
 
𝑷 
𝑷𝒙 
𝑷𝒚 
Quando sai da fenda os elétrons não tem a 
componente 𝑷𝒚. Mas 85% espalha a componente 
𝑷𝒚 desde até 
𝑷𝒚 𝒎é𝒅𝒊𝒐
= 𝟎 
-P+ 
𝝀
𝒂
 + P+ 
𝝀
𝒂
 
𝑷𝒚 ≥
𝑷𝒙𝝀
𝒂
 
𝑷𝒙 = 𝒎𝒗𝒙 𝝀 ≥
𝒉
𝑷𝒙
 
𝚫𝑷𝒚 ≥
𝑷𝒙𝒉
𝒑𝒙𝒂
 𝚫𝑷𝒚 ≥
𝒉
𝒂
 𝚫𝑷𝒚𝒂 ≥ 𝒉 
e 
Para reduzir a incerteza deve-se estreitar a franja 
central, para isto deve aumentar a o que implica 
em aumentar a incerteza em y. 
Principio da Incerteza 
Grandeza Incerteza 
 
𝑷𝒙 𝚫𝑷𝒙 
𝒙 𝚫𝒙 
𝚫𝑷𝒙 
𝚫𝒙 
𝚫𝑷𝒙𝚫𝒙 < ℏ 
𝚫𝑷𝒙𝚫𝒙 > ℏ 
𝚫𝑷𝒙𝚫𝒙 = ℏ Os desvios padrões 
associados com a 
incerteza é dado por 
Colisão entre o fóton e o elétron 
𝚫𝑷𝒙𝚫𝒙 < ℏ 
𝑷𝒊 =
𝒉
𝝀
 
Depois da colisão transfere todo o 
momento ou parte do momento 
para o eletron 
𝚫𝑷 =
𝒉
𝝀
 
Como se trata de iluminar o com 
luz(onda) 
𝚫𝒙 = 𝝀 
O que acontece quando uma fenda é coberta? 
𝝍𝟏
𝟐 = 𝝍𝟏
∗𝝍𝟏 
Quadrado do 
módulo da função 
de onda 
A Interferência exige que o elétron tem que estar na 
fenda um e dois ao mesmo tempo. 
O eletron num estado superposto. 𝝍 = 𝝍𝟏 +𝝍𝟐 
𝝍 𝟐 = 𝝍𝟏 +𝝍𝟐
𝟐 
Representado por fasores 
𝝍 𝟐 = 𝝍𝟏
𝟐 + 𝝍𝟐
𝟐 + 𝟐 𝝍𝟏 𝝍𝟐𝒄𝒐𝒔𝝓 
Microscoscopio eletrônico de Varredura 
Introdução à mecânica quântica 
Ondas de matéria são descritas por funções 
complexa 𝝍 de forma que 
representa a probabilidade de se encontrar a 
partícula num ponto num certo instante. 
𝝍 = 𝝍(𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝒕) 
A função de onda 𝝍 contem toa a informação 
sobre a partícula. 
𝝍𝟏
𝟐 = 𝝍𝟏
∗𝝍𝟏 
Estado estacionário 
• Energia definida 
• 𝝍𝟏
𝟐 é independente do tempo 
• Exemplo é o elétron em um átomo 
 
𝚿 𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝒕 = 𝝍 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒆−𝒊𝒘𝒕 
Onde 
𝒆−𝒊𝒘𝒕 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽 
𝒆𝒊𝒘𝒕 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽 
𝚿 𝟐 = 𝚿∗𝚿 
Onde 
𝚿 𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝒕 𝟐 = 𝚿∗ 𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝒕 𝚿 𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝒕 
𝚿 𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝒕 𝟐 = 𝝍∗ 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒆𝒊𝒘𝒕 𝝍 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒆−𝒊𝒘𝒕 
 
𝚿 𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝒕 𝟐 = 𝝍 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝟐 Não depende do 
tempo 
Partícula Livre com momento P e comprimento de onda λ 
P 
𝝍 𝒙) = 𝑨 𝒔𝒆𝒏
𝟐𝝅𝒙
𝝀
= 𝑨 𝒔𝒆𝒏 (𝒌𝒙) 
𝑘 =
2𝜋
𝜆
 
Parte 
real 
Partícula livre com 
comprimento de 
onda desconhecido 
𝜆 Desconhecido 
(não precisamente conhecido) 
P aproximadamente 
conhecido 
𝝍 não pode ser medido 
Mas 
𝝍 𝟐 pode ser medido 
𝐏𝐫𝐨𝐛𝐚𝐛𝐢𝐥𝐢𝐝𝐝𝐞 = 𝛙 𝟐𝒅V 
Sistemas unidimensionais 𝒅V → dx 
x 
dx 
𝑷 𝒙 𝒅𝒙 = 𝝍 𝟐𝒅𝒙 
 𝝍 𝟐
∞
−∞
dx = 1 
A partícula deve existir 
em algum ponto. Se 𝝍 
satisfaz esta equação se 
diz que está normalizadaA probabilidade de um 
partícula estar no intervalo 
de 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 é a área sob 
a curva de densidade de 
probabilidade de a a b. 
𝑷𝑨𝑩 = 𝝍
𝟐
𝒃
𝒂
dx 𝝍 𝟐 É a densidade de probabilidade 
Valor esperado 
𝒙 = 𝒙 𝝍 𝟐
∞
−∞
dx = 1 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒙) 𝝍 𝟐
∞
−∞
dx 
Partícula em uma caixa 
0 L x 
∞ ∞ U 
L 
𝒚 𝒙 = 𝑨𝒔𝒆𝒏 
𝒏𝝅
𝑳
𝒙 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑… . 
 𝒌 =
𝟐𝝅
𝝀
=
𝟐𝝅
𝟐𝑳
𝒏
=
𝒏𝝅
𝟐
 
𝒚 𝒙 = 𝑨𝒔𝒆𝒏 (𝒌𝒙) 
Condições de contorno 
𝒚 𝒙 = 𝟎 𝒆𝒎 𝒙 = 𝟎 𝒆 𝒙 = 𝑳 
Ondas numa 
corda 
tensionada 
Analogamente, as funções de onda para o elétron são 
𝒚 𝒙 = 𝑨𝒔𝒆𝒏 
𝒏𝝅
𝑳
𝒙 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑… . 
Como 𝝀 é restrito a λ =
𝟐𝑳
𝒏
 
P =
𝒉
𝝀
=
𝒉
𝟐𝑳
𝒏
=
𝒏𝒉
𝟐𝑳
 
𝑬𝒏 =
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝟐 =
𝒑𝟐
𝟐𝒎
 
𝑬𝒏 =
𝒏𝒉
𝟐𝑳
𝟐
𝟐𝒎
 
𝑬𝒏 =
𝒏𝟐𝒉𝟐
𝟒𝑳𝟐
𝟏
𝟐𝒎
 
𝑬𝒏 =
𝒉𝟐
𝟖𝒎𝑳𝟐
𝒏𝟐 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑…… . . 
n = 0 não é permitido 
𝑬𝟏 =
𝒉𝟐
𝟖𝒎𝑳𝟐
 
𝑬𝟐 = 𝟒𝑬𝟏 = 𝟒
𝒉𝟐
𝟖𝒎𝑳𝟐
 . 
Neste caso descrevemos a função de onda intuitivamente 
por analogia com uma corda. A questão é 
Como encontrar as funções de ondas permitidas e os 
níveis de energia de um sistema? 
Resp.: Deve satisfazer a solução a da equação de 
Schrodinger. 
A equação de schrӧdinger 
Função de onda → 𝝍 
Densidade de probabilidade → 𝝍 𝟐 
Função de onda normalizada 
Valor esperado → 𝒙 = 𝒙 𝝍 𝟐
∞
−∞
dx = 1 
 𝝍 𝟐
∞
−∞
dx = 1 
Partícula em uma caixa 
0 L x 
∞ ∞ U 
L 
λ =
𝟐𝑳
𝒏
 𝒚 𝒙 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏 
𝒏𝝅
𝑳
𝒙 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑… . 
P =
𝒏𝒉
𝟐𝑳
 𝑬𝒏 =
𝒉𝟐
𝟖𝒎𝑳𝟐
𝒏𝟐 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑…… . . 
A função de onda contem todas as informações da partícula. 
Como encontrar a função de onda? 
Para uma onda progressiva em x 
𝝏𝟐𝚿
𝝏𝒙𝟐
=
𝟏
𝒗𝟐
𝝏𝟐𝚿
𝝏𝒙𝟐
 
𝚿 𝒙, 𝒕 = 𝝍 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 
Numa corda 
 Y 𝒙, 𝒕 = 𝒚 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 
Isto é possível para: 
 Energia constante e estados ligados 
 
 
E=hf com constante 
𝝏𝚿(𝒙, 𝒕)
𝝏𝒙
=
𝝏𝝍(𝒙)
𝝏𝒙
𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 
𝝏𝟐𝚿(𝒙, 𝒕)
𝝏𝒙𝟐
=
𝝏𝟐𝝍(𝒙)
𝝏𝒙𝟐
𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 
𝝏𝚿(𝒙, 𝒕)
𝝏𝒕
= 𝝍 𝒙 𝝎 𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕 
𝝏𝟐𝚿(𝒙, 𝒕)
𝝏𝒕𝟐
= −𝝍(𝒙) 𝝎𝟐𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 
𝝏𝟐𝝍(𝒙)
𝝏𝒙𝟐
𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 =
𝟏
𝒗𝟐
(−)𝝍(𝒙) 𝝎𝟐𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒕 
 
Logo 
𝝏𝟐𝝍(𝒙)
𝝏𝒙𝟐
= −
𝝎𝟐
𝒗𝟐
𝝍(𝒙) 
 
Como 𝝎 = 𝟐𝝅𝒇 v= 𝝀𝒇 𝝎 = 𝟐𝝅
𝒗
𝝀
 
Mas para ondas de de Broglie 
p=
𝒉
𝝀
 
Logo 
𝝎𝟐
𝒗𝟐
=
𝟐𝝅
𝝀
𝟐
=
𝟒𝝅𝒑𝟐
𝒉𝟐
 
 
𝝎𝟐
𝒗𝟐
=
𝒑𝟐
ℏ𝟐
 
 
Como ℏ =
𝒉
𝟐𝝅
 
 
Energia 
𝑬 = 𝑲 + 𝑼 Onde K=
𝒑𝟐
𝟐𝒎
 Logo 
𝑬 =
𝒑𝟐
𝟐𝒎
+ 𝑼 
Então 
𝒑𝟐 = 𝟐𝒎(𝑬 − 𝑼) e 
𝝎𝟐
𝒗𝟐
=
𝒑𝟐
ℏ𝟐
=
𝟐𝒎
ℏ
(𝑬 − 𝑼) 
 
 
𝝏𝟐𝝍(𝒙)
𝝏𝒙𝟐
= −
𝟐𝒎
ℏ
(𝑬 − 𝑼)𝝍(𝒙) 
 
Assim temos a Equação de Schrӧdinger 
Obs.: é independente do tempo 
 é a aplicação da conservação da energia 
Sendo conhecida a energia potencial a Eq. de 
Schrӧdinger permite encontrar a função de onda 
𝝍(𝒙) e a energia dos estados permitidos. 
𝝍 𝒙 → continua 
𝝍 𝐱 → 𝟎 𝐪𝐮𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐱 → ∞ 𝐨𝐮 − ∞ 
𝝍 𝒙 → únivoca 
𝒅𝝍(𝒙)
𝒅𝒙
 → continua 
 
 
Partícula Livre 
Não há força aplicada 
U 𝒙 = 𝟎 → não depende de x 
𝑬 = 𝑲 =
𝒑𝟐
𝟐𝒎
 𝝀 =
𝒉
𝒑
 f=
𝑬
𝒉
 
𝝏𝟐𝝍(𝒙)
𝝏𝒙𝟐
= −
𝟐𝒎
ℏ
(𝑬 − 𝑼)𝝍(𝒙) 
 
𝝏𝟐𝝍(𝒙)
𝝏𝒙𝟐
= −
𝟐𝒎
ℏ
(
𝒑𝟐
𝟐𝒎
)𝝍(𝒙) 
 
𝝏𝟐𝝍(𝒙)
𝝏𝒙𝟐
= −
𝒑𝟐
𝟐ℏ𝟐
𝝍(𝒙) 
 
𝝏𝟐𝝍(𝒙)
𝝏𝒙𝟐
+
𝟐𝝅𝑷
𝒉
𝟐
𝝍 𝒙 = 𝟎 
 
k=
𝟐𝝅
𝝀
 
𝝏𝟐𝝍(𝒙)
𝝏𝒙𝟐
+ 𝒌 𝟐𝝍 𝒙 = 𝟎 
 
Por analogia com as ondas mecânicas 
𝚿 𝒙, 𝒕 = 𝑨𝒄𝒐𝒔 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕 + 𝑩𝒔𝒆𝒏(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
k=
𝟐𝝅
𝝀
=
𝟐𝝅𝒑
𝒉
=
𝒑
ℏ
 
𝝎 = 𝟐𝝅𝒇 = 𝟐𝝅
𝑬
𝒉
=
𝑬
ℏ
 
Se fizermos B=iA para colocar na forma de onde 
estacionária 
𝚿 𝒙, 𝒕 = 𝑨𝒄𝒐𝒔 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕 + 𝒊𝑨𝒔𝒆𝒏(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
𝚿 𝒙, 𝒕 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕 + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
𝚿 𝒙, 𝒕 = 𝑨 𝒆𝒊(𝒌𝒙−𝝎𝒕) = 𝑨 𝒆𝒊𝒌𝒙 𝒆−𝒊𝝎𝒕 
Onde 
𝒆𝒊𝜽 = 𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽 
𝒆−𝒊𝜽 = 𝒄𝒐𝒔 𝜽 − 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽 
𝑹𝒆 𝝍 𝒙 = 𝑨𝒄𝒐𝒔𝒌𝒙 
A 
-A 
𝑹𝒆 𝝍 𝒙 = 𝑨𝒄𝒐𝒔𝒌𝒙 
A 
-A 
Satisfaz a equação de Schrӧdinger? 
−
ℏ𝟐
𝟐𝒎
𝝏𝟐𝝍(𝒙)
𝝏𝒙𝟐
+ 𝑼𝝍 𝒙 = 𝑬 𝝍 𝒙 
𝒅𝝍(𝒙)
𝒅𝒙
=
𝒅𝝍𝑨 𝒆𝒊𝒌𝒙
𝒅𝒙
= 𝒊𝒌𝑨𝒆𝒊𝒌𝒙 
𝒅𝟐𝝍(𝒙)
𝒅𝒙𝟐
= −𝒌𝟐𝑨𝒆𝒊𝒌𝒙 
-
ℏ𝟐
𝟐𝒎
(−𝒌𝟐𝑨𝒆𝒊𝒌𝒙) + 𝟎 = 𝑬𝑨𝒆𝒊𝒌𝒙 
ℏ𝟐
𝟐𝒎
𝒌𝟐 = 𝑬 Onde ℏ𝒌 = 𝒑 
𝒑𝟐
𝟐𝒎
= 𝑬 
Satisfaz a sendo a energia dado por 
𝒑𝟐
𝟐𝒎
 como é de 
se esperar. Obs. Não é quantizada. 
Partícula em uma caixa 
0 L x 
∞ ∞ U 
U(x)=0 U(x) U(x) 
−
ℏ𝟐
𝟐𝒎
𝝏𝟐𝝍(𝒙)
𝝏𝒙𝟐
+ 𝑼𝝍 𝒙 = 𝑬 𝝍 𝒙 
U(x) 𝝍 𝒙 deve ser finito 
 𝝍 𝒙 = 𝟎 quando 𝝍 𝒙 → ∞ 
 𝝍 𝒙 deve ser contínua 
Então 𝝍 𝒙 =0 em x=0 e x=L (condições de contorno) 
 para 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝑳 → 𝑼 𝒙 = 𝟎 
𝝍 𝒙 = 𝑨𝟏𝒆
𝒊𝒌𝒙 + 𝑨𝟐𝒆
−𝒊𝒌𝒙 
Mostrar que a 
solução da partícula 
livre não se aplica 
 𝝍 𝒙 = 𝑨𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒌𝒙 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝒌𝒙 + 𝑨𝟐(𝒄𝒐𝒔(−𝒌𝒙) + 𝒊𝒔𝒆𝒏 (−𝒌𝒙)) 
 𝝍 𝒙 = 𝑨𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒌𝒙 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝒌𝒙 + 𝑨𝟐(𝒄𝒐𝒔 𝒌𝒙 − 𝒊𝒔𝒆𝒏 𝒌𝒙) 
 𝝍 𝒙 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒌𝒙 + 𝒊(𝑨𝟏 − 𝑨𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒌𝒙) 
Primeira condição de contorno 
E m x=0 𝝍 𝒙 =𝝍 𝟎 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 
Como 𝝍 𝟎 = 𝟎 → 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = 𝟎 → 𝑨𝟏 = −𝑨𝟐 
Logo 𝝍 𝒙 = 𝟐𝒊𝑨𝟏 𝒔𝒆𝒏𝒌𝒙 = 𝑪 𝒔𝒆𝒏𝒌𝒙 
Segunda condição de contorno 
E m x=L 𝝍 𝒙 = 𝝍 𝑳 = 0 
𝝍 𝑳 = 𝑪𝒔𝒆𝒏 𝒌𝑳 → 𝒌𝑳 = 𝒏𝝅 → 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟑… 
𝝍 𝒙 = 𝑪 𝒔𝒆𝒏𝒌𝒙 
Satisfaz as duas 
condições de contorno e 
é diferente da partícula 
livre 
Provando que satisfaz de Schrӧdinger 
𝒅𝝍(𝒙)
𝒅𝒙
= 𝒄𝒌 𝒄𝒐𝒔 𝒌𝒙 
𝒅𝟐𝝍(𝒙)
𝒅𝒙𝟐
= −𝒄𝒌𝟐𝒔𝒆𝒏𝒌𝒙 
−
ℏ𝟐
𝟐𝒎
𝒌𝟐𝑨𝒆𝒊𝒌𝒙 + 𝟎
= −𝑬𝒄𝒌𝒔𝒆𝒏𝒌𝒙 
 𝑬 =
ℏ𝟐𝒌𝟐
𝟐𝒎
 
Onde k=
𝒏𝝅
𝑳
 p= ℏ𝒌 
𝝀𝒏 =
𝟐𝝅
𝒌
=
𝟐𝑳
𝒏
 
𝑬 =
𝒑𝟐
𝟐𝒎
 𝑷 =
𝒉
𝟐𝝅
𝟐𝝅
𝝀
 𝑷 =
𝒉
𝝀𝒏
 
𝑷𝒏 =
𝒉
𝟐𝑳
𝒏
 
𝑬𝒏 =
𝒑
𝟐𝒎
𝟐
=
𝒉𝟐
𝟖𝒎𝑳𝟐
𝒏𝟐 
𝝍𝒏 𝒙 = 𝑪𝒔𝒆𝒏 
𝒏𝝅𝒙
𝑳