INTEGRAIS DUPLA

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Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda 
Professora: Salete Souza de Oliveira Buffoni 
 
 1
Exercícios Resolvidos 
 
Assunto: Integral Dupla 
 
Comentários Iniciais: 
 
É com imenso prazer que trago alguns exercícios resolvidos sobre integrais duplas e 
suas aplicações. Espero que você tenha um conspícuo aprendizado do tema. Não 
esqueça de constantemente recorrer aos livros, pois eles são excelente fonte de 
aprendizado. 
 
Qualquer Dúvida me escreva. 
 
e-mail: salete@vm.uff.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reflexão 
 
" Doce é a Luz e ver o sol deleita os olhos. 
Se tu viveres por muitos anos, que os desfrute todos, 
sempre lembrando que os dias sombrios são numerosos 
e tudo o que acontece é vaidade. Estejas feliz na tua juventude 
e afasta a tristeza do teu coração. Anda segundo os desejos 
 do teu coração, conforme o que teus olhos vêem. 
Mas fica sabendo que por tudo o que fizeres aqui, 
 Deus te pedirá conta." 
 
 Salomão 935 a. C 
 
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 2
1. Integral Dupla 
 
( )∫∫
R
dxdyyxf , 
( )∫ = cteydxyxf , 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1. 
 
( )
5
16
10
322
10
1
|
5
1
2
1
2
1
|
2
1
5
2
0
5
2
0
4
2
0 0
2
2
0 0
2
2
==
⋅
∫
∫
∫ ∫
= =
x
dxx
dxy
ydydx
x
y
x
y
 
2. 
 
( )
( )
( )
( )
5
2
52
|x2
2
x2
dx2x2
dx22x
|y2x
dydx2x
1
0
2
1
0
1
0
1
0
2
0
1
0
2
0
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +
+
+
+
+
∫
∫
∫
∫ ∫
 
 
Outra forma: 
( )
∫
∫ ∫
+
+
2
0
1
0
2
2
0
1
0
dx|x2
2
x
dxdy2x
 
 
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 3
5|y
2
5
dy
2
5
2
0
2
0
=
∫
 
 
Encontrou-se o mesmo resultado. 
 
3. 
 ( )
[ ]
4
1lneln
4
|Lny
4y
dy
4
dy
4y
1
dy0arctg1arctg
y
1
dy|
y
xarctg
y
1
dxdy
yx
1
e
1
e
1
e
1
e
1
e
1
y
0
e
1
y
0
22
ππ
πππ
=−
==
−
+
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
 
 
 
2. Interpretação da Integral Dupla 
 
 ( )∫∫
R
dxdyyxf , 
 Seja ( )yxfz ,= contínua na região R 
 ( )
( )
( )
( )
( )
R
R
R
n
1i
m
1j
jiji
m
n
n
1i
m
1j
jiji
jijii
Adxdy
1y,xffazendo
bAV
1hsehbAV
dxdyy,xfV
yxy,xfLimV
yxy,xfV
yxy,xfV
=
=
⋅=
=⋅⋅=
=
=
≅
=
∫∫
∫∫
∑∑
∑∑
= =∞→∞→
= =
∆∆
∆∆
∆∆
 
 
 
 
 
 
 
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 4
1. Cálcule a área retangular R 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8816
|4
4
26
|
62
42
4
2
4
2
4
2
4
2
6
2
4
2
6
2
=−=
=
=
−=
=
=
⎩⎨
⎧
≤≤
≤≤
=
∫
∫
∫
∫ ∫
∫∫
=
=
=
= =
R
R
x
R
x
R
x
R
x y
R
R
R
A
xA
dxA
dxA
dxyA
dydxA
y
x
R
dxdyA
 
 
 
3. Cálculo de áreas por Integral Dupla 
 
 
∫∫=
R
dxdyA 
 
 
 
 x 
 y 
 z 
 R 
 4 
 2 
2 6 
 
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 5
 
1. Determinar a área da região limitada pelas curvas xyexy 43 == no 1º Quadrante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )∫
∫
∫ ∫
=−=−=
=
=
⎩⎨
⎧
≤≤
≤≤=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
+=−
⎩⎨
⎧
=
=
= =
2
0
2
0
42
3
2
0
x4
x
2
0x
x4
xy
3
3
3
4|
4
x
2
x4dxxx4A
dx|yA
dydxA
x4yx
2x0
R
2
2
0
0x4x
x4y
xy
3
3
 
 
 
2. Determinar a área da região limitada pelas curvas xyex2y == no 1º Quadrante. 
 
 0 2 
y=x 
 0 2 
xy 2=
 
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 6
( )
( )
( )
3
2
3
46
3
42A
|
6
y
2
yA
dy
2
yyA
dxdyA
formaOutra
3
2
3
682
3
8A
222
3
2A
|
2
x22
3
2A
dxxx2A
dydxA
yx
2
y
2y0
Rou
x2yx
2x0
R
2x
0x
02xx
0x2x
x2x
xy
x2y
xyex2y
2
0
32
2
0
2
2
0y
y
2
yx
3
2
0
2
2
3
2
0
2
1
2
0x
x2
xy
2
2
2
2
2
2
2
1
=−=−=
−=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
=
=−=−=
−=
−=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤≤
≤≤
⎪⎩
⎪⎨⎧ ≤≤
≤≤
⎩⎨
⎧
=
=
=−
=−
=
⎩⎨
⎧
=
=
==
∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
= =
= =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 7
4. Momento e Centro de Gravidade de Áreas Planas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xAm
yAm
y
x
⋅=
⋅=
 
 
4.1. Coordenadas do Centro de Gravidade 
 
 
 
∫∫
∫∫
∫∫
=
=
=
=
=
R
y
R
x
R
x
y
xdydxm
ydydxm
dydxA
A
m
y
A
m
x
 
 
1. Determinar as coordenadas do centro de gravidade da Região limitada no 1º 
Quadrante por x4yexy 3 == . 
 
 
 
 
 
 
 
x
y ( )yxCG ;
 
0 2 
8 
 
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 8
 
 
 
( )
( )
( )
( )
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
=⋅==
=⋅==
=−=−⋅=
−=
−=
=
=
=−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⋅=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
−=
=
=
==
⎩⎨
⎧
≤≤
≤≤=
∫
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
=
=
= =
=
=
= =
= =
21
64;
15
16.G.C
21
64
421
256
A
M
y
15
16
415
64
A
M
x
15
64
5
32
3
32
5
32
3
84M
|
5
x
3
x4M
dxxx4M
dx|xyM
xdydxM
21
256
7
64
3
64M
7
128
3
816
2
1M
|
7
x
3
x16
2
1M
dxxx16
2
1M
dx|y
2
1M
ydydxM
4dydxA
x4yx
2x0
R
x
y
y
2
0
53
y
2
0x
42
y
2
0x
x4
x
y
2
0x
x4
xy
y
x
x
2
0
73
x
2
0x
62
x
2
0x
x4
x
x
2
0x
x4
xy
x
2
0x
x4
xy
3
3
3
3
3
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 9
2. 02;2 ==+= yeyxxy 1º Quadrante 
 
 
( )
( )
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
−
−
−
−
−
−
=
=
=
−−=
−−=
=
=
=
−−=
−−=
=
=
⎩⎨
⎧
=
−==−+
⎩⎨
⎧
=+
=
⎩⎨
⎧
−≤≤
≤≤
1
0
y2
y
2
y
1
0
y2
y
y
x
1
0
43
2
x
1
0
32
x
1
0
y2
y
x
1
0
y2
y
x
1
0
32
1
0
2
1
0
y2
y
1
0
y2
y
2
2
2
dy|
2
xM
xdxdyM
12
5M
|
4
y
3
yyM
dyyyy2M
dy|yxM
ydxdyM
6
7A
|
3
y
2
yy2A
dyyy2A
dy|xA
dxdyA
1P
2S
02yy
2yx
xy
y2xy
1y0
R
2
2
2
2
2
2
 
 
 
 
 
0 2 
2 
1 
 
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 10
 
( )
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
==
==
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−=
−+−= ∫
14
5;
35
32..
14
5
35
32
15
16
5
1
3
124
2
1
|
53
24
2
1
44
2
1
1
0
53
2
1
0
42
GC
A
M
y
A
M
x
M
M
yyyyM
dyyyyM
x
y
y
y
y
y
 
 
 
5. Momento de Inércia (Ix; Iy; I0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )∫∫
∫∫
∫∫
+=+=
=
=
R
yx
R
y
R
x
dxdyyxIouIII
dxdyxI
dxdyyI
22
00
2
2
 
 
 
1. Determinar os momentos de inércia 0; IeII yx da região limitada pelas curvas 
04;42 === yexxy no 1º Quadrante. 
 
xi 
yj 
 
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 11
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28,107
7
512
15
512
7
512128
7
4
|
7
4
2
|
15
51232
15
16
|
5
2
3
8
8
3
1
|
3
1
20
40
0
4
0
2
7
4
0
2
5
4
0
2
0
2
4
0
2
0
2
4
0
2
5
4
0
2
3
4
0
2
0
3
4
0
2
0
2
2
1
2
1
2
1
2
1
=+=+=
=⋅=
=
=
=
=
=⋅=
=
=
=
=
⎩⎨
⎧
≤≤
≤≤
∫
∫
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
yx
y
y
y
x
y
x
y
x
x
x
x
x
x
x
III
I
xI
dxxI
dxyxI
dydxxI
I
xI
dxxI
dxyI
dydxyI
xy
x
R
 
0 4 
xy 2=
 
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 12
2. 0;3;42 ==+= yyxxy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
97,8
7
46
5
12
7
46
5
12
12
2"
6'
4
0124
34
3
3
4
3
4
20
0
2
0
3
4
2
2
0
3
4
2
2
2
2
2
2
2
=+=+=
=
=
=
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
⎩⎨
⎧
=
−=−==−+
−=
−=
⎩⎨
⎧
=+
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≤≤
≤≤
∫ ∫
∫ ∫
−
−
yx
y
y
y
y
x
y
y
x
III
I
dxdyxI
I
dxdyyI
P
y
y
S
yy
yy
yx
yx
xy
yxy
y
R
 
 
 
 
 
3 
yx
yx
−=
=
3
4
2
 
 
 
 
0 
3 
2
1º Q. 
 
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 13
6. Volume por Integral Dupla 
 
 ( )yxfz ,= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
=
=
=
=
∫∫
∫∫
y,xfx
y,xfy
y,xfz
0z,y,xF
zdxdyV
Vdxdyy,xf
yxy,xfV
R
R
jii ∆∆
 
 
3=++ zyx 
 
 
 
yzplanoDzyx
xzplanoDzxy
xyplanoDyxz
→−−=
→−−=
→−−=
3
3
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )yxfz ,=
3
3
3 
 
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 14
1. Determinar o volume do Sólido limitado pelos planos coordenados pelo plano 
3=++ zyx no 1º octante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
0
0
0
.
z
y
x
CoordPlanos 
⎩⎨
⎧
−≤≤
≤≤
x3y0
3x0
R 
 
 
( )
.v.u
2
9V
6
27
2
27
2
27V
|
6
x
2
x3x
2
9V
dx
2
xx3
2
9V
dx|
2
yxyy3V
dydxyx3V
3
0
32
3
0
2
3
0
x3
0
2
3
0x
x3
0y
=
+−=
+−=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−=
−−=
−−=
∫
∫
∫ ∫
−
=
−
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
3
3 
 
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 15
2. Determinar o volume do sólido limitado por 0;0;6;0;4 2 ====−= yzyxxz . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
..32
1648
|224
624
|4
4
6
0
3
2
0
2
2
0
6
0
2
2
0
6
0
2
vuV
V
xxV
dxxV
dxyxyV
dydxxV
=
−=
−=
−=
−=
−=
∫
∫
∫ ∫
 
 
3. Determinar o volume do sólido limitado no 1º octante pelos cilindros 
222222 azxeayx =+=+ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 xaz −=
6
2 
R
6 
2
24 xz −=
6
2 
4 
R
4 
222 ayx =+
0 a 
a
 
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 16
..
3
2
3
3
3
|
3
|
0
0
333
3
3
0
3
2
0
22
0
2222
0 0
22
0 0
22
22
22
22
vuaaaV
aaV
xxaV
dxxaV
dxxaxaV
dxxaV
dydxxaV
xay
ax
R
a
a
x
a
x
a
x
xa
a
x
xa
y
=−=
−=
−=
−=
−⋅−=
−=
−=
⎪⎩
⎪⎨⎧ −≤≤
≤≤=
∫
∫
∫
∫ ∫
=
=
=
−
=
−
=
 
 
4. Determinar o volume do sólido limitado superiormente por 42 ++= yxz e 
inferiormente por 2+−−= yxz e lateralmente pela superfície definida pelo contorno 
da região D limitada pelas curvas 2
2
4
2
2 −=−= xyexy . 
 
 
2
42
2
2
4
20
2
2
4
2
1
2
2
2
2
+−−=
++=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≤≤−
≤≤
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−=
yxz
yxz
xyx
x
R
xy
xy
D
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4º Quad. 
 
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 17
( )
( )
( )
( )
..
15
338
1612
3
406
5
96
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5
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3
4
3
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