Apostila de Geometria Espacial

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GEOMETRIA 
ESPACIAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Espacial Prof. Ms. Carla S. Moreno Battaglioli 
 
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1. Poliedros Convexos 
1.1 Definição: Do grego - poly (muitas) + edro (face), um poliedro é uma reunião de um 
número finito de polígonos planos e convexos tais que: 
 cada lado de um destes polígonos é também lado de um, e apenas um, outro polígono. 
 dois desses polígonos nunca estão no mesmo plano. 
 o plano de cada polígono deixa os demais polígonos num mesmo semi-espaço. 
Cada um destes polígonos chama-se uma face do poliedro, cada lado comum a duas faces 
chama-se uma aresta do poliedro e cada vértice de uma face é também chamado vértice do 
poliedro. 
 
 
1.2 Relação de Euler 
Atividade: Observe os sólidos geométricos e complete a seguinte tabela: 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
 4. O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. 
Determine, utilizando a relação de Euler, o número de faces do poliedro. 
 Repostas: 
1. A=19 e v=10; 2. 8 3. 20; 4. 12. 
1.3 Propriedade dos Poliedros Convexos 
A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é S = (V-2).4r onde V é o 
número de vértices e r é um ângulo reto. 
Demonstração: 
 
 
 
 
 
Exercício 
 
 
 
 
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1.4 Poliedros de Platão 
Um poliedro é chamado Poliedro de Platão, se e somente se, satisfaz as três condições: 
Um poliedro é chamado Poliedro de Platão, se e somente se, satisfaz as três condições: 
a) Todas as faces tem o mesmo número de arestas; 
b) Em todos os vértices coincidem o número de arestas ; 
c) Vale a relação de Euler: V – A + F = 2 
 
 
 
 
 
 
1.5 Poliedros Regulares 
Um poliedro de Platão cujas faces são polígonos regulares e congruentes entre si é chamado 
poliedro regular. 
Existem somente 5 poliedros regulares: 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: Todo poliedro regular é um poliedro de Platão mas nem todo poliedro de 
Platão é regular. 
 
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2. Prismas 
2.1 Definição: Considere α e β, planos paralelos e distintos, uma região poligonal contendo n 
lados contida em α e uma reta r que intercepta os planos α e β nos pontos A e B, 
respectivamente. Chama-se prisma, a união de todos os segmentos congruentes e paralelos 
ao segmento AB, contendo assim uma extremidade na região poligonal e uma extremidade em 
β. 
 
2.2 Prisma Reto e Prisma Oblíquo 
 
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2.3 Prisma Regular: É um prisma reto cujas bases são polígonos regulares. 
 
 
 
2.4 Paralelepípedo: É um prisma que possui como faces 6 paralelogramos. 
 
 
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2.4.1 Diagonal e Área do Paralelepípedo 
Deduza as fórmulas da diagonal do paralelepípedo retângulo (D) e da área da superfície (S) em 
função da medida dos lados (a), (b) e (c). 
 
 
 
 
 
2.5 Cubo : É um paralelepípedo regular que possui como faces 6 quadrados. 
2.5.1 Diagonal do Cubo 
Determine a diagonal do cubo (D) e área da superfície (S) em função da medida do lado (a). 
 
 
 
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Exercícios 
1. Calcule a medida da aresta de um cubo de 36 cm2 de área. 
2. Calcule a diagonal de um paralelepípedo retângulo de dimensões y, (y+1) e (y-1). 
 
3. Calcule a terceira dimensão de um paralelepípedo, sabendo que duas delas medem 4 cm e 7 
cm e que sua diagonal mede cm. 
4. Calcule a medida da aresta de um cubo, sabendo que a sua diagonal excede a diagonal da 
face em 2 cm. 
5. Determine a área total de um paralelepípedo retângulo cuja diagonal mede cm, 
sendo a soma de suas dimensões igual a 60 cm. 
 
2.6 Volume do Cubo e do Paralelepípedo Retângulo 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
2.7 Área Lateral e Área Total do Prisma 
 
 
 
 
 
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2.8 Princípio de Cavalieri 
Sólidos A e B têm o mesmo volume, suas bases estão contidas no mesmo plano e situadas 
no mesmo semi-espaço determinado por . Qualquer plano , paralelo a e secante 
aos sólidos A e B, determina em A e B superfícies de áreas iguais (equivalentes). 
 
2.9 Volume do Prisma 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
 
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3. Pirämides 
3.1 Definição: Consideremos um polígono contido em um plano e um ponto V localizado 
fora desse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade 
em P e a outra num ponto qualquer do polígono. O ponto V recebe o nome de vértice da 
pirâmi 
 
3.2 Elementos da Pirâmide 
 
 
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3.3 Pirâmide Regular: é aquela cuja base é um polígono regular. 
 
3.4 Tetraedro: é uma pirâmide cuja base é um triângulo. 
 
3.5 Volume da Pirâmide 
 
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3.6 Área 
 
 
 
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Exercícios 
 
 
 
 
 
 
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3.7 Tronco de Pirâmide 
Na figura estão representadas duas pirâmides semelhantes de bases A e A' de alturas h e h'. 
Esta representado também o tronco de pirâmide de bases paralelas A e A' de altura H, que é a 
diferença entre as duas pirâmides. 
 
demonstração 
 
 
 
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Exercícios 
5. Um tronco da pirâmide possui como bases dois quadrados de lados medindo 16 e 24 
centímetros, respectivamente. Sabendo que a altura do tronco é equivalente a 42 cm, 
determine seu volume. 
 
6. Um reservatório possui as dimensões de um tronco da pirâmide com lado da base menor 
medindo 2 m e lado da base maior medindo 8 m. Considerando que a medida da altura 
corresponde a √8 m, calcule sua capacidade de armazenamento. 
 
 
 
4. Cilindros 
4.1 Definição: 
 
 
 
 
 
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4.2 Elementos do Cilindro 
 
 
 
 4.3 Classificação dos Cilindros 
 
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4.3 Área Lateral e Área Total do Cilindro 
 
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Exercícios 
 
 
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4.4 Volume do Cilindro 
 
 
 
Exercícios 
 
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5. Cones 
5.1 Definição: 
 
5.2 Elementos do Cone 
 
 
 
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 5.3 Classificação 
 
 
 
 
 
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5.4. Superfície 
 
 
5.5 Área Lateral (Setor Circular) e Área Total do Cone 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
 
 
 
 
 
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5.6 Volume do Cone 
 
 
Exercícios 
 
 
5.7 Tronco de Cone 
 
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5.8 Áreas e Volume do Tronco de Cone 
 
 
 
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6. Esferas 
 6.1 Definição: 
 
 
 
 
 
 
6.2 Elementos da Esfera 
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6.3 Volume da Esfera 
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 Arquimedes pegou um cilindro de raio r e altura 2r e encheu-o de líquido. Em seguida, 
colocou dentro do cilindro, uma esfera de raio r. Ao fazê-lo, parte do líquido que estava dentro 
do cilindro transbordou. Ele verificou que o líquido restante ocupava 1/3 do cilindro, isto é, 
transbordara 2/3 do líquido. Logo 
 
 
6.4 Área da Superfície Esférica 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS: 
 
A MAIOR PARTE DO CONTEÚDO AQUI APRESENTADO FOI EXTRAÍDA DO LIVRO CITADO A 
SEGUIR, QUE É BIBLIOGRAFIA BÁSICA RECOMENDADA PARA ESTE CURSO. 
o DOLCE, Oswaldo e POMPEO, Jose Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar: 
Geometria espacial, posição e métrica. Volume 10. 5ª ed. São Paulo: Editora Atual, 
2005. 
 
 
 
 
 
 
 
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