Aula5 UTM

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Prof. Irineu da Silva 
EESC-USP 
Curso de Geomática 
Aula UTM 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 2 
As Distâncias na Mensuração 
Tipos de distâncias 
 
 
Existem várias distâncias a serem consideradas na Mensuração. 
São elas: 
 
 
- distância inclinada; 
- distância horizontal; 
- distância esférica; 
- distância plana. 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 3 
Distância Inclinada e Distância Horizontal 
Sejam dois pontos P e Q sobre o terreno, conforme indicado a seguir. 
 
s’ = distância inclinada entre P e Q; 
s = distância horizontal entre P e Q; 
β = ângulo de altura da direção PQ. 
θ = ângulo zenital da direção PQ 
 
 s = s’cos b ou s =s’sen q 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 4 
Distância Esférica 
Considerando a curvatura da Terra e adotando a esfera como a 
superfície de referência, tem-se a seguinte situação: 
R0 = raio médio da esfera terrestre; 
HP = altitude do ponto P; 
HQ = altitude do ponto Q; 
sP = distância esférica ao nível de P; 
sQ = distância esférica ao nível de Q; 
s0 = distância esférica ao nível do 
 mar (H=0) 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 5 
Distância Esférica 
As superfícies são esferas concêntricas e permitem obter as seguintes 
relações: 
s
R
s
R H
s
R H
o
o
P
o P
Q
o Q




Para um ponto P de altitude H, tem-se: 
o
o
p
o
o
po
P s
R
H
s
R
HR
s .1. 








o
p
P
o
R
H
s
s


1
27.05.2013 Irineu da Silva Page 6 
Distância Esférica 
Para os cálculos práticos pode-se operar com valores em ppm, 
adotando-se uma altitude média para a região de cálculo. Nesse caso, 
a redução ao nível do mar pode ser dada por: 
 
ppm
HR
H
d
o
610.Re


As reduções podem também ser efetuadas aplicando-se um fator 
de escala denominado Fator de Escala Altimétrico (Kalt), conforme 
indicado abaixo. 
HR
H
K
o
alt

 1
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Sistemas de Projeção Cartográfica 
 
 
 
 
 
 
 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 8 
Sistemas de Projeção Cartográfica 
 
 
 
 
 
 
 
As coordenadas planas da superfície terrestre são obtidas a partir do 
uso de um sistema de projeção, através do qual se estabelece uma 
relação pontual e unívoca entre a superfície de referencia, esférica, e a 
superfície do desenho, plana. Trata-se, portanto, de obter as 
coordenadas planas x, y a partir de um ponto de coordenadas (, ) da 
superfície esférica. Na literatura distinguem-se os seguintes tipos de 
projeções cartográficas: 
 
 - Projeção conforme, que são aquelas que conservam os 
 ângulos; 
 - Projeção equivalente, que são aquelas que conservam as 
 superfícies; 
 - Projeções que não conservam nem os ângulos e nem as 
 superfícies mas que possuem outras características 
 importantes. 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 9 
Sistemas de Projeção Cartográfica 
 
 
 
 
 
 
 
É importante salientar que não existe nenhuma projeção cartográfica 
que mantenha os comprimentos. Sendo a esfera e o elipsóide duas 
superfícies esféricas, torna-se impossível estabelecer uma 
representação plana delas sem causar algum tipo de deformação 
linear. 
 
Geralmente os países preferem adotar as Projeções Conforme para a 
determinação das suas bases cartográficas. As Projeções 
Equivalentes são mais interessantes para o estabelecimento de cartas 
com escala reduzida (Atlas Geográfico). 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 10 
Principais Projeções Cartográficas 
 
 
 
 
 
Cilíndricas, Cônicas e Azimutais 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 11 
Principais Projeções Cartográficas 
 
 
 
 
 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 12 
Projeções Cilíndricas 
 
 
 
 
 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 13 
Projeções Cilíndricas 
As Projeções Cilíndricas podem ser 
 
 - Projeção Cilíndrica Normal: o eixo do cilindro coincide 
com o eixo de rotação da Terra e o cilindro é tangente à superfície 
esférica ao longo do equador. 
 
 - Projeção Cilíndrica Transversa: o eixo do cilindro 
coincide com o plano do equador e o cilindro é tangente a superfície 
esférica ao longo do meridiano. Exemplo, Projeção TM. 
 
 - Projeção Cilíndrica Obliqua: o eixo do cilindro é obliquo 
em relação ao eixo de rotação da Terra e o cilindro é tangente a 
superfície esférica ao longo de um grande arco de círculo qualquer. 
 
 
 
 
 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 14 
Projeções Cilíndricas 
 
 
 
 
 
Entre as Projeções Cilíndricas mais importantes vale a pena citar a 
Projeção de Mercator 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 15 
Projeções Cilíndricas 
Como curiosidade, apresenta-se a seguir uma imagem de uma Projeção 
Cilíndrica Equivalente. Neste caso a Cilíndrica Equivalente de Lambert. 
 
 
 
 
 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 16 
Projeções Cônicas 
 
 
 
 
 
Em uma projeção cônica, a superfície esférica é projetada sobre um 
cone tangente, o qual é posteriormente desenvolvido para se obter a 
carta plana. 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 17 
Projeções Cônicas 
 
 
 
 
 
A projeção cônica mais conhecida é a Projeção Cônica Conforme de 
Lambert. 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 18 
Projeções Azimutais 
 
 
 
 
 
- Projeção Gnômica: o centro de projeção é o eixo da Terra. Essa 
projeção não é conforme e nem equivalente. 
 
- Projeção Estereográfica: o centro de projeção é o pólo oposto ao 
plano de tangência. Ela é uma projeção conforme. 
 
- Projeção Ortográfica: o centro de projeção está no infinito. Essa 
projeção não é conforme e nem equivalente. 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 19 
Exemplos de Cartas com Projeção Azimutal 
 
 
 
 
 
 
 
Azimutal Gnômica 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 20 
Exemplos de Cartas com Projeção Azimutal 
 
 
 
 
 
 
 
Azimutal Esterográfica 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 21 
Exemplos de Cartas com Projeção Azimutal 
 
 
 
 
 
 
 
Azimutal Ortográfica 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 22 
A Projeção UTM 
A projeção UTM, originada a partir da Projeção Conforme de Gauss, foi 
usada pela primeira vez, em larga escala, pelo Serviço de Cartografia do 
Exército Americano (US Army Map Service - AMS), durante a Segunda 
Guerra Mundial. A sua principal vantagem é que ela permite representar 
grandes áreas da superfície terrestre, sobre um plano, com poucas 
deformações e com apenas um grupo de fórmulas. 
 
A projeção UTM é representada sobre um sistema de coordenadas 
retangulares, o que a torna bastante útil para ser aplicada na 
Mensuração. 
 
 
 
 
 
 
 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 23 
Características da Projeção UTM 
 
 
 
 
 
 
 
A projeção UTM é uma projeção cilíndrica conforme que pode ser 
visualizada como um cilindro secante à superfície de referência, 
orientado de forma que o eixo do cilindro esteja no plano do equador. 
 
O cilindro secante possui um diâmetro menor do que o diâmetro da 
superfície de referência, criando, assim,duas linhas de interseção entre 
o cilindro e a superfície de referencia. A área de projeção compreende 
apenas uma parcela da superfície de referência. Essa área é 
denominada fuso ou zona. Cada fuso é representado pelo número do 
fuso ou pela longitude do seu meridiano central. As coordenadas na 
direção horizontal são denominadas Este e representadas pela letra E. 
As coordenadas na direção vertical são denominadas Norte e 
representadas pela letra N. 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 24 
Características da Projeção UTM 
 
 
 
 
 
 
 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 25 
Características da Projeção UTM 
 
 
 
 
 
 
 
As principais características da projeção UTM são as seguintes: 
 
a) Amplitude dos fusos: 6; 
b) Latitude da origem: 0 (equador); 
c) Longitude da origem: a longitude do meridiano central do fuso; 
d) Falso Norte (translação Norte): 10.000.000 m para o hemisfério Sul; 
e) Falso Este (translação este): 500.000 m; 
f) Fator de escala no meridiano central: 0,9996; 
g) Numeração das zonas: as zonas são numeradas de 1 a 60, a partir 
do antemeridiano de Greenwich, para leste. Assim, 
 zona 1 - de 180 W a 174 W 
 zona 60 - de 174 E a 180 E; 
h) Limites das latitudes: 80 N e 80 S; 
i) Os meridianos de longitude e os paralelos de latitude interceptam-se 
em ângulos retos na projeção; 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 26 
Características da Projeção UTM 
 
 
 
 
 
 
 
j) A linha do equador e a linha do meridiano central de cada fuso são 
representadas por linhas retas na projeção. Os demais meridianos 
são representados por linhas côncavas em relação ao meridiano 
central e os paralelos são representados por linhas côncavas em 
relação ao polo mais próximor. 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 27 
Características da Projeção UTM 
 
 
 
 
 
 
 
k) O espaçamento entre os meridianos aumenta a medida que eles 
se afastam do meridiano central. Para manter a proporcionalidade 
da projeção conforme, a escala na direção Norte-Sul também é 
distorcida acarretando, assim, a existência de uma escala 
diferente para cada ponto situado sobre o mesmo lado do 
meridiano. 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 28 
Determinação do Meridiano Central da Projeção UTM 
 
 
 
 
 
 
 
O meridiano central é determinado considerando-se que a sua 
variação ocorre de 6 em 6. O primeiro meridiano central possui 
longitude igual a 177 e o último possui longitude igual a 3. Os 
meridianos centrais possuem, portanto, valores iguais a: 3, 9, 
15, 21, ..........., 45, 51, 57, e assim por diante. Para conhecer 
o valor da longitude do meridiano central de um ponto de longitude 
conhecida, basta situá-lo no fuso. A relação fuso/meridiano central 
é dada pelas fórmulas: 
6
183 CMFuso


MC = 183 - 6 . Fuso 
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Os Fusos da Projeção UTM 
 
 
 
 
 
 
 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 30 
Os Fusos da Projeção UTM 
 
 
 
 
 
 
 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 31 
Os Fusos da Projeção UTM 
 
 
 
 
 
 
 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 32 
Transformação de Coordenadas Geodésicas em UTM 
 
 
 
 
 
 
 
Para a transformação de coordenadas, tanto para o problema direto 
como para o problema inverso, existem fórmulas cujas deduções 
podem ser encontradas em obras especializadas. Para os propósitos 
deste curso, serão apresentadas a seguir as fórmulas relativas a 
transformação de coordenadas geodésicas para coordenadas UTM. 
 
As coordenadas retangulares E, N da Projeção UTM podem ser 
calculadas pelas seguintes fórmulas: 
 
5
3
6
42
)()('
)()()('
BpVpIVE
ApIIIpIIIN


Onde, 
 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 33 
Transformação de Coordenadas Geodésicas em UTM 
 
 
 
 
 
 
 
N = N’ - Para o Hemisfério Norte 
N = 10.000.000 – N’ - para o Hemisfério Sul 
E = 500.000 + E’- para pontos situados a leste do meridiano central MC 
E = 500.000 – E’- para pontos situados a oeste do meridiano central MC 
(I) = koS 
]6
3072
35
4)
1024
45
256
15
(
2)
1024
45
32
3
8
3
()
256
5
64
3
4
1
1[(
664
642642


senesenee
seneeeeeeaS


2
10"1cos
)(
8
0
2 

ksensenN
II

16
0
44222
34
10)cos'4cos'9tan5(
24
cos"1
)( kee
senNsen
III  
4
0 10"1cos)(  ksenNIV 
12
0
222
33
10)cos'tan1(
6
cos"1
)( 

 ke
Nsen
V 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 34 
Transformação de Coordenadas Geodésicas em UTM 
 
 
 
 
 
 
 
"0001,0 p
MC 
24
0
322242
56
6
6 10)'330cos'270tantan5861(
720
cos"1
ksenee
senNsen
pA  
20
0
222242
55
5
5 10)'58cos'14tantan185(
120
cos"1
ksenee
Nsen
pB  
27.05.2013 Irineu da Silva Page 35 
Transformação de Coordenadas Geodésicas em UTM 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Calcular as coordenadas UTM do ponto indicado abaixo: 
 
Elipsóide WGS84 
 
Lat = 22° 35‘’45,148‘‘ 
Long = 47° 22‘’15,125‘‘ 
h = 850,000m 
 
E = 256.263,185 
N = 7.499.277,318 
h = 850,000 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 36 
A Convergência Meridiana 
 
 
 
 
 
 
 
Os ângulos medidos no elipsóide estão referidos ao Norte Geográfico 
(NG), cuja representação, na projeção UTM, é dada por uma linha curva, 
côncava em relação ao meridiano central. As quadrículas UTM, por outro 
lado, formam um sistema de coordenadas retangular, com a direção Y 
(NQ) na direção Norte-Sul. As duas linhas formam, portanto, um ângulo 
variável para cada ponto, denominado convergência meridiana. 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 37 
A Convergência Meridiana 
 
 
 
 
 
 
 
A convergência meridiana, no hemisfério sul, é positiva para os 
pontos situados a Oeste do meridiano central e negativa, para os 
ponto situados a Leste do meridiano central. 
 
Um cálculo aproximado do valor da convergência meridiana pode ser 
dado pela seguinte fórmula indicada a seguir. 
C   senOnde, 
 
C = Convergência Meridiana 
 = Diferença de longitude entre a longitude do ponto 
 considerado e a longitude do meridiano central 
 (Long Pt – Long MC) 
 = Latitude do ponto considerado 
 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 38 
A Convergência Meridiana 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Considerando os valores anteriores, calcular o valor da convergência 
meridiana 
C   sen
Elipsóide WGS84 
 
Lat = 22° 35‘’45,148‘‘ 
Long = 47° 22‘’15,125‘‘ 
 
C = 0° 54‘ 39.44‘‘ 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 39 
Redução à Corda ou Redução Angular 
 
 
 
 
 
 
 
Uma linha unindo dois pontos na superfície de referência esférica é 
representada no plano (na projeção) como uma linha curva (arco). Para 
as dimensões dos trabalhos topográficos, entretanto, a curvatura dessa 
linha é muito pequena e, em muitos casos, pode ser desconsiderada, 
aceitando-se a corda que une os dois pontos como a referência para 
calcular a distância eo azimute entre eles. O ângulo formado pela 
corda e pela tangente à curva é denominado ângulo de redução à 
corda ou ângulo de redução angular, e é representado pela letra 
grega , conforme indicado a seguir. 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 40 
Redução à Corda ou Redução Angular 
 
 
 
 
 
 
 
O valor máximo de , para uma 
linha de 10 Km é da ordem de 7”. 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 41 
O Fator de Escala 
 
 
 
 
 
 
 
Para se obter a distância plana entre dois pontos A e B, é necessário, 
inicialmente, corrigir a distância medida na superfície topográfica, em 
relação aos fatores meteorológicos e erros instrumentais, em seguida 
reduzi-la ao elipsóide de referência e, finalmente, reduzi-la à superfície 
plana. Para a redução da superfície de referência à superfície plana, 
utiliza-se um fator de escala, representado pela letra kUTM. 
 
A distância plana é obtida multiplicando-se a distância esférica (sobre o 
elipsóide de referência) pelo fator de escala kUTM. 
0sks UTM
27.05.2013 Irineu da Silva Page 42 
O Fator de Escala 
 
 
 
 
 
 
 
Para evitar que as deformações tornem-se exageradas nas bordas dos 
fusos, adotou-se, para a projeção UTM, um fator de escala 
k0 = 0,9996, para os pontos situados sobre o meridiano central. 
 
A partir do meridiano central o fator de escala cresce para Oeste e 
para Leste até atingir o valor k=1,000, nas vizinhanças de 
E=320.000,00 m e E=680.000,00, continuando a crescer até o valor 
kUTM=1,0010, nas bordas dos fuso, no equador. 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 43 
O Fator de Escala 
 
 
 
 
 
 
 
 





 

R
E
kk 2
02
1.
2
0UTM
onde, 
 
 kUTM = fator de escala 
 k0 = 0,9996 (fator de escala no MC) 
 E’ = ordenada entre o meridiano central e o ponto 
 considerado (500.000 – Ept) 
 Ro = Raio médio de curvatura 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 44 
O Fator de Escala 
 
 
 
 
 
 
 





 

R
E
kk 2
02
1.
2
0UTM
Exemplo: 
 
Calcular o fator de escala UTM (KUTM) para o ponto dos exemplos 
anteriores. 
E = 256.263,185 
N = 7.499.277,318 
h = 850,000 
Raio da Terra para o local = 6.362.780m (adotado) 
KUTM = 1.000333406 
Kalt = 0.999866428 
KT = 1.00019979 
HR
H
K
o
alt

1
27.05.2013 Irineu da Silva Page 45 
O Fator de Escala 
 
 
 
 
 
 
 
Para aplicar o fator de escala para a correção da distância entre 
dois pontos, pode-se usar o valor do fator de escala médio, se a 
distância for pequena, ou uma média ponderada entre os pontos 
extremos e o ponto médio, se a distância for grande. Por 
exemplo, 
 
Para distâncias inferiores a 15 km propõe-se adotar 
 
 
 
 
Par distâncias maiores do que 15 km propõe-se adotar 
 
2
kBkAk

UTM
6
kB4kAk

 meioUTM
K
27.05.2013 Irineu da Silva Page 46 
O Fator de Escala 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Dadas as coordenadas planas UTM de dois pontos, calcular a 
distância topográfica entre esses dois pontos. 
 
NA = 6.953.623,380 m NB = 6.954.016,624 m 
EA = 601.613,787 m EB = 602.002,535 m 
 = 27° 32’ 14.483485” S  = 27° 32’ 01.599853” S 
 = 43° 58’ 15.310008” W  = 43° 58’ 01.258185” W 
 
H = 870,000 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 47 
Transformação de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y). 
 
 
 
 
 
 
 
1. Cálculo do fator de escala altimétrico 
 
 
 
2. Cálculo do fator de escala UTM 
 
 Para o Pt A 
 
 Para o Pt B = 0,99972843 
 
 KUTM (médio)= 0,99972794 
 
3. Cálculo do KT 
 
 KT = KUTM x Kalt = 0,99959133 
 
99986335.01 


HR
H
K
o
alt
99972745,0
2
1.
2
0 




 

R
E
kk 2
0
UTM
27.05.2013 Irineu da Silva Page 48 
Transformação de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y). 
 
 
 
 
 
 
 
4. Cálculo da distância plana AB 
mEENNs ABABAB 961,552)()( 22 
 
5. Cálculo da distância elipsoidal AB (s0) 
 
 
m
K
ss
UTM
111,5530 
6. Cálculo da distância topográfica AB 
 
 ou 
 
m
K
ss
T
187,553 m
K
ss
Alt
187,5530 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 49 
Transformação de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y). 
 
 
 
 
 
 
 
7. Cálculo da Convergência Meridiana 
 
 
 
"92.32'2800  sencA
8. Cálculo do azimute plano AB 
 
 
 
9. Cálculo do azimute geodésico AB 
 
 
 
 
"14'40440



AB
AB
AB
NN
EE
Arctg
"41'11440)(  AABABgeo c
27.05.2013 Irineu da Silva Page 50 
Ângulos a serem considerados na Projeção UTM 
 
 
 
 
 
 
 
Quando se trabalha com coordenadas UTM é necessário considerar 
vários tipos de elementos angulares. Os principais elementos são: 
 
 - azimute plano ou azimute da quadrícula (UTM); 
 - azimute geodésico projetado (proj); 
 - azimute geodésico (geod); 
 - convergência meridiana (c); 
 - redução à corda (). 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 51 
Ângulos a serem considerados na Projeção UTM 
 
 
 
 
 
 
 
O azimute plano ou azimute da quadrícula é o ângulo, na projeção, 
entre o Norte da quadrícula UTM e a linha reta que une os dois pontos a 
serem considerados. 
 
UTM = Arctg ΔE/ΔN 
 
O azimute geodésico projetado é o ângulo, na projeção, entre o Norte 
da quadrícula e a tangente ao arco representativo da distância projetada 
entre os dois pontos a serem considerados. 
 
 proj =  UTM +  
 
O azimute geodésico é o ângulo, na projeção, entre o meridiano que 
passa pelo ponto inicial e a tangente ao arco representativo da distância 
projetada entre os dois pontos considerados 
 
 geod =  UTM ±c ±  
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Ângulos a serem considerados na Projeção UTM 
 
 
 
 
 
 
 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 53 
Ângulos a serem considerados na Projeção UTM 
 
 
 
 
 
 
 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 54 
Transformação de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y). 
 
 
 
 
 
A transformação das coordenadas UTM para coordenadas locais 
consiste em realizar uma rotação e a aplicação de um fator de escala. 
A rotação é feita em função da convergência meridiana e o fator de 
escala adotado deve ser o fator de escala da projeção UTM, corrigido 
para considerar a altitude média do local (kTotal). 
 
Para aplicar a transformação, inicialmente, deve-se escolher um 
ponto de coordenadas conhecidas como origem da rotação. Em 
seguida, calcula-se a convergência meridiana e o fator de escala total 
desse ponto, que serão adotados como ângulo de rotação e fator de 
escala da transformação. 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 55 
Transformação de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y). 
 
 
 
 
 
 
 
O procedimento completo de cálculo é o seguinte: 
 
1) escolher o ponto para origem do sistema (P0); 
2) calcular a convergência meridianae o fator de escala desse 
 ponto: 
3) corrigir o fator de escala UTM considerando a altitude média 
 da região; 
4) calcular o UTM dos alinhamentos Po - Pi e corrigir com o valor 
 da convergência meridiana; 
5) calcular as projeções 
 X YP P P Po i o ie
 de cada alinhamento, considerando o fator de escala total 
 (KT=KUTMxKalt); 
 
6) calcular as coordenadas transformadas para cada ponto Pi 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 56 
Transformação de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y). 
 
 
 
 
 
 
 
ΔN
ΔE
arctg UTM 
 senc .
cUTMGeod  
geod
T
PP
PP sen
k
s
X o
io
.
geod
T
PP
PP
k
s
Y o
io
cos.
X X XP P P Pi o o i  
Y Y YP P P Pi o o i  
27.05.2013 Irineu da Silva Page 57 
Transformação de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y). 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Dadas as coordenadas planas UTM de dois pontos, determinar as 
suas coordenadas retangulares no sistema topográfico local. 
 
NA = 6.953.623,380 m NB = 6.954.016,624 m 
EA = 601.613,787 m EB = 602.002,535 m 
 = 27° 32’ 14.483485” S  = 27° 32’ 01.599853” S 
 = 43° 58’ 15.310008” W  = 43° 58’ 01.258185” W 
 
H = 870,000 
 
Raio Médio R0 da Terra no local = 6.365.883,810 m 
27.05.2013 Irineu da Silva Page 58 
Transformação de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y). 
 
 
 
 
 
 
 
1. Cálculo da Convergência Meridiana 
 
 
 
2. Cálculo do fator de escala altimétrico 
 
 
 
3. Cálculo do fator de escala UTM 
 
 Para o Pt A 
 
 Para o Pt B = 0,99972843 
 
 KUTM (médio)= 0,99972794 
99986335.01 


HR
H
K
o
alt
99972745,0
2
1.
2
0 




 

R
E
kk 2
0
UTM
"92.32'2800  sencA
27.05.2013 Irineu da Silva Page 59 
Transformação de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y). 
 
 
 
 
 
 
 
4. Cálculo do KT 
 
 KT = KUTM x Kalt = 0,99959133 
 
5. Origem adotada para o Pt A 
 
 XA = 5.000,000 
 YA = 10.000,000 
 
6. Cálculo da distância plana AB 
961,552)()( 22  ABABAB EENNs
27.05.2013 Irineu da Silva Page 60 
Transformação de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y). 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Cálculo da distância elipsoidal AB (s0) 
 
 
111,5530 
UTMK
s
s
8. Cálculo da distância topográfica AB 
 
 ou 
 
9. Cálculo do azimute plano AB 
 
 
 
10. Cálculo do azimute geodésico AB 
 
 
 
 
187,553
TK
s
s
"14'40440



AB
AB
AB
NN
EE
Arctg
"41'11440)(  AABABgeo c
187,5530 
AltK
s
s
27.05.2013 Irineu da Silva Page 61 
Transformação de Coordenadas UTM (E, N) em Coordenadas Planas Local (X, Y). 
 
 
 
 
 
 
 
11. Cálculo das projeções 
 
 
 
 
12. Cálculo das coordenadas (X,Y) do Pt B 
621,396cos.
626,385.


geoAB
geoAB
sY
sensX


626,385.5
626,385
000,000.5




B
AB
A
ABAB
X
X
mX
XXX
621,396.10
621,396
000,000.10




B
AB
A
ABAB
Y
Y
mY
YYY