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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
Introdução 
 
 A Resistência dos Materiais é o ramo da mecânica que estuda as relações entre cargas 
externas aplicadas a um Corpo Deformável e a intensidade das forças internas que atuam 
dentro do corpo. Se propõe, basicamente, a selecionar os materiais de construção e estabelecer 
as proporções e as dimensões dos elementos para uma estrutura ou máquina, a fim de capacitá-
las a cumprir suas finalidades, com segurança, durabilidade e em condições econômicas. Daí a 
grande importância do conhecimento desta disciplina na formação dos engenheiros. 
O principal objetivo do estudo da resistência dos materiais consiste na determinação 
das tensões e das deformações a que estão sujeitos os corpos sólidos devido à ação dos 
carregamentos atuantes. 
Em sua maioria, as construções e as máquinas são muito complicadas quanto às características 
dos materiais, à forma e geometria dos elementos estruturais, aos tipos de carregamento, seus 
vínculos etc. e, a menos que sejam estabelecidas hipóteses e esquemas de cálculo 
simplificadores, a análise dos problemas seria impraticável. A validade de tais hipóteses é 
constatada experimentalmente. 
Hipóteses 
Os materiais são considerados: 
 Contínuos (ausência de imperfeições, bolhas etc), 
 Homogêneos (iguais propriedades em todos os seus pontos), e 
 Isótropos (iguais propriedades em todas as direções). 
Essas hipóteses nos permitem aplicar as técnicas elementares do cálculo infinitesimal para a 
solução matemática dos problemas. 
 Princípio de Saint-Venant: é possível substituirmos um sistema de forcas por outro, 
estaticamente equivalente, significando maior simplificação nos cálculos. 
 Superposição de efeitos: os efeitos causados por um sistema de forças externas agindo 
sob um corpo é igual à soma dos efeitos produzidos por cada força considerada agindo 
isoladamente. 
 
A fim de compensar as incertezas na avaliação das cargas, na determinação das propriedades 
dos materiais, nos pressupostos ou nas simplificações, é previsto nas Normas Técnicas a adoção 
de coeficientes de segurança. Consiste em se majorar as cargas e se reduzir a resistência dos 
materiais. Os diversos critérios adotados para escolha dos coeficientes de segurança adequados 
são estudados ao longo do curso de Engenharia Civil. 
 
 
 
 
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Sistema Internacional de Unidades (SI) 
 
No decorrer do curso são usadas várias unidades de medidas: de esforços, de tensões e de 
deformações. O sistema adotado é o SI, que no Brasil, está oficializado desde 1962. 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) é subdividido em unidades básicas e unidades 
derivadas. 
As unidades básicas são: metro (m), quilograma (kg) e segundo (s). Como mostrado na tabela a 
seguir: 
 
Grandeza Unidade Símbolo 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
Tempo segundo s 
 
Algumas unidades derivas são: 
 
Grandeza Unidade Símbolo 
Área metro quadrado m2 
Volume metro cúbico m3 
Força Newton N 
Momento Newton -metro N-m 
Tensão Pascal Pa= N/m2 
 
Prefixos de unidades 
Prefixo Símbolo Fator 
Giga G 109 
Mega M 106 
Quilo k 103 
Micro μ 10-6 
Nano n 10-9 
Assim, na prática pode-se usar, por exemplo: 
103 N ou kN 
106 Pa ou MPa 
109 Pa ou GPa 
 
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ESTÁTICA 
 
Grandezas fundamentais 
 Forças no plano 
A Força representa a ação de um corpo sobre o outro e é caracterizada pelo seu ponto de 
aplicação, sua intensidade, direção e sentido. 
A intensidade de uma força é expressa em Newton (N) no Sistema Internacional de Unidades 
(SI). 
A direção de uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, é a reta ao longo da qual a força 
atua, sendo caracterizada pelo ângulo que forma com algum eixo fixo, como indicado na Figura 
abaixo. 
 
 
O sentido da força é indicado por uma seta (vetor). 
 
onde: Mi = momento escalar do vetor Fi em relação ao ponto 0 
0 = pólo ou centro de momento 
di= distância perpendicular de 0 à linha de ação de F, também chamada de braço de alavanca 
 
Decomposição de uma força em um plano 
 
Para a decomposição da força aplicamos a lei do paralelogramo. 
 
Lei do paralelogramo para a adição de forças: “Os efeitos de duas forças concorrentes são os 
mesmos que os da sua resultante” 
Esta lei é baseada na experiência, não tem prova matemática. 
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Características de 
 
Módulo ou intensidade 22 yx FFF += 
Direção )(
x
y
x
y
F
F
arctg
F
F
tg =⇒= aa 
 
• No caso de um sistema de forças concorrentes determina-se a resultante R do sistema de 
forças. Na prática seguem-se três etapas: 
 
1- Descompor cada força nos eixos “X” e “Y” 
2- Determinamos 
∑
∑
=
=
yy
xx
FR
FR
 
3- Determinamos o módulo, a sua intensidade 22 yx RRR += 
4- Determinamos sua direção )(
x
y
R
R
arctg=a 
Exemplos 
1. Como se mostra na figura um homem puxa, com uma força de 300 N uma corda fixada a 
uma construção. Qual a componente horizontal e vertical da força exercida pela corda no 
ponto A? 
 
2. As forças P e Q agem sobre um parafuso A. Determinar sua resultante, sua direção e 
sentido. 
 
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ESTRUTURA 
É o conjunto de peças ou elementos estruturais que constitui o esqueleto destinado a suportar 
as cargas de uma construção, equipamento ou máquinas. As peças estão ligadas entre si e com 
o meio exterior, como pode ser visto na figura 1, de modo a formar um conjunto estável, isto é, 
um conjunto capaz de receber solicitações externas, absorvê-las internamente e transmiti-las até 
seus apoios, onde estas solicitações externas encontrarão seu sistema estático equilibrante. 
Por exemplo, um pilar de concreto de um edifício recebe em cada andar o peso de aquele piso e 
o transmite ao pilar do andar de baixo até o último lance do pilar, que transmite a carga total às 
fundações e estas ao solo. 
 
Figura 1 
As estruturas podem ser estáticas(fig-2a) ou dinâmicas (fig.2b) 
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Figura 2- Estruturas estáticas e dinâmicas 
Elementos estruturais 
• Classificação 
Os elementos estruturais podem ser classificados em elementos lineares, de superfície e de 
volume. 
 
1. Lineares = Peças que têm uma das dimensões (denominada comprimento) muito maior 
que as outras duas (a~b<<<c). 
 
 
 
 
Exemplos 
 
 
 
6 
 
 
2. Superfícies =Peças que têm uma das dimensões (denominada espessura) muito menor 
que as outras duas (a<<<b~c); 
 
 
 
Exemplos 
 
 
 
 
3. Volume = Peças cujas três dimensões principais são da mesma ordem de grandeza 
(a~b~c); 
 
 
 
Cargas 
As cargas são a causa que provocam o aparecimento de esforços ou deformações nas 
estruturas. 
 
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Cargas externas  Um corpo pode ser submetido a vários tipos de cargas externas; todavia, 
qualquer uma delas pode ser classificada como uma força de superfície ou uma força de corpo 
(Figura 3). 
 
Figura 3 
Forças de superfície  Como o nome sugere, forças de superfície são causadas pelo contato 
direto de um corpo com a superfície do outro. Em todos os casos, essas forças estão distribuídas 
pela área de contato entre os corpos. Se essa área for pequena em comparação com a área da 
superfície total do corpo, então a força de superfície pode ser idealizada como uma única força 
concentrada, aplicada a um ponto do corpo. 
Força de corpo  A força de corpo é desenvolvida quando um corpo exerce uma força sobre 
outro, sem contato físico direto entre eles. Citamos como exemplo os efeitos causados pela 
gravitação da Terra ou seu campo eletromagnético. Embora as forças de corpo afetem cada uma 
das partículas que compõem o corpo, elas normalmente são representadas por uma única força 
concentrada que age sobre ele. No caso da gravidade, essa força é denominada peso docorpo e 
age no centro de gravidade deste. 
• Tipos de cargas ou carregamentos 
 
Unidades: Newton (N) 
 
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Exemplos: 
 
 
Unidades: Newton/metro ( N/m) 
 
 )(NqLP = (intensidade igual à área sob o diagrama de carga (retângulo), localizada no 
centroide do diagrama
 
)(
2
NqLP = (intensidade igual à área sob o diagrama de carga (triângulo), localizada no 
centroide do diagrama) 
 
 
 
9 
 
Exemplos: 
 
 
 
Unidades: Newton-metro(N-m) 
Exemplo: 
 
Condições de Equilíbrio de um Corpo.Para um corpo submetido a um sistema de forças, estar 
em equilíbrio, é necessário que as forças não provoquem nenhuma tendência de translação nem 
rotação ao corpo. 
A condição necessária e suficiente para que um corpo esteja em equilíbrio é que: 
ΣF=0 
ΣM0=0 
Nessas fórmulas, ΣF representa a soma de todos os vetores forças que agem sobre o corpo, e 
ΣM0, é a soma dos vetores momentos de todas as forças em torno de qualquer ponto “0” dentro 
ou fora do corpo. 
Se estipularmos um sistema de coordenadas x, y, z com origem no ponto “O”(no espaço), os 
vetores força e momento podem ser resolvidos em componentes ao longo dos eixos 
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coordenados, e as duas equações apresentadas podem ser escritas como seis equações em 
forma escalar, ou seja, 
 
ΣFx=0 ΣMx=0 
ΣFy=0 ΣMy=0 
ΣFz=0 ΣMz=0 
 
ΣMx → Momento das forças em relação ao eixo “x” 
(forças que estão no plano “zy”). 
 
Na prática da engenharia muitas vezes a carga sobre um corpo pode ser representada como um 
sistema de forças coplanares. Se for esse o caso, e se as forças encontrarem-se no plano .x-y, 
então as condições de equilíbrio do corpo podem ser especificadas por apenas três equações de 
equilíbrio em forma escalar, isto e, 
 
 
A aplicação correta das equações de equilíbrio exige a especificação completa de todas as forças 
conhecidas ou desconhecidas que agem sobre o corpo. A melhor maneira de levar em conta 
essas forças é desenhando o diagrama de corpo livre do corpo (D.C.L).Certamente, se o 
diagrama de corpo livre for desenhado de maneira correta, os efeitos de todas as forças e 
momentos binários aplicados poderão ser levados em conta quando as equações de equilíbrio 
forem escritas. 
No exemplo abaixo para determinar as trações nos cabos AB e AC devemos fazer o D.C.L do 
ponto A. Assim sendo, temos: 
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Graus de Liberdade 
 
São as possibilidades de translação e rotação que têm um corpo no espaço ou no plano. 
• No espaço tem 6 graus de liberdade. 
• No plano tem 3 graus de liberdade. 
Esses graus de liberdade são restringidos para possibilitar o equilíbrio da estrutura. Esta restrição 
é fornecida através dos vínculos ou apoios, os quais impedem os movimentos do corpo a través 
do aparecimento de reações destes apoios sobre o corpo, nas direções dos movimentos que eles 
impedem. Essas reações serão determinadas pelas condições de equilíbrio. 
 
Apoios ou Vínculos 
 
No caso de estruturas carregadas no próprio plano os apoios são: 
 
1. Apoio de primeiro gênero - articulação móvel: Impedem translação normal ou 
perpendicular ao plano e apoio, permitem translação paralela à superfície e a rotação. 
 
• A reação aparece na direção do grau de liberdade impedido. 
 
 
 
Este suporte para a viga mestra de ponte permite um movimento horizontal de modo que a ponte 
esteja livre para se expandir e contrair devido às mudanças de temperatura. 
 
 
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2. Apoio do segundo gênero – articulação fixa ou rótula: Impede a translação em duas 
direções, na direção normal e na paralela ao plano de apoio e permite a rotação em torno 
dele. 
 
 
3. Apoio do terceiro gênero - engaste: Impede translação e rotação. Imobilizam o corpo 
completamente. 
 
 NOTA: Quando o sentido das reações ou do momento desconhecidos não é previsível, se 
deve colocar arbitrariamente. Se quando calculado a resposta for positiva o sentido 
colocado é o correto. 
Classificação das Estruturas 
Segundo a Estaticidade e Estabilidade 
 
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Quando o número de movimentos impedidos é maior que o necessário para impedir o movimento 
de corpo rígido da estrutura, diz-se que a estrutura é hiperestática, ocorrendo uma situação 
indesejável de equilíbrio estável. 
Nesse caso, as equações universais da Estática não são suficientes para a determinação das 
reações de apoio, sendo necessárias equações adicionais de compatibilidade de deformações. 
Exemplos de cálculo de reações de apoios 
1. Calcular as reações de apoios nos exercícios a seguir. 
 
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 Na Resistência dos Materiais as peças são estudadas de maneira a atender os 
seguintes aspectos: 
• Dimensionamento: Determinar os esforços que agem em uma peça a ser fabricada e fixar as 
dimensões de sua seção transversal, a fim de que o material da qual seja feita resista com 
segurança os esforços. 
 
• Verificação: Dada uma peça já existente feita de um dado material, verificar se ela é capaz de 
resistir com segurança os esforços aos quais ela está submetida. 
 
No dimensionamento das estruturas é necessário levar em conta três itens importantes: 
• Segurança à ruptura. 
• Deformabilidade 
• Economia 
 
Classificação dos Esforços 
Tipos de esforços 
a)Exteriores: 
• Ativos →dados (na figura abaixo, P) (ação do vento, peso próprio, etc.) 
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• Reativos→nos apoios (da mecânica, na figura abaixo, P/2) 
b)Interiores: 
• Solicitantes → dependem do carregamento. Aparecem no interior da peca devido aos 
esforços exteriores (na figura abaixo, Fac, Fab, Fbc,) 
• Resistentes → dependem do material (tabelas, gráficos, etc.) 
 
A condição de resistência: 
 
 
 
Esforços Solicitantes internos 
 
Os esforços encontrados no interior de qualquer seção transversal de uma barra, chamados de 
esforços solicitantes internos, são produzidos pelos esforços externos que se propagam ao longo 
da barra. 
Os tipos de esforços solicitantes internos podem ser: 
• Força Normal: Que age no sentido de comprimir ou tracionar a seção transversal. Age 
paralelo ao eixo da peça. 
 
 
• Força Cortante ou de cisalhamento: Que atua no plano da área secionada. 
Como exemplo de uma situação prática, considere-se a conexão da figura 4. 
 
Figura 4 
Esforços solicitantes internos ≤ Esforços resistentes internos 
 
 
 
 
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(fig.4b)=Sob a força P as placas atuam sobre o rebite, exercendo pressões de contato. 
(fig.4c)=Tendência do rebite ao corte ou cisalhamento na seção ab devido à força cortante V=P 
na seção transversal do rebite. 
Outro exemplo pode ser observado quando duas cargas com igual direção e sentido contrário 
agem sobre um elemento, como se mostra na figura abaixo. O elemento AB tende a ser cisalhado 
ou cortado na seção C. 
 
• Momento Fletor: Que age no sentido de flexionar o eixo da barra. Atua no plano 
perpendicular à seção transversal. 
 
• Momento Torsor ou Torque: Que age no sentido de torcer a seção transversal em 
relação ao eixo. Atua no plano da seção transversal 
 
Uma das mais importantes aplicações da estática na análise de problemas de resistência dos 
materiais é poder determinar a força e o momento resultantes que agem no interior de um corpo e 
que são necessários para manter a integridade do corpo quando submetido a cargas externas. 
Como exemplo, considere o corpo mostrado Figura 5, mantido em equilíbrio pelas quatro forças 
externas. 
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Corpo em equilíbrio: 
ΣFi=0 
ΣMi=0 
 
Figura 5-Corpo em equilíbrio 
Para obtenção das cargas internas que agem sobre uma região especifica no interior de um 
corpo, é necessário usaro método das seções. O método exige que seja feita uma seção ou 
“corte” imaginário passando pela região onde as cargas internas deverão ser determinadas. 
Então as duas partes do corpo são separadas e o diagrama de corpo livre de uma das partes 
e desenhado (Figura 6). Podemos ver que há, na verdade uma distribuição de força interna 
agindo sobre a área “exposta” da seção. Essas forças representam os efeitos do material que 
esta na parte direita do corpo agindo no material adjacente na parte esquerda. Tais forças 
geram dois sistemas de vetores que se distribuem com mesmo módulo e direções opostas em 
ambas às partes cortadas, graças à lei de Newton de ação e reação. 
Seccionando e separando o corpo segundo a seção “S” como mostrado na figura 6, obtemos 
as resultantes internas que equilibram, na seção “S” as ações atuantes externas. 
 
Figura 6 
Assim obtemos como resultantes internas: 
 
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Ficando com a parte esquerda do corpo, como se mostra na figura 7 e descompondo a força 
resultante “R” na seção transversal obtemos: 
Figura 7 
Descompondo o momento resultante “M” na seção transversal obtemos: 
 
 
A representação gráfica de um momento ou torque é apresentada em três dimensões, como um 
vetor acompanhado pelo símbolo gráfico de uma seta curvada. Pela regra da mão direta, o 
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polegar dá à seta o sentido do vetor e os dedos, ou curvatura da seta indica a tendência da 
rotação (torção ou flexão)(ver figura abaixo) 
 
 
Cargas Coplanares  Se o corpo for submetido a um sistema de forças coplanares (Figura 8a), 
então haverá na seção apenas componentes da força normal, força de cisalhamento e momento 
fletor (Figura 8b). Se usarmos os eixos coordenados x, y, z com origem no ponto O, como 
mostrado no segmento à esquerda, então a solução direta para N pode ser obtida aplicando-se 
ΣFX = 0, e V pode ser obtido diretamente de ΣFY = 0. Por fim, o momento fletor MO pode ser 
determinado diretamente pela soma dos momentos em torno do ponto O (o eixo z), ΣMO = 0 de 
modo a eliminar os momentos causados pelas forças desconhecidas N e V. 
 
 
Figura 8 
 
Com o método da seções podem ser obtidos os esforços resultantes solicitantes internos que 
atuam na área secionada do corpo. Esses esforços resultantes normalmente são colocados no 
ponto que representa o centroide da área secionada. 
 
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 Convênio de sinais dos esforços internos para elementos submetidos a um sistema 
de cargas coplanares 
 
Exercícios: (desenvolvidos na aula) 
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