Cap_01_2a_aula_SISTEMA DE FORÇAS

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1.3. Momento de uma força
1.3.1. Caso Bidimensional – Momento em torno de um ponto
Um força, quando aplicada em um dado corpo sólido, tende a movê-lo segundo sua direção e
também rotacioná-lo em torno de um eixo que não intercepte e nem seja paralelo em relação
à linha de ação dessa força. Essa tendência de rotação é quantificada através do conceito de
MOMENTO DE UMA FORÇA ou TORQUE. Considere o bloco apoiado no solo submetido a
uma força F:
F
y
xo
r
A
Definindo-se a posição “A” (ponto de aplicação da força) pelo vetor posição r em relação ao
ponto “o”, o momento da F em relação a “o” é dado, na forma vetorial, pelo produto:
M = r×F
O módulo do vetor M é dado por:
M Frsen Fd 

d
OBS: A distância “d” é BRAÇO DE ALAVANCA da força. É a
distância entre sua linha de ação e o ponto “o”.
1.3. Momento de uma força (cont.)
1.3.2. Caso Bidimensional – Teorema de Varignon
Considere o sistema de forças concorrentes em um mesmo ponto:
y
xo
r
1F
2F
3F
nF
Sendo:
1 2 3 n   R = F F F F
O momento da resultante em relação ao ponto
“o” é dado por:
RM = r×R
Então:
 1 2 3R n   M = r× F F F F
Aplicando a propriedade distributiva, ou seja:
1 2 3
1 1
n n
R n i i
i i 
      M = r×F r×F r×F r×F r×F M
CONCLUSÃO: A soma dos momentos de um sistema de forças concorrentes em relação a
um ponto é igual ao momento de sua resultante em relação a esse mesmo ponto.
EXEMPLO 1: Calcule o momento da força de 90 N em relação ao ponto O para a condição
𝜃 = 15°.
1.3.2. Caso Bidimensional – Teorema de Varignon (cont.)
1.3. Momento de uma força (cont.)
1.3.2. Caso Tridimensional – Momento em torno de um eixo
Considere agora uma força F no espaço:
Desenvolvendo o determinante, temos:
o x y z
x y z
r r r
F F F

i j k
M = r×F
O momento M em relação ao ponto “o” é dado por:
     o y z z y z x x z x y y x
x y z
r F r F r F r F r F r F
M M M
     
  
M = i j k
i j k
Representação das componentes em notação de vetor de “seta dupla”:
oM
x
y
z
yM
zM
zM
OBS: O sentido da seta dupla segue a regra da mão direita.
     
22 2
0
o x y z
x y z
M M M
M M M M
   
  
x y zM M +M +M i j k
EXEMPLO 2: Uma força T=10kN é transmitida pelo cabo fixado em A e B. Determine o
momento da força de tração no cabo em relação ao ponto “o”.
1.3.2. Caso Tridimensional – Momento em torno de um eixo (cont.)
1.4. Binário
1.4.1. Caso Bidimensional
O momento de um binário (conjugado) ou simplesmente binário é o momento resultante da
ação de duas forças NÃO COLINEARES, IGUAIS e OPOSTAS.
Considere agora um corpo submetido a um par de forças paralelas de mesma intensidade,
porém de sentidos contrários:
O momento das forças em torno do ponto “o” é
dado por:
 M F a d Fa
M Fa Fd Fa M Fd
  
     
Diante do exposto, temos as seguintes observações:
1ª) A RESULTANTE das forças no corpo é NULA, ou seja:
R = F-F = 0
2ª) O BINÁRIO dado por M=Fd independe do ponto de referência “o”, sendo apenas função
da distância entre as forças.
CONCLUSÃO: O binário apenas tende a provocar o efeito de giro no corpo e seu valor é o
mesmo para todos os pontos do plano. Então, o BINÁRIO pode ser aplicado em qualquer
ponto no corpo sem que seu EFEITO EXTERNO seja alterado (vetor livre).
1.4.1. Caso Bidimensional (cont.)
ILUSTRAÇÃO DE BINÁRIOS EQUIVALENTES:
F
F
d
F d F
2F
/ 2d
2F
REPRESENTAÇÃO DE UM BINÁRIO NO PLANO:
F
F
d
M Fd
F
F
d
M Fd
1.4. Binário (cont.)
1.4.2. Caso Tridimensional
Considere agora um corpo tridimensional submetido a um par de forças paralelas de mesma
intensidade, porém de sentidos contrários:
O momento das forças em torno do ponto “o” é
dado por:
 
 
 
 

A B A B
A B
M = r ×F+r × -F r ×F r ×F
M = r r ×F
M = r×F
OBS: As mesmas observações e conclusões do caso bidimensional também podem ser
tomadas para do binário em três dimensões.
Exemplo de equivalência de binários em três
dimensões:
1.5. Sistema Força-Binário
1.5.1. Caso Bidimensional e Tridimensional
Considere agora um corpo submetido a uma força F:
É o chamado sistema FORÇA-BINÁRIO, e demonstra que qualquer força F que atua sobre
um corpo pode ser deslocada para um ponto arbitrário “B”, desde que seja acrescentado um
BINÁRIO igual ao MOMENTO de F em relação ao ponto arbitrário “B”.
A mesma conclusão é aplicável para forças no espaço, ou seja:
EXEMPLO 3: A força F=400N é aplicada na estrutura abaixo como ilustrado. Determine o
sistema força binário equivalente no ponto “A”.
1.5.1. Caso Bidimensional e Tridimensional (cont.)
oθ = 20