Cap_03_2a_aula_FORÇAS DISTRIBUÍDAS

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As coordenadas do centróide de uma figura geométrica são dadas por:
(i) Para sólidos:
(ii) Para Áreas:
(iii) Para Linhas:
Além disso, o centro de massa de um corpo, é dado por:
3.4. Centróides e Centros de Massa – determinação por integração
; ;
xdV y dV z dV
x y z
V V V
  
  
; ;
xdL y dL z dL
x y z
L L L
  
  
; ;
xdA y dA z dA
x y z
A A A
  
  
; ;
xdm ydm z dm
x y z
dm dm dm
  
  
  
Escolha apropriada do elemento infinitesimal para integração:
1º) Ordem do elemento: Em muitos casos é mais fácil integrar com um
elemento de primeira ordem, ou seja, reduzir a integral tripla ou
dupla para uma simples:
dA dxdy
( )b
Na situação (a), temos:
( )a
Na situação (b), temos:
dA l dy
dV dxdydz
Na situação (a), temos:
Na situação (b), temos:
2dV r dy
( )b ( )a
3.4. Centróides e Centros de Massa – determinação por integração (cont.)
2º) Continuidade do elemento: Sempre que possível, escolher um
elemento de primeira ordem que seja contínuo ao longo da figura a
ser integrada:
Para o elemento escolhido ao lado, há a 
necessidade de se dividir a integral em 
duas parcelas, ou seja, o elemento não é 
contínuo ao longo de toda figura.
Para este exemplo, a escolha do elemento 
na figura ao lado é a mais apropriada.
3.4. Centróides e Centros de Massa – determinação por integração (cont.)
3º) Coordenadas do Centróide do Elemento: Ao se escolher um
elemento infinitesimal de 1ª ordem, faz-se necessário usar suas
coordenadas do centróide para determinação dos momentos
estáticos infinitesimais de área, por exemplo:
Para figura ao lado, os momentos estáticos 
infinitesimais de área são dados por:
x c
y c
dQ y dA
dQ x dA


Para o sólido ao lado, temos que:
2
0
2
0
2
2
h
c
h
c
r
zdV z dz
r
xdV x dz


 
  
 
 
  
 
 
 
h
Lembrando que:
 r f z
3.4. Centróides e Centros de Massa – determinação por integração (cont.)
Exemplo 1: Determine, por integração, as coordenadas do centróide para figura 
abaixo:
3.4. Centróides e Centros de Massa – determinação por integração (cont.)
Exemplo 2: Determinar as coordenadas do centróide para o retângulo e o triângulo 
abaixo:
x
y
h
b
3.4. Centróides e Centros de Massa – determinação por integração (cont.)
a
x
y
h
b