Cálculo Diferencial e Integral I

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

CÁLCULO 
DIFERENCIAL E 
INTEGRAL I
Professor Me. João Debastiani Neto
Professora Esp. Clícia Geovana Alves Pereira
GRADUAÇÃO
Unicesumar
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a 
Distância:
 Cálculo Diferencial e Integral I. João Debastiani Neto; 
Clícia Geovana Alves Pereira. 
 Maringá - PR, 2015. 
 338 p.
“Graduação - EaD”.
 
 1. Cálculo. 2. Diferencial . 3. Integral 4. EaD. I. Título.
CDD - 22 ed. 515.5
CIP - NBR 12899 - AACR/2
Ficha catalográfica elaborada pelo bibliotecário 
João Vivaldo de Souza - CRB-8 - 6828
Reitor
Wilson de Matos Silva
Vice-Reitor
Wilson de Matos Silva Filho
Pró-Reitor de Administração
Wilson de Matos Silva Filho
Pró-Reitor de EAD
Willian Victor Kendrick de Matos Silva
Presidente da Mantenedora
Cláudio Ferdinandi
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
Direção de Operações
Chrystiano Mincoff
Direção de Mercado
Hilton Pereira
Direção de Polos Próprios
James Prestes
Direção de Desenvolvimento
Dayane Almeida 
Direção de Relacionamento
Alessandra Baron
Direção de Planejamento de Ensino
Fabrício Lazilha
Direção Operacional de Ensino
Katia Coelho
Supervisão do Núcleo de Produção de 
Materiais
Nalva Aparecida da Rosa Moura
Design Educacional
Maria Fernanda Canova Vasconcelos
Projeto Gráfico
Jaime de Marchi Junior
José Jhonny Coelho
Editoração
Humberto Garcia da Silva
Revisão Textual
Jaquelina Kutsunugi
Viver e trabalhar em uma sociedade global é um 
grande desafio para todos os cidadãos. A busca 
por tecnologia, informação, conhecimento de 
qualidade, novas habilidades para liderança e so-
lução de problemas com eficiência tornou-se uma 
questão de sobrevivência no mundo do trabalho.
Cada um de nós tem uma grande responsabilida-
de: as escolhas que fizermos por nós e pelos nos-
sos farão grande diferença no futuro.
Com essa visão, o Centro Universitário Cesumar 
assume o compromisso de democratizar o conhe-
cimento por meio de alta tecnologia e contribuir 
para o futuro dos brasileiros.
No cumprimento de sua missão – “promover a 
educação de qualidade nas diferentes áreas do 
conhecimento, formando profissionais cidadãos 
que contribuam para o desenvolvimento de uma 
sociedade justa e solidária” –, o Centro Universi-
tário Cesumar busca a integração do ensino-pes-
quisa-extensão com as demandas institucionais 
e sociais; a realização de uma prática acadêmica 
que contribua para o desenvolvimento da consci-
ência social e política e, por fim, a democratização 
do conhecimento acadêmico com a articulação e 
a integração com a sociedade.
Diante disso, o Centro Universitário Cesumar al-
meja ser reconhecido como uma instituição uni-
versitária de referência regional e nacional pela 
qualidade e compromisso do corpo docente; 
aquisição de competências institucionais para 
o desenvolvimento de linhas de pesquisa; con-
solidação da extensão universitária; qualidade 
da oferta dos ensinos presencial e a distância; 
bem-estar e satisfação da comunidade interna; 
qualidade da gestão acadêmica e administrati-
va; compromisso social de inclusão; processos de 
cooperação e parceria com o mundo do trabalho, 
como também pelo compromisso e relaciona-
mento permanente com os egressos, incentivan-
do a educação continuada.
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você está 
iniciando um processo de transformação, pois quan-
do investimos em nossa formação, seja ela pessoal 
ou profissional, nos transformamos e, consequente-
mente, transformamos também a sociedade na qual 
estamos inseridos. De que forma o fazemos? Criando 
oportunidades e/ou estabelecendo mudanças capa-
zes de alcançar um nível de desenvolvimento compa-
tível com os desafios que surgem no mundo contem-
porâneo. 
O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de 
Educação a Distância, o(a) acompanhará durante todo 
este processo, pois conforme Freire (1996): “Os homens 
se educam juntos, na transformação do mundo”.
Os materiais produzidos oferecem linguagem dialó-
gica e encontram-se integrados à proposta pedagó-
gica, contribuindo no processo educacional, comple-
mentando sua formação profissional, desenvolvendo 
competências e habilidades, e aplicando conceitos 
teóricos em situação de realidade, de maneira a inse-
ri-lo no mercado de trabalho. Ou seja, estes materiais 
têm como principal objetivo “provocar uma aproxi-
mação entre você e o conteúdo”, desta forma possi-
bilita o desenvolvimento da autonomia em busca dos 
conhecimentos necessários para a sua formação pes-
soal e profissional.
Portanto, nossa distância nesse processo de cres-
cimento e construção do conhecimento deve ser 
apenas geográfica. Utilize os diversos recursos peda-
gógicos que o Centro Universitário Cesumar lhe possi-
bilita. Ou seja, acesse regularmente o AVA – Ambiente 
Virtual de Aprendizagem, interaja nos fóruns e en-
quetes, assista às aulas ao vivo e participe das discus-
sões. Além disso, lembre-se que existe uma equipe de 
professores e tutores que se encontra disponível para 
sanar suas dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de 
aprendizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranqui-
lidade e segurança sua trajetória acadêmica.
Diretoria Operacional 
de Ensino
Professor Me. João Debastiani Neto
Possui graduação em Licenciatura em Matemática pela Universidade 
Estadual de Maringá (UEM) no ano de 2009. Mestrado pelo Programa de 
Pós Graduaçao em Educação para a Ciência e a Matemática da Universidade 
Estadual de Maringá no ano de 2012. Atualmente é Doutorando do Programa 
de Pós Graduação em Educação para a Ciência e a Matemática da mesma 
universidade, docente da Universidade Estadual de Maringá - campus 
de Goioere, onde é coordenador de Estágio Supervisionado do Curso de 
Licenciatura Plena em Ciências. Atua na área de Educação Matemática e em 
Epistemologia Genética.
Professora Esp. Clícia Geovana Alves Pereira
Possui graduação em Matemática pela Universidade Paranaense (2009), 
especialização pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná (2011) 
atuando principalmente no seguinte tema: solução numérica de equações 
diferenciais. É professora da Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
(UTFPR) - Campus de Campo Mourão.
A
U
TO
RE
S
SEJA BEM-VINDO(A)!
SEJA BEM VINDO(A)!
Seja muito bem-vindo(a) aos estudos da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I. 
Este material foi cuidadosamente organizado para construir seus conhecimentos a res-
peito do Cálculo. Com o práposito de atender as especificidades atuais dos alunos e 
professores do Ensino a Distância, construimos este material que foi dividido em cinco 
unidades, a saber, Funções Reais de uma Variável Real; Limites e Continuidade de fun-
ções reais de uma Variável Real; Derivadas, Técnicas de Derivação e aplicões; Funções 
Reais de várias variáveis; e Derivadas Parciais.
Neste trabalho, pretendemos abordar os conteúdos desta disciplina, dando-lhe um sen-
tido prático, no entanto, não perdendo a beleza de como a matemática se constitui en-
quanto corpo teórico. Primamos pela capacidade do aluno em investigar os conteúdos 
e conceitos matemáticos, dando-lhe a característica de sujeito agente, investigador dos 
conteúdos. Nessa perspectiva, a maneira de abordar e apresentar os conceitos aos estu-
dantes será acompanhada de exemplos e explanações geométricas, vislumbrando uma 
compreensão conceitual que fuja da mera reprodução dos conteúdos.
Nosso objetivo, ao escrever este livro, é disponibilizar um material que seja capaz de 
fazer com que o aluno se interesse pela disciplina, primando a pensar logicamente, a 
escrever soluções dos exercícios de uma forma conexa, construindo uma cadeia de ra-
ciocínio que indique o aprendizado efetivo. Não somos audaciosos a ponto de imaginar 
que este livro fornece todo o conteúdo de Cálculo Diferencial e Integral I, isto seria re-
dundante de nossa parte, uma vez que preservamos a ideia de um aluno que sempre 
procure mais materiais que o auxiliem na compreensão de um conteúdo. Entendemos 
que aqueles alunos interessados em aprofundar seus conhecimentos, que procurem os 
livros nas referências bibliográficas deste material, encontrando assim um rico acervo 
sobre o assunto que vamos estudar. Enfim, desejamos a você bons estudos, e que os 
desafios aqui apresentados sirvam de motivação para a continuidade dos estudos nesta 
disciplina.
APRESENTAÇÃO
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
SUMÁRIO
09
UNIDADE I
FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
15 Introdução
16 Função, Domínio, Contradomínio e Imagem 
21 Representações de Funções 
24 Operações com Funções 
26 Gráficos de Funções 
31 Tipos de Funções 
40 Funções Periódicas, Funções Pares e Funções Ímpares 
44 Funções Monótonas 
45 Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras 
48 Funções Inversas e Funções Compostas 
52 Funções Exponenciais e Logarítmicas 
59 Funções Trigonométricas 
67 Considerações Finais 
UNIDADE II
LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL 
REAL
77 Introdução
78 Limites 
82 Definição de Limites 
SUMÁRIO
88 Propriedade dos Limites 
97 Limites Infinitos 
103 Limites no Infinito 
107 Assíntotas 
109 Continuidade 
121 Considerações Finais 
UNIDADE III
DERIVADAS, TÉCNICAS E APLICAÇÕES
131 Introdução
132 O Conceito de Derivada - Taxa de Variação e Interpretação Geométrica 
141 Regras de Derivação 
145 Derivadas de Funções Trigonométricas 
148 Derivada de Funções Compostas 
150 Derivada da Função Inversa 
151 Derivada de Funções Implícitas 
153 Derivadas da Função Exponencial e Função Logarítmica 
157 Derivadas de Ordem Superior 
159 Valores Máximos e Mínimos de Funções 
168 Monotonicidade de Funções e o Teste da Derivada Primeira 
171 Concavidade, Pontos de Inflexão e Teste da Derivada Segunda 
176 Aplicações 
SUMÁRIO
11
189 Tabela de Derivadas 
190 Considerações Finais 
UNIDADE IV
FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS
201 Introdução
202 Funções, Domínio e Imagem de Funções de Várias Variáveis 
205 Funções de Duas Variáveis Reais 
217 Funções de Três Variáveis Reais 
223 Funções com Valores Vetoriais e Equações Paramétricas 
231 Funções Compostas 
233 Limites e Continuidades de Funções de Várias Variáveis 
243 Considerações Finais 
UNIDADE V
DERIVADAS PARCIAIS
253 Introdução
254 Derivadas Parciais 
265 Derivadas Parciais de Ordem Superior 
270 Regra da Cadeia 
276 Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente 
290 Extremos de Funções 
SUMÁRIO
302 Multiplicadores de Lagrange 
309 Considerações Finais 
317 Conclusão
319 Referências
321 Gabarito
U
N
ID
A
D
E I
Professor Me. João Debastiani Neto
Professora Esp. Clícia Geovana Alves Pereira
FUNÇÕES REAIS DE UMA 
VARIÁVEL REAL
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Construir o conceito de função.
 ■ Identificar o domínio, contradomínio e imagem de uma função.
 ■ Reconhecer os vários tipos de funções.
 ■ Construir e interpretar gráficos de funções.
 ■ Operar com funções.
 ■ Reconhecer funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras.
 ■ Reconhecer a paridade e a monotonicidade de funções.
 ■ Analisar e obter as características de funções compostas e inversas.
 ■ Identificar e operar com funções exponenciais e logarítmicas.
 ■ Identificar e operar com funções trigonométricas e trigonométricas 
inversas.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Função, Domínio, Contradomínio e Imagem
 ■ Representações de Funções
 ■ Operações com Funções
 ■ Gráficos de Funções
 ■ Tipos de Funções
 ■ Funções periódicas, funções pares e funções ímpares
 ■ Funções monótonas
 ■ Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras
 ■ Funções inversas e Funções compostas
 ■ Funções exponenciais e logarítmicas
 ■ Funções trigonométricas
Introduc¸a˜o
Em muitos eventos do cotidiano, o valor de uma grandeza depende do valor de uma outra
grandeza. Nestas situac¸o˜es, temos a necessidade de associar a alguns nu´meros reais, outros
nu´meros, por meio de alguma regra. Citamos, por exemplo, a poluic¸a˜o do ar em uma cidade
que pode depender do nu´mero de ve´ıculos nas ruas, ou o custo para colocar determinado
combust´ıvel que dependera´ do prec¸o desse produto. Relac¸o˜es como essas, muitas vezes podem
ser representadas matematicamente por meio de func¸o˜es.
Embora se possa ter uma concepc¸a˜o espontaˆnea de variac¸a˜o e de associac¸a˜o entre duas
grandezas, a caracterizac¸a˜o das propriedades espec´ıficas das relac¸o˜es que sa˜o tambe´m func¸o˜es
matema´ticas so´ foi poss´ıvel num processo histo´rico longo e delicado, que culminou com
as definic¸o˜es de Dirichlet e Bourbaki para func¸o˜es. Estas possibilitaram um alto n´ıvel de
abstrac¸a˜o desse conceito, ampliando-o para conjuntos de objetos matema´ticos antes pouco
imagina´veis. Isso na˜o significa que o conceito de func¸a˜o na˜o tenha sido associado a fenoˆmenos
naturais. Pelo contra´rio, as motivac¸o˜es para a sua origem surgiram entre os gregos, que
ja´ apresentavam um instinto de funcionalidade para explicarem fenoˆmenos da Astronomia
(Youschkevitch, 1976).
O conceito de func¸a˜o e´ considerado um dos mais importantes de toda Matema´tica, na˜o
so´ pelo seu papel central e unificador nesta a´rea do conhecimento, como tambe´m pela sua
aplicac¸a˜o a outros ramos do conhecimento humano. Neste sentido, seu aprendizado e´ um dos
objetivos mais importantes a ser alcanc¸ado na Educac¸a˜o Matema´tica dos estudantes. Dada
a importaˆncia dos alunos atingirem o entendimento do conceito de func¸a˜o, segundo Mendes
(1994), e´ necessa´rio conhecer como se processa sua aprendizagem, identificar e analisar os
principais problemas com os quais os alunos se deparam ao estudar func¸o˜es e detectar quais
as principais dificuldades e obsta´culos a` aprendizagem desse conceito.
Desta maneira, pretendemos, ao longo desta unidade, apresentar o conceito de
func¸a˜o de uma maneira que este seja significativo, abandonando sua simples definic¸a˜o
formal, apresentando algumas aplicac¸o˜es que podem consolidar tais ideias. Cabe a voceˆ,
acadeˆmico(a), pesquisar, estudar e se dedicar, para que seu aprendizado seja efetivo.
15
Introdução
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
1 Func¸a˜o, Domı´nio, Contradomı´nio e Imagem
Uma func¸a˜o real de uma varia´vel real e´ uma regra f que associa a cada nu´mero real
x pertencente a um subconjunto D ⊂ R um u´nico nu´mero real y.
Apresentamos as notac¸o˜es de func¸a˜o a seguir.
[1] f : D ⊂ R → R [2] y = f(x)
Se a func¸a˜o e´ dada pela expressa˜o y = f(x), denominamos a letra x de varia´vel
independente e y de varia´vel dependente.
Observac¸a˜o: Note que, se tivermos uma func¸a˜o dada pela definic¸a˜o z = g(w), essa notac¸a˜o
nos informa que a varia´vel independente e´ w, e a varia´vel dependente e´ a letra z.
Vejamos alguns exemplos de func¸o˜es.
Exemplo: Uma func¸a˜o que nos acompanha desde o Ensino Ba´sico e´ a func¸a˜o quadra´tica
f : R → R, dada por f(x) = ax2 + bx+ c, onde a, b e c sa˜o constantes reais e a �= 0.
Exemplo: Outra func¸a˜o que sempre nos acompanha e´ a func¸a˜o cu´bica f : R → R, dada por
f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d, onde a, b, c e d sa˜o constantes reais e a �= 0.
REFLITA
Observe que nos dois exemplos anteriores os valores de a (coeficiente que acompanha
o termos de maior grau) necessariamente teˆm de ser diferente de zero. Voceˆ sabe
explicar o porqueˆ deste
fato?
Nos dois exemplos anteriores, estamos trabalhando com func¸o˜es do segundo e do terceiro
grau, respectivamente. Vamos analisar primeiramente a func¸a˜o polinomial do segundo grau,
ou func¸a˜o quadra´tica.
Para compreendermos o porqueˆ de o valor de a ser diferente de zero, vamos considerar
este valor a sendo zero. Desta forma:
1 Func¸a˜o, Domı´nio, Contradomı´nio e Imagem
Uma func¸a˜o real de uma varia´vel real e´ uma regra f que associa a cada nu´mero real
x pertencente a um subconjunto D ⊂ R um u´nico nu´mero real y.
Apresentamos as notac¸o˜es de func¸a˜o a seguir.
[1] f : D ⊂ R → R [2] y = f(x)
Se a func¸a˜o e´ dada pela expressa˜o y = f(x), denominamos a letra x de varia´vel
independente e y de varia´vel dependente.
Observac¸a˜o: Note que, se tivermos uma func¸a˜o dada pela definic¸a˜o z = g(w), essa notac¸a˜o
nos informa que a varia´vel independente e´ w, e a varia´vel dependente e´ a letra z.
Vejamos alguns exemplos de func¸o˜es.
Exemplo: Uma func¸a˜o que nos acompanha desde o Ensino Ba´sico e´ a func¸a˜o quadra´tica
f : R → R, dada por f(x) = ax2 + bx+ c, onde a, b e c sa˜o constantes reais e a �= 0.
Exemplo: Outra func¸a˜o que sempre nos acompanha e´ a func¸a˜o cu´bica f : R → R, dada por
f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d, onde a, b, c e d sa˜o constantes reais e a �= 0.
REFLITA
Observe que nos dois exemplos anteriores os valores de a (coeficiente que acompanha
o termos de maior grau) necessariamente teˆm de ser diferente de zero. Voceˆ sabe
explicar o porqueˆ deste fato?
Nos dois exemplos anteriores, estamos trabalhando com func¸o˜es do segundo e do terceiro
grau, respectivamente. Vamos analisar primeiramente a func¸a˜o polinomial do segundo grau,
ou func¸a˜o quadra´tica.
Para compreendermos o porqueˆ de o valor de a ser diferente de zero, vamos considerar
este valor a sendo zero. Desta forma:
1 Func¸a˜o, Domı´nio, Contradomı´nio e Imagem
Uma func¸a˜o real de uma varia´vel real e´ uma regra f que associa a cada nu´mero real
x pertencente a um subconjunto D ⊂ R um u´nico nu´mero real y.
Apresentamos as notac¸o˜es de func¸a˜o a seguir.
[1] f : D ⊂ R → R [2] y = f(x)
Se a func¸a˜o e´ dada pela expressa˜o y = f(x), denominamos a letra x de varia´vel
independente e y de varia´vel dependente.
Observac¸a˜o: Note que, se tivermos uma func¸a˜o dada pela definic¸a˜o z = g(w), essa notac¸a˜o
nos informa que a varia´vel independente e´ w, e a varia´vel dependente e´ a letra z.
Vejamos alguns exemplos de func¸o˜es.
Exemplo: Uma func¸a˜o que nos acompanha desde o Ensino Ba´sico e´ a func¸a˜o quadra´tica
f : R → R, dada por f(x) = ax2 + bx+ c, onde a, b e c sa˜o constantes reais e a �= 0.
Exemplo: Outra func¸a˜o que sempre nos acompanha e´ a func¸a˜o cu´bica f : R → R, dada por
f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d, onde a, b, c e d sa˜o constantes reais e a �= 0.
REFLITA
Observe que nos dois exemplos anteriores os valores de a (coeficiente que acompanha
o termos de maior grau) necessariamente teˆm de ser diferente de zero. Voceˆ sabe
explicar o porqueˆ deste fato?
Nos dois exemplos anteriores, estamos trabalhando com func¸o˜es do segundo e do terceiro
grau, respectivamente. Vamos analisar primeiramente a func¸a˜o polinomial do segundo grau,
ou func¸a˜o quadra´tica.
Para compreendermos o porqueˆ de o valor de a ser diferente de zero, vamos considerar
este valor a sendo zero. Desta forma:
FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
f(x) = ax2 + bx+ c ⇒ f(x) = 0x2 + bx+ c ⇒ f(x) = bx+ c.
Observe que a func¸a˜o f(x), quando a = 0, na˜o e´ mais uma func¸a˜o quadra´tica. Desta
maneira, necessariamente temos de ter a �= 0, pois, caso contra´rio, a mesma deixa de ser uma
func¸a˜o quadra´tica.
Agora e´ com voceˆ! Explique o motivo pelo qual a �= 0 na func¸a˜o cu´bica, analisando as
consequeˆncias quando a = 0.
E´ importante ressaltar que exstem treˆs conjuntos que sa˜o muito importantes no estudo
de func¸o˜es, a saber, Domı´nio, o Contradomı´nio e a Imagem.
Definic¸a˜o: Considere a func¸a˜o f : D ⊂ R → R.
[i] O subconjunto D dos nu´meros reais, no qual a varia´vel independente x toma valores,
e´ chamado de Domı´nio de f e e´ denotado por Dom(f).
[ii] Quando consideramos um elemento x que pertence ao Dom(f) [x ∈ Domf ], o valor
nume´rico f(x) e´ chamado de Imagem de x por f. O subconjunto {y ∈ R /y = f(x), e x ∈
Dom(f)} e´ chamado de Imagem de f e e´ denotado por Im(f).
[iii] Se f e´ uma func¸a˜o de um conjunto D, em um conjunto B, f : D → B, dizemos que
B e´ o Contradomı´nio de f , denotado por CD(f).
Considere a func¸a˜o h definida por h(x) = x4. Neste exemplo, podemos tomar qualquer
nu´mero real x e calcular seu valor por h, ou seja, calcular x4. Desta forma, o domı´nio de
h e´ escrito como Dom(h) = R. No entanto, podemos nos questionar: o nu´mero real 81 e´
atingido pela func¸a˜o? Certamente que sim, uma vez que a func¸a˜o h transforma o nu´mero 3,
que pertence ao Dom(h), em 81 (h(3) = 34 = 81). Neste caso, dizemos que 81 e´ imagem de
3 pela func¸a˜o h, ou simplesmente, 81 e´ imagem de 3. Pore´m, o nu´mero −16 e´ atingido pela
func¸a˜o? Imposs´ıvel isso acontecer, uma vez que na˜o existe ra´ız quarta de um nu´mero real
negativo, ou seja, o nu´mero −16 na˜o e´ imagem de nenhum nu´mero do domı´nio da func¸a˜o h.
17
Função, Domínio, Contradomínio e Imagem
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Observe, enta˜o, que os nu´meros reais atingidos pela func¸a˜o h sa˜o os nu´meros na˜o negativos, e
assim dizemos que a Imagem da func¸a˜o h e´ R+, cuja notac¸a˜o e´ Im(h) = R+. O contradomı´nio
da func¸a˜o h e´ o conjunto no qual a func¸a˜o atinge seus valores. Como estamos trabalhando com
func¸o˜es reais, o contradomı´nio sera´ sempre o conjunto dos nu´mero reais, ou seja, CD(h) = R.
Exemplo: Podemos considerar outra func¸a˜o, a saber, f : D ⊂ R → R, definida por
f(x) =
√
x. Vamos encontrar, para esta func¸a˜o f , seu Domı´nio, Contradomı´nio e Imagem.
Observe que, como se trata de uma expressa˜o envolvendo ra´ız quadrada, e ela esta´ definida
somente para nu´meros reais maiores ou iguais a zero (uma vez que na˜o existe ra´ız quadrada
real de um nu´mero real negativo), afirmamos que Dom(f) = R+.
Como estamos trabalhando com func¸o˜es reais, o contradomı´nio de f e´ o conjunto dos
nu´meros reais, ou seja, Cd(f) = R.
Sabemos que a ra´ız quadrada de qualquer nu´mero real, maior ou igual a zero, sempre
resultara´ em um nu´mero real positivo. E mais ainda, para todo x ∈ R+, teremos que y = x2
esta´ no domı´nio de f . Desta forma, podemos afirmar que Im(f) = R+.
Exemplo: Seja agora a func¸a˜o g : R → R, definida por g(x) = 1
x
. Vamos encontrar seu
Domı´nio, Contradomı´nio e Imagem.
Note que podemos tomar qualquer valor real para x, exceto quando este e´ 0, pois ter´ıamos
uma divisa˜o g(0) = 1
0
, que e´ uma Indeterminac¸a˜o. Desta forma, Dom(g) = R∗.
Novamente, como estamos trabalhando com func¸o˜es reais, o contradomı´nio de g e´ o
conjunto dos nu´meros reais, ou seja, Cd(g) = R.
Para encontrarmos a Imagem da func¸a˜o g, devemos compreender que o resultado da
func¸a˜o g(x) = 1
x
, quando x toma valores de seu domı´nio, pode ser qualquer valor real, exceto
0, uma vez que na˜o existe divisa˜o por 0. Desta forma, Im(g) = R∗.
FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
Ressaltamos que, por meio do gra´fico da func¸a˜o dada, e´ poss´ıvel encontrar seu domı´nio e
imagem.
Considere a seguir o gra´fico da func¸a˜o g(x) = 1
x
.
Figura 1: Gra´fico da func¸a˜o g(x) = 1
x
Assumimos que no eixo x, ou no
eixo das abscissas, esta˜o os valores que podemos tomar
para a func¸a˜o, ou seja, e´ o Domı´nio de g. No eixo y, ou no eixo das ordenadas, esta˜o os
valores que sa˜o atingidos por g, isto e´, o eixo y equivale a Imagem da func¸a˜o.
Neste exemplo, observe que podemos tomar qualquer valor do eixo x, menos no ponto
x = 0, pois esta func¸a˜o na˜o esta´ definida neste valor; e mais ainda, analogamente verificamos
que o ponto y = 0 tambe´m na˜o e´ atingido. Desta forma, Dom(g) = R∗ e Im(g) = R∗.
Exemplo: Considere a func¸a˜o f : R → R, definida por f(x) = 4x − 1. Vamos estudar o
gra´fico desta func¸a˜o.
Como estamos trabalhando com uma expressa˜o do primeiro grau e esta, por sua vez, esta´
definida para todos os nu´meros reais, enta˜o, Dom(f) = R, Cd(f) = R e Im(f) = R.
Novamente, note pelo gra´fico da func¸a˜o f que e´ poss´ıvel encontrar seu domı´nio,
contradomı´nio e imagem.
19
Função, Domínio, Contradomínio e Imagem
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Figura 2: Gra´fico da func¸a˜o f(x) = 4x− 1
REFLITA
Observe no exemplo anterior que a func¸a˜o f(x) = 4x− 1 possui seu contradomı´nio
igual a sua Imagem. Isso e´ um caso espec´ıfico para essa func¸a˜o? Esse fato pode
acontecer com outras func¸o˜es? A resposta e´ sim! Existe uma infinidade de func¸o˜es
que apresentam seu contradomı´nio igual a Imagem. Veremos mais adiante quais
func¸o˜es, que possuem tal caracter´ıstica, recebem um nome especial, a saber, Func¸o˜es
Sobrejetoras.
Apresentamos a seguir mais dois exemplos de como encontrar o domı´nio de func¸o˜es.
Nestes pro´ximos dois exemplos, estamos falando de func¸o˜es fraciona´rias e func¸o˜es ra´ız
quadrada.
Exemplo: Considere a func¸a˜o fraciona´ria f(x) = 4x+5
2x−8 . Vamos encontrar o domı´nio de f .
Como a func¸a˜o e´ fraciona´ria, devemos ter:
2x− 8 �= 0 ⇒ 2x �= 8 ⇒ x �= 4.
Logo, o domı´nio da func¸a˜o f pode ser escrito como:
Dom(f) = {x ∈ R/x �= 4}
ou
Figura 2: Gra´fico da func¸a˜o f(x) = 4x− 1
REFLITA
Observe no exemplo anterior que a func¸a˜o f(x) = 4x− 1 possui seu contradomı´nio
igual a sua Imagem. Isso e´ um caso espec´ıfico para essa func¸a˜o? Esse fato pode
acontecer com outras func¸o˜es? A resposta e´ sim! Existe uma infinidade de func¸o˜es
que apresentam seu contradomı´nio igual a Imagem. Veremos mais adiante quais
func¸o˜es, que possuem tal caracter´ıstica, recebem um nome especial, a saber, Func¸o˜es
Sobrejetoras.
Apresentamos a seguir mais dois exemplos de como encontrar o domı´nio de func¸o˜es.
Nestes pro´ximos dois exemplos, estamos falando de func¸o˜es fraciona´rias e func¸o˜es ra´ız
quadrada.
Exemplo: Considere a func¸a˜o fraciona´ria f(x) = 4x+5
2x−8 . Vamos encontrar o domı´nio de f .
Como a func¸a˜o e´ fraciona´ria, devemos ter:
2x− 8 �= 0 ⇒ 2x �= 8 ⇒ x �= 4.
Logo, o domı´nio da func¸a˜o f pode ser escrito como:
Dom(f) = {x ∈ R/x �= 4}
ou
Figura 2: Gra´fico da func¸a˜o f(x) = 4x− 1
REFLITA
Observe no exemplo anterior que a func¸a˜o f(x) = 4x− 1 possui seu contradomı´nio
igual a sua Imagem. Isso e´ um caso espec´ıfico para essa func¸a˜o? Esse fato pode
acontecer com outras func¸o˜es? A resposta e´ sim! Existe uma infinidade de func¸o˜es
que apresentam seu contradomı´nio igual a Imagem. Veremos mais adiante quais
func¸o˜es, que possuem tal caracter´ıstica, recebem um nome especial, a saber, Func¸o˜es
Sobrejetoras.
Apresentamos a seguir mais dois exemplos de como encontrar o domı´nio de func¸o˜es.
Nestes pro´ximos dois exemplos, estamos falando de func¸o˜es fraciona´rias e func¸o˜es ra´ız
quadrada.
Exemplo: Considere a func¸a˜o fraciona´ria f(x) = 4x+5
2x−8 . Vamos encontrar o domı´nio de f .
Como a func¸a˜o e´ fraciona´ria, devemos ter:
2x− 8 �= 0 ⇒ 2x �= 8 ⇒ x �= 4.
Logo, o domı´nio da func¸a˜o f pode ser escrito como:
Dom(f) = {x ∈ R/x �= 4}
ou
FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
Dom(f) = R− {4}
Exemplo: Vamos agora encontrar o domı´nio da func¸a˜o g(x) =
√
x+ 2.
Como a ra´ız quadrada de um nu´mero negativo na˜o esta´ definida para os nu´meros reais, o
domı´nio de g consiste em todos os valores de x, tais que x+ 2 ≥ 0. Isso equivale a x ≥ −2.
Assim, o domı´nio de g e´ o intervalo [−2,+∞).
2 Representac¸o˜es de Func¸o˜es
E´ poss´ıvel representar uma func¸a˜o de quatro maneiras distintas:
[i] Verbalmente (descrevendo-a com palavras): Ela expressa a func¸a˜o sem o uso de
elementos gra´ficos, sem os s´ımbolos alge´bricos e sem o uso de tabelas nume´ricas.
[ii] Numericamente (por meio de tabelas de valores): Normalmente e´ vista quando
consideramos uma tabela que relaciona duas quantidades.
[iii] Visualmente (atrave´s de gra´ficos): Utiliza s´ımbolos visuais para transmitir o
funcionamento das varia´veis dependentes e independentes.
[iv] Algebricamente (utilizando-se uma fo´rmula expl´ıcita): E´ a mais utilizada dentre
as quatro representac¸o˜es. Sempre esta´ associada a uma fo´rmula que relaciona varia´veis
dependentes e independentes.
Exemplo: Considere os seguintes dados da tabela abaixo, que relaciona duas grandezas x e
y.
x y
-10,3 -35,9
-6,8 -25,4
1,5 -0,5
14,6 38,8
21
Representações de Funções
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Por meio de alguns ca´lculos, encontramos a func¸a˜o f(x) = 3x − 5 que e´ a que descreve
os dados da tabela supracitada. Podemos tambe´m representar graficamente essa func¸a˜o da
seguinte maneira.
Figura 3: Gra´fico da func¸a˜o f(x) = 3x− 5
Observe que, para a mesma func¸a˜o, ha´ treˆs maneiras diferentes de representac¸a˜o, a saber,
as representac¸o˜es nume´rica, alge´brica e visual, respectivamente.
O TESTE DA RETA VERTICAL
Figura 4: Teste da Reta Vertical
Embora seja verdade que toda func¸a˜o real de
uma varia´vel real possua um gra´fico em R2 (plano
xy), e´ importante ressaltar que nem toda curva e´
gra´fico de alguma func¸a˜o. Por exemplo, considere a
curva representada pela figura ao lado. Tal curva e´
o gra´fico da equac¸a˜o y = ±√9− x2. Observe que
os pontos A = (2,
√
5) e B = (2,−√5) esta˜o ambos
sobre a curva. Isto implica que o nu´mero x = 2
esta´ associado a dois nu´meros, a saber, y =
√
5 e
y = −√5. No entanto, isto contradiz a propriedade
de unicidade de func¸a˜o (um elemento do Domı´nio esta´ relacionado com um U´NICO elemento
do Contradomı´nio). Desta forma, conclu´ımos que a curva em questa˜o na˜o e´ o gra´fico de uma
func¸a˜o. Este exemplo sugere o seguinte teste para determinarmos quando uma curva e´ o
gra´fico de uma func¸a˜o.
FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
TESTE DA RETA VERTICAL: Uma curva no plano xy e´ o gra´fico de uma func¸a˜o
y = f(x) se, e somente se, cada reta vertical intercepta a curva, em no ma´ximo, um ponto.
Exemplo: Observe que a curva apresentada a seguir e´ o gra´fico de uma func¸a˜o de x. De
fato, a curva apresentada a seguir e´ o gra´fico de uma func¸a˜o f , pois cada reta vertical
perpendicular ao eixo x intercepta a curva em, no ma´ximo, um ponto, satisfazendo assim o
Teste da Reta Vertical.
Figura 5: Curva no plano xy
Igualdade de Func¸o˜es
Considere as func¸o˜es f : R → R, definida por f(x) = 6(x + 1)(x − 1) − 12, e g : R
→ R, definida por g(x) = 6x2 − 18. Se questionarmos sobre a igualdade das func¸o˜es f e
g, podemos pensar que, como suas representac¸o˜es alge´bricas sa˜o distintas, logicamente as
func¸o˜es tambe´m sera˜o. Cuidado
com este racioc´ınio!
Observe que tanto f quanto g possuem o mesmo Domı´nio, isto e´, Dom(f) = Dom(g) = R.
Vamos considerar a func¸a˜o f(x) = 6(x + 1)(x − 1) − 12 e efetuar alguns ca´lculos. Note
que:
f(x) = 6(x+1)(x−1)−12⇒ f(x) = 6(x2−1)−12⇒ f(x) = (6x2−6)−12⇒ f(x) = 6x2−18
= g(x).
Isto significa que a imagem de qualquer nu´mero real x pela func¸a˜o f e pela func¸a˜o g e´ a
mesma.
23
Representações de Funções
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Portanto, f e g sa˜o representac¸o˜es distintas de uma mesma func¸a˜o, pois convertem os
nu´meros reais da mesma maneira.
Situac¸o˜es como o exemplo supracitado nos motivam a definir igualdade de func¸o˜es.
Definic¸a˜o: Dizemos que duas func¸o˜es f e g sa˜o ditas iguais, se possuem o mesmo domı´nio
D e se f(x) = g(x), ∀x ∈ D.
Exemplo: Apresentamos um exemplo a seguir, no qual podemos trabalhar com igualdade de
func¸o˜es.
Considere as func¸o˜es f : R − {3} → R, definida por f(x) = x + 4, e g : R − {3} → R,
definida por g(x) = x
2+x−12
x−3 . Vamos verificar se f e g sa˜o iguais.
Note primeiramente que f e g possuem o mesmo domı´nio, a saber, Dom(f) = Dom(g) =
R− {3}, e mais ainda, f(x) = g(x) ∀x ∈ Dom(f) = Dom(g), uma vez que:
g(x) =
x2 + x− 12
x− 3 =
(x− 3)(x+ 4)
x− 3 = x+ 4 = f(x)
Desta forma, conclu´ımos que f(x) = g(x), ∀x ∈ R− {3}
3 Operac¸o˜es com Func¸o˜es
Assim como ocorre com nu´meros, as func¸o˜es podem ser somadas, subtra´ıdas,
multiplicadas e divididas (exceto quando o denominador for zero) para produzir novas
func¸o˜es.
Definic¸a˜o: Dadas duas func¸o˜es reais f : A = Dom(f) ⊂ R → R e g : B = Dom(g) ⊂ R →
R, tais que A ∩ B �= ∅.
• a func¸a˜o soma, denotada por f + g, e´ a func¸a˜o definida por:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) e Dom (f + g) = Domf ∩Domg
FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
• a func¸a˜o diferenc¸a, denotada por f − g, e´ a func¸a˜o definida por:
(f − g)(x) = f(x)− g(x) e Dom (f − g) = Domf ∩Domg
• a func¸a˜o produto, denotada por f · g, e´ a func¸a˜o definida por:
(f · g)(x) = f(x) · g(x) e Dom (f · g) = Domf ∩Domg
• a func¸a˜o quociente, denotada por f
g
, e´ a func¸a˜o definida por:
(
f
g
)
(x) =
f(x)
g(x)
e Dom
(
f
g
)
= (Domf ∩Domg)− {x ∈ Dom (g) ; g(x) = 0
Exemplo: Vamos elucidar esta definic¸a˜o, considerando a func¸a˜o f(x) = x2− 1, definida no
conjunto dos nu´meros reais (R) e g(x) = x − 1, tambe´m definida no conjunto dos nu´meros
reais (R). Calculemos as func¸o˜es f + g, f − g, f · g e f
g
, indicando seus respectivos domı´nios.
Temos que Dom(f) = Dom(g) = R, pois ambas se tratam de func¸o˜es polinomiais, cujo
domı´nio sa˜o todos os nu´meros reais. Desta forma, Dom(f) ∩ Dom(g) = R e, assim, o
conjunto dos nu´meros reais e´ o domı´nio das func¸o˜es f + g, f − g, f · g.
Vamos agora calcular a lei alge´brica que determina cada uma das func¸o˜es solicitadas neste
exemplo.
f + g = (x2 − 1) + (x− 1) = x2 + x− 2.
f − g = (x2 − 1)− (x− 1) = x2 − x
f · g = (x2 − 1) · (x− 1) = x3 − x2 − x+ 1
Desta forma:
(f + g) : R→ R, (f + g)(x) = x2 + x− 2
(f − g) : R→ R, (f − g)(x) = x2 − x
(f · g) : R→ R, (f · g)(x) = x3 − x2 − x+ 1
25
Operações com Funções
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Deixamos a func¸a˜o quociente para o fim do exemplo, pois ela exige um cuidado especial
com o seu domı´nio. Note que queremos calcular f
g
, cujo domı´nio e´ dado por R − {1}, uma
vez que o denominador e´ dado por g(x) = x− 1. Calculando sua regra alge´brica, temos:
f
g
=
x2 − 1
x− 1 =
(x+ 1)(x− 1)
x− 1 = x+ 1
.
Desta forma:
f
g
: R− {1} → R, (f
g
)(x) = x+ 1
.
REFLITA
Aqui se faz necessa´ria a seguinte observac¸a˜o: as operac¸o˜es de adic¸a˜o, subtrac¸a˜o e
produto de func¸o˜es sa˜o operac¸o˜es comutativas, ou seja, f+g = g+f ; a func¸a˜o f−g
= g − f e a func¸a˜o f · g = g · f . No entanto, na˜o podemos dizer que f
g
= g
f
, isto e´,
a divisa˜o de func¸o˜es na˜o e´ comutativa.
4 Gra´ficos de Func¸o˜es
Seja f uma func¸a˜o definida por f : Dom(f) → B. Enta˜o, a cada nu´mero real x de
A associamos um u´nico elemento f(x) em B. Podemos tambe´m indicar este fato utilizando
pares ordenados de nu´meros reais, em que o primeiro membro desse par ordenado e´ o elemento
x de A e o segundo membro e´ o seu correspondente em B, f(x). Isso nos da´ um par ordenado
(x, f(x)), para cada x de A. Fundamentados nesta ideia, apresentamos a seguinte definic¸a˜o
de gra´fico de uma func¸a˜o.
Definic¸a˜o: O gra´fico de uma func¸a˜o f de uma varia´vel real e´ o conjunto de todos os
pontos (x, y) no plano xy, tal que x esta´ no domı´nio de f e y = f(x). Podemos representar
o Gra´fico de f, por:
Deixamos a func¸a˜o quociente para o fim do exemplo, pois ela exige um cuidado especial
com o seu domı´nio. Note que queremos calcular f
g
, cujo domı´nio e´ dado por R − {1}, uma
vez que o denominador e´ dado por g(x) = x− 1. Calculando sua regra alge´brica, temos:
f
g
=
x2 − 1
x− 1 =
(x+ 1)(x− 1)
x− 1 = x+ 1
.
Desta forma:
f
g
: R− {1} → R, (f
g
)(x) = x+ 1
.
REFLITA
Aqui se faz necessa´ria a seguinte observac¸a˜o: as operac¸o˜es de adic¸a˜o, subtrac¸a˜o e
produto de func¸o˜es sa˜o operac¸o˜es comutativas, ou seja, f+g = g+f ; a func¸a˜o f−g
= g − f e a func¸a˜o f · g = g · f . No entanto, na˜o podemos dizer que f
g
= g
f
, isto e´,
a divisa˜o de func¸o˜es na˜o e´ comutativa.
4 Gra´ficos de Func¸o˜es
Seja f uma func¸a˜o definida por f : Dom(f) → B. Enta˜o, a cada nu´mero real x de
A associamos um u´nico elemento f(x) em B. Podemos tambe´m indicar este fato utilizando
pares ordenados de nu´meros reais, em que o primeiro membro desse par ordenado e´ o elemento
x de A e o segundo membro e´ o seu correspondente em B, f(x). Isso nos da´ um par ordenado
(x, f(x)), para cada x de A. Fundamentados nesta ideia, apresentamos a seguinte definic¸a˜o
de gra´fico de uma func¸a˜o.
Definic¸a˜o: O gra´fico de uma func¸a˜o f de uma varia´vel real e´ o conjunto de todos os
pontos (x, y) no plano xy, tal que x esta´ no domı´nio de f e y = f(x). Podemos representar
o Gra´fico de f, por:
Deixamos a func¸a˜o quociente para o fim do exemplo, pois ela exige um cuidado especial
com o seu domı´nio. Note que queremos calcular f
g
, cujo domı´nio e´ dado por R − {1}, uma
vez que o denominador e´ dado por g(x) = x− 1. Calculando sua regra alge´brica, temos:
f
g
=
x2 − 1
x− 1 =
(x+ 1)(x− 1)
x− 1 = x+ 1
.
Desta forma:
f
g
: R− {1} → R, (f
g
)(x) = x+ 1
.
REFLITA
Aqui se faz necessa´ria a seguinte observac¸a˜o: as operac¸o˜es de adic¸a˜o, subtrac¸a˜o e
produto de func¸o˜es sa˜o operac¸o˜es comutativas, ou seja, f+g = g+f ; a func¸a˜o f−g
= g − f e a func¸a˜o f · g = g · f . No entanto, na˜o podemos dizer que f
g
= g
f
, isto e´,
a divisa˜o de func¸o˜es na˜o e´ comutativa.
4 Gra´ficos de Func¸o˜es
Seja f uma func¸a˜o definida por f : Dom(f) → B. Enta˜o, a cada nu´mero real x de
A associamos um u´nico elemento f(x) em B. Podemos tambe´m indicar este fato utilizando
pares ordenados de nu´meros reais, em que o primeiro membro desse par ordenado e´ o elemento
x de A e o segundo membro e´ o seu correspondente em B, f(x). Isso nos da´ um par ordenado
(x, f(x)), para cada x de A. Fundamentados nesta ideia, apresentamos a seguinte definic¸a˜o
de gra´fico de uma func¸a˜o.
Definic¸a˜o: O gra´fico de uma func¸a˜o f de uma varia´vel real e´ o conjunto de todos os
pontos (x, y)
no plano xy, tal que x esta´ no domı´nio de f e y = f(x). Podemos representar
o Gra´fico de f, por:
FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
Graff = {(x, y) ∈ R2/y = f(x), x ∈ Dom(f)}
Exemplo: Observe o gra´fico da func¸a˜o g que e´ apresentado a seguir.
Figura 6: Curva no plano xy
Podemos nos perguntar:
[a] Qual e´ o valor de g(0)? E o valor de g(1)?
[b] Qual e´ o domı´nio de g? E a imagem de g?
Soluc¸~ao:
[a] A partir do gra´fico de g, vemos que, quando x = 0, o valor de y = g(x) e´ −1, isto e´,
y = g(0) = −1. Analogamente, vemos que g(1) = 0.
[b] Observe que x pode assumir todos os valores reais entre x = −2 e x = 2, inclusive os
referidos valores. Portanto, o domı´nio de g e´ Dom(g) = [−2, 2]. Observe ainda que, quando
x percorre todos os valores do domı´nio de g, g(x) percorre todos os valores entre −5 e 3.
Portanto, a Im(g) = [−5, 3].
Ressaltamos tambe´m que podemos trac¸ar o gra´fico de func¸o˜es que sa˜o definidas por mais
de uma expressa˜o matema´tica. Observe o exemplo a seguir, no qual esboc¸amos o gra´fico de
uma func¸a˜o definida por treˆs expresso˜es em um u´nico plano xy.
Exemplo: Vamos esboc¸ar o gra´fico da seguinte func¸a˜o:
27
Gráficos de Funções
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
f(x) =
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
−2x , se −3 ≤ x < 0
x2 , se 0 ≤ x < 2
1 , se x ≥ 2
Note que a func¸a˜o e´ dividida em treˆs partes, consequentemente, faremos o gra´fico da
func¸a˜o dividida em treˆs intervalos, a saber, de [−3, 0), de [0, 2) e de [2,+∞).
No intervalo de [−3, 0), a func¸a˜o esta´ definida como f(x) = −2x, ou seja, uma func¸a˜o
afim, em que a = −2 e b = 0. Desta forma, seu gra´fico e´ um segmento de reta, iniciando em
x = −3 e terminando em x = 0, cujas imagens sa˜o f(−3) = 6 e f(0) = 0.
No intervalo de [0, 2), a func¸a˜o esta´ definida como f(x) = x2, isto e´, uma func¸a˜o
polinomial do segundo grau, visto que seus coeficientes sa˜o a = 1, b = c = 0. Os pontos
limites da para´bola obtida por essa func¸a˜o sa˜o (0, 0) e (2, 4), sendo que esse u´ltimo ponto na˜o
faz parte do gra´fico, pois queremos somente pontos menores que x = 2.
No intervalo de [2,+∞), a func¸a˜o esta´ definida como f(x) = 1, ou seja, uma func¸a˜o
constante, cujo gra´fico e´ uma semirreta paralela ao eixo x na altura y = 1.
Desta forma, a representac¸a˜o gra´fica, obtida por meio da func¸a˜o f supracitada, e´:
Figura 7: Curva no plano xy
FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
REFLITA
Observe que podemos encontrar o domı´nio e a imagem da func¸a˜o f , tomando por
base sua representac¸a˜o gra´fica. Desta forma, temos que Dom(f) = [−3,+∞) e
Im(f) = [0, 6]. Note que, quando estamos procurando o domı´nio da func¸a˜o, o
ponto x = 2 pode apresentar algumas du´vidas sobre sua inclusa˜o ou na˜o no domı´nio.
Quando consideramos o ponto (2, 4), este na˜o pertence ao gra´fico da func¸a˜o, sendo
representado por uma ”bola aberta”. No entanto, quando consideramos o ponto
(2, 1), este faz parte do gra´fico, sendo representado por uma ”bola fechada”. Como
o ponto (2, 1) faz parte do gra´fico da func¸a˜o f , dizemos que o ponto x = 2 pertence
ao domı´nio de f .
Existem algumas func¸o˜es que merecem maior destaque em nosso estudo. A seguir,
apresentaremos alguns exemplos dessas func¸o˜es com suas representac¸o˜es gra´ficas.
A primeira delas que apresentamos e´ denominada de func¸a˜o afim. Uma func¸a˜o f e´
chamada de func¸a˜o afim quando f(x) = ax+ b, em que a e b sa˜o constantes reais. Caso na˜o
exista restric¸o˜es no domı´nio desta, o seu gra´fico sera´ uma reta. A constante a e´ chamada de
coeficiente angular dessa reta, e a constante b e´ o coeficiente linear. Conforme o valor de a,
o gra´fico de uma func¸a˜o afim apresenta comportamento semelhante a um dos treˆs esboc¸os
apresentados a seguir.
Figura 8: Coeficiente
a > 0
Figura 9: Coeficiente
a < 0
Figura 10: Coeficiente
a = 0
REFLITA
Observe que podemos encontrar o domı´nio e a imagem da func¸a˜o f , tomando por
base sua representac¸a˜o gra´fica. Desta forma, temos que Dom(f) = [−3,+∞) e
Im(f) = [0, 6]. Note que, quando estamos procurando o domı´nio da func¸a˜o, o
ponto x = 2 pode apresentar algumas du´vidas sobre sua inclusa˜o ou na˜o no domı´nio.
Quando consideramos o ponto (2, 4), este na˜o pertence ao gra´fico da func¸a˜o, sendo
representado por uma ”bola aberta”. No entanto, quando consideramos o ponto
(2, 1), este faz parte do gra´fico, sendo representado por uma ”bola fechada”. Como
o ponto (2, 1) faz parte do gra´fico da func¸a˜o f , dizemos que o ponto x = 2 pertence
ao domı´nio de f .
Existem algumas func¸o˜es que merecem maior destaque em nosso estudo. A seguir,
apresentaremos alguns exemplos dessas func¸o˜es com suas representac¸o˜es gra´ficas.
A primeira delas que apresentamos e´ denominada de func¸a˜o afim. Uma func¸a˜o f e´
chamada de func¸a˜o afim quando f(x) = ax+ b, em que a e b sa˜o constantes reais. Caso na˜o
exista restric¸o˜es no domı´nio desta, o seu gra´fico sera´ uma reta. A constante a e´ chamada de
coeficiente angular dessa reta, e a constante b e´ o coeficiente linear. Conforme o valor de a,
o gra´fico de uma func¸a˜o afim apresenta comportamento semelhante a um dos treˆs esboc¸os
apresentados a seguir.
Figura 8: Coeficiente
a > 0
Figura 9: Coeficiente
a < 0
Figura 10: Coeficiente
a = 0
29
Gráficos de Funções
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Outra caso e´ o da denominada func¸a˜o quadra´tica. Uma func¸a˜o f e´ chamada de func¸a˜o
quadra´tica quando f(x) = ax2 + bx + c, em que a, b e c sa˜o constantes reais, com a �= 0.
Caso na˜o exista restric¸o˜es no domı´nio desta, o seu gra´fico sera´ uma para´bola. Conforme o
valor de a, o gra´fico de uma func¸a˜o quadra´tica apresenta comportamento semelhante a um
dos dois esboc¸os apresentados a seguir, isto e´, concavidade voltada para cima com a > 0 e
concavidade voltada para baixo quando a < 0.
Figura 11: Coeficiente
a > 0
Figura 12: Coeficient
a < 0
Podemos tambe´m considerar uma func¸a˜o f , que sera´ denominada de func¸a˜o cu´bica,
quando f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, em que a, b, c e d sa˜o constantes reais, com a �= 0.
Conforme o valor dessas constantes, o gra´fico de uma func¸a˜o cu´bica apresenta comportamento
semelhante a um dos esboc¸os apresentados a seguir. Em particular, os gra´ficos das func¸o˜es
f e h, definidas por f(x) = x3 e g(x) = −x3 + 2x− 1, sa˜o apresentados nas figuras a seguir.
Figura 13: Gra´fico
da func¸a˜o f
Figura 14: Gra´fico
da func¸a˜o h
FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
SAIBA MAIS
Existem alguns gra´ficos que podem ser um tanto quanto complexos para a sua construc¸a˜o
Para situac¸o˜es como esta, existem softwares matema´ticos e simuladores que nos auxiliam
Apresentamos, a seguir, um link, no qual, introduzindo a linguagem alge´brica da func¸a˜o
o simulador apresenta o gra´fico da mesma.
<http://pt.numberempire.com/graphingcalculator.php>.
Observe que, por meio de tecnologias como esta, as aulas podem se tornar mais dinaˆmicas
ale´m de mais atraentes aos alunos, uma vez que permitem trabalharmos de va´rias formas
o conteu´do de gra´ficos de func¸o˜es com nossos alunos.
5 Tipos de Func¸o˜es
A partir deste momento, apresentaremos alguns tipos de func¸o˜es que merecem um maior
destaque em
nosso estudo. Abordaremos, nesta ordem descrita, as func¸o˜es: constante, linear,
modular, polinomiais e racionais.
5.1 Func¸a˜o Constante
E´ uma func¸a˜o f definida por f(x) = c, em que c e´ uma constante real.
O gra´fico de uma func¸a˜o constante e´ uma reta paralela ao eixo x, interceptando o eixo y
em c. Por exemplo, consideremos duas func¸o˜es constantes f e g, definidas por f(x) = 2, e
g(x) =
√
6. A seguir, sa˜o apresentadas as representac¸o˜es gra´ficas dessas duas func¸o˜es.
Existem alguns gra´ficos que podem ser um tanto quanto complexos para a sua construc¸a˜o.
Para situac¸o˜es como esta, existem softwares matema´ticos e simuladores que nos auxiliam.
Apresentamos, a seguir, um link, no qual, introduzindo a linguagem alge´brica da func¸a˜o,
o simulador apresenta o gra´fico da mesma.
<http://pt.numberempire.com/graphingcalculator.php>.
Observe que, por meio de tecnologias como esta, as aulas podem se tornar mais dinaˆmicas,
ale´m de mais atraentes aos alunos, uma vez que permitem trabalharmos de va´rias formas
o conteu´do de gra´ficos de func¸o˜es com nossos alunos.
31
Tipos de Funções
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Figura 15: Gra´fico da func¸a˜o f Figura 16: Gra´fico da func¸a˜o g
5.2 Func¸a˜o Linear
E´ uma func¸a˜o f : R→ R, definida por f(x) = ax, com a sendo uma constante real. Seu
gra´fico e´ uma reta que sempre intercepta o ponto (0, 0).
Exemplo: Considere a func¸a˜o linear g : R → R, definida por g(x) = 3x. Note que o valor
de a = 3 indica que a func¸a˜o linear apresenta um cara´ter crescente (caso a < 0, podemos
dizer que a func¸a˜o linear e´ descrescente). Para esboc¸ar o gra´fico desta func¸a˜o, vamos tomar
dois valores quaisquer do domı´nio de g e calcular suas respectivas imagens.
Para tanto, consideremos x = 0 e x = 1. Calculando suas imagens pela func¸a˜o g,
obteremos g(0) = 0 e g(1) = 3. Dessa forma, o gra´fico dessa func¸a˜o g intercepta os pontos
(0, 0) e (1, 3); como trata-se de uma reta, o gra´fico obtido esta´ apresentado a seguir.
Figura 17: Representac¸a˜o gra´fica da func¸a˜o g
FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
REFLITA
Novamente ressaltamos que uma func¸a˜o linear, assim como uma func¸a˜o afim, podem
apresentar comportamento crescente ou decrescente, sendo que o valor nume´rico de
a vai nos informar tal fato. Para tanto, se a > 0, a func¸a˜o sera´ crescente, se a < 0,
a func¸a˜o sera´ decrescente.
5.3 Func¸a˜o Modular
Iniciaremos nosso estudo sobre func¸a˜o modular definindo o que e´ mo´dulo de um nu´mero
ou seu valor absoluto.
Definic¸a˜o: O valor absoluto ou mo´dulo de um nu´mero x, denotado por |x|, e´ definido por:
|x| =
⎧⎨⎩ x , se x ≥ 0−x , se x < 0
Observe que |x| e´ sempre positivo ou nulo. Por exemplo:
[i] |3| = 3; [ii] | − 5| = 5; [iii] |0| = 0.
Definic¸a˜o: Podemos agora apresentar o conceito de func¸a˜o modular. Uma func¸a˜o f recebe
o nome de func¸a˜o modular ou func¸a˜o mo´dulo, se f : R→ R, tal que:
f(x) = |x| =
⎧⎨⎩ x , se x ≥ 0−x , se x < 0
Exemplo: Por exemplo, considerando as func¸o˜es f(x) = |3x+ 2| e g(x) = −|x+ 2|, vamos
construir seus gra´ficos determinando seus domı´nios e imagens.
Vamos iniciar a soluc¸a˜o deste exemplo pela func¸a˜o f(x) = |3x+2|. Utilizando a definic¸a˜o
de func¸a˜o modular, anteriormente apresentada, temos que:
REFLITA
Novamente ressaltamos que uma func¸a˜o linear, assim como uma func¸a˜o afim, podem
apresentar comportamento crescente ou decrescente, sendo que o valor nume´rico de
a vai nos informar tal fato. Para tanto, se a > 0, a func¸a˜o sera´ crescente, se a < 0,
a func¸a˜o sera´ decrescente.
5.3 Func¸a˜o Modular
Iniciaremos nosso estudo sobre func¸a˜o modular definindo o que e´ mo´dulo de um nu´mero
ou seu valor absoluto.
Definic¸a˜o: O valor absoluto ou mo´dulo de um nu´mero x, denotado por |x|, e´ definido por:
|x| =
⎧⎨⎩ x , se x ≥ 0−x , se x < 0
Observe que |x| e´ sempre positivo ou nulo. Por exemplo:
[i] |3| = 3; [ii] | − 5| = 5; [iii] |0| = 0.
Definic¸a˜o: Podemos agora apresentar o conceito de func¸a˜o modular. Uma func¸a˜o f recebe
o nome de func¸a˜o modular ou func¸a˜o mo´dulo, se f : R→ R, tal que:
f(x) = |x| =
⎧⎨⎩ x , se x ≥ 0−x , se x < 0
Exemplo: Por exemplo, considerando as func¸o˜es f(x) = |3x+ 2| e g(x) = −|x+ 2|, vamos
construir seus gra´ficos determinando seus domı´nios e imagens.
Vamos iniciar a soluc¸a˜o deste exemplo pela func¸a˜o f(x) = |3x+2|. Utilizando a definic¸a˜o
de func¸a˜o modular, anteriormente apresentada, temos que:
33
Tipos de Funções
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
f(x) = |3x+ 2| =
⎧⎨⎩ 3x+ 2 , se 3x+ 2 ≥ 0−(3x+ 2) , se 3x+ 2 < 0 ⇒
f(x) =
⎧⎨⎩ 3x+ 2 , se x ≥ −23−3x− 2 , se x < −2
3
Desta forma:
[i] Para x ≥ −2
3
(valores maiores ou iguais a −2
3
), esboc¸amos o gra´fico da func¸a˜o f(x) =
3x+ 2.
[ii] Para x < −2
3
(valores menores que −2
3
), esboc¸amos o gra´fico da func¸a˜o f(x) =
−3x− 2.
Desta forma, temos o gra´fico apresentado a seguir.
Figura 18: Representac¸a˜o gra´fica da func¸a˜o f
Por meio do gra´fico de f , podemos encontrar seu domı´nio e sua imagem. Observando
atentamente o gra´fico no plano xy, temos que Domf = R e Imf = R+.
Vamos agora encontrar a soluc¸a˜o da func¸a˜o g(x) = −|x + 2|. Utilizando a definic¸a˜o de
func¸a˜o modular, temos que:
g(x) = | − x+ 2| =
⎧⎨⎩ −x+ 2 , se −x+ 2 ≥ 0x− 2 , se −x+ 2 < 0 ⇒
g(x) =
⎧⎨⎩ −x+ 2 , se x ≤ 2x− 2 , se x > 2
Desta forma:
FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
[i] Para x ≤ 2 (valores menores ou iguais a 2), esboc¸amos o gra´fico da func¸a˜o g(x) =
−x+ 2.
[ii] Para x > 2 (valores maiores que 2), esboc¸amos o gra´fico da func¸a˜o g(x) = x− 2.
Desta forma, temos o gra´fico apresentado a seguir.
Figura 19: Representac¸a˜o gra´fica da func¸a˜o g
Por meio do gra´fico de g, podemos encontrar seu domı´nio e sua imagem. Observando
atentamente o gra´fico no plano xy, temos que Dom(g) = R e Im(g) = R+.
5.4 Func¸o˜es Polinomiais
Antes de definirmos func¸o˜es polinomiais, se faz necessa´rio entendermos o que e´ um
polinoˆmio. Desta forma, um polinoˆmio com coeficientes reais e´ uma expressa˜o:
p(x) = anx
n + an−1xn−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0
no qual, os coeficientes ai, i = 1, ..., n sa˜o nu´meros reais e n e´ natural. Se an �= 0, dizemos
que o polinoˆmio p(x) tem grau n.
Dizemos que x0 e´ uma ra´ız ou um zero do polinoˆmio p(x), se p(x0) = 0, ou seja, anx
n
0 +
an−1xn−10 + ...+ a2x
2
0 + a1x0 + a0 = 0.
Ressaltamos que existe um Teorema muito importante no qual omitiremos sua
demonstrac¸a˜o.
35
Tipos de Funções
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Teorema: [TEOREMA FUNDAMENTAL DA A´LGEBRA] Todo polinoˆmio p(x) =
anx
n + an−1xn−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0 de grau n tem exatamente n ra´ızes complexas.
Exemplo: Elucidando o teorema anterior, considere o polinoˆmio p(x) = x6 + 2x3 − 1.
Segundo o Teorema Fundamental da A´lgebra, por p(x) ser de grau 6, ele tera´ exatamente
6 ra´ızes complexas.
Neste momento, estamos aptos a apresentar o que e´ uma func¸a˜o polinomial de grau n.
Assim, uma func¸a˜o polinomial de grau n e´ uma func¸a˜o da forma:
f(x) = p(x) = anx
n + an−1xn−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0
tal forma esta´ para algum polinoˆmio
p(x) com an �= 0.
Exemplo: Considere as func¸o˜es f(x) = 3x4− 2x2 + x− 7 e g(x) = 0, 01x3− 2x+3, 2. Note
que os graus de f e g sa˜o 4 e 3, respectivamente. Ressaltamos que uma func¸a˜o polinomial
esta´ definida na reta real toda e, portanto, seu domı´nio e´ R.
Algumas func¸o˜es polinomiais f : R→ R recebem nomes especiais:
[i] A func¸a˜o constante f(x) = c, com c ∈ R;
[ii] A func¸a˜o identidade f(x) = x, ∀x ∈ R;
[iii] A func¸a˜o linear f(x) = cx, com c ∈ R;
[iv] A func¸a˜o afim f(x) = cx+ b, com c, b ∈ R;
[v] A func¸a˜o quadra´tica f(x) = ax2 + bx+ c, com a, b, c ∈ R, a �= 0;
[vi] A func¸a˜o cu´bica f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d, com a, b, c, d ∈ R, a �= 0.
Observe que as func¸o˜es constante, identidade e linear sa˜o casos particulares da func¸a˜o
afim, na qual as constantes c e b podem ser nulas ou qualquer outro valor real.
FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
Exemplo: E´ muito comum termos aplicac¸o˜es do estudo de func¸o˜es nas diversas a´reas
cient´ıficas, dentre elas a F´ısica. Como exemplo, considere que a trajeto´ria de um corpo
lanc¸ado, desprezando a resisteˆncia do ar, e´ dada por uma func¸a˜o polinomial do 2o grau. A
partir de seu deslocamento horizontal (ao longo do eixo x), obtemos sua altura. Assim, um
objeto e´ lanc¸ado ao ar. Se a sua altura em metros, t segundos apo´s o lanc¸amento, e´ dada
por y = f(t) = 20t− 10t2, qual e´ a altura ma´xima atingida pelo objeto e em que instante ele
a atinge?
Soluc¸a˜o: Vamos considerar a func¸a˜o que expressa a altura do objeto em func¸a˜o do tempo
percorrido, a saber, y = f(t) = 20t− 10t2. Calculando as ra´ızes da equac¸a˜o 20t− 10t2 = 0,
temos que:
20t− 10t2 = 0 ⇒ 10t(2− t) = 0 ⇒ 10t = 0 ou 2− t = 0 ⇒ t = 0 ou t = 2.
Desta forma, as ra´ızes da equac¸a˜o do segundo grau sa˜o t = 0 e t = 2. Ressaltamos enta˜o
que, nos pontos (0, 0) e (2, 0), o gra´fico da func¸a˜o f os interceptara´.
Para descobrir a altura ma´xima do objeto e qual o tempo gasto para atingir essa altura,
podemo-nos utilizar da fo´rmula do ve´rtice da para´bola, descobrindo assim o ponto desejado.
Para tanto, vamos utilizar a fo´rmula do ve´rtice da para´bola que e´ dada por V = (−b
2a
, −Δ
4a
).
Assim, temos:
V =
(−b
2a
,
−Δ
4a
)
⇒ V =
( −20
2(−10) ,
−(b2 − 4ac)
4a
)
⇒ V =
(−20
−20 ,
−(202 − 4(−10)0)
4(−10)
)
⇒ V =
(
1,
−400
−40
)
⇒ V = (1, 10)
Desta forma, quando o objeto atingir 10 metros de altura (altura ma´xima), o tempo gasto
sera´ de 1 segundo, conforme vemos a representac¸a˜o gra´fica da func¸a˜o estudada.
37
Tipos de Funções
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Figura 20: Representac¸a˜o gra´fica da func¸a˜o f
5.5 Func¸o˜es Racionais
Outra classe importante de func¸o˜es sa˜o as func¸o˜es racionais.
Definic¸a˜o: Uma func¸a˜o racional e´ a func¸a˜o resultante do quociente de duas func¸o˜es
polinomiais:
f(x) =
p(x)
q(x)
nesta, p(x) e q(x) sa˜o polinoˆmios e q(x) na˜o e´ identicamente nulo.
REFLITA
Como em uma divisa˜o na˜o podemos ter o denominador sendo zero, conclu´ımos que
o domı´nio de uma func¸a˜o racional e´ o conjunto de todos os nu´meros reais, exceto os
zeros de q, isto e´, exceto as ra´ızes da equac¸a˜o q(x) = 0.
Exemplo: As func¸o˜es f(x) = x
3+5
x2−1 e g(x) =
2x5−3
x4+1
sa˜o func¸o˜es racionais com domı´nios
distintos.
Observe que a func¸a˜o f tem como domı´nio o conjunto dos nu´meros reais, exceto os valores
de x, em que x2 − 1 = 0, ou seja, quando x = ±1. Desta forma, temos que Dom(f) =
R− {±1}.
Figura 20: Representac¸a˜o gra´fica da func¸a˜o f
5.5 Func¸o˜es Racionais
Outra classe importante de func¸o˜es sa˜o as func¸o˜es racionais.
Definic¸a˜o: Uma func¸a˜o racional e´ a func¸a˜o resultante do quociente de duas func¸o˜es
polinomiais:
f(x) =
p(x)
q(x)
nesta, p(x) e q(x) sa˜o polinoˆmios e q(x) na˜o e´ identicamente nulo.
REFLITA
Como em uma divisa˜o na˜o podemos ter o denominador sendo zero, conclu´ımos que
o domı´nio de uma func¸a˜o racional e´ o conjunto de todos os nu´meros reais, exceto os
zeros de q, isto e´, exceto as ra´ızes da equac¸a˜o q(x) = 0.
Exemplo: As func¸o˜es f(x) = x
3+5
x2−1 e g(x) =
2x5−3
x4+1
sa˜o func¸o˜es racionais com domı´nios
distintos.
Observe que a func¸a˜o f tem como domı´nio o conjunto dos nu´meros reais, exceto os valores
de x, em que x2 − 1 = 0, ou seja, quando x = ±1. Desta forma, temos que Dom(f) =
R− {±1}.
Figura 20: Representac¸a˜o gra´fica da func¸a˜o f
5.5 Func¸o˜es Racionais
Outra classe importante de func¸o˜es sa˜o as func¸o˜es racionais.
Definic¸a˜o: Uma func¸a˜o racional e´ a func¸a˜o resultante do quociente de duas func¸o˜es
polinomiais:
f(x) =
p(x)
q(x)
nesta, p(x) e q(x) sa˜o polinoˆmios e q(x) na˜o e´ identicamente nulo.
REFLITA
Como em uma divisa˜o na˜o podemos ter o denominador sendo zero, conclu´ımos que
o domı´nio de uma func¸a˜o racional e´ o conjunto de todos os nu´meros reais, exceto os
zeros de q, isto e´, exceto as ra´ızes da equac¸a˜o q(x) = 0.
Exemplo: As func¸o˜es f(x) = x
3+5
x2−1 e g(x) =
2x5−3
x4+1
sa˜o func¸o˜es racionais com domı´nios
distintos.
Observe que a func¸a˜o f tem como domı´nio o conjunto dos nu´meros reais, exceto os valores
de x, em que x2 − 1 = 0, ou seja, quando x = ±1. Desta forma, temos que Dom(f) =
R− {±1}.
FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
Com relac¸a˜o a func¸a˜o g, seu domı´nio e´ o conjunto dos nu´meros reais, exceto os valores
de x, quando x4 + 1 = 0. No entanto, essa equac¸a˜o na˜o possui soluc¸a˜o real para x, ou seja,
na˜o existe um x ∈ R, tal que x4 + 1 = 0. Sendo assim, temos que Dom(g) = R.
Utilizando um software gra´fico, podemos esboc¸ar o gra´fico dessas duas func¸o˜es.
Figura 21: Gra´fico da func¸a˜o f Figura 22: Gra´fico da func¸a˜o g
5.6 Func¸o˜es Alge´bricas e Func¸o˜es Transcendentes
Uma func¸a˜o f e´ chamada de func¸a˜o alge´brica se puder ser constru´ıda utilizando operac¸o˜es
alge´bricas, tais como: adic¸a˜o, subtrac¸a˜o, multiplicac¸a˜o, divisa˜o e extrac¸a˜o de ra´ızes. Em
particular, as func¸o˜es polinomiais e as func¸o˜es racionais sa˜o func¸o˜es alge´bricas.
As func¸o˜es que na˜o sa˜o alge´bricas sa˜o chamadas de func¸o˜es transcendentes. As
func¸o˜es exponenciais, logar´ıtmicas e as func¸o˜es trigonome´tricas sa˜o exemplos de func¸o˜es
transcendentes.
Exemplo: Sa˜o exemplos de func¸o˜es alge´bricas as func¸o˜es f e g, definidas por f(x) =
√
x+1
x
e g(x) = x
2+2√
x
+ (x− 3).
39
Tipos de Funções
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Um exemplo de func¸a˜o transcendente e´ a func¸a˜o h, definida por h(x) = x cos x+ ex.
6 Func¸o˜es Perio´dicas, Func¸o˜es Pares e Func¸o˜es
I´mpares
Definic¸a˜o: Seja f : D ⊂ R → R e p uma constante positiva. Se f(x+ p) = f(x) para todo
x ∈ D, enta˜o f e´ chamada de func¸a˜o perio´dica.
Exemplo: Considere a func¸a˜o f : R → R, definida por f(x) = sen(x). A seguir, esboc¸amos
o gra´fico de f que e´ uma func¸a˜o perio´dica.
Figura 23: Representac¸a˜o gra´fica da func¸a˜o f
Note que, a cada 2π, a representac¸a˜o gra´fica da func¸a˜o f se repete, ou seja, o
comportamento do gra´fico e´ ideˆntico quando temos p = 2π, p = 4π, p = 6π. Logo, o
valor nume´rico de p, a que se refere na definic¸a˜o anterior, na˜o e´ u´nico, podendo assumir
infinitos valores.
Definimos como sendo o menor positivo de tais nu´meros p o per´ıodo
de f . Neste
exemplo, o per´ıodo de f e´ p = 2π.
Vamos considerar agora as func¸o˜es g : R → R, definida por g(x) = x2 e h : R → R,
definida por g(x) = x5. Sabemos que essas sa˜o func¸o˜es polinomiais do segundo e quinto grau,
respectivamente, cujos domı´nios sa˜o o conjunto dos nu´meros reais. A seguir, apresentamos
a representac¸a˜o gra´fica dessas func¸o˜es.
FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
Figura 24: Gra´fico da
func¸a˜o g
Figura 25: Gra´fico
da func¸a˜o h
Observando o gra´fico da func¸a˜o g, definida por g(x) = x2, percebemos que ele apresenta
uma simetria com relac¸a˜o ao eixo Oy (eixo das ordenadas). Note que o gra´fico da func¸a˜o
h(x) = x5 tambe´m apresenta uma simetria, no entanto, com relac¸a˜o a origem.
Essas duas func¸o˜es, apresentadas anteriormente, fazem parte de duas classes de func¸o˜es,
a saber, a das func¸o˜es pares e das func¸o˜es ı´mpares. Aquelas que apresentam, graficamente,
comportamento similar ao gra´fico de g sa˜o chamadas de func¸o˜es pares, e outras que
apresentam caracter´ısticas similares a h sa˜o denominadas func¸o˜es ı´mpares. A seguir,
definimos com o rigor matema´tico necessa´rio.
Definic¸a˜o: Seja f uma func¸a˜o. Dizemos que f e´ par, se f(x) = f(−x), para todo x ∈
Dom(f), e f e´ ı´mpar, se f(−x) = −f(x), para todo x ∈ Dom(f).
Exemplo: Determine se as func¸o˜es a seguir sa˜o pares, ı´mpares ou nenhuma delas.
[a] f(x) = 2x3 − x
[b] g(x) = x6 − x2
[c] h(x) = 3x4 − 2x3
SOLUC¸A˜O:
[a] Seja f(x) = 2x3 − x. Vamos calcular f(−x) e −f(x).
f(−x) = 2(−x)3− (−x) = −2x3+x. Portanto: f(−x) = −2x3+x. Note que f(x) �= f(−x),
enta˜o, f NA˜O E´ PAR.
41
Funções Periódicas, Funções Pares e Funções Ímpares
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Calculando −f(x), temos:
−f(x) = −(2x3 − x) = −2x3 + x. Desta forma, −f(x) = −2x3 + x. Observe que
−f(x) = f(−x) (calculado anteriormente), portanto, f E´ I´MPAR.
[b] Seja g(x) = x6 − x2. Vamos calcular g(−x) e −g(x).
g(−x) = (−x)6 − (−x)2 = x6 − x2. Portanto, g(−x) = x6 − x2. Note que g(x) = g(−x), e
desta forma g E´ PAR.
Calculando −g(x) temos:
−g(x) = −(x6 − x2) = −x6 + x2. Assim, −g(x) = −x6 + x2. Observe que −g(x) �= g(−x)
(calculado anteriormente), por isso, g NA˜O E´ I´MPAR.
[c] Seja h(x) = 3x4 − 2x3. Vamos calcular h(−x) e −h(x).
h(−x) = 3(−x)4−2(−x)3 = 3x4+2x3. Portanto: h(−x) = 3x4+2x3. Note que h(x) �= h(−x),
com isso, h NA˜O E´ PAR.
Calculando −h(x), temos:
−h(x) = −(3x4 − 2x3) = −3x4 + 2x3. Desta forma, −h(x) = −3x4 + 2x3. Observe que
−h(x) �= h(−x) (calculado anteriormente), nesse caso, h NA˜O E´ I´MPAR.
Observe a seguir o gra´fico dessas treˆs func¸o˜es que indica as simetrias existentes quando
a func¸a˜o e´ par (gra´fico de g sime´trico com relac¸a˜o ao eixo das ordenadas) ou ı´mpar (gra´fico
de f sime´trico com relac¸a˜o a origem), e a na˜o existeˆncia da mesma quando a func¸a˜o na˜o e´
par e nem ı´mpar.
Figura 26: Gra´fico
da func¸a˜o f
Figura 27: Gra´fico
da func¸a˜o g
Figura 28: Gra´fico
da func¸a˜o h
FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
Uma questa˜o interessante a se fazer e´ a seguinte: Se efetuarmos operac¸o˜es de adic¸a˜o,
multiplicac¸a˜o, subtrac¸a˜o e divisa˜o com func¸o˜es pares, estas ainda continuam sendo pares? E
com as func¸o˜es ı´mpares? A seguinte proposic¸a˜o vem esclarecer tais questionamentos.
Proposic¸a˜o: Sejam f e g duas func¸o˜es.
[a] Se f e g sa˜o pares, enta˜o: [i] f · g e´ par; [ii] f + g e´ par; [iii] f
g
e´ par.
[b] Se f e g sa˜o ı´mpares, enta˜o: [i] f · g e´ par; [ii] f + g e´ ı´mpar; [iii] f
g
e´ par.
[c] Se f e´ par e g e´ ı´mpar, enta˜o: [i] f · g e´ ı´mpar; [ii] f
g
e g
f
sa˜o ı´mpares.
Demonstrac¸a˜o:
[a] f e g sa˜o pares:
[i] Para que f · g seja par, devemos mostrar que f · g (x) = f · g (−x). Vamos enta˜o calcular
f · g (x).
(f · g) (x) = f(x) · g(x). Como f e g sa˜o pares, temos que f(x) = f(−x) e g(x) = g(−x)
e, assim, f(x) · g(x) = f(−x) · g(−x) = (f · g)(−x), para todo x ∈ Dom(f) ∩ Dom(g).
Portanto, como (f · g) (x) = (f · g)(−x), f · g e´ par.
[ii] Para que f + g seja par, devemos mostrar que f + g (x) = f + g (−x). Vamos enta˜o
calcular f + g (x).
(f+g) (x) = f(x)+g(x). Como f e g sa˜o pares, temos que f(x) = f(−x) e g(x) = g(−x),
assim, f(x) + g(x) = f(−x) + g(−x) = (f + g)(−x), para todo x ∈ Dom(f) ∩ Dom(g).
Portanto, como (f + g) (x) = (f + g)(−x), f + g e´ par.
[iii] Para que f
g
seja par, devemos mostrar que f
g
(x) = f
g
(−x). Vamos enta˜o calcular
f
g
(x).
(f
g
) (x) = f(x)
g(x)
. Como f e g sa˜o pares, temos que f(x) = f(−x) e g(x) = g(−x), enta˜o,
f(x)
g(x)
= f(−x)
g(−x) = (
f
g
)(−x), para todo x ∈ Dom(f) ∩ {x ∈ Dom(g)/g(x) �= 0}. Portanto, como
(f
g
) (x) = (f
g
)(−x), f
g
e´ par.
43
Funções Periódicas, Funções Pares e Funções Ímpares
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Os demais itens da proposic¸a˜o teˆm demonstrac¸a˜o ana´loga, sendo deixados a cargo do leitor.
7 Func¸o˜es Mono´tonas
Definic¸a˜o: Uma func¸a˜o f , definida em um intervalo I, sera´:
• crescente em I se, e somente se, f(x1) < f(x2) sempre que x1 < x2 com x1, x2 ∈ I;
• decrescente em I se, e somente se, f(x1) > f(x2) sempre que x1 < x2 com x1, x2 ∈ I;
• na˜o-crescente em I se, e somente se, f(x1) ≥ f(x2) sempre que x1 < x2 com x1, x2 ∈
I;
• na˜o-decrescente em I se, e somente se, f(x1) ≤ f(x2) sempre que x1 < x2 com
x1, x2 ∈ I.
Se uma func¸a˜o for crescente, decrescente, na˜o-crescente ou na˜o-decrescente, em um
intervalo I, diremos que ela e´ mono´tona em I.
Exemplo: Considere a func¸a˜o g(x) = 3x. E´ fa´cil ver que g e´ mono´tona crescente, pois
tomando x1, x2 ∈ Dom(g), tal que x1 < x2, sempre teremos f(x1) < f(x2), uma vez que g
e´ uma func¸a˜o polinomial do primeiro grau e seu gra´fico e´ uma reta cujo coeficiente angular
a = 3 e´ positivo. A figura a seguir apresenta a representac¸a˜o gra´fica de g. Observe que,
conforme os valores de x aumentam, os valores de g(x) tambe´m aumentam.
Figura 29: Representac¸a˜o gra´fica da func¸a˜o g
FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
Exemplo: Considere a func¸a˜o f(x) = x2. A seguir, apresentamos o seu gra´fico.
Figura 30: Representac¸a˜o gra´fica da func¸a˜o f
Note que na˜o podemos afirmar que esta func¸a˜o f e´ mono´tona em todo o seu domı´nio.
Nos valores reais negativos R− de seu domı´nio, a representac¸a˜o gra´fica da func¸a˜o apresenta
um cara´ter descendente, isto e´, quando x e´ negativo e aumenta, o valor de f(x) = x2 diminui.
Nos valores reais positivos R+ de seu domı´nio, a representac¸a˜o gra´fica da func¸a˜o apresenta
um cara´ter ascendente, isto e´, quando x e´ positivo e aumenta, o valor de f(x) = x2 aumenta.
Assim, esta func¸a˜o e´ decrescente nos reais negativos e crescente nos reais positivos.
Ressaltamos que e´ poss´ıvel obter duas func¸o˜es que sejam mono´tonas, devendo, para isso,
restringir o seu domı´nio em R− e R+.
8 Func¸o˜es Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Definic¸a˜o: Uma func¸a˜o f chama-se injetora (ou injetiva) se para todo x1, x2 ∈ Dom (f)
talque x1 �= x2, enta˜o, f(x1) �= f(x2) ou, equivalentemente, se f(x1) = f(x2), enta˜o, x1 = x2.
Exemplo: A func¸a˜o g(x) = 3x+4 e´ injetora. De fato, se g(x1) = g(x2), teremos 3x1 +4 =
3x2 + 4 ⇒ 3x1 = 3x2 ⇒ x1 = x2. Portanto, se g(x1) = g(x2) ⇒ x1
= x2.
Exemplo: A func¸a˜o f(x) = 2x2 + 1 na˜o e´ injetora. De fato, considerando x1 = 1 e x2 =
−1, teremos x1 �= x2, no entanto, f(x1) = f(x2) = 3. Desta forma, tomando x1 �= x2,
encontramos f(x1) = f(x2).
45
Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Re
pr
od
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
. 1
84
 d
o 
Có
di
go
 P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
Definic¸a˜o: Uma func¸a˜o f : D ⊂ R → B ⊂ R e´ chamada sobrejetora (ou sobrejetiva) se
para todo y ∈ R existir um elemento x ∈ D, tal que f(x) = y.
Em outras palavras, uma func¸a˜o f : A→ B e´ sobrejetiva se Im(f) = B.
Exemplo: A func¸a˜o g(x) = 3x + 4 e´ sobrejetora. De fato, dado y ∈ R, considere x = y−4
3
.
Assim, temos que:
f(x) = f
(
y − 4
3
)
= 3
(
y − 4
3
)
+ 4 = (y − 4) + 4 = y
Uma questa˜o natural a se fazer e´: Como sabemos que, neste nosso exemplo, o valor
tomado de x deveria ser x = y−4
3
?
Para encontrarmos esse valor de x, devemos considerar a func¸a˜o g(x) = 3x+4, substituir
g(x) por y e isolar x. Assim, teremos:
y = 3x+ 4⇒ y − 4 = 3x⇒ x = y − 4
3
que e´ o valor tomado para x neste exerc´ıcio.
Exemplo: A func¸a˜o f : R → R, definida por f(x) = x2, na˜o e´ injetora nem sobrejetora. De
fato, para a sobrejetividade, considerando y = −4, na˜o existe x real, tal que x2 = −4. Ja´ para
a injetividade, tomando x1, x2 ∈ Dom(f), de forma que f(x1) = f(x2), teremos (x1)2 = (x2)2
⇒ x1 = ±x2. Logo, para quaisquer valores de x �= 0, a definic¸a˜o de injetividade na˜o estara´
satisfeita.
Vamos agora considerar a representac¸a˜o gra´fica da mesma func¸a˜o do exemplo anterior,
isto e´, f(x) = x2, pore´m, definida em f : R+ → R.
Figura 31: Representac¸a˜o gra´fica da func¸a˜o f
FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
Note que podemos considerar esta func¸a˜o como sendo injetiva, ou seja, tomando x1, x2
∈ Dom(f) = R+, de forma que f(x1) = f(x2), teremos (x1)2 = (x2)2 ⇒ x1 = x2, uma vez
que os valores tomados para x so´ podem ser positivos. Logo, para quaisquer valores de x, a
definic¸a˜o de injetividade estara´ satisfeita.
REFLITA
Observe que o domı´nio da func¸a˜o pode influenciar efetivamente no seu
comportamento quanto a injetividade e sobrejetividade. No exemplo anterior,
consideramos a func¸a˜o f(x) = x2, definida em f : R+ → R, e conclu´ımos que
esta e´ injetiva. Contudo, para a mesma func¸a˜o, definida em f : R → R, esta na˜o e´
mais injetiva, devido ao fato de que seu domı´nio e´ composto por todos os nu´meros
reais.
Definic¸a˜o: Uma func¸a˜o f : D ⊂ R → B ⊂ R e´ uma func¸a˜o bijetora (bijetiva), se ela for,
simultaneamente, injetora e sobrejetora.
Exemplo: A func¸a˜o f(x) = 3x + 4 e´ bijetora. Observamos este resultado, uma vez que,
em exemplos anteriores, provamos sua injetividade e sobrejetividade. O mesmo na˜o podemos
dizer da func¸a˜o f(x) = x2, definida em f : R→ R, ja´ que ela na˜o e´ injetiva e nem sobrejetiva.
REFLITA
Ressaltamos que para uma func¸a˜o na˜o ser bijetora, basta que na˜o seja injetora ou
sobrejetora, isto e´, em suas demonstrac¸o˜es, caso a func¸a˜o na˜o seja injetora e seja
sobrejetora (ou vice-versa), ja´ teremos uma func¸a˜o que na˜o e´ bijetora.
A seguir, apresentamos um teorema fundamental que relaciona a injetividade de uma
func¸a˜o com sua monotonicidade.
Note que podemos considerar esta func¸a˜o como sendo injetiva, ou seja, tomando x1, x2
∈ Dom(f) = R+, de forma que f(x1) = f(x2), teremos (x1)2 = (x2)2 ⇒ x1 = x2, uma vez
que os valores tomados para x so´ podem ser positivos. Logo, para quaisquer valores de x, a
definic¸a˜o de injetividade estara´ satisfeita.
REFLITA
Observe que o domı´nio da func¸a˜o pode influenciar efetivamente no seu
comportamento quanto a injetividade e sobrejetividade. No exemplo anterior,
consideramos a func¸a˜o f(x) = x2, definida em f : R+ → R, e conclu´ımos que
esta e´ injetiva. Contudo, para a mesma func¸a˜o, definida em f : R → R, esta na˜o e´
mais injetiva, devido ao fato de que seu domı´nio e´ composto por todos os nu´meros
reais.
Definic¸a˜o: Uma func¸a˜o f : D ⊂ R → B ⊂ R e´ uma func¸a˜o bijetora (bijetiva), se ela for,
simultaneamente, injetora e sobrejetora.
Exemplo: A func¸a˜o f(x) = 3x + 4 e´ bijetora. Observamos este resultado, uma vez que,
em exemplos anteriores, provamos sua injetividade e sobrejetividade. O mesmo na˜o podemos
dizer da func¸a˜o f(x) = x2, definida em f : R→ R, ja´ que ela na˜o e´ injetiva e nem sobrejetiva.
REFLITA
Ressaltamos que para uma func¸a˜o na˜o ser bijetora, basta que na˜o seja injetora ou
sobrejetora, isto e´, em suas demonstrac¸o˜es, caso a func¸a˜o na˜o seja injetora e seja
sobrejetora (ou vice-versa), ja´ teremos uma func¸a˜o que na˜o e´ bijetora.
A seguir, apresentamos um teorema fundamental que relaciona a injetividade de uma
func¸a˜o com sua monotonicidade.
Note que podemos considerar esta func¸a˜o como sendo injetiva, ou seja, tomando x1, x2
∈ Dom(f) = R+, de forma que f(x1) = f(x2), teremos (x1)2 = (x2)2 ⇒ x1 = x2, uma vez
que os valores tomados para x so´ podem ser positivos. Logo, para quaisquer valores de x, a
definic¸a˜o de injetividade estara´ satisfeita.
REFLITA
Observe que o domı´nio da func¸a˜o pode influenciar efetivamente no seu
comportamento quanto a injetividade e sobrejetividade. No exemplo anterior,
consideramos a func¸a˜o f(x) = x2, definida em f : R+ → R, e conclu´ımos que
esta e´ injetiva. Contudo, para a mesma func¸a˜o, definida em f : R → R, esta na˜o e´
mais injetiva, devido ao fato de que seu domı´nio e´ composto por todos os nu´meros
reais.
Definic¸a˜o: Uma func¸a˜o f : D ⊂ R → B ⊂ R e´ uma func¸a˜o bijetora (bijetiva), se ela for,
simultaneamente, injetora e sobrejetora.
Exemplo: A func¸a˜o f(x) = 3x + 4 e´ bijetora. Observamos este resultado, uma vez que,
em exemplos anteriores, provamos sua injetividade e sobrejetividade. O mesmo na˜o podemos
dizer da func¸a˜o f(x) = x2, definida em f : R→ R, ja´ que ela na˜o e´ injetiva e nem sobrejetiva.
REFLITA
Ressaltamos que para uma func¸a˜o na˜o ser bijetora, basta que na˜o seja injetora ou
sobrejetora, isto e´, em suas demonstrac¸o˜es, caso a func¸a˜o na˜o seja injetora e seja
sobrejetora (ou vice-versa), ja´ teremos uma func¸a˜o que na˜o e´ bijetora.
A seguir, apresentamos um teorema fundamental que relaciona a injetividade de uma
func¸a˜o com sua monotonicidade.
Note que podemos considerar esta func¸a˜o como sendo injetiva, ou seja, tomando x1, x2
∈ Dom(f) = R+, de forma que f(x1) = f(x2), teremos (x1)2 = (x2)2 ⇒ x1 = x2, uma vez
que os valores tomados para x so´ podem ser positivos. Logo, para quaisquer valores de x, a
definic¸a˜o de injetividade estara´ satisfeita.
REFLITA
Observe que o domı´nio da func¸a˜o pode influenciar efetivamente no seu
comportamento quanto a injetividade e sobrejetividade. No exemplo anterior,
consideramos a func¸a˜o f(x) = x2, definida em f : R+ → R, e conclu´ımos que
esta e´ injetiva. Contudo, para a mesma func¸a˜o, definida em f : R → R, esta na˜o e´
mais injetiva, devido ao fato de que seu domı´nio e´ composto por todos os nu´meros
reais.
Definic¸a˜o: Uma func¸a˜o f : D ⊂ R → B ⊂ R e´ uma func¸a˜o bijetora (bijetiva), se ela for,
simultaneamente, injetora e sobrejetora.
Exemplo: A func¸a˜o f(x) = 3x + 4 e´ bijetora. Observamos este resultado, uma vez que,
em exemplos anteriores, provamos sua injetividade e sobrejetividade. O mesmo na˜o podemos
dizer da func¸a˜o f(x) = x2, definida em f : R→ R, ja´ que ela na˜o e´ injetiva e nem sobrejetiva.
REFLITA
Ressaltamos que para uma func¸a˜o na˜o ser bijetora, basta que na˜o seja injetora ou
sobrejetora, isto e´, em suas demonstrac¸o˜es, caso a func¸a˜o na˜o seja injetora e seja
sobrejetora (ou vice-versa), ja´ teremos