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Exercícios Calculo Diferencial e Integral I - Lista 1

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Lista 1: Funções - Cálculo Diferencial e Integral I
Professora: Elisandra Bär de Figueiredo
1. Determine o domínio e construa o grá�co das seguintes funções. A seguir identi�que como estão
relacionados os grá�cos das funções do mesmo tipo.
(a) f(x) = 4− x2
(b) g(x) = −4 + x2
(c) h(x) = 4− (x− 1)2
(d) p(x) = 6− (x− 1)2
(e) f(x) = x3
(f) g(x) = (x+ 1)3
(g) h(x) = (x+ 1)3 + 1
(h) p(x) =
x3
4
(i) q(x) = 2x3
(j) f(x) =
√
x
(k) g(x) =
√
x+ 1
(l) h(x) =
√
x+ 1
(m) f(x) = log x
(n) g(x) = log(x− 2)
(o) h(x) = log x− 2
(p) p(x) = ln x
(q) f(x) = 2x
(r) g(x) = −2x
(s) h(x) = 2−x
(t) p(x) = 2x + 1
(u) q(x) = ex
(v) f(x) = x−1
(w) h(x) = x−2
(x) p(x) = x−
1
2
(y) f(x) = sin(2x)
(z) h(x) = 2 sinx
2. Resolva as inequações e apresente seus resultados usando a notação de intervalos.
(a)
1
x+ 7
> −1
(b)
2x+ 1
2x
>
x− 3
x+ 2
(c)
3− x√
x− 1 ≤ 1
(d) x2 <
1
x
(e) 0 <
x− 1
2x− 1 < 2
(f)
x2 − 4x+ 3
x2 − 4x > 0
(g) |x+ 4| ≤ |2x− 6|
(h)
∣∣∣∣6− 5x3 + x
∣∣∣∣ ≤ 12
(i) |x|+ 1
x
< 0
(j) 5 < |4− x2| < 12
(k)
|x|
x− 1 >
2− x
|x|
(l) |x|+√x < 1
(m)
1
|x+ 1||x+ 3| ≥ −
1
5
3. Seja f(x) =
1
x2 + 4
. Determine os valores indicados sendo a um número real.
(a) f(1/a)
(b) 1/f(a)
(c) f(a2)
(d) [f(a)]2
(e) f(
√
a)
(f)
√
f(a)
(g)
f(a+ h)− f(a)
h
, com h 6= 0
4. Determine quais das funções abaixo, de R em R, são injetoras e quais são sobrejetoras. Justi�que
suas respostas.
(a) y = x+ 2
(b) y = x2 − 5x+ 6
(c) y = 2x
1
(d) y =
{ 1
x
, se x 6= 0
0, se x = 0
5. Seja f(x) =
1− x
x+ 1
determine a lei das seguintes funções e o seu domínio.
(a) g(x) = f
(
1
x+ 1
)
(b) h(x) = (f ◦ f)(x)
6. Sejam f(x) = ln x e g(x) = x3 determine a lei das seguintes funções e o seu domínio.
(a) h(x) = (f ◦ g)(x) (b) u(x) = (g ◦ f)(x)
7. Use a de�nição de módulo para reescrever as funções abaixo e a seguir esboce seu grá�co.
(a) f(x) = |x|+ |2x− 1|+ |x− 1|
(b) f(x) = |9− x2|
8. Sejam f e g duas funções de R em R assim de�nidas:
f(x) =
{
x+ 1, se x ≥ 0
−x+ 1, se x < 0 e g(x) = 3x− 2.
Determine f ◦ g e g ◦ f.
9. Sendo f : R→ R de�nida por: f(x) =
{
x+ 1, se x ≤ 0
1− 2x, se x > 0 . Determine f ◦ f.
10. Determine quais das funções abaixo são pares ou ímpares.
(a) f(x) = 5x3 − 2x
(b) f(x) = x2 + 2x+ 2
(c) f(x) = |x|
(d) f(x) =
ax + a−x
2
(e) f(x) = ln(x+
√
1 + x2)
(f) f(x) = ln
(
1 + x
1− x
)
11. Mostre que se f e g são funções ímpares, então (f + g) e (f − g) também são funções ímpares.
12. Mostre que se f e g são funções ímpares, então f · g e f
g
são funções pares.
13. Mostre que a função
1
2
[f(x) + f(−x)] é par e que a função 1
2
[f(x)− f(−x)] é ímpar.
14. Prove que qualquer função f : R −→ R pode ser expressa como a soma de uma função par com
uma função ímpar.
15. Se f(x) = 2x, mostre que f(x+ 3)− f(x− 1) = 15
2
f(x).
16. Se f(x) = ex, veri�que que f(x)f(y) = f(x+ y).
17. Se f(x) = ln x, veri�que que:
(a) f(x) + f(y) = f(xy)
(b) f(x2) = 2f(x) (c) f(
u
v
) + f(
v
u
) = 0
2
18. Determine o domínio das seguintes funções.
(a) f(x) = xex +
x− 1
x2 + 1
(b) f(x) =
3
√
x2 − 1
(1− ex)(x+ 1)
(c) f(x) =
√
|x|
x+ 1
(d) f(x) =
1√
ln(x2)
(e) f(x) = e
√
1−x2 ln(sinx)
(f) f(x) =
√
cosh
(
1− x
2 − 3x+ 5
|x− 5|
)
(g) f(x) =
√(
x2 − 3x+ 5
|x− 5| − 1
)
sinh(1− 2−x)
(h) f(x) =
√
ln
(
2 + |x| − 1
x− 1
)
(i) f(x) =
e
√
x−1−|3−x|
sinh(1− 2x)
(j) f(x) =
arcsin
(
x
2
)
ln(x− 1)
19. Nos itens abaixo determine a função inversa e construa o grá�co de f e f−1.
(a) f(x) =
√
x− 1, x ≥ 1
(b) f(x) =
x+ 2
x− 2
(c) f(x) = x2 + 2x− 1, x ≤ −1
20. Determine a função f(x) de primeiro grau que satisfaz f(1) = 1 e f(−1) = −7.
21. Seja f(x) = cosx e g(x) =
√
x+ 1. Classi�que a função h(x) = g−1(x) · (g ◦ f)(x) como função
par ou ímpar.
22. Sejam f e g as funções de�nidas por f(x) =
3x− 3
x
e g(x) =
x
x− 3 − 1.
(a) Veri�que se a função h(x) = (g ◦ f)(x) é par ou ímpar.
(b) Determine todos os valores reais de x que satisfazem a inequação
|1 + g(x)| ≥ f(x)
3
.
23. Seja g a função de�nida por g(x) = ln(
√
2− 2x). Determine a inversa da função g(x) e o domínio
e imagem desta.
24. Considere a função de�nida por f(x) =

x2 − 3, se x > 2
1, se x = 2
1
x−2 , se x < 2
.
(a) Construa o grá�co de f(x).
(b) f : R→ R é bijetora? Justi�que.
(c) Determine f−1(x), restringindo domínio e contradomínio se necessário, e construa o seu
grá�co.
25. Considere a função de�nida por f(x) =
{
ln(x+ 1), se x ≥ 0
−ex, se x < 0 .
(a) Construa o grá�co de f(x).
3
(b) f : R→ R é bijetora? Justi�que.
(c) Determine f−1(x), restringindo domínio e contradomínio se necessário, e construa o seu
grá�co.
26. Seja f(x) = 2 cos(x). Determine:
(a) o período de f(x).
(b) f−1(x) com restrição de domínio e imagem.
(c) o grá�co de f(x) e f−1(x).
27. Seja f(x) = sin(2x). Determine:
(a) o período de f(x).
(b) f−1(x) com restrição de domínio e imagem.
(c) o grá�co de f(x) e f−1(x).
28. Considere as funções f e f ◦g de�nidas por f(x) = ln(x3)−2 e (f ◦g)(x) = √x+ 1. Determine
as funções g e g−1. A seguir determine o domínio e a imagem de g−1.
29. Seja f(x) =
ex − e−x
2
.
(a) Prove que se f(a) = f(b), então a = b.
(b) Prove que dado y ∈ R existe x ∈ R tal que f(x) = y.
(c) Determine D(f−1), Im(f−1) e a lei de f−1.
Respostas:
1. Respostas em grupo.
(a)-(d) D = R
x
y
(e)-(i) D = R
x
y
4
(j)-(l)Df = Dg = [0, +∞), Dh = [−1, +∞)
x
y
(m)-(p) Df = Dg = Dp = (0, +∞),
Dh = (2, +∞)
x
y
(q)-(u) D = R
x
y (v)-(x) Df = Dh = R∗, Dp = (0, +∞)
x
y
(y) e (z) D = R
x
y
2. .
(a) S = (−∞, −8) ∪ (−7, +∞)
(b) S = (−2, − 2
11
) ∪ (0, +∞)
(c) S = [2, +∞)
(d) S = (0, 1)
(e) S = (−∞, 1
3
) ∪ (1, +∞)
(f) S = (−∞, 0) ∪ (1, 3) ∪ (4, +∞)
(g) S = (−∞, 2
3
] ∪ [10, +∞)
(h) S = [ 9
11
, 5
3
]
(i) S = (−1, 0)
(j) S = (−4, −3] ∪ (3, 4)
(k) S = (1, +∞)
(l) S = [0, 3−
√
5
2
)
(m) S = (−∞, +∞)− {−3, −1}
5
3. .
(a)
a2
1 + 4a2
(b) a2 + 4
(c)
1
a4 + 4
(d)
1
(a2 + 4)2
(e)
1
a+ 4
(f)
1√
a2 + 4
(g) − 2a+ h
[(a+ h)2 + 4](a2 + 4)
4. .
(a) Bijetora
(b) Nem 1-1, nem sobrejetora
(c) 1-1
(d) Bijetora
5. .
(a) g(x) =
x
x+ 2
e Dg = R− {−1, −2} (b) h(x) = x e Dh = R− {−1}
6. .
(a) h(x) = 3 lnx e Dh = R∗+ (b) u(x) = ln3 x e Du = R∗+
7. .
(a) f(x) =

−4x+ 2, se x < 0
−2x+ 2, se 0 ≤ x < 1
2
2x, se 1
2
≤ x < 1
4x− 2, se x ≥ 1
x
y
(b) f(x) =
{
9− x2, se x ∈ [−3, 3]
x2 − 9, se x ∈ (−∞,−3) ∪ (3,+∞)
x
y
8.
(f ◦ g)(x) =
{
3x− 1, se x ≥ 2
3−3x+ 3, se x < 2
3
(g ◦ f)(x) =
{
3x+ 1, se x ≥ 0
−3x+ 1, se x < 0
9. (f ◦ f)(x) =

x+ 2, se x ≤ 1
−2x− 1, se − 1 < x ≤ 0
−1 + 4x, se 0 < x < 1
2
2− 2x, se x ≥ 1
2
.
10. Função Par: (c) e (d); Função Ímpar: (a) e (f)
11. Use a de�nição.
6
12. Use a de�nição.
13. Use a de�nição.
14. Use o exercício 13.
15.
16.
17.
18. .
(a) Df = R
(b) Df = R− {−1, 0}
(c) Df = (−1, +∞)
(d) Df = R− [−1, 1]
(e) Df = (0, 1]
(f) Df = R− {5}
(g) Df = {0} ∪ [2, +∞)− {5}
(h) Df = (−∞, 1) ∪ [
√
2, +∞)
(i) Df = [2, +∞)
(j) Df = (1, 2)
19. .
(a) f−1 : [0,+∞) → [1,+∞) de�nida por f−1(x) = x2 + 1
x
y
(b) f−1 : R\{1} → R\{2} de�nida por f−1(x) = 2(x+1)
x−1
7
(c) f−1 : [−2,+∞) → (−∞,−1] de�nida por f−1(x) = −1−√x+ 2
x
y
20. f(x) = 4x− 3
21. h é uma função par.
22. (a) h é uma função ímpar.
(b) S = (0, +∞)− {3}
23. g−1(x) =
2− e2x
2
, Dg−1 = R e Im(g−1) = (−∞, 1).
24. Temos que f é injetora, porém não é sobrejetora (Justi�que!), f−1(x) =

√
x+ 3, se x > 1
2, se x = 1
1
x
+ 2, se x < 0
25. Temos que f é injetora, porém não é sobrejetora (Justi�que!), f−1(x) =
{
ex − 1, se x ≥ 0
ln(−x), se − 1 < x < 0
x
y
Figura 1: Ex. 26
x
y
Figura 2: Ex. 27
26. T = 2pi, f−1 : [−2, 2] → [0, pi] dada por f−1(x) = arccos (x
2
)
.
27. T = pi, f−1 : [−1, 1] → [−pi
4
, pi
4
]
dada por f−1(x) =
arcsin(x)
2
.
28. g(x) = e
√
x+1+2
3 ; g−1(x) = (3 ln(x)− 2)2; g−1 : [e 23 ,+∞) → [−1,+∞).
8
x
y
Figura 3: Ex. 28
x
y
Figura 4: Ex. 29
29. f−1 : R→ R e f−1(x) = ln(x+√x2 + 1).
9

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