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Lista 1: Funções - Cálculo Diferencial e Integral I Professora: Elisandra Bär de Figueiredo 1. Determine o domínio e construa o grá�co das seguintes funções. A seguir identi�que como estão relacionados os grá�cos das funções do mesmo tipo. (a) f(x) = 4− x2 (b) g(x) = −4 + x2 (c) h(x) = 4− (x− 1)2 (d) p(x) = 6− (x− 1)2 (e) f(x) = x3 (f) g(x) = (x+ 1)3 (g) h(x) = (x+ 1)3 + 1 (h) p(x) = x3 4 (i) q(x) = 2x3 (j) f(x) = √ x (k) g(x) = √ x+ 1 (l) h(x) = √ x+ 1 (m) f(x) = log x (n) g(x) = log(x− 2) (o) h(x) = log x− 2 (p) p(x) = ln x (q) f(x) = 2x (r) g(x) = −2x (s) h(x) = 2−x (t) p(x) = 2x + 1 (u) q(x) = ex (v) f(x) = x−1 (w) h(x) = x−2 (x) p(x) = x− 1 2 (y) f(x) = sin(2x) (z) h(x) = 2 sinx 2. Resolva as inequações e apresente seus resultados usando a notação de intervalos. (a) 1 x+ 7 > −1 (b) 2x+ 1 2x > x− 3 x+ 2 (c) 3− x√ x− 1 ≤ 1 (d) x2 < 1 x (e) 0 < x− 1 2x− 1 < 2 (f) x2 − 4x+ 3 x2 − 4x > 0 (g) |x+ 4| ≤ |2x− 6| (h) ∣∣∣∣6− 5x3 + x ∣∣∣∣ ≤ 12 (i) |x|+ 1 x < 0 (j) 5 < |4− x2| < 12 (k) |x| x− 1 > 2− x |x| (l) |x|+√x < 1 (m) 1 |x+ 1||x+ 3| ≥ − 1 5 3. Seja f(x) = 1 x2 + 4 . Determine os valores indicados sendo a um número real. (a) f(1/a) (b) 1/f(a) (c) f(a2) (d) [f(a)]2 (e) f( √ a) (f) √ f(a) (g) f(a+ h)− f(a) h , com h 6= 0 4. Determine quais das funções abaixo, de R em R, são injetoras e quais são sobrejetoras. Justi�que suas respostas. (a) y = x+ 2 (b) y = x2 − 5x+ 6 (c) y = 2x 1 (d) y = { 1 x , se x 6= 0 0, se x = 0 5. Seja f(x) = 1− x x+ 1 determine a lei das seguintes funções e o seu domínio. (a) g(x) = f ( 1 x+ 1 ) (b) h(x) = (f ◦ f)(x) 6. Sejam f(x) = ln x e g(x) = x3 determine a lei das seguintes funções e o seu domínio. (a) h(x) = (f ◦ g)(x) (b) u(x) = (g ◦ f)(x) 7. Use a de�nição de módulo para reescrever as funções abaixo e a seguir esboce seu grá�co. (a) f(x) = |x|+ |2x− 1|+ |x− 1| (b) f(x) = |9− x2| 8. Sejam f e g duas funções de R em R assim de�nidas: f(x) = { x+ 1, se x ≥ 0 −x+ 1, se x < 0 e g(x) = 3x− 2. Determine f ◦ g e g ◦ f. 9. Sendo f : R→ R de�nida por: f(x) = { x+ 1, se x ≤ 0 1− 2x, se x > 0 . Determine f ◦ f. 10. Determine quais das funções abaixo são pares ou ímpares. (a) f(x) = 5x3 − 2x (b) f(x) = x2 + 2x+ 2 (c) f(x) = |x| (d) f(x) = ax + a−x 2 (e) f(x) = ln(x+ √ 1 + x2) (f) f(x) = ln ( 1 + x 1− x ) 11. Mostre que se f e g são funções ímpares, então (f + g) e (f − g) também são funções ímpares. 12. Mostre que se f e g são funções ímpares, então f · g e f g são funções pares. 13. Mostre que a função 1 2 [f(x) + f(−x)] é par e que a função 1 2 [f(x)− f(−x)] é ímpar. 14. Prove que qualquer função f : R −→ R pode ser expressa como a soma de uma função par com uma função ímpar. 15. Se f(x) = 2x, mostre que f(x+ 3)− f(x− 1) = 15 2 f(x). 16. Se f(x) = ex, veri�que que f(x)f(y) = f(x+ y). 17. Se f(x) = ln x, veri�que que: (a) f(x) + f(y) = f(xy) (b) f(x2) = 2f(x) (c) f( u v ) + f( v u ) = 0 2 18. Determine o domínio das seguintes funções. (a) f(x) = xex + x− 1 x2 + 1 (b) f(x) = 3 √ x2 − 1 (1− ex)(x+ 1) (c) f(x) = √ |x| x+ 1 (d) f(x) = 1√ ln(x2) (e) f(x) = e √ 1−x2 ln(sinx) (f) f(x) = √ cosh ( 1− x 2 − 3x+ 5 |x− 5| ) (g) f(x) = √( x2 − 3x+ 5 |x− 5| − 1 ) sinh(1− 2−x) (h) f(x) = √ ln ( 2 + |x| − 1 x− 1 ) (i) f(x) = e √ x−1−|3−x| sinh(1− 2x) (j) f(x) = arcsin ( x 2 ) ln(x− 1) 19. Nos itens abaixo determine a função inversa e construa o grá�co de f e f−1. (a) f(x) = √ x− 1, x ≥ 1 (b) f(x) = x+ 2 x− 2 (c) f(x) = x2 + 2x− 1, x ≤ −1 20. Determine a função f(x) de primeiro grau que satisfaz f(1) = 1 e f(−1) = −7. 21. Seja f(x) = cosx e g(x) = √ x+ 1. Classi�que a função h(x) = g−1(x) · (g ◦ f)(x) como função par ou ímpar. 22. Sejam f e g as funções de�nidas por f(x) = 3x− 3 x e g(x) = x x− 3 − 1. (a) Veri�que se a função h(x) = (g ◦ f)(x) é par ou ímpar. (b) Determine todos os valores reais de x que satisfazem a inequação |1 + g(x)| ≥ f(x) 3 . 23. Seja g a função de�nida por g(x) = ln( √ 2− 2x). Determine a inversa da função g(x) e o domínio e imagem desta. 24. Considere a função de�nida por f(x) = x2 − 3, se x > 2 1, se x = 2 1 x−2 , se x < 2 . (a) Construa o grá�co de f(x). (b) f : R→ R é bijetora? Justi�que. (c) Determine f−1(x), restringindo domínio e contradomínio se necessário, e construa o seu grá�co. 25. Considere a função de�nida por f(x) = { ln(x+ 1), se x ≥ 0 −ex, se x < 0 . (a) Construa o grá�co de f(x). 3 (b) f : R→ R é bijetora? Justi�que. (c) Determine f−1(x), restringindo domínio e contradomínio se necessário, e construa o seu grá�co. 26. Seja f(x) = 2 cos(x). Determine: (a) o período de f(x). (b) f−1(x) com restrição de domínio e imagem. (c) o grá�co de f(x) e f−1(x). 27. Seja f(x) = sin(2x). Determine: (a) o período de f(x). (b) f−1(x) com restrição de domínio e imagem. (c) o grá�co de f(x) e f−1(x). 28. Considere as funções f e f ◦g de�nidas por f(x) = ln(x3)−2 e (f ◦g)(x) = √x+ 1. Determine as funções g e g−1. A seguir determine o domínio e a imagem de g−1. 29. Seja f(x) = ex − e−x 2 . (a) Prove que se f(a) = f(b), então a = b. (b) Prove que dado y ∈ R existe x ∈ R tal que f(x) = y. (c) Determine D(f−1), Im(f−1) e a lei de f−1. Respostas: 1. Respostas em grupo. (a)-(d) D = R x y (e)-(i) D = R x y 4 (j)-(l)Df = Dg = [0, +∞), Dh = [−1, +∞) x y (m)-(p) Df = Dg = Dp = (0, +∞), Dh = (2, +∞) x y (q)-(u) D = R x y (v)-(x) Df = Dh = R∗, Dp = (0, +∞) x y (y) e (z) D = R x y 2. . (a) S = (−∞, −8) ∪ (−7, +∞) (b) S = (−2, − 2 11 ) ∪ (0, +∞) (c) S = [2, +∞) (d) S = (0, 1) (e) S = (−∞, 1 3 ) ∪ (1, +∞) (f) S = (−∞, 0) ∪ (1, 3) ∪ (4, +∞) (g) S = (−∞, 2 3 ] ∪ [10, +∞) (h) S = [ 9 11 , 5 3 ] (i) S = (−1, 0) (j) S = (−4, −3] ∪ (3, 4) (k) S = (1, +∞) (l) S = [0, 3− √ 5 2 ) (m) S = (−∞, +∞)− {−3, −1} 5 3. . (a) a2 1 + 4a2 (b) a2 + 4 (c) 1 a4 + 4 (d) 1 (a2 + 4)2 (e) 1 a+ 4 (f) 1√ a2 + 4 (g) − 2a+ h [(a+ h)2 + 4](a2 + 4) 4. . (a) Bijetora (b) Nem 1-1, nem sobrejetora (c) 1-1 (d) Bijetora 5. . (a) g(x) = x x+ 2 e Dg = R− {−1, −2} (b) h(x) = x e Dh = R− {−1} 6. . (a) h(x) = 3 lnx e Dh = R∗+ (b) u(x) = ln3 x e Du = R∗+ 7. . (a) f(x) = −4x+ 2, se x < 0 −2x+ 2, se 0 ≤ x < 1 2 2x, se 1 2 ≤ x < 1 4x− 2, se x ≥ 1 x y (b) f(x) = { 9− x2, se x ∈ [−3, 3] x2 − 9, se x ∈ (−∞,−3) ∪ (3,+∞) x y 8. (f ◦ g)(x) = { 3x− 1, se x ≥ 2 3−3x+ 3, se x < 2 3 (g ◦ f)(x) = { 3x+ 1, se x ≥ 0 −3x+ 1, se x < 0 9. (f ◦ f)(x) = x+ 2, se x ≤ 1 −2x− 1, se − 1 < x ≤ 0 −1 + 4x, se 0 < x < 1 2 2− 2x, se x ≥ 1 2 . 10. Função Par: (c) e (d); Função Ímpar: (a) e (f) 11. Use a de�nição. 6 12. Use a de�nição. 13. Use a de�nição. 14. Use o exercício 13. 15. 16. 17. 18. . (a) Df = R (b) Df = R− {−1, 0} (c) Df = (−1, +∞) (d) Df = R− [−1, 1] (e) Df = (0, 1] (f) Df = R− {5} (g) Df = {0} ∪ [2, +∞)− {5} (h) Df = (−∞, 1) ∪ [ √ 2, +∞) (i) Df = [2, +∞) (j) Df = (1, 2) 19. . (a) f−1 : [0,+∞) → [1,+∞) de�nida por f−1(x) = x2 + 1 x y (b) f−1 : R\{1} → R\{2} de�nida por f−1(x) = 2(x+1) x−1 7 (c) f−1 : [−2,+∞) → (−∞,−1] de�nida por f−1(x) = −1−√x+ 2 x y 20. f(x) = 4x− 3 21. h é uma função par. 22. (a) h é uma função ímpar. (b) S = (0, +∞)− {3} 23. g−1(x) = 2− e2x 2 , Dg−1 = R e Im(g−1) = (−∞, 1). 24. Temos que f é injetora, porém não é sobrejetora (Justi�que!), f−1(x) = √ x+ 3, se x > 1 2, se x = 1 1 x + 2, se x < 0 25. Temos que f é injetora, porém não é sobrejetora (Justi�que!), f−1(x) = { ex − 1, se x ≥ 0 ln(−x), se − 1 < x < 0 x y Figura 1: Ex. 26 x y Figura 2: Ex. 27 26. T = 2pi, f−1 : [−2, 2] → [0, pi] dada por f−1(x) = arccos (x 2 ) . 27. T = pi, f−1 : [−1, 1] → [−pi 4 , pi 4 ] dada por f−1(x) = arcsin(x) 2 . 28. g(x) = e √ x+1+2 3 ; g−1(x) = (3 ln(x)− 2)2; g−1 : [e 23 ,+∞) → [−1,+∞). 8 x y Figura 3: Ex. 28 x y Figura 4: Ex. 29 29. f−1 : R→ R e f−1(x) = ln(x+√x2 + 1). 9
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