Cálculo Numérico - Lista de Exercícios 1 - Zapata

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo Nume´rico
Lista de exerc´ıcios 1o/2015
1. Explique porque a equac¸a˜o e−x = x admite uma soluc¸a˜o no intervalo [0; 1].
a)Use o me´todo da bissecc¸a˜o para encontrar a raiz com 3 casas decimais significativas. E´ poss´ıvel
mostrar que na˜o ha´ outra raiz?
b)Encontre a soluc¸a˜o aproximada usando o Me´todo do Ponto Fixo. Tomando ϕ(x) = e−x como func¸a˜o
de iterac¸a˜o e x0 = 0 como chute inicial o MPF converge?
2. Encontre uma aproximac¸a˜o de 3
1
6 com 3 d´ıgitos significativos, reformulando o problema atrave´s de
uma equac¸a˜o apropriada e resolvendo-o via o me´todo da bissecc¸a˜o.
3. Use o me´todo da bissecc¸a˜o para encontrar todas as ra´ızes reais do polinoˆmio x5−3x2 +1 com 3 d´ıgitos
significativos.
4. Encontre as soluc¸o˜es pedidas nos exerc´ıcios de 1 a 3 desta lista atrave´s do me´todo de Newton-Raphson.
5. Resolva o sistema abaixo fatorando a matriz A associada ao sistema como PA = LU .
x2 + x3 + 8x4 + 9x5 + 9x6 = 1
x1 + 3x2 + x3 + 2x4 + 8x5 + 7x6 = −2
x3 + x4 + 8x6 = 3
5x4 + 6x6 = 5
2x1 + 6x5 + 5x6 = −1
−2x1 + x6 = 1
6. Aplique o me´todo de Gauss-Jacobi para resolver os sistemas abaixo, usando a aproximac¸a˜o inicial
X(0) = (0, 0, ..., 0). Fac¸a duas iterac¸o˜es.{
−4x1 + 2x2 = −6
3x1 − 5x2 = 1
4x1 + x2 + x3 = 7
x1 − 7x2 + 2x3 = −2
3x1 + 4x3 = 11
7. Aplique o me´todo de Gauss-Seidel para resolver os sistemas do exerc´ıcio anterior.
8. Calcule a inversa da matriz utilizando o me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss-Jordan. 25 5 164 8 1
144 12 1

Utilize o me´todo de eliminac¸a˜o gaussiana nos exerc´ıcios abaixo:
9. Obtenha uma base para o subespac¸o vetorial gerado pelos conjuntos:
a) {(1, 2, 3, 4), (3, 4, 7, 10), (2, 1, 3, 5)}.
b) {(1, 3, 5), (−1, 3,−1), (1, 21, 1)}.
10. Exiba uma base para a imagem e uma base para o nu´cleo da seguinte transformac¸a˜o linear: T (x, y, z, t) =
(x + 2y − t, 2x− z + 2t,−2x + y + 3z),
11. Considere o sistema linear AX = B, onde A e B sa˜o dadas. Para cada um dos itens abaixo calcule
posto de (A|B), posto de A, diga quantas soluc¸o˜es o sistema possui e exiba o conjunto de todas as
soluc¸o˜es.
a) A =
1 3 12 6 9
2 8 8
 e B =
17
6
.
b) A =
1 2 3 1 23 4 5 3 4
1 0 −1 1 0
 e B =
26
2
.
c) A =
1 2 3 1 23 4 5 3 4
1 0 −1 1 0
 e B =
10
0
.
d) A =
 25 5 164 8 1
144 12 1
 e B =
26
2
.