MEDIDAS DESCRITIVAS DESCRITIVAS

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MEDIDASMEDIDAS
DESCRITIVASDESCRITIVAS
UNIVERSIDADE FEDERALUNIVERSIDADE FEDERAL
DA PARAÍBADA PARAÍBA
DESCRITIVASDESCRITIVAS
Departamento de EstatísticaDepartamento de Estatística
Luiz MedeirosLuiz Medeiros
http://www.de.ufpb.br/~luiz/
►►VimosVimos queque éé possívelpossível sintetizarsintetizar osos dadosdados sobsob aa
formaforma dede distribuiçõesdistribuições dede frequênciasfrequências ee gráficosgráficos..
►► PodePode serser dede interesseinteresse apresentarapresentar essesesses dadosdados
atravésatravés dede medidasmedidas descritivasdescritivas queque sintetizamsintetizam asas
característicascaracterísticas dada distribuiçãodistribuição..característicascaracterísticas dada distribuiçãodistribuição..
►► ParaPara representarrepresentar umum conjuntoconjunto dede dadosdados dede formaforma
condensadacondensada utilizaremosutilizaremos algumasalgumas medidasmedidas dede
posiçãoposição ee dede dispersãodispersão..
MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO -- MÉDIAMÉDIA
MédiaMédia AritméticaAritmética SimplesSimples:: ÉÉ aa somasoma dasdas observaçõesobservações divididadividida
pelopelo númeronúmero dede observaçõesobservações.. SeusSeus valoresvalores tendemtendem aa sese
localizarlocalizar emem umum pontoponto centralcentral dentrodentro dede umum conjuntoconjunto dede dadosdados..
EmEm geralgeral éé aa medidamedida dede posiçãoposição maismais comumcomum..
AA médiamédia aritméticaaritmética dede XX éé dadadada porpor::�� AA médiamédia aritméticaaritmética dede XX éé dadadada porpor::
�� Para dados agrupados por valor:Para dados agrupados por valor:
ExemploExemplo:: CalculeCalcule aa médiamédia dada distribuiçãodistribuição dede
frequênciafrequência porpor valorvalor
►►PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICAPROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA
►► i) A soma algébrica dos desvios de um conjunto de i) A soma algébrica dos desvios de um conjunto de 
números em relação a média aritmética é zero.números em relação a média aritmética é zero.
►► ii) Quando somamos ou subtraímos uma constante ii) Quando somamos ou subtraímos uma constante 
aos valores de uma variável, a média fica aos valores de uma variável, a média fica aos valores de uma variável, a média fica aos valores de uma variável, a média fica 
aumentada ou diminuída dessa constante.aumentada ou diminuída dessa constante.
►► iii) Quando multiplicamos ou dividimos todos os iii) Quando multiplicamos ou dividimos todos os 
valores de uma variável por uma constante, a valores de uma variável por uma constante, a 
média fica multiplicada ou dividida por essa média fica multiplicada ou dividida por essa 
constante.constante.
►► PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICAPROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA
►► IMPORTANTE:IMPORTANTE: Quando um conjunto de dados contém Quando um conjunto de dados contém 
valores extremos não é aconselhável o uso da média para valores extremos não é aconselhável o uso da média para 
representação dos dados.representação dos dados.
►► EXEMPLO:EXEMPLO: A partir da distribuição de renda calcule a A partir da distribuição de renda calcule a 
renda média dos Engenheiros renda média dos Engenheiros em em uma Empresa.uma Empresa.renda média dos Engenheiros renda média dos Engenheiros em em uma Empresa.uma Empresa.
►► 2500 3300 5500 2700 4200 6000 3000 4800 2500 3300 5500 2700 4200 6000 3000 4800 
7000 3200 5000 800007000 3200 5000 80000
►► NosNos cálculoscálculos envolvendoenvolvendo médiamédia aritméticaaritmética simples,simples, todastodas
asas ocorrênciasocorrências têmtêm exatamenteexatamente aa mesmamesma importânciaimportância ouou oo
mesmomesmo pesopeso..
►► NoNo entanto,entanto, existemexistem casoscasos ondeonde asas ocorrênciasocorrências têmtêm
importânciaimportância relativarelativa diferentediferente.. NestesNestes casos,casos, oo cálculocálculo dada
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADAMÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
importânciaimportância relativarelativa diferentediferente.. NestesNestes casos,casos, oo cálculocálculo dada
médiamédia devedeve levarlevar emem contaconta estaesta importânciaimportância relativarelativa ouou
pesopeso relativorelativo..
ExemploExemplo:: AsAs aplicaçõesaplicações maismais comunscomuns nono mercadomercado financeirofinanceiro sãosão::
Poupança,Poupança, CertificadoCertificado dede DepósitoDepósito BancárioBancário (CDB),(CDB), ReciboRecibo dede
DepósitoDepósito BancárioBancário (RDB)(RDB) ee osos FundosFundos dede InvestimentoInvestimento.. UmaUma
multinacionalmultinacional decidedecide aplicaraplicar parteparte dodo seuseu lucrolucro emem trêstrês
diferentesdiferentes aplicaçõesaplicações nono períodoperíodo dede umum anoano.. SegueSegue abaixoabaixo oo
montantemontante aplicadoaplicado emem cadacada umauma dasdas aplicaçõesaplicações nono períodoperíodo..
Tipos de Aplicações Valor das Aplicações Rentabilidade
QualQual foifoi aa rentabilidaderentabilidade médiamédia (em(em percentual)percentual) dada empresaempresa comcom
asas aplicaçõesaplicações nono finalfinal dodo período?período? JustifiqueJustifique suasua respostaresposta..
Tipos de Aplicações Valor das Aplicações Rentabilidade
Poupança R$ 250.000,00 7%
CDB R$ 100.000,00 11%
RDB R$ 80.000,00 12%
MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO -- MEDIANAMEDIANA
MedianaMediana:: OcupaOcupa aa posiçãoposição centralcentral dede umauma sériesérie dede observaçõesobservações
ordenadas,ordenadas, ouou seja,seja, éé oo valorvalor queque dividedivide osos dadosdados emem duasduas
partespartes iguaisiguais (isto(isto é,é, emem duasduas partespartes dede 5050%% cada)cada).. ÉÉ denotadadenotada
porpor MeMe..
CasoCaso 11 -- “n”“n” ímparímpar:: ParaPara aa sériesérie dede valoresvalores ordenadosordenados emem ordemordem
crescentecrescente dede grandezagrandeza (isto(isto é,é, umum rol),rol), aa medianamediana éé oo valorvalor
central,central, istoisto éécentral,central, istoisto éé
Me Me = elemento que está na posição= elemento que está na posição (n+1)/2;(n+1)/2;
CasoCaso 22 -- “n”“n” parpar:: ParaPara aa sériesérie dede valoresvalores ordenadosordenados emem ordemordem
crescentecrescente dede grandezagrandeza (isto(isto é,é, umum rol),rol), aa medianamediana éé aa médiamédia
aritméticaaritmética dosdos valoresvalores centrais,centrais, istoisto éé
Me Me = média aritmética entre os elementos das posições= média aritmética entre os elementos das posições n/2 e (n/2)+1n/2 e (n/2)+1
MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO -- MODAMODA
ModaModa:: ÉÉ oo valorvalor (valores)(valores) maismais frequentefrequente nana distribuiçãodistribuição dede valores,valores, ee
seráserá denotadodenotado porpor MMOO..
aa.. SeSe todostodos osos valoresvalores sese repetemrepetem aa mesmamesma quantidadequantidade dede vezes,vezes,
dizemosdizemos queque nãonão háhá moda,moda, ouou seja,seja, aa distribuiçãodistribuição éé amodalamodal;;
b. Se um valor ocorre com mais b. Se um valor ocorre com mais frequênciafrequência, dizemos que a distribuição é , dizemos que a distribuição é 
unimodalunimodal;;
cc.. SeSe doisdois valoresvalores sese repetemrepetem aa mesmamesma quantidadequantidade dede vezesvezes ee comcom maismaiscc.. SeSe doisdois valoresvalores sese repetemrepetem aa mesmamesma quantidadequantidade dede vezesvezes ee comcom maismais
freqüência,freqüência, dizemosdizemos queque aa distribuiçãodistribuição éé bimodalbimodal..
d. Se mais de dois valores se repetem a mesma quantidade de vezes e d. Se mais de dois valores se repetem a mesma quantidade de vezes e 
com a mesma freqüência, dizemos que a distribuição é multimodal.com a mesma freqüência, dizemos que a distribuição é multimodal.
ExemploExemplo:: UmaUma multinacionalmultinacional estudaestuda implementarimplementar umauma novanova
políticapolítica dede incentivoincentivo financeirofinanceiro aa suassuas equipesequipes dede vendasvendas.. ComCom oo
objetivoobjetivo dede estabelecerestabelecer umaumametameta mínimamínima aa empresaempresa estudouestudou oo
comportamentocomportamento dasdas vendasvendas dede trêstrês diferentesdiferentes equipesequipes durantedurante
seisseis mesesmeses.. OsOs valoresvalores obtidosobtidos (em(em milhõesmilhões dede RR$$)) foramforam::
Equipes Vendas
A 40 38 27 25 38 37
B 27 29 37 44 43 30
a)a) AA equipeequipe dede qualqual regiãoregião éé aa maismais eficienteeficiente nasnas vendas?vendas?
b)b) FoiFoi estabelecidaestabelecida umauma remuneraçãoremuneração extraextra parapara aa equipeequipe emem queque
oo númeronúmero dede mesesmeses dasdas vendasvendas superioressuperiores aa médiamédia geralgeral seja,seja,
nono mínimo,mínimo, 6060%%.. VerifiqueVerifique sese algumaalguma equipeequipe ganhouganhou essaessa
remuneraçãoremuneração.. PorPor quê?quê?
B
C
27
35
29
31
37
38
44
27
43
36
30
29
►► ExemploExemplo:: DeDe acordoacordo comcom informaçõesinformações obtidasobtidas dede umauma
multinacional,multinacional, oo saláriosalário dosdos funcionáriosfuncionários queque possuempossuem
cursocurso superiorsuperior sãosão:: RR$$ 25002500,,0000 –– 32003200,,0000 –– 18001800,,0000 ––
16001600,,0000 –– 19001900,,0000 –– 21002100,,0000 –– 25002500,,0000 –– 20002000,,0000 ––
45004500,,0000 –– 49004900,,0000 –– 15001500,,0000 –– 33003300,,0000 –– 25002500,,0000..
BaseadoBaseado nasnas informaçõesinformações dada empresaempresa determinedetermine::
QualQual oo saláriosalário médiomédio dosdos funcionáriosfuncionários queque possuempossuema)a) QualQual oo saláriosalário médiomédio dosdos funcionáriosfuncionários queque possuempossuem
cursocurso superior?superior?
b)b) QualQual oo saláriosalário maismais frequentefrequente??
c)c) QualQual oo saláriosalário mediano?mediano?
MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO -- QUARTIS, DECIS E QUARTIS, DECIS E 
PERCENTISPERCENTIS
EmEm algunsalguns casos,casos, oo pesquisadorpesquisador temtem interesseinteresse emem
conhecerconhecer outrosoutros aspectosaspectos relativosrelativos aoao conjuntoconjunto dede
dadosdados.. NessaNessa direção,direção, osos quartisquartis,, decisdecis ee percentispercentis
podempodem fornecerfornecer informaçõesinformações relevantesrelevantes àà pesquisapesquisa..
►► QuartisQuartis: São as observações que dividem o rol em 4 partes : São as observações que dividem o rol em 4 partes ►► QuartisQuartis: São as observações que dividem o rol em 4 partes : São as observações que dividem o rol em 4 partes 
iguais e são denotadas por Qiguais e são denotadas por Q11, Q, Q22 e Qe Q33..
►► DecisDecis: São as observações que dividem o rol em 10 partes : São as observações que dividem o rol em 10 partes 
iguais e são denotadas por Diguais e são denotadas por D11,D,D22, . . . ,D, . . . ,D99..
►► PercentisPercentis: São as observações que dividem o rol em 100 : São as observações que dividem o rol em 100 
partes iguais e são denotadas por Ppartes iguais e são denotadas por P11, P, P22, . . . , P, . . . , P9999..
Note ainda que QNote ainda que Q22 = D= D55 = P= P5050 = Me.= Me.
ASSIMETRIAASSIMETRIA
►► Média = mediana = moda Média = mediana = moda --> distribuição simétrica> distribuição simétrica
►► Média > Mediana > Moda Média > Mediana > Moda --> distribuição assimétrica positiva> distribuição assimétrica positiva
►► Média < Mediana < Moda Média < Mediana < Moda --> distribuição assimétrica negativa> distribuição assimétrica negativa
MEDIDAS DE DISPERSÃOMEDIDAS DE DISPERSÃO
►►AsAs medidasmedidas dede posiçãoposição apresentadasapresentadas fornecemfornecem aa
informaçãoinformação dosdos dadosdados apenasapenas aa nívelnível pontual,pontual,
semsem ilustrarilustrar outrosoutros aspectosaspectos referentesreferentes àà formaforma
comocomo osos dadosdados estãoestão distribuídosdistribuídos nana amostraamostra..
►►AsAs medidasmedidas dede dispersãodispersão sãosão utilizadasutilizadas parapara
avaliaravaliar oo graugrau dede variabilidade,variabilidade, ouou dispersão,dispersão,
dosdos valoresvalores..
MEDIDAS DE DISPERSÃOMEDIDAS DE DISPERSÃO
Exemplo: Notas de três turmas de Estatística da UFPBExemplo: Notas de três turmas de Estatística da UFPB
Observações importantesObservações importantes
i)i) As três turmas possuem a mesma média.As três turmas possuem a mesma média.
ii)ii) As notas estão distribuídas sob diferentes formas.As notas estão distribuídas sob diferentes formas.
iii)iii) A média resume o conjunto de dados apenas posição central.A média resume o conjunto de dados apenas posição central.
iv)iv) A média não fornece informações sobre a variabilidade dos dados.A média não fornece informações sobre a variabilidade dos dados.
SoluçãoSolução:: ApresentarApresentar juntojunto dada médiamédia umauma medidamedida queque sumarizesumarize aa
variabilidadevariabilidade dodo conjuntoconjunto dede dadosdados..
MEDIDAS DE DISPERSÃO MEDIDAS DE DISPERSÃO –– AMPLITUDE TOTALAMPLITUDE TOTAL
►► AmplitudeAmplitude TotalTotal:: UmaUma formaforma simplessimples dede medirmedir aa
dispersãodispersão emem umum conjuntoconjunto dede observaçõesobservações éé
atravésatravés dada amplitudeamplitude totaltotal::
AT = AT = maxmax(X(X11, . . . ,, . . . ,XXnn) − ) − minmin(X(X11, . . . ,, . . . ,XXnn))
VerificaVerifica--sese queque aa amplitudeamplitude comocomo medidamedida dede
dispersãodispersão éé limitadalimitada.. EssaEssa medidamedida sósó dependedepende dosdos
valoresvalores extremos,extremos, ouou seja,seja, nãonão éé afetadaafetada pelapela
dispersãodispersão dosdos valoresvalores internosinternos
MEDIDAS DE DISPERSÃO MEDIDAS DE DISPERSÃO -- VARIÂNCIAVARIÂNCIA
►► AA variânciavariância dede umum conjuntoconjunto dede dadosdados (amostra(amostra ouou população)população) éé
umauma medidamedida dede “VARIABILIDADE“VARIABILIDADE ABSOLUTA”ABSOLUTA”.. ElaEla medemede aa
variabilidadevariabilidade dodo conjuntoconjunto emem termostermos dede desviosdesvios quadradosquadrados emem
relaçãorelação àà médiamédia aritméticaaritmética.. ÉÉ umauma quantidadequantidade sempresempre nãonão
negativanegativa ee expressaexpressa emem unidadesunidades quadradasquadradas dodo conjuntoconjunto dede
dados,dados, sendosendo dede difícildifícil interpretaçãointerpretação..
a)a) Para dados agrupados por valor:Para dados agrupados por valor:
MEDIDAS DE DISPERSÃO MEDIDAS DE DISPERSÃO –– DESVIO PADRÃODESVIO PADRÃO
ÉÉ umauma outraoutra medidamedida dede dispersãodispersão maismais
comumentecomumente empregadaempregada dodo queque aa variância,variância, porpor
serser expressaexpressa nana mesmamesma unidadeunidade dede medidamedida dodo
conjuntoconjunto dede dadosdados.. MedeMede aa "DISPERSÃO"DISPERSÃO
ABSOLUTA"ABSOLUTA" dede umum conjuntoconjunto dede valoresvalores ee éé obtidaobtida
aa partirpartir dada variânciavariância..aa partirpartir dada variânciavariância..
SS 2=
MEDIDAS DE DISPERSÃO MEDIDAS DE DISPERSÃO –– COEFICIENTE DE VARIAÇÃOCOEFICIENTE DE VARIAÇÃO
ÉÉ umauma medidamedida dede “VARIABILIDADE“VARIABILIDADE RELATIVA”,RELATIVA”, útilútil parapara compararcomparar aa
variabilidadevariabilidade dede observaçõesobservações comcom diferentesdiferentes unidadesunidades dede medidamedida.. ÉÉ
definidadefinida porpor::
Exemplo:Exemplo:
VALORESVALORES MÉDIAMÉDIA D.P.D.P. C.V.C.V.
1 1 -- 2 2 -- 33 22 11 50 %50 %
►► É importante expressar a variabilidade em termos relativos porque, por exemplo, É importante expressar a variabilidade em termos relativos porque, por exemplo, 
um desvioum desvio--padrão igual a 1 pode ser muito pequeno se a magnitude dos dados padrão igual a 1 pode ser muito pequeno se a magnitude dos dados 
é da ordem de 1.000, mas pode ser considerado muito elevado se esta é da ordem de 1.000, mas pode ser considerado muito elevado se esta 
magnitude for da ordem de 10.magnitude for da ordem de 10.
►► Observe também que o coeficiente de variação é adimensional e por este motivo Observe tambémque o coeficiente de variação é adimensional e por este motivo 
permite a comparação das variabilidades de diferentes conjuntos de dados.permite a comparação das variabilidades de diferentes conjuntos de dados.
1 1 -- 2 2 -- 33 22 11 50 %50 %
100 100 -- 200 200 -- 300300 200200 100100 50 %50 %
101 101 -- 102 102 -- 103103 102102 11 1 %1 %
CONSIDERAÇÕES GERAISCONSIDERAÇÕES GERAIS
►► OO conjuntoconjunto dede todostodos osos possíveispossíveis elementoselementos dede umauma determinadadeterminada
pesquisapesquisa constituiconstitui umauma populaçãopopulação estatísticaestatística.. SuaSua médiamédia éé aa médiamédia
populacional,populacional, usualmenteusualmente representadarepresentada pelapela letraletra gregagrega µµ.. NaNa grandegrande
maioriamaioria dasdas situaçõessituações práticas,práticas, aa médiamédia populacionalpopulacional éé desconhecidadesconhecida ee
devedeve serser estimadaestimada aa partirpartir dede dadosdados amostraisamostrais.. SeSe aa amostraamostra forfor
extraídaextraída dede formaforma adequada,adequada, aa médiamédia amostralamostral éé umauma boaboa
estimativaestimativa dede µµ..
►► AA amplitude,amplitude, apesarapesar dede serser muitomuito fácilfácil dede calcular,calcular, temtem aa desvantagemdesvantagem
X
►► AA amplitude,amplitude, apesarapesar dede serser muitomuito fácilfácil dede calcular,calcular, temtem aa desvantagemdesvantagem
dede levarlevar emem consideraçãoconsideração apenasapenas osos doisdois valoresvalores extremosextremos (máximo(máximo ee
mínimo)mínimo) dada massamassa dede dados,dados, desprezandodesprezando osos demaisdemais..
►► AA variânciavariância populacionalpopulacional éé representadarepresentada porpor σσ22.. Usualmente,Usualmente, aa
variânciavariância populacionalpopulacional éé desconhecidadesconhecida ee devedeve serser estimadaestimada aa partirpartir dosdos
dadosdados amostraisamostrais.. SeSe aa amostraamostra foifoi extraídaextraída dede formaforma adequada,adequada, aa
variânciavariância amostralamostral SS22 éé umauma boaboa estimativaestimativa dede σσ22..
►► AsAs medidasmedidas ,, SS22 ee SS tomadastomadas nana amostra,amostra, denominadasdenominadas
ESTATÍSTICAS,ESTATÍSTICAS, sãosão estimativasestimativas dosdos PARÂMETROSPARÂMETROS POPULACIONAISPOPULACIONAIS µµ,,
σσ22 ee σσ (supostos(supostos desconhecidos)desconhecidos)..
X
CONSIDERAÇÕES GERAISCONSIDERAÇÕES GERAIS
CurtoseCurtose
ExemploExemplo:: NaNa tabelatabela abaixoabaixo encontraencontra--sese aa estruturaestrutura dodo
produtoproduto internointerno brutobruto dodo Brasil,Brasil, emem bilhõesbilhões dede reais,reais,
segundosegundo asas atividadesatividades econômicaseconômicas..
a)a) EmEm qualqual dosdos setoressetores ocorreocorre aa maiormaior variabilidade?variabilidade?
PERÍODOPERÍODO AGROPECUÁRIAAGROPECUÁRIA INDÚSTRIAINDÚSTRIA SERVIÇOSSERVIÇOSPERÍODOPERÍODO AGROPECUÁRIAAGROPECUÁRIA INDÚSTRIAINDÚSTRIA SERVIÇOSSERVIÇOS
20022002 6,66,6 27,127,1 66,366,3
20032003 7,47,4 27,827,8 64,864,8
20042004 6,96,9 30,130,1 6363
20052005 5,75,7 29,329,3 6565
20062006 5,55,5 28,828,8 65,865,8
20072007 5,65,6 27,827,8 66,666,6
ExemploExemplo:: UmaUma certacerta empresaempresa queque fabricafabrica duasduas linhaslinhas dede
produtosprodutos (A(A ee B)B) necessitanecessita reestruturarreestruturar suasua produçãoprodução.. FoiFoi
realizadorealizado umum estudoestudo parapara taltal finalidadefinalidade ee umauma dasdas variáveisvariáveis
consideradasconsideradas foifoi VENDAVENDA (quantidade(quantidade mensal)mensal) dede cadacada tipotipo
dede produtoproduto (A(A ee B)B).. ParaPara esteeste estudoestudo foifoi tomadotomado comocomo
referênciareferência oo primeiroprimeiro semestresemestre dede determinadodeterminado ano,ano, ondeonde
foramforam verificadosverificados asas seguintesseguintes VENDASVENDAS::
PRODUTO A 13 32 28 25 24 25
a)a) EmEm relaçãorelação aa estaesta variável,variável, qualqual dosdos produtosprodutos (A(A ouou B)B)
apresentouapresentou maiormaior estabilidadeestabilidade nasnas VENDASVENDAS mensais?mensais?
b)b) AA empresaempresa decidedecide penalizarpenalizar aa equipeequipe queque obteve,obteve, emem
algumalgum mês,mês, umum volumevolume dede vendavenda inferiorinferior aa --11,,55SS..
AlgumaAlguma equipeequipe foifoi penalizada?penalizada?
PRODUTO A 13 32 28 25 24 25
PRODUTO B 25 20 29 30 26 20
X