Quinta Lista de Exercícios - Existência e unicidade de soluções

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UNILESTEMG
Cálculo III
Profa. Juliana Ramos Fioravante Zuliani
Lista I - Conteúdo da Segunda Avaliação
Instruções:
• Entregar até o dia da 2a prova;
• Justificar todas as respostas encontradas.
1. Determine os pontos (t0, y0) para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial{
dy
dt
= f(t, y)
y(t0) = y0
tem uma única solução.
(a) Se f(t, y) =
√
y2 − 4
(b) Se f(t, y) =
√
ty
(c) Se f(t, y) =
y2
t2 + y2
(d) Se f(t, y) = t
√
y2 − 1
2. Determine o maior intervalo em que os problemas de valor inicial abaixo têm solução, sem resolvê-los:
(a)
{
(t2 − 1)dy
dt
+ (t− 2)y = t
y(0) = y0
(b)
{
(t2 − 1)dy
dt
+ (t)y = t2
y(2) = y0
(c)
{
(t2 − t)dy
dt
+ (t+ 1)y = et
y(−1) = y0
3. Baseado no Teorema de Existência e Unicidade,determine um intervalo em que os problemas de valor
inicial abaixo têm uma única solução, sem resolvê-los:
(a)
{
(t2 − 1)y′′ + (t− 2)y = t
y(0) = y0, y
′(0) = y′0
(b)
{
(t2 − 1)y′′ + y′ + (t)y = t2
y(2) = y0, y
′(2) = y′0
(c)
{
(t2 − t)y′′ + (t+ 1)y′ + y = et
y(−1) = y0, y′(−1) = y′0
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