Apostila MF UFG 2

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universidade federal de Goiás – Ufg (CAMPUS CATALão)
DEPARTAMENTO DE ADMINISTRAÇÃO
matemática financeira
Profª: Ana Paula Pinheiro Zago
2° Semestre de 2.013
sumáRIO
noções Iniciais de Matemática Financeira 
 O que é Matemática Financeira 
 Capital 
 Juro 
 Montante 
 Taxa de Juros 
 Diagramas de Capital no Tempo 
 Regimes de Capitalização 
 Rendas
Juros Simples 
 Cálculo de Juros Simples 
 Cálculo de Montante 
 Considerações sobre a Contagem do Tempo
Juros Comerciais e Juros Exatos
Tempo Exato e Tempo Aproximado
Descontos 
 Definição 
 Tipos de Descontos (Comercial, Racional e Bancário)
Juros Compostos 
 Cálculo do Montante 
 Cálculo do Juro 
 Cálculos através de Tabelas Financeiras 
 Cálculos através da Calculadora Financeira (HP-12C) 
Taxas de Juros 
 Introdução 
 Taxas Proporcionais 
 Taxas Equivalentes 
 Taxa Nominal e Efetiva 
 Equivalência de Capitais
Rendas Certas ou Anuidades 
 Introdução 
 Classificação das Anuidades 
 Modelo Básico de Anuidade
 Anuidades Antecipadas 
 Modelos Genéricos de Anuidades 
Noções Iniciais de Matemática Financeira
 O que é Matemática Financeira?
Matemática Financeira é o ramo da matemática que se ocupa do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo.
Seu campo de aplicação são as operações financeiras, entendendo-se como tais as de empréstimo, financiamento, aplicação e investimento.
Seu principal objetivo é fornecer instrumentos matemáticos (fórmulas, tabelas, gráficos, diagramas) que permitam a análise e a comparação de operações financeiras e a tomada de decisão quanto a elas.
 Capital ( C ) 
É a quantidade de dinheiro que vai ser transacionada (emprestada ou investida).
 Juro ( J )
Como se sabe, o capital é um fator de produção e, como tal, é remunerado. Assim sendo, o juro é o custo do crédito ou a remuneração pelo uso do capital por um certo intervalo de tempo.
 Montante ( M )
É a soma do Capital ( C ) aplicado no início da operação financeira com os Juros ( J ) acumulados no final do prazo de aplicação. Portanto, M = C + J.
 Taxa de Juros ( i ) 
É definida como a razão entre os Juros e o Capital inicialmente envolvido, sendo comumente representada em termos percentuais (%) e estando sempre atrelada a uma unidade de tempo (dia, mês, ano, etc.).
No dia a dia do mercado financeiro, a negociação do preço da “mercadoria” (Dinheiro), normalmente, é feita através da Taxa de Juros. Raramente se negocia o valor dos Juros propriamente dito. Daí a importância de se conhecer e saber operar com diversos tipos de Taxas de Juros.
Para efeito de cálculos através das fórmulas matemáticas, utiliza-se a Taxa Decimal ou Unitária, que é a Taxa Percentual dividida por 100. Na maioria das calculadoras financeiras, utiliza-se a Taxa Percentual.
Fatores Básicos para Determinação das Taxas de Juros:
Risco: entendido como a possibilidade do empréstimo não ser liquidado pelo tomador. Normalmente, quanto maior o risco, maior a Taxa de Juros;
Despesas: deve-se considerar todas as despesas que serão incorridas até o efetivo recebimento (operacionais, tributárias, de cobrança, etc.);
Inflação: deve-se considerar a previsão inflacionária, no caso da Taxa de Juros ser pré-fixada, de forma a preservar o poder de compra do Capital. No caso da Taxa de Juros ser pós-fixada o poder de compra do Capital será preservado pelo indexador;
Ganho: Fixado em função do “custo de oportunidade”.
 Diagramas de Capital no Tempo (Fluxo de Caixa)
É o conjunto de entradas e saídas de caixa, dispostas ao longo do tempo. É geralmente representado por um diagrama constituído por um eixo horizontal que representa a linha do tempo, tendo acima as entradas e abaixo as saídas de caixa. A unidade de tempo, para maior facilidade de cálculo, deve ser escolhida, sempre que possível, de acordo com o período de capitalização dos juros.
Muitos problemas de juros e montante e, principalmente, de renda têm sua resolução facilitada quando são representados por um diagrama de fluxo de caixa.
			500		400	400
_________________________________________ .................................... sendo,
 0	1	2	3	4	5	6 	tempo
1.000				300	
	= entradas de caixa			= saídas de caixa
 Regimes de Capitalização
A capitalização dos juros pode ocorrer de duas formas:
Capitalização Simples: Nesta modalidade a taxa de juros incide apenas sobre o capital inicial, ou seja, os juros são calculados tomando por base sempre o capital inicial. O crescimento dos recursos ocorre de forma linear, ou , em pressão aritmética.
Capitalização Composta: A taxa de juros incide tanto sobre o capital inicial como sobre os juros gerados nos períodos anteriores. O crescimento dos recursos ocorre de forma exponencial, ou, em progressão geométrica. Por este motivo diz-se que na capitalização composta os juros são exponenciais.
Exemplo: Quanto pagará uma pessoa que tomar emprestado a quantia de R$10.000,00 pelo prazo de 4 meses, à taxa de 12% a.m. (Sabe-se que os juros serão pagos no vencimento juntamente com o principal, ou capital inicial)?
	Hipótese A: Capitalização Simples
	Mês
	Saldo Devedor
	Juros
	Montante
	00
	10.000,00
	-
	10.000,00
	01
	10.000,00
	1.200,00
	11.200,00
	02
	11.200,00
	1.200,00
	12.400,00
	03
	12.400,00
	1.200,00
	13.600,00
	04
	13.600,00
	1.200,00
	14.800,00
 
	Hipótese A: Capitalização Composta
	Mês
	Saldo Devedor
	Juros
	Montante
	00
	10.000,00
	-
	10.000,00
	01
	10.000,00
	1.200,00
	11.200,00
	02
	11.200,00
	1.344,00
	12.544,00
	03
	12.544,00
	1.505,28
	14.049,28
	04
	14.049,28
	1.685,91
	15.735,19
Comparando, observe que:
Os cálculos na capitalização simples foram realizados sempre sobre o capital inicial, enquanto que na capitalização composta tomamos por base sempre o montante do período imediatamente anterior.
 Rendas
Às vezes, um investidor aplica um capital para ter o seu retorno em várias parcelas, em datas diferentes. Outras vezes é o investimento que é feito em parcelas, aplicadas em datas diferentes, com um único retorno final, ou com retorno também parcelado. Em qualquer desses casos, a série de capitais disponíveis em datas diferentes constitui o que se chama de renda. Cada capital que compõe a série tem o nome de termo da renda, prestação ou pagamento.
JUROS SIMPLES
 Cálculo de Juros Simples
Na capitalização simples o valor dos juros é obtido através da seguinte expressão matemática: 
J = Cin, onde:
			J 	= Valor dos Juros
			C	= Principal ou Capital Inicial
			i 	= Taxa de Juros
			n	= Prazo do Empréstimo 
A taxa de juros ( i ) e o prazo ( n ) deverão sempre se referir à uma mesma unidade de tempo. Quando isso não ocorrer, deverá ser feita a transformação antes de sua aplicação na fórmula apresentada acima, bem como em todas as outras que serão apresentadas.
Exemplos:
Calcular o valor dos juros simples referente a um empréstimo de R$56.000,00 pelo prazo de 8 meses, sabendo-se que a taxa cobrada foi de 3,2% a.m.
Dados: 	C = R$56.000,00			Solução: 	J = Cin
		n = 8 meses						J = 56.000,00 x 0,032 x 8
		i = 3,2% a.m.						J = 14.336,00
		J = ?					
Uma aplicação de R$15.000,00 pelo prazo de 120 dias obteve um rendimento de R$1.560,00. Sabendo-se que o empréstimo foi calculado a juros simples, qual a taxa anual de juros cobrada?
Dados: 	C = R$15.000,00			Solução: 	J = Cin, logo: i = J / (P . n)
		n = 120 dias						i = 1.560,00/(15.000,00 x 120
		J = R$1.560,00					i = 0,000867 ou 0,0867% a.d.
		i = ?	
Obs: A taxa resultante dos cálculos estará sempre na mesma unidade de tempo do prazo informado, e vice-versa.				
 Cálculo do Montante
O Montante, também chamado Valor Futuro, é a soma entre o Principal (ou Capital Inicial) e os juros do período correspondente, ou seja:
M = C + J				Como	J = Cin
M = C + Cin			Portanto:
M = C (1 + in)			onde: M = Montante ou Valor Futuro
Exemplos:
Qual o montante resultante de uma aplicação de R$56.000,00 pelo prazo de 8 meses, à taxa de 3,2% a.m.?
Dados: 	C = R$56.000,00		Solução: 	M = C (1 + in)
		n = 8 meses					M = 56.000,00 (1 + 0,032 x 8)
		i = 3,2% a.m.					M = 70.336,00
		M = ?					
Um certo capital foi aplicado pelo prazo de 7 trimestres, à taxa de 32%a.a. e rendeu R$50.400,00. Qual o montante produzido por esta aplicação.
Dados: 	J = R$50.400,00		Solução: 	J = Cin
		n = 7 trimestres				50.400,00 = C (1 + 0,08 x 7)
		i = 32% a.a.					C = 90.000,00
		M = ?						Como, M = C + J 	temos, 
								M=90.000,00+50.400,00= 140.400,00
Obs: Foi necessário que se fizesse a transformação da taxa (dada ao ano) para trimestre (32% / 4), para que se obtivesse a coerência com o prazo (dado em trimestres). Poderia, também, Ter sido transformado o prazo de trimestre para ano. Na Capitalização Simples, pode-se alterar qualquer um dos dois.
Considerações sobre a Contagem do Tempo
Juros Comerciais e Juros Exatos: São comuns no mercado financeiro as operações de curto prazo, em que o capital é investido em poucos dias, como acontece nas aplicações no open market. 
Existem duas formas para se calcular a taxa diária: considerar o ano comercial de 360 dias ou considerar o ano civil de 365 dias. No primeiro caso, os juros calculados com a taxa diária são chamados juros comerciais, comuns ou ordinários. No segundo caso, juros exatos.
Por convenção, usam-se sempre os juros comerciais, a não ser quando é explícito o contrário.
Exemplo: Calcular os juros comerciais e os juros exatos produzidos por um capital de R$500.000,00, aplicado à taxa de 270%a.a., durante 25 dias.
Solução: 	Juros Comerciais:	J = Cin		J = 500.000 x 2,7/360 x 25 = 93.750
		Juros Exatos;		J = Cin		J = 500.000 x 2,7/365 x 25 = 92.465,75
2.3.1. Tempo Exato e Tempo Aproximado: Quando se quer calcular os juros de um capital aplicado e se conhecem as datas de aplicação e resgate, o tempo decorrido entre essas datas também pode ser contado de duas maneiras: tempo exato quanto se considera o número exato de dias contados no calendário e tempo aproximado quando se considera qualquer mês como tendo 30 dias.
Por convenção, sempre que são dadas duas datas, calcula-se o tempo exato e, nos demais casos, o tempo aproximado.
Exemplo: Calcular o tempo exato e aproximado entre 12 de dezembro de 1987 e 20 de fevereiro de 1988.
Solução:	Tempo exato: 19 dias (dez) + 31 dias (jan) + 20 dias (fev) = 70 dias
		Tempo aproximado: 18 + 30 + 20 = 68 dias
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
Um cliente fez 03 aplicações financeiras em instituições diferentes. Calcular o montante de cada uma delas, a juros simples, considerando os dados abaixo:
	
	Instituição 01
	Instituição 02
	Instituição 03
	Valor Aplicado – R$
	485.000,00
	500.000,00
	378.500,00
	Prazo
	62 dias
	36 dias
	120 dias
	Taxa
	23% a.m.
	18% a.m.
	21% a.m.
Resposta: R$715.536,67 ; R$608.000,00 ; R$696.440,00.
Uma aplicação financeira no valor de R$125.000,00, aplicado durante 9 meses, rendeu juros de R$33.750,00. Qual foi a taxa anual da aplicação?
Resposta: 36% a.a.
Um certo capital aplicado durante 15 meses, gerou um montante de R$120.340,00. Sabendo-se que a taxa da aplicação foi de 14% a.a., qual o valor do capital investido?
Resposta: R$102.417,02
A que taxa anual de juros um certo capital aplicado durante 7 meses rende juros igual a 1/5 do seu valor?
Resposta: 34,29% a.a.
Uma aplicação no valor de R$150.000,00 foi resgatada por R$166.875,00 à taxa de 4,5% ao mês. Qual o prazo da aplicação financeira?
Resposta: 2,5 meses.
Calcular os juros de R$10.000,00, aplicados a 120%a.a., de 15 de junho a 15 de setembro do mesmo ano, considerando:
Juros comerciais e tempo exato;
Juros comerciais e tempo aproximado;
Juros exatos e tempo exato;
Juros exatos e tempo aproximado.
Respostas: R$3.066,67 / R$3.000,00 / R$3.024,66 / R$2.958,90.
3. DESCONTOS
3.1. Definição
Considere a seguinte hipótese: um devedor que resgatar hoje um título de crédito no valor nominal N que vende, por exemplo, daqui 6 meses. É natural que o devedor receba um abatimento, considerando o fato de estar liquidando a dívida antecipadamente. Esse abatimento é chamado de DESCONTO.
Portanto, o Desconto é a diferença entre o valor de resgate (valor nominal, futuro ou de face) de um título de crédito e seu valor atual (valor na data em que está sendo pago).
3.2. Tipos de Descontos
Desconto Comercial (por fora): É o desconto calculado sobre o valor nominal do título. É amplamente utilizado no Brasil. Sempre que dissermos desconto simples, estaremos nos referindo ao desconto comercial ou por fora. O desconto simples é obtido através da seguinte expressão matemática: 
Dc = Nin		onde: 	Dc 	= Valor do Desconto
				N 	= Valor Nominal, Futuro, de Face ou de Resgate
				i	= Taxa de desconto
n	= Prazo do desconto (período entre a realização da operação de desconto e o vencimento original do título).
Pela definição de desconto, temos:		Dc = N – V		onde: V = Valor atual		
						Nin = N – V
						V = N – Nin
						V = N (1 – in)
Exemplos:
Uma duplicata no valor de R$45.000,00 é descontada por um banco, 38 dias antes do seu vencimento. Sabendo-se que a taxa da operação foi 3,2% a.m., qual o valor recebido pelo cliente?
Dados: 	N = R$45.000,00		Solução:	V = N (1 – in)
		n = 38 dias					V = 45.000,00 (1 – 0,00106667 x 38)
		i = 3,2% a.m. 					V = 42.176,00
		V = ?
Obs: Foi necessário que se fizesse a transformação da taxa (dada ao mês) para diária (3,2 / 30), para que se obtivesse a coerência com o prazo (dado em dias). Poderia, também, ter sido transformado o prazo de dias para mês. No Desconto Comercial, assim como na capitalização simples, pode-se alterar qualquer um dos dois.
Foi descontada uma duplicata no valor de R$78.300,00 à taxa de 2,9% a.m. Como o cliente recebeu a importância de R$74.364,12, qual o prazo da operação de desconto?
Dados: 	N = 78.300,00			Solução:	V = N (1 – in)
		i = 2,9% a.m.					74.364,12 = 78.300,00 (1 – 0,029 x n)
		V = 74.364,12					74.364,12 / 78.300,00 = 1 – 0,029n
								n = 1,73333 meses ou 52 dias.
Desconto Racional (por dentro): É o desconto calculado sobre o valor atual do título. Praticamente inexiste em termos de aplicação prática. O desconto racional é obtido pela expressão matemática:				onde:
N	= Valor nominal, Futuro, de Face ou de Resgate
n	= Número de períodos antes do vencimento
i	= Taxa de desconto
Dr	= Valor do desconto.
Por definição: Dr = N – V	portanto, 	 Nin__ = N – V	ou:
 1 + in
Obs: em juros simples, o valor descontado é o próprio valor atual.
Exemplo: Uma pessoa pretende saldar um título de R$5.500,00, 3 meses antes do seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40%a.a., qual o desconto e quanto vai obter?
Dados: 	N = 5.500,00		Solução: 	Dr = Nin / (1 + in) 	
n = 3 meses				Dr = 5.500,00 x 0,03333 x 3 / (1 + 0,03333 x 3)
i = 40% a.a.				Dr = 500,00
		Dr = ?					V = N – Dr
		V = ?					V = 5.500,00 – 500,00 
							V = 5.000,00
		
Obs: R$5.000,00 é o próprio valor atual do compromisso. De fato, nos próximos 3 meses e a taxa de 40% a.a., a aplicação de R$5.000,00 iria render:
	J = Cin
	J = 5.000,00 x (0,40/12) x 3 = R$500,00
Observe que R$500,00 é o valor dos juros que a pessoa deixa de receber (ou de pagar) por saldar o compromisso antes do vencimento. Em forma literal: Dr = J.
Conclusão: No regime de juros simples, o desconto racional aplicado ao valor nominal é igual ao juro devido sobre o capital (valor descontado) desde que ambos sejam calculados à mesma taxa. Ou seja, a taxa de juros da operação é também a taxa de desconto.
Desconto Bancário: Corresponde ao desconto comercial acrescido de uma taxa prefixada, cobrada
sobre o valor nominal.
Esta taxa de despesas bancárias é referida freqüentemente como sendo as despesas administrativas do banco ou instituição que faz a operação. O desconto bancário pode ser entendido como uma extensão do desconto comercial. Db = N (in + h) , onde:
Db	= desconto bancário			h = taxa de despesas administrativas
N 	= valor nominal			n = número de períodos antes do vencimento
i	= taxa de desconto
Por definição: V = N – Db		portanto:V = N - N (in + h) 	ou: V = N (1 – (in + h) (
Exemplo: Um título de R$5.500,00 foi descontado no Banco X, que cobra 2% como despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi descontado 3 meses antes de seu vencimento e que a taxa corrente em desconto comercial é de 40% a.a., qual o desconto bancário? Quanto recebeu o proprietário do título?
Desconto bancário:	Db = 5.500 (0,40/12 x 3 + 0,02)
Db = 5.500 (0,10 + 0,02)
Db = 5.500 x 0,12		Db = 660,00
 
 Valor descontado bancário:	V = N - Db
V = 5.500,00 – 660,00
Vb = 4.840,00
Compare-se este valor que o proprietário recebeu ao descontar seu título 3 meses antes com aquele obtido via desconto racional (R$5.000,00) e via desconto comercial (R$4.950,00). Mais uma vez notamos que a taxa de desconto não corresponde à taxa implícita na operação:
i = __660,00__	= 0,1364 a.t. ou 0,5456 a.a.
 4.840,00
É preciso, portanto, no caso dos descontos comercial e bancário, calcular a taxa que realmente está sendo cobrada na operação (taxa de juros efetiva).
	EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Um título de crédito no valor de R$12.800,00 foi descontado pelo prazo de 62 dias, à taxa de 4%a.m. Qual o valor do desconto? Qual o valor que o cliente recebeu?
Resposta: R$1.058,13	 ; R$11.741,87.
Uma nota promissória no valor de R$155.000,00 foi descontada à taxa de 3,8% a.m. pelo prazo de 23 dias. Qual o valor recebido pelo cliente?
Resposta: R$150.484,33.
Uma duplicata de R$78.900,00 foi descontada à taxa de 4,1%a.m. gerando um crédito para o cliente de R$72.969,35. Qual o prazo da operação de desconto?
Resposta: 55 dias.
O desconto de 4 duplicatas de R$8.700,00 cada, com prazos de 15, 30, 45 e 60 dias, gerou um valor atual global de R$32.625,00. Qual a taxa cobrada na operação?
Resposta: 5,0% a.m. 
Uma nota promissória de R$250.000,00 que vencerá com 3 meses, vai ser substituída por uma duplicata que vence em 5 meses. A operação de substituição vai ser feita considerando-se a taxa de 3,8% a.m. para os dois títulos. Qual o valor nominal do segundo título?
Resposta: R$273.456,79.
Uma dívida de R$12.000,00 será saldada 4 meses antes de seu vencimento. Que desconto racional será obtido, se a taxa de juros contratada for de 27% a.a.?
Resposta: R$990,83.
Por quanto posso comprar um título com vencimento daqui a 6 meses se seu valor nominal for de R$20.000,00 e eu quiser ganhar 30% ao ano?
Resposta: R$17.391,30.
Um título de valor nominal R$5.300,00 foi descontado à taxa de 18% a.a. Sabendo-se que o desconto racional foi de R$300,00, quanto tempo antes do vencimento efetuou-se o resgate?
Resposta: 4 meses.
Uma Nota Promissória de valor nominal R$8.856,00, com vencimento em 4 meses, foi comprada por R$8.200,00. Qual é a taxa de desconto racional exigida pelo comprador?
Resposta: 2% a.m.
O desconto racional de um título, vencendo a 216 dias, é igual a R$1.437,50. Qual seria seu valor nominal se a taxa de juros adotada fosse de 30% a.a.?
Resposta: R$9.423,61.
Uma empresa retira do Banco Alfa um empréstimo por 3 meses no valor de R$500.000,00. Se a taxa de juros for de 26% a.a. e, além disso, o banco cobrar 1% a título de despesas administrativas, qual será o desconto bancário?
Resposta: R$37.500,00
No financiamento de R$15.000,00, pelo prazo de 6 meses, o cliente recebeu o valor líquido de R$12.525,00. Se a taxa de juros for fixada em 27% a.a., existirá taxa de serviço cobrada no desconto bancário?
Resposta: Sim, de 3%.
Uma Nota Promissória no valor nominal de R$16.800,00 foi descontada em um banco que cobra 1% de taxa de serviço. O valor descontado bancário recebido foi de R$15.000,00, uma vez que a taxa de juros considerada fora de 33% a.a. Com base nestas informações, pergunta-se: Qual foi o prazo de antecipação do resgate?
Resposta: 0,29437 anos ou 106 dias.
Em um banco, com taxa de serviço de 2%, foi descontado no dia 05/03/75 um título de valor nominal R$10.000,00, com vencimento em 13/06/75. Se o valor descontado bancário fosse de R$9.100,00, qual seria a taxa de juros corrente adotada?
Resposta: 25,2% a.a.
JUROS COMPOSTOS
No regime de juros compostos, o juro gerado pela aplicação será incorporado à mesma passando a participar da geração de juros no período seguinte. Dizemos então que os juros são capitalizados, e como não só o capital inicial rende juros mas estes são devidos também sobre os juros formados anteriormente, temos o nome de juros compostos.
4.1. Cálculo do Montante
O cálculo do Montante pode ser feito facilmente passo a passo, desde que se utilize em cada período o montante do período anterior. Tal modo de calcular pode ser utilizado eficientemente quando se tem o recurso de máquinas de calcular.
Entretanto, pode-se obter a fórmula do montante generalizando-se este raciocínio. M = C (1 + i)n
Nesta fórmula, a taxa de juros i refere-se à medida de tempo utilizada para os n períodos e, além disto, deve ser expressa na forma unitária porque estamos operando algebricamente. Deve-se observar que a fórmula exprime o montante, ao fim de n períodos, como uma função exponencial do capital inicial aplicado.
Exemplo: Uma pessoa toma R$1.000,00 emprestado a juros de 2% a.m. pelo prazo de 10 meses com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido?
Dados: Co = 1.000		i = 2% a.m.		n = 10 meses
Substituindo na fórmula: 	M = Co (1 + i)10
				M = 1.000 (1 + 0,02)10
				M = 1.000 (1,02)10
				M = 1.000 (1,218994)
				M = R$1.218,99
4.2. Cálculo do Juro
Sabemos que o montante é igual à soma do capital ( C ) aos juros que a aplicação rende, no prazo considerado e à taxa de juros estipulada.
Temos: 	J = M – C
		J = C (1 + i)n – C
		J = C ((1 + i)n - 1(
A separação entre juros e principal apresenta aspectos práticos importantes, por exemplo, nos abatimentos fiscais que os juros geram para as pessoas físicas e jurídicas.
Exemplo: Qual o juro pago no caso do empréstimo de R$1.000,00 à taxa de juros compostos de 2% a.m. pelo prazo de 10 meses?
Dados:		Co = 1.000		i = 2% a.m.		n = 10
Substituindo na fórmula:	J = 1000 ((1 + 0,02)10 - 1(
				J = 1000 ((1,02)10 - 1(
				J = 1000 (1,21899 – 1 (
				J = 1000 (0,21899(
				J = R$218,99
Obs:
A expressão (1 + i )n é chamada de Fator de Capitalização ou Fator de Acumulação de Capital para Pagamento único ou Simples.
Deve-se estar sempre atento para o fato de que a taxa i e o prazo n deverão estar sempre se referindo ao mesmo tempo, e que a taxa deverá estar na forma unitária quando utilizarmos as expressões matemáticas para resolução dos problemas.
4.3. Cálculos através de Tabelas Financeiras
Fator de Acumulação de Capital – FPS: É um número que, multiplicado pelo principal P (capital), fornecerá o valor futuro desse mesmo P, para uma dada taxa i e prazo n. De acordo com o que foi visto acima, o FPS (i , n) = (1 + i )n , então: M = C x FPS (i , n).
Exemplo: Calcular o montante da aplicação financeira de R$12.500,00 pelo prazo de 7 meses, à taxa de 3,5% a.m.
Dados: 	C = 12.500,00		Solução: 	M = C x FPS (i , n)	
n = 7 meses				M = 12.500,00 x FPS (3,5% ; 7)
i = 3,5% a.m. 	Consultando a tabela financeira do final da apostila FPS (3,5% ; 7) = 1,27228, teremos:
	M = 12.500,00 x 1,27228
	M = 15.903,50
Fator de Valor Atual – FSP: É um número que, multiplicado pelo montante S, fornecerá o valor presente (ou valor atual) desse mesmo S, para uma dada taxa i e prazo n. O FSP é o
inverso do FPS, ou seja, FSP ( i ; n) = 1 / (1 + i)n. Assim sendo, teremos: C = M x FSP (i,n).
Exemplo: Uma aplicação financeira foi resgatada por R$110.530,00. Sabendo-se que a sua taxa foi de 2,5% a.m. e que o prazo foi de 5 meses, determinar o valor aplicado.
Dados: 	M = 110.530,00	Solução: 	C = M x FSP (i , n)	
n = 5 meses				C = 110.530,00 x FSP (2,5% ; 5)
i = 2,5% a.m. 	Consultando a tabela financeira do final da apostila FSP (2,5% ; 5) = 0,88385, teremos:
	C = 110.530,00 x 0,88385
	C = 97.691,94
4.4. Cálculos através da Calculadora Financeira (HP 12C)
Para trabalharmos com a Calculadora HP 12C precisamos, antes de tudo, conhecer algumas de suas funções básicas.
Para saber se sua calculadora está com suas funções em ordem, siga as seqüências:
Com a calculadora desligada, execute: 	x (segure) ON (liga) x (solte) – No visor aparecerá running e depois –8,8,8,8,8,8,8,8,8,8 com todos os flags (indicadores) ligados.
Com a calculadora desligada, execute:	÷ (divide) (segure) ON (solte) ÷ (divide) - Aperte em seguida todas as teclas em seqüência: n i PV PMT etc. Ao final, deve aparecer o número 12 no visor.
Relacionamos abaixo, as principais funções da HP-12C e as teclas que devem ser usadas no seu processamento.
Ligar e desligar a calculadora: Pressionar a tecla ON.
Limpar visor: Pressionar a tecla CLX.
Apagar programa: Pressionar, uma após a outra, as teclas f e R/S – a máquina vai para o modo de programação – e depois, pressionar, uma após a outra, as teclas f e R( - resulta no acesso à função CLEAR PRGM.
Limpar teclas financeiras: Pressionar, uma após a outra, as teclas f e X><Y – resulta no acesso à função CLEAR FIN.
Limpar teclas estatísticas: Pressionar, uma após a outra, as teclas f e SST – resulta no acesso à função CLEAR (.
Limpar todas as memórias: Pressione -(segure) ON (segure) e depois solte as duas.
Casas decimais: Pressionar a tecla f e o número de casas decimais que se deseja apresentar no visor. Exemplo: para que o visor apresente sempre 4 casas decimais teclar f4.Importante: o número de casas decimais apresentado no visor não altera a precisão da calculadora, isto é, ela calcula não com o número apresentado, mas com o número real com todas as casas decimais.
Trocar sinal do número do visor: Coloque um número no visor e aperte CHS (change sign).
A HP-12C usa a Notação Polonesa Invertida para efetuar as operações. Enquanto que , para somar nas outras calculadoras, se faz 3 + 2 =, para efetuar essa soma na 12C se faz 3 ENTER 2 +. Por esta razão não é necessário haver a tecla (=).
A HP-12C possui 3 teclas de percentual, que facilitam muito os cálculos, principalmente nas operações de juros simples. 
Percentual : % 		Esta tecla calcula o percentual de um número. Entramos com o número e o percentual a ser calculado e temos como resposta o valor correspondente a este percentual. Exemplo: calcular 15% de 123: digitamos 123 ENTER 15 %, no visor aparecerá 18,45.
Variação Percentual: ∆%	Utilizada no cálculo de variação percentual entre dois números. Exemplo: Meu salário passou de R$2.200,00 para R$2.275,00. Qual foi a variação percentual? Digitamos 2200 ENTER 2275 ∆%, no visor aparecerá 3,41.
Percentual sobre o Total: %T	Utilizada no cálculo do percentual de participação de um determinado valor sobre o total. Exemplo: Comprei R$5,00 de tomates na feira e meu gasto total foi de R$17,00. Qual foi o gasto percentual com tomates? Digitamos 17 ENTER 5 %T, no visor aparecerá 29,41.
A HP-12C possui recursos que permitem ao usuário calcular prazos e datas. A entrada de dados pode ser feita no formato americano (M.DY) ou europeu (D.MA) que é usado no Brasil. Para mudar esse formato usamos as teclas g 4/D.MY ou g 5/M.DY.Quando fixado o padrão europeu aparecerá na superfície inferior do visor as letras D.MY, sendo que a fixação do formato americano não é informada pela calculadora, por ser seu padrão original.
Cálculo de prazos entre datas: Para calcular o número de dias entre duas datas usamos a tecla g EEX, que contém a função ∆ DYS.
Exemplo: calcular o número de dias entre 07/04/96 e 18/06/97: Digitamos g 4/D,MY 07.041996 ENTER 18.061997 g EEX, no visor aparecerá o resultado 437, digitamos X><Y e temos 431(*).
OBS: Ao teclar X><Y a calculadora apresenta o prazo baseado no conceito de prazo comercial, isto é, meses de 30 dias e ano de 360 dias.
Cálculo de data: No cálculo de uma determinada data usamos a tecla g CHS, que contém a função DATE.
Exemplo: calcular a data de vencimento de uma operação de empréstimo de 45 dias que começa no dia 14/07/97. Digitamos: g 4/D.MY 14.071997 ENTER 45 g CHS, no visor aparecerá o resultado 28.08.1997 4.
OBS: O número 4 que aparece após a data indica o dia da semana. Os dias da semana são: 1(Segunda), 2 (Terça), 3(Quarta), 4(Quinta), 5(Sexta), 6(Sábado) e 7(Domingo).
Antes de começar a operar sua calculadora HP-12C para cálculos financeiros, você deverá posicioná-la adequadamente. 
As calculadoras financeiras normalmente estão programadas para resolver os problemas de séries de pagamentos iguais e “periódicas”, ou seja, os intervalos de tempo entre os pagamentos são iguais. A HP-12C está programada para resolver casos em que o intervalo de tempo entre a data do contrato e a do vencimento da primeira prestação não coincidem com o intervalo de tempo entre as demais, isto é, a série é periódica somente a partir do vencimento da primeira prestação. A fração de tempo a maior, ou a menor, em relação ao período unitário é denominada de “período singular”. Para a solução correta do problema devem-se pressionar as teclas STO EEX , o que fará aparecer no visor, embaixo á direita, a letra “C”. Essa indicação significa que os juros correspondentes à fração do período unitário (mês, trimestre, ano, etc) também serão calculados de acordo com o regime de capitalização composta. Se a letra “C” não estiver no visor, os juros correspondentes à fração serão calculados com base na capitalização simples.
Se os pagamentos forem antecipados, você pressionará as teclas g BEG , o que fará aparecer no visor a expressão BEGIN, que significa “início”, ou seja, pagamentos feitos no início do período. Se, ao contrário, os pagamentos forem postecipados, você nada fará, se no visor não estiver gravada a expressão BEGIN, o que indica que a calculadora resolverá o problema, considerando pagamentos postecipados; se no visor estiver gravado BEGIN, basta pressionar g END (END = fim), que significa pagamentos feitos no fim de cada período) para que essa expressão seja apagada.
As principais teclas financeiras são:
PV		- Valor do Capital dou Valor Presente (do inglês Present Value): esta tecla armazena e calcula o valor do Capital Inicial de uma operação.
FV		- Montante ou Valor Futuro (Future Value): nesta tecla é armazenado e calculado o Valor de Resgate de uma operação.
i		- Taxa de juros, no formato percentual, ou seja, 15% deve ser digitado como 15 e não como 0,15: esta tecla armazena e calcula o valor da Taxa de Juros de uma operação.
n		- Prazo: nesta tecla é armazenado e calculado o valor do prazo de uma operação.
PMT	- Valor de Prestação ou pagamento parcelado (Payment): aqui é calculado e armazenado o valor de prestações de uma série de pagamento uniforme.
Utilizamos estas teclas quando em um problema de Matemática Financeira temos 3 variáveis e queremos calcular a quarta. Através das funções financeiras explicitadas podem ser resolvidos, no regime de capitalização composta, quaisquer problemas financeiros que impliquem em um só pagamento ou uma série de pagamentos iguais. Os valores dos pagamentos, ou recebimentos, introduzidos na calculadora devem estar de acordo com a convenção de sinais estabelecida para fluxos de caixa, ou seja, sinal + para as entradas e sinal – para as saídas.
A HP-12C usa a convenção do fluxo de caixa para apresentar os resultados. Sendo o valor presente positivo (uma entrada de caixa), o valor futuro
será negativo (uma saída de caixa) para que a operação tenha sentido.
OBS: Quando o prazo é a incógnita do problema, a HP-12C vai mostrar sempre, no visor, um número inteiro, que pode ser o prazo exato ou o prazo arredondado para mais. Nos casos de arredondamento, há dois caminhos para solucioná-los. O primeiro, seria trabalhar com taxas para períodos menores, equivalente à taxa dada, calculadas em regime de capitalização composta e o segundo, seria o usuário introduzir um programa específico para esse caso. Mais adiante esclareceremos as dúvidas com relação a conversão de taxas.
Exemplo: 
Calcular o valor de resgate de um CDB (Certificado de Depósito Bancário) no valor de R$4.000,00 aplicado a uma taxa de 5% ao mês pelo período de 3 meses.
	DIGITAMOS
	VISOR
	DIGITAMOS
	VISOR
	 f CLEAR FIN
	0,00
	i
	5,00
	4000
	4.000,
	3
	3,
	CHS
	- 4.000,00
	n
	3,00
	PV
	4.000,00
	FV
	running
	5
	5,
	
	-4.630,50
Um empréstimo foi contratado para ser pago por R$152.935,20 num prazo de 18 meses. Sabendo-se que a taxa foi de 4,25% a.m., qual o valor principal do empréstimo?
Dados: 	FV = R$152.935,20		Solução:	152.935,20 CHS FV
		n = 18 meses					18 n
		i = 4,25% a.m.					4,25 i
		PV = ?						PV 	= 72.300,00
Uma operação de crédito de R$62.000,00 será liquidada por R$83.249,54. Sabendo-se que a taxa da operação foi de 4,3% a.m., qual o prazo da operação?
Dados: 	PV = R$62.000,00		Solução:	62.000,00 CHS PV
		FV = R$83.249,54				83.249,54 FV
		i = 4,3% a.m.					4,3 i
		n = ?						n = 7 meses
Qual taxa faz com que um capital de R$7.500,00 seja dobrado em 19 meses?
Dados:		PV = R$7.500,00		Solução:	7.500,00 CHS PV
		FV = R$15.000,00				15.000,00 FV
		n = 19 meses					19 n
		i = ?						i = 3,716% a.m.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Qual o montante resultante de uma aplicação de R$34.000,00 pelo prazo de 9 meses à taxa de 4,5% a.m.?
Resposta: R$50.527,23
Qual o prazo de uma aplicação de R$50.000,00 que foi resgatada por R$57.113,22, sabendo-se que a taxa foi de 3,0% a.m.?
Resposta: 4,5 meses.
Qual o valor presente de um empréstimo cujo valor no vencimento será de R$237.537,26, sabendo-se que faltam 4 meses para seu vencimento e que a taxa contratada foi de 3,5% a.m.?
Resposta: R$207.000,00.
Sabendo-se que você tem a opção de aplicar a quantia de R$8.500,00 pelo prazo de 2,5 anos, qual a melhor das alternativas: 2,9% a.m. no regime de capitalização composta; ou 4,5% no regime de capitalização simples?
Resposta: aplicar a 2,9% no regime de capitalização composta.
Qual a taxa cobrada em um empréstimo de R$1.400.000,00 que foi liquidado por R$1.686.998,91, num prazo de 5 meses?
Resposta: 3,8% a.m.
Um veículo importado está sendo oferecido por R$58.000,00 à vista ou R$17.400,00 de entrada e mais uma parcela de R$48.350,00, no final de 3 meses. Suponha que o mercado financeiro esteja pagando taxa líquida de 2,0% a.m. Escolher a melhor alternativa para um potencial comprador que tenha condições de comprá-lo à vista.
Resposta: Comprar à vista é a melhor alternativa.
Um investidor aplicou a quantia de R$100.000,00 à taxa de juros compostos de 10% a.m. Que montante este capital irá gerar após 4 meses?
Resposta: R$146.410,00
Se você depositar R$150.000,00 em um banco que lhe pague juros compostos de 6% a.a., quais serão, respectivamente, os juros e o montante após 1 ano?
Resposta: R$9.000,00 e R$159.000,00.
Numa financeira, os juros são capitalizados trimestralmente. Quanto renderá de juros, ali, um capital de R$145.000,00 em um ano, a uma taxa de 40% ao trimestre?
Resposta: R$412.032,00.
Se aplicarmos R$25.000,00 a juros compostos, rendendo 7% a cada bimestre, quanto teremos após 3 anos?
Resposta: R$84.498,31.
TAXAS DE JUROS
 Introdução
Em termos práticos este assunto se torna um pouco confuso, já que existem vários tipos de taxas de juros e que muitas vezes não se observa uma uniformidade nos conceitos adotados pelos profissionais do mercado financeiro brasileiro, dificultando, sobremaneira, o entendimento por parte daqueles que não estão no dia a dia do sistema.
A experiência mostra que a freqüente utilização das diversas taxas de juros é a melhor forma de se compreender as sutilezas que as diferenciam.
 Taxas Proporcionais
Nada mais são do que as taxas do regime de capitalização simples. Duas taxas são ditas proporcinais se, e somente se, produzirem, no regime de capitalização simples, um mesmo montante no final de um mesmo prazo, a partir de um mesmo capital inicial.
Exemplo: A taxa de 12% a.a. é proporcional a:
		6,0% ao semestre, pois 12% / 2 = 6%
		3,0% ao trimestre, pois 12% / 4 = 3%
		1,0% ao mês, pois 12% / 12 = 1%
Obs:
No dia a dia do mercado financeiro, em muitas situações, a taxa proporcional é também chamada de nominal ou linear.
No regime de juros simples, toda taxa proporcional é também equivalente, o que não acontece no regime de juros compostos.
 Taxas Equivalentes
Duas taxas são ditas equivalentes se, e somente se, produzirem, no regime de capitalização composta, um mesmo montante ao final de um mesmo prazo, a partir de um mesmo capital inicial. A fórmula genérica para encontrarmos a taxa equivalente é: iq = { ( 1 + it )nq / nt } – 1 onde: 
iq = Taxa no prazo em que se quer calcular.
it = Taxa que se tem, a partir da qual será calculada a equivalente.
nq = Prazo em que se quer a nova taxa.
nt = Prazo da taxa que se tem.
No dia a dia do mercado financeiro, essas taxas são chamadas de efetivas, já que são elas que de fato são utilizadas nos cálculos envolvendo juros compostos.
Exemplos:
Qual a taxa anual equivalente a 0,5% a.m.?
Dados: 	it = 0,5% a.m.			Solução:	iq = { (1 + it )nq / nt } –1
		nt = 1 mês ou 30 dias				iq = {( 1 + 0,005 )12 / 1 } – 1
		iq = 12 meses ou 360 dias			iq = { (1,005)12} – 1
		iq = ?						iq = 1,0617 – 1
								iq = 0,0617 ou 6,17% a.a.
Qual a taxa trimestral equivalente a 12% a.a.?
Dados: 	it = 12,0% a.a.			Solução:	iq = { (1 + it )nq / nt } –1
		nt = 12 meses ou 360 dias			iq = {( 1 + 0,12 )3 / 12 } – 1
		iq = 3 meses ou 90 dias			iq = { (1,12)0,25} – 1
		iq = ?						iq = 1,0287 – 1
								iq = 0,0287 ou 2,87% a.t.
Um cliente foi a um banco comercial para fazer uma aplicação em CDB. O gerente informou que a taxa efetiva era de 20% a.a. O cliente aplicou R$85.000,00 pelo prazo de 62 dias. Sabendo-se que o IR (hipotético) é de 10% (calculados sobre os juros brutos), calcular:
1 – A taxa de juros mensal;
2 – A taxa de juros no período da aplicação;
3 – O valor de resgate bruto;
4 – O valor do IR; (hipotético)
5 – O valor do resgate líquido.
Dados:		C = 85.000,00		Solução:	iq = { (1 + it )nq / nt } –1
		n = 62 dias				iq = {( 1 + 0,20 )1 / 12 } – 1
		i = 20% a.a.				iq = { (1,20)0,083333} – 1
		iIR = 10% 				iq = 1,015309 – 1
		i = ? % em 62 dias			iq = 0,015309 ou 1,5309% a.m. 	(Resp.1)
		RB = ?					iq = {( 1 + 0,20 )62 / 360 } – 1
		IR = ?					iq = { (1,20)0,172222} – 1
		RL = ?					iq = 1,031898 – 1
							iq = 3,1898% em 62 dias	 	(Resp.2)
							RB = C (1 + Taxa no período)
							RB = 85.000,00 x 1,031898
							RB = 87.711,33			(Resp.3)
							IR = (RB – C) x 10%
							IR = (87.711,33 – 85.000,00) x 10%
							IR = 271,13				(Resp.4)
							RL = RB – IR
							RL = 87.711,33 – 271,13
							RL = 87.440,20			(Resp.5)
Cálculo de Taxas Equivalentes na HP 12C
No regime de capitalização composto a taxa de juros não varia linearmente em função do tempo, como acontece no regime simples. Por exemplo: no regime simples a taxa anual equivalente a uma taxa mensal de 1,5% é de 18%, já no regime composto a taxa anual é de 19,562%.
Abaixo demonstramos como determinar taxas equivalentes no regime de capitalização composto:
	Diária para mensal
	taxa diária ENTER 100 ÷ 1 + 30 Yx
1 – 100 X
	Diária para anual
	Taxa diária ENTER 100 ÷ 1 + 360 Yx 1 – 100 X
	Mensal para diária
	Taxa mensal ENTER 100 ÷ 1 + 30 1/x Yx 1 – 100 X
	Mensal para anual
	Taxa mensal ENTER 100 ÷ 1 + 12 Yx 1 – 100 X
	Anual para diária
	Taxa anual ENTER 100 ÷ 1 + 360 1/x Yx 1 – 100 X
	Anual para mensal
	Taxa anual ENTER 100 ÷ 1 + 12 1/x Yx 1 – 100 X
Exemplos:	a) 25% a.a. Determinar taxa equivalente mensal.
25 ENTER 100 ÷ 1 + 12 1/x Yx 1 - 100 x 
= 1,8769%a.m.
b) 2%a.m. Determinar a taxa equivalente anual.
2 ENTER 100 ÷ 1 + 12 Yx 1 - 100 x
= 26,824%a.a.
 Taxa Nominal e Taxa Efetiva
A taxa de juros contratada numa operação financeira chama-se Taxa Nominal. Essa taxa nem sempre é igual à Taxa Efetiva que é a taxa de rendimento que a operação financeira proporciona efetivamente. Isso acontece em razão de existirem obrigações, taxas, impostos ou comissões que comprometem os rendimentos ou oneram os pagamentos de juros. Critérios diferentes para cálculo de juros também fazem a taxa nominal diferir da efetiva, como, por exemplo, juros cobrados antecipadamente ou calculados sobre um total que na realidade é pago em parcelas. Esses e outros artifícios às vezes são usados conscientemente para mascarar a taxa efetiva e fazer os juros parecerem maiores ou menores conforme a conveniência.
Além disso, no regime de juros compostos é costume indicar uma taxa para um período com capitalizações em período distinto. Assim, é comum falar em taxa de 60% a.a. capitalizada trimestralmente ou taxa de 100% a.s. capitalizada mensalmente, e assim por diante. Essa forma de expressar a taxa, largamente utilizada no mercado financeiro, também é responsável por divergências entre as taxas nominal e efetiva. Convencionou-se, então, que, quanto o período mencionado na taxa não corresponde ao período de capitalização, prevalece este último, devendo-se tomar a taxa proporcional correspondente como taxa efetiva e considerar a taxa dada como nominal.
Exemplos:
Um capitalista depositou R$200.000,00 num banco por dois meses, à taxa de 12%a.m. Sabendo que, sobre os juros, incide uma taxa de 30% de Imposto de Renda, determinar:
O valor dos juros.
O Imposto de Renda
O valor líquido de resgate
A taxa efetiva mensal de rendimento.
Solução:	1.	200.000 CHS PV 	12 i	2 n	FV = 250.880,00	J = 50.880,00
		2. 	IR = 50.880 x 0,3	IR = 15.264,00
		3.	Resgate Bruto (M) = C + J		M = 250.880,00
		4.	Resgate Líquido= M – IR		RL = 235.616,00 (resgate efetivo)
		5. 	200.000 CHS PV	235.616 FV	2 n	i = 8,54%a.m.
Uma instituição financeira faz empréstimos e cobra 8%a.m. de juros simples que devem ser pagos antecipadamente pelo tomador. Qual a taxa efetiva que o tomador paga por empréstimo de R$50.000,00, por três meses?
Solução: 	J = Cin	 = 50.000 x 0,08 x 3 = 12.000,00 (juro retidos na data do empréstimo).
		Empréstimo efetivo = 50.000 – 12.000 = 38.000,00 (Capital efetivo)
		Pagamento final: 50.000 (Montante efetivo)
		
Taxa efetiva: M = C (1 + in)		50.000 = 38.000 (1 + i.3)
							3i = (50.000 / 38.000) – 1		
							i = 0,3158 / 3 = 0,1053 ou 10,53%a.m.
Um vendedor ambulante oferece, no portão, para uma dona de casa, um objeto pelo preço de R$1.800,00 a vista. Esclarece que, se a compradora quiser, poderá pagar 5% a.m. a mais sobre o preço total para pagar em duas vezes, isto é, poderá pagar R$945,00 no ato da compra e R$945,00 após 30 dias. Qual a taxa mensal efetiva que esse vendedor está cobrando?
Solução: 	Parte financiada: R$1.800,00 – R$945,00 = R$855,00 (C efetivo)
		M = C (i + in)		945 = 855 (1 + i.1)		i = (945/855) – 1 = 0,1053
		A taxa efetiva é de 10,53% a.m.
A Caderneta de Poupança, além da atualização monetária, paga juros de 6% a.a. capitalizados mensalmente.
Qual a taxa nominal de juros pagos pela Caderneta de Poupança?
Qual a taxa efetiva mensal?
Qual a taxa efetiva anual?
Solução: 	1.	6%a.a.
2.	6 / 12 = 0,5%a.m.
		3. 	0,5 enter 100 ( 1 + 12 Yx 1 – 100 x	i = 6,1678%a.a.
 Equivalência de Capitais
No regime de capitalização composta, dois (ou mais) capitais são equivalentes, com uma taxa dada, se seus valores calculados em qualquer data (data focal), com essa taxa, forem iguais.
Exemplo: Um título no valor nominal de R$8.500,00, com vencimento para 5 meses, é trocado por outro de R$7.934,84, com vencimento para 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros corrente de mercado é de 3,5%a.m., pergunta-se se a substituição foi vantajosa.
Solução: Nosso problema é comparar esses dois capitais para verificar se são equivalentes ou não. A equivalência será feita através da taxa de juros. Como os capitais se encontram em instantes diferentes de tempo, devemos considerá-los em uma mesma data focal.
1º) Data focal zero: 8.500 CHS FV	3,5 i	5 n	PV = 7.156,77
2º) Data focal zero: 7.934,84 CHS FV	3,5 i	3 n	PV = 7.156,77
Uma vez que os valores atuais são iguais, considerando a data focal zero e a taxa de 3,5% a.m., dizemos que os dois títulos são equivalentes à taxa de 3,5%a.m. Então, não houve vantagem alguma na substituição dos títulos.
A comparação foi feita na data focal zero, mas a conclusão seria a mesma em qualquer data focal que se escolhesse. 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Calcular as taxas anuais proporcionais a:
i = 3,5% ao mês
i = 6,4% ao trimestre
i = 0,1% ao dia
Resposta: 42% a.a. ; 25,6% a.a. ; 36% a.a.
Calcular as taxas mensais proporcionais a:
i = 34,8% ao ano
i = 32% ao bimestre
i = 15% ao semestre
Resposta: 2,9% a.m. ; 16% a.m. ; 2,5% a.m.
c) Calcular as taxas anuais equivalentes a:
i = 3,5% ao mês
i = 6,4% ao trimestre
i = 0,1% ao dia
Respostas: 51,11% a.a. ; 28,16% a.a. ; 43,31% a.a.
d) Calcular as taxas mensais equivalentes a:
i = 34,8% ao ano
i = 32% ao bimestre
i = 15% ao semestre
Resposta: 2,52% a.m. ; 14,9% a.m. ; 2,35% a.m.
Um cliente foi a um banco comercial para fazer uma aplicação em CDB. O gerente o informou que a taxa efetiva era de 25% a.a. O cliente aplicou R$250.000,00 pelo prazo de 54 dias. Sabendo-se que o IR (hipotético) é de 10% (calculados sobre os juros brutos), calcular:
1 – A taxa de juros mensal;
2 – A taxa de juros no período da aplicação;
3 – O valor de resgate bruto;
4 – O valor do IR (hipotético); e
5 – O valor do resgate líquido.
Respostas: 1,877% a.m. ; 3,404% em 54 dias ; R$258.509,50 ; R$850,95 ; R$257.658,55
Um cliente foi a um banco comercial para fazer uma aplicação em RDB. O gerente o informou que a taxa efetiva era de 18,5% a.a. O cliente aplicou R$50.000,00 pelo prazo de 93 dias. Sabendo-se que o IR (hipotético) é de 10% (calculados sobre os juros brutos), calcular:
1 – A taxa de juros mensal;
2 – A taxa de juros no período da aplicação;
3 – O valor de resgate bruto;
4 – O valor do IR (hipotético);
5 – O valor do resgate líquido.
Respostas: 1,425% a.m. ; 4,483% em 93 dias ; R$52.241,29 ; R$224,13 ; R$52.017,16
Um cliente tomou emprestado a quantia de R$200.000,00, para pagar ao final de 62 dias. A taxa pactuada foi de 64% ao ano. Qual a taxa do período e o valor de resgate da dívida?
Resposta: 8,893% em 62 dias ; R$217.786,46
Qual é o capital que, aplicado a 2,5% am., capitalizados trimestralmente, durante 15 meses, produz o montante de R$50.000,00? Qual a taxa efetiva mensal?
Resposta: R$34.827,93 ; 2,44% am..
João toma emprestado R$1.000,00 e concorda em reembolsar o principal com juros de 3,6% aa. capitalizados semestralmente. Quanto deve ele ao fim de 4 anos? Qual a taxa de juros efetiva anual?
Resposta: R$1,153,41 ; 3,6324% aa. 
Calcular o montante produzido por um capital igual a R$10.000,00, aplicado a uma taxa efetiva de 24%aa., com capitalização trimestral, durante 4 anos e 2 meses.
Resposta: R$24.505,13.
Qual o tempo necessário para que R$12.500,00 produzam R$6.000,00 de juros a 24% ao ano, capitalizados semestralmente?
Resposta:
657 dias ou 1,825 anos.
Qual o capital que aplicado por um período de 2 anos a uma taxa efetiva de 30% aa., capitalizada quadrimestralmente, gera um montante de R$136.000,00?
Resposta: R$80,473,37.
João irá receber R$6.600,00 dentro de um ano, como parte de seus direitos na venda de um barco. Contudo, necessitando de dinheiro, transfere seus direitos a um amigo que os compra, entregando-lhe uma Nota Promissória no valor de R$6.000,00, com vencimento para 6 meses. João fez bom negócio, se a taxa de mercado for de 20%a.a.?
Resposta: Levando-se em conta a taxa de mercado, ele não fez um bom negócio. (PV = 6.024,95).
Uma financeira oferece a um cliente dois títulos, vencendo o primeiro em 1 ano, no valor de R$15.000,00 e o segundo em 1 ano e meio, no valor de R$25.000,00. O cliente aceita a oferta assinando uma Nota Promissório, com vencimento para 6 meses. Sabendo-se que a taxa de juros considerada na operação foi de 30% a.a., qual é o valor da Nota Promissória em seu vencimento?
Resposta: R$32.386,64
RENDAS CERTAS OU ANUIDADES
 Introdução
Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou através de uma sucessão de pagamentos ou de recebimentos.
Quando o objetivo é constituir-se um capital em uma data futura, tem-se um processo de capitalização. Caso contrário, quando se quer pagar uma dívida, tem-se um processo de amortização.
Pode ocorrer também o caso em que se tem o pagamento pelo uso, sem que haja amortização, que é o caso dos aluguéis.
Os valores que constituem a renda são os termos da mesma. O intervalo de tempo entre dois termos chama-se período e a soma dos períodos define a duração da anuidade.
O valor atual de uma anuidade é a soma dos valores atuais dos seus termos, soma esta feita para uma mesma data focal e à mesma taxa de juros. De modo análogo, o montante de uma anuidade é a soma dos montantes de seus termos, considerada uma taxa de juros e uma data focal.
 Classificação das Anuidades
Quanto ao prazo:
Temporárias: quando a duração for limitada
Perpétuas: quando a duração for ilimitada
Quanto ao valor dos termos:
Constante: se todos os termos são iguais
Variável: se os termos não são iguais entre si
Quanto à forma de pagamento ou de recebimento:
Imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do primeiro período.
Postecipadas ou vencidas: se os termos são exigíveis no fim dos períodos.
Antecipadas: se os termos são exigíveis no início dos períodos.
Diferidas: se os termos forem exigíveis a partir de uma data que não seja o primeiro período.
Postecipadas ou vencidas: se os termos são exigíveis no fim dos períodos.
Antecipadas: se os termos são exigíveis no início dos períodos.
Quanto à Periodicidade:
Períodicas: se todos os períodos são iguais.
Não períodicas: se os períodos não são iguais entre si.
 
Obs: 
Este tema será abordado com base na capitalização composta.
As fórmulas relativas a este conteúdo serão apenas apresentadas, pelo fato de suas demonstrações matemáticas fugirem dos propósitos deste trabalho.
As variáveis “i” e “n” devem estar sempre na mesma unidade de tempo.
 Modelo Básico de Anuidade:
Por modelo básico de anuidade entendemos as anuidades que são simultaneamente: temporárias, constantes, imediatas e postecipadas e periódicas.
Cálculo do Valor Atual no modelo básico: 
C = R x FRP (i , n)	
Sendo, o Fator de Valor Atual (FRP) = 		(1 + i)n – 1
							i . (1 + i)n
Exemplo: Calcular o valor do empréstimo concedido por um banco sabendo-se que foi liquidado em 5 parcelas mensais de R$25.540,00, e que a taxa de juros cobrada foi de 5%a.m.
Dados: 	n = 5			Solução: 	C = R x FRP (i , n)
		R = R$25.540,00			C = 25.540 x FRP (5 ; 5)
		i = 5,0% a.m.				C = 25.540,00 x 4,32948 (Tabela Financeira)
		C = ?					C = R$110.574,92
Cálculo com o uso da calculadora HP-12C:		25.540 CHS PMT
n
i
PV	= R$110.574,83
Obs: A diferença em centavos refere-se ao fato de que na Tabela Financeira, o FRP é arredondado, utilizando-se apenas 5 casas após a vírgula. Caso fosse utilizado todas as casas o FRP seria: 4,32947666, então C = R$110.574,83.
Cálculo da Renda a partir do Valor Atual (capital) no Modelo Básico:
R = C x FPR (i ; n)
Sendo, o Fator de Recuperação de Capital (FPR) = 		i . (1 + i)n 
									(1 + i)n -1
Exemplo: Um empréstimo no valor de R$95.000,00 foi contraído para ser pago em 18 parcelas bimestrais. A taxa cobrada foi de 2,835% a.m. Qual o valor das parcelas a serem pagas?
Dados:		C = 95.000,00			Solução:	R = C x FPR (i ; n)
		n = 18 bimestres				R = 95.000 x FPR (5,75% ; 18)
		i = 2,835% a.m.				R = 95.000 x 0,09063
		R = ?						R = 8.609,85
Cálculo com o uso da calculadora HP-12C:		2,835 Enter 100 ( 1 + 2 Yx 1 – 100 x (5,75)	 5,75 i							95.000 CHS PV
							18 n
							PMT		= R$8.609,89
Obs: Neste caso, como a taxa é mensal e as parcelas bimestrais, temos que converter a taxa mensal para bimestral (Taxa equivalente bimestral), conforme foi visto no capítulo anterior.
Cálculo do Montante no Modelo Básico:
M = R x FRS (i ; n)
Sendo, o Fator de Acumulação de Capital (FRS) = 		(1 + i)n - 1 
								 i
Exemplo: Uma aplicação financeira foi feita através de 5 depósitos mensais no valor de R$1.500,00. Sabendo-se que a taxa de juros paga foi de 3,5%a.m., qual o valor resgatado?
Dados:		R = 1.500,00			Solução:	M = R x FRS (i ; n)
		n = 5						M = 1.500 x FRS (3,5% ; 5)
		i = 3,5% a.m.					M = 1.500 x 5,36247
		M = ?						M = 8.043,70
Cálculo com o uso da calculadora HP-12C:	3,5 i							1.500 CHS PMT					5 n
							FV		= R$8.043,70
Cálculo da Renda a partir do Valor Futuro (montante) no Modelo Básico:
R = M x FSR (i ; n)
Sendo, o Fator de Formação de Capital (FSR) = 		____i____ 
									(1 + i)n -1
Exemplo: Uma certa empresa deseja formar um fundo de reserva de R$350.000,00 para ser usado na recuperação de parte de suas instalações. Sabendo-se que este fundo será constituído num prazo de 18 meses e que durante a constituição os recursos serão aplicados a uma taxa de 2,5%a.m., determinar o valor a ser depositado mensalmente.
Dados:		M = 350.000,00			Solução:	R = M x FSR (i ; n)
		n = 18 meses						R = 350.000 x FSR (2,5%;18)
		i = 2,5% a.m.						R = 350.000 x 0,04467
		R = ?							R = 15.634,50
Cálculo com o uso da calculadora HP-12C:		350.000 CHS FV
							18 n
							2,5 i
							PMT		= R$15.634,53
( O conceito de equivalência de capitais é de suma importância para que se entenda o valor do dinheiro no tempo: “Podemos dizer que, um valor na data de hoje, a uma determinada taxa, multiplicado pelo fator que o transformou no valor futuro, é equivalente ao valor obtido através da multiplicação. Portanto, essa quantia na data de hoje, é absolutamente a mesma num data futura, sendo porém expressa num valor maior.” (Ricardo A. Plato e Dorival F. Xavier).
							
 Anuidades Antecipadas:
Estas anuidades são: temporárias, constantes, imediatas e antecipadas, periódicas.
Cálculo do Valor Atual com Anuidades antecipadas: 
C = R x (1 + i) x FRP (i , n)	
Sendo, o Fator de Valor Atual (FRP) = 		(1 + i)n – 1
							i . (1 + i)n
Exemplo: Comprei uma calculadora para pagar em três pagamentos de R$240,00 cada um, sendo o primeiro no ato da compra e os demais em 30 e 60 dias respectivamente. Qual o preço a vista da calculadora se a taxa cobrada pela loja que a vendeu é de 7% a.m.?
Dados: 	n = 3			Solução: 	C = R x (1 + i ) x FRP (i , n)
		R = R$240,00				C = 240 x (1 + 0,5) x FRP (7% ; 3)
		i = 7% a.m.				C = 240 x 1,07 x 2,62432
		C = ?					C = R$673,93
Cálculo com o uso da calculadora HP-12C:		g BEG		(BEGIN)
240 CHS PMT
3 n
7 i
PV	= R$673,92
Cálculo da Renda a partir do Valor Atual (capital) com Anuidades Antecipadas:
R = C ( (1 + i)
x FPR (i ; n)
Sendo, o Fator de Recuperação de Capital (FPR) = 		i . (1 + i)n 
									(1 + i)n -1
Exemplo: Uma compra no valor de R$5.000,00 foi feita para ser paga em 18 parcelas mensais, sendo a primeira no ato da compra. A taxa cobrada foi de 3% a.m. Qual o valor das parcelas a serem pagas?
Dados:		C = 5.000,00			Solução:	R = C ( (1 + i) x FPR (i ; n)
		n = 18 meses					R = 5.000 ( (1 + 0,03) FPR (3%;18)
		i = 3% a.m.					R = 5.000 ( 1,03 x 0,07271
		R = ?						R = 352,96
Cálculo com o uso da calculadora HP-12C:		g BEG		(BEGIN)				5.000 CHS PV
							18 n
							3 i
							PMT		= R$352,95
Cálculo do Montante com Anuidades Antecipadas:
M = R x (1 + i) x FRS (i ; n)
Sendo, o Fator de Acumulação de Capital (FRS) = 		(1 + i)n - 1 
									 i
Exemplo: A fim de constituir uma poupança, uma pessoa depositará mensalmente, a partir de hoje, a quantia de R$1.000,00 em uma instituição financeira que paga juros de 7%a.m. Qual será se montante no fim de um ano?
Dados:		R = 1.000,00			Solução:	M = R x (1 + i) x FRS (i ; n)
		n = 12						M =1.000 x (1 + 0,07) x FRS (7%;12)
		i = 7% a.m.					M = 1.000 x 1,07 x 17,88845 			M = ?						M = 19.140,64
Cálculo com o uso da calculadora HP-12C:	g BEG		(BEGIN)
7 i							1.000 CHS PMT					12 n
							FV		= R$19.140,64
Cálculo da Renda a partir do Valor Futuro (montante) com Anuidades Antecipadas:
R = M ( (1 + i) x FSR (i ; n)
Sendo, o Fator de Formação de Capital (FSR) = 		____i____ 
									(1 + i)n -1
Exemplo: Uma certa empresa deseja formar um fundo de reserva de R$350.000,00 para ser usado na recuperação de parte de suas instalações. Sabendo-se que este fundo será constituído num prazo de 18 meses, sendo o primeiro pagamento na data de hoje, e que durante a constituição os recursos serão aplicados a uma taxa de 2,5%a.m., determinar o valor a ser depositado mensalmente.
Dados:		M = 350.000,00		Solução:	R = M ( (1 + i) x FSR (i ; n)
		n = 18 meses					R=350.000((1+0,025)xFSR(2,5%;18)
		i = 2,5% a.m.					R = 350.000 ( 1,025 x 0,04467
		R = ?						R = 15.253,17
Cálculo com o uso da calculadora HP-12C:	g BEG		(BEGIN)	
350.000 CHS FV
							18 n
							2,5 i
							PMT		= R$15.253,20
Obs:
Quando temos um valor referente a entrada (parcela no ato da compra) diferente do valor das demais parcelas:
Para cálculo da renda: deduzimos o valor da entrada do valor atual para depois calcularmos a renda;
Para cálculo do valor atual: após achar o valor atual da renda dada, acrescentamos o valor da entrada para cálculo do valor atual total.
Para cálculo do montante: achamos o montante dos termos dados como renda e do valor dado como entrada e depois somamos os dois resultados.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Qual o montante ao final de 15 meses proveniente da aplicação de 15 parcelas mensais iguais de R$1.500,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 2,95% a.m.?
Resposta: R$27.796,35
Qual o valor principal de um empréstimo que foi liquidado em 4 parcelas trimestrais de R$4430,47? A taxa de juros cobrada na operação foi de 4,36% ao mês.
Resposta: R$13.000,00
Uma financeira está financiando a compra de veículos novos em 24 parcelas cobrando taxa de 5,2% a.m., sendo necessária uma entrada de 40% do valor do bem. Qual o valor da entrada e da prestação mensal de um veículo de R$23.000,00 financiado nestas condições?
Resposta: R$9.200,00 ; R$1.019,64.
Sabendo-se que o montante de R$8.522,56 foi gerado pela aplicação de 8 parcelas mensais à taxa de juros de 1,8% a.m., qual o valor das parcelas mensais?
Resposta: R$1.000,00.
Um investidor deposita a quantia de R$50.000,00 para ser sacado mensalmente durante 5 anos. Calcular o valor dos saques mensais, sabendo-se que a taxa de juros é de 1,2% a.m.
Resposta: R$1.173,80.
Quanto devo aplicar hoje, de uma só vez e à taxa de 1,8% ao mês, para que tenha ao final de 24 meses, o equivalente ao montante constituído por aplicações mensais de R$850,00?
Resposta: R$16.447,10.
Para viabilizar as obras de reforma de um prédio, os condôminos propuseram a constituição de um fundo de reserva pelo prazo de 4 meses. Sabendo-se que o prédio tem 10 apartamentos, que a taxa de juros da aplicação do fundo de reserva será de 2,0%a.m. e que a reforma está orçada em R$12.000,00, determinar o valor mensal que caberá a cada condômino. Considere que não haverá alteração no preço da obra no prazo de 4 meses.
Resposta: R$291,15.
Uma pessoa, preocupada com sua aposentadoria, deseja fazer investimentos mensais de forma a criar um fundo para ser sacado, também mensalmente, após a aposentadoria. Esta pessoa definiu como sendo de 15 anos o tempo de poupança mensal e de 20 anos o tempo de saques mensais. A taxa de juros adotada foi de 0,5% a.m. (juros reais da caderneta de poupança). Qual deve ser o valor dos depósitos mensais se esta pessoa deseja sacar R$2.000,00 por mês? Considere que tanto os valores depositados como os sacados serão corrigidos pelo mesmo indexador da caderneta de poupança.
Resposta: R$959,92.
Uma loja vende um tapete em 12 prestações mensais de R$97,49 ou em 24 prestações mensais de R$61,50. Nos dois casos, o cliente não dará entrada alguma. Sabendo-se que a taxa de juros do crédito pessoal é de R$2,5% a.m., pergunta-se: Qual é o melhor sistema para o comprador?
Resposta: A primeira alternativa é a melhor. 
A loja de confecções Roupa Certa Ltda vende um terno por R$3.000,00. No crediário é exigida uma entrada de 40% do valor da mercadoria e são cobrados juros de 5%a.m. Qual será o valor das prestações, se um cliente optar por 6 prestações mensais?
Resposta: R$354,63.
O preço a vista de um barco é de R$500.000,00. João comprou o barco por R$200.000,00 de entrada mais 12 prestações mensais de R$33.847,62. Qual é a taxa de juros cobrada neste financiamento?
Resposta: 5% a.m.
Um blusão de couro importado, é vendido por R$5.000,00 a vista ou por R$1.000,00 de entrada mais prestações mensais de R$480,97. Sabendo-se que a taxa de juros considerada é de 3,5% a.m., qual é o número de prestações?
Resposta: 10 meses.
O corretor prometeu a um cliente que, se ele efetuasse 12 depósitos trimestrais de R$1.050,00, após o último depósito ele teria R$20.000,00. Que taxa de juros o corretor está oferecendo ao cliente?
Resposta: 8,06% a.t.
Quantos depósitos bimestrais de R$1.000,00 serão necessários para que, se a remuneração foi de 4%a.b., se tenha R$29.778,08?
Resposta: 20 depósitos bimestrais.
Uma dona de casa compra um televisor em cores em 24 prestações de R$630,64, sendo que a primeira prestação é dada como entrada. Sabendo-se que a taxa de mercado é de 4% a.m., qual seria o valor do televisor a vista?
Resposta: R$9.999,96
Uma mercadoria é adquirida nas seguintes condições: (1 + 6) prestações iguais de R$150,00. Sabendo-se que a taxa de juros é de 5%a.m., qual o valor a vista desta mercadoria?
Resposta: R$911,35.
 Modelos Genéricos de Anuidades
Trataremos de alguns casos genéricos de anuidades, diretamente através de exemplos. Nestes exemplos, usaremos apenas a calculadora HP-12C para solucioná-los, visto que as fórmulas são de difícil aplicação.
Teclas da calculadora HP 12C a serem utilizadas para cálculos das anuidades:
PV, PMT, FV, i, n (conforme visto anteriormente);
g CFo 	(valor atual ou valor da entrada);
g CFj 	( valor dos termos);
g Nj	( número de vezes que o termo é repetido);
f IRR	(taxa interna de retorno);
f NPV	(novo valor presente).
Anuidades Diferidas:
São aquelas em que os termos são exigíveis, pelo menos, a partir do segundo período. Em outras palavras, o primeiro termo é exigido a partir de um certo período de carência.
Exemplo: Uma pessoa vai receber 16 prestações iguais a 400,00, com um diferimento de 15 meses. Sendo a taxa de juros igual a 2%a.m., pergunta-se:
Qual o valor atual das prestações
na data zero?
Qual o montante na data focal 40?
Solução:	a)	0 g CFo
			0 g CFj	15 g Nj
			400 g CFj	16 g Nj
			2 i
			f NPV		= R$4.035,38
b) 	4.035,38 CHS PV
	40 n
	2 i
	FV		= R$8.910,28
Anuidades em que o período dos termos não coincide com aquele a que se refere a taxa:
Quando o período dos termos não coincide com o período a que se refere a taxa, desde que os termos sejam constantes e periódicos, calcula-se a taxa equivalente ao período dos termos e recai-se no modelo básico.
Anuidades com termos constantes, mais parcelas intermediárias iguais.
Quando a anuidade se apresenta com termos iguais e, além disso, tem parcelas intermediárias eqüidistantes e de mesmo valor, a resolução é feita em duas etapas.
Exemplo: Um carro é vendido em oito prestações mensais. As prestações de ordem ímpar são iguais a R$1.000,00, enquanto que as de ordem par são iguais a R$2.000,00. Considerando-se a taxa de juros de 2%a.m., qual é o preço a vista?
Solução: Partimos do princípio que temos 8 prestações mensais de R$1.000,00 e 4 prestações bimestrais de R$1.000,00, assim sendo: PV = a + b
1.000 CHS PMT		b)	1.000 CHS PMT
8 n					4 n							2 i					4,04 i 	(2 Enter 100 ( 1 + 2 Yx 1 – 100 x)
	PV	= R$7.325,48			PV	= R$3,626,48
	PV = 7.325,48 + 3.626,48	= R$10.951,96
Anuidade composta por duas ou mais anuidades diferidas em sequência:
Exemplo: Uma pessoa comprou um gravador, para pagar em 7 prestações, do seguinte modo:
3 prestações de R$100,00 no 7º, 8º e 9º mês;
4 prestações de R$200,00 no 13º, 14º, 15º e 16º mês.
A taxa de juros cobrada foi de 2%a.m. Pergunta-se o valor do gravador à vista.
Solução: Nota-se que nos meses 1º ao 6º e 10º ao 12º, o valor pago foi zero, assim sendo:
		0 g CFo
		0 g CFj	6 g Nj
		100 g CFj	3 g Nj
		0 g CFj	3 g Nj
		200 g CFj	4 g Nj
		2 i
		f NPV		= R$856,55
Anuidades Variáveis:
São anuidades cujos termos não são iguais entre si. Sua resolução é feita calculando-se o valor atual como sendo a soma dos valores atuais de cada um de seus termos. É possível obter o montante pela capitalização do valor atual ou pela soma dos montantes de cada termo.
Exemplo: Um terreno foi comprado para ser pago em 5 prestações trimestrais, com os seguintes valores: 20.000,00 ; 5.000,00 ; 10.000,00 ; 3.000,00 ; 30.000,00. Sendo a taxa de juros para aplicações financeiras vigente no mercado de 2,5% a.m., pergunta-se o valor do terreno à vista>
Solução: Calculando-se a taxa trimestral: 2,5 Enter 100 ( 1 + 3 Yx 1 – 100 x 	= 7,69%a.t.
		0 g CFo
		20.000 g CFj
		5.000 	g CFj
		10.000 g CFj
		3.000 	g CFj
		30.000 g CFj
		7,689 i
		f NPV		= R$53.835,49
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Um magazine oferece, em sua promoção, um televisor por 24 prestações de R$300,00, ocorrendo o primeiro pagamento apenas após 4 meses da compra. Qual seria o preço a vista deste televisor, uma vez que a taxa de mercado é de 2,5%a.m.?
Resposta: R$4.982,40.
O preço a vista de um carro é de R$80.000,00. A revendedora exige 30% como entrada, financiando o saldo em 36 prestações, com 6 meses de carência. Sabendo-se que a taxa de juros da agência é de 3,5% a.m., qual é o valor das prestações?
Resposta: R$3.392,64.
Um noivo, precisando comprar seus móveis e não dispondo de dinheiro de imediato, abriu um crediário em uma loja, no valor de R$20.000,00. Por esta compra irá pagar 24 prestações de R$1.942,36, mensalmente, com 6 meses de carência. Qual é a taxa de juros mensal desta loja?
Resposta: 5%a.m.
Antônio compra de um amigo um apartamento, cujo valor a vista é de R$150.000,00, nas seguintes condições: entrada de R$50.000,00 mais prestações mensais de R$18.598,04, com 1 ano de carência. Sabendo-se que a taxa de juros contratada fora de 4,5%a.m., qual é o número de prestações?
Resposta: 12 prestações.
Uma pessoa depositou R$1.000,00, abrindo uma conta em uma instituição que paga 2% a.m. sobre o saldo credor. Em seguida efetuou uma série de 24 depósitos mensais de R$300,00, sendo que o primeiro foi feito 4 meses após a abertura da conta. Supondo-se que não seja efetuada nenhuma retirada, quanto terá 5 anos após a abertura da conta?
Resposta: R$20.824,39
Quanto deve ser depositado mensalmente em 30 de outubro, de novembro e de dezembro para que, após o último depósito, se tenha R$200.000,00? Sabe-se que a taxa de remuneração é de 4%a.m. e que foi efetuado um depósito de R$80.000,00, doze meses antes do depósito de dezembro?
Resposta: R$23.038,65.
Uma bicicleta foi vendida em 4 prestações trimestrais de R$1.000,00, sendo a primeira na compra. Se a taxa de mercado é de 3%a.m., qual é o preço a vista?
Resposta: R$3.519,04.
Uma loja anuncia a venda de um televisor por R$600,00 a vista. Um cliente está disposto a comprá-lo por R$200,00 de entrada, mais 36 prestações mensais. De quanto serão as prestações, se a taxa de juros cobrada pela loja for de 50%a.a.?
Resposta: R$19,53.
Numa compra efetuada, o cliente teve o saldo devedor financiado em 3 prestações quadrimestrais de R$5.000,00. Contudo, para evitar esta concentração nos desembolsos, o cliente solicitou a transformação do financiamento em 12 prestações mensais. Se a taxa de juros da loja for de 2% a.m., qual deverá ser o valor das prestações mensais?
Resposta: R$1.213,12.
Uma imobiliária oferece, em lançamento, uma pequena chácara nas seguintes condições: R$20.000,00 de entrada; 36 prestações mensais de R$1.000,00; 6 parcelas semestrais de R$4.000,00. Qual é o preço a vista da chácara, uma vez que a taxa de mercado é de 3%a.m.?
Resposta: R$55.333,11.
Uma casa é posta à venda por R$500.000,00 a vista. Financiada, ela é vendida por 50% de entrada e o restante em 48 prestações mensais a juros de 2,5% a.m. Tendo encontrado certa dificuldade em vendê-la, o construtor resolveu também financiar 80% ao valor referente à entrada, facilitando em 4 parcelas trimestrais iguais, à mesma taxa de juros. Qual o valor da entrada, da parcela trimestral e da prestação mensal?
Resposta: R$50.000,00 ; R$59.966,81 ; R$9.001,50.
Quanto deve ser depositado em 31/12/96 de maneira que seja possível retirar mensalmente R$10.000,00 em 1997, R$15.000,00 em 1998 e R$20.000,00 em 1999? Considerar que as retiradas serão processadas de julho a dezembro apenas e que os depósitos serão remunerados a 3%a.m.
Resposta: R$137.734,81.
Pedro vende a um amigo um carro usado, permitindo que este lhe pague conforme puder no prazo de um ano, sendo cobrados juros de 1%a.m. sobre o saldo devedor. João recebe os seguintes pagamentos: R$5.000,00 de entrada ; R$4.000,00 a 1 mês ; R$6.000,00 a 2 meses ; R$1.000,00 a 3 meses e R$3.000,00 a 4 meses. Qual é o valor do carro a vista, uma vez que estes pagamentos saldaram toda a dívida?
Resposta: R$18.695,71.
Uma pessoa abre uma conta em uma instituição financeira que paga 2%a.m. sobre o saldo credor, depositando R$15.000,00. Após 6 meses, necessitando de dinheiro, retira R$7.000,00. Nos dois meses seguintes, deposita, sendo R$1.000,00 no primeiro e R$2.000,00 no segundo. Trinta dias após o último depósito, o correntista efetua um saque de R$5.000,00. Qual é o saldo desta conta, um ano após sua abertura?
Resposta: R$9.103,40.
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