Apostila de Cálculo 1 Inatel - Funções, Limites, Derivadas, Integrais

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Instituto Nacional de Telecomunicações 
 
Curso de NB019 - Cálculo I 
 
1o Período 
 
 
 
Profa Daniela Barude Fernandes 
Prof Paulo César Xavier Duarte 
Prof Luiz Felipe Simões de Godoy 
Prof Renan Ralpe Sthel Duque 
1o Semestre de 2013 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
 
Curso de Cálculo I – 1o Período 1 
 
Capítulo 1 
REVISÃO DE MATEMÁTICA E FUNÇÕES 
 
1.1. Frações. Operações com frações. 
 
1.1.1. Definições 
 
Uma fração corresponde a uma parcela de um todo. Por exemplo, se você comeu 3 
fatias de uma pizza de 8 fatias, significa que você comeu 
8
3
 da pizza, onde: 
rdenominado 
numerador 
8
3
→
→
 
 
Duas frações são equivalentes quando representam o mesmo valor. Para encontrar uma 
fração equivalente à fração dada, basta multiplicar ou dividir simultaneamente o 
numerador e o denominador pelo mesmo valor. 
 
Exemplo 01: 
2
1
4
4
8
4
=
÷
÷
. Logo, 
8
4
 e 
2
1
 são frações equivalentes. 
 
Exemplo 02: Simplifique as frações a seguir: 
 
a) 
18
15
 b) 
24
60
 c) 
36
12
 
 
 
1.1.2. Operações com frações 
 
a) Adição e subtração 
 
Ao somar e subtrair duas ou mais frações, basta somar ou subtrair os numeradores 
quando os denominadores são iguais. 
 
Exemplo 03: Calcule: 
 
a) 
7
2
7
3
+ 
 
b) 
16
9
16
3
− 
 
 
Quando os denominadores são diferentes, é necessário encontrar frações equivalentes de 
mesmo denominador para cada termo da soma/subtração, utilizando o mínimo múltiplo 
comum entre os denominadores. 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 2 
Exemplo 04: Calcule: 
 
a) 
7
5
3
2
+ 
 
b) 
6
5
4
1
− 
 
c) 
5
3
9
4
15
2
−+ 
 
d) 
2
7
8
2
6
5
−+ 
 
e) 











+−−−
75
36
45
14
15
2
225
1
 
 
f) 
4
1
10
3
2
1
15
2
8
1
24
19
+





+





−−− 
 
 
b) Multiplicação 
 
Multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si. 
 
Exemplo 05: Calcule: 
 
a) 
7
5
3
2
× 
 
b) 
6
5
2
3
5
4
×× 
 
 
c) Divisão 
 
Multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda fração, sabendo que o inverso 
da fração 
B
A
 é a fração 
A
B
 (uma fração cujo numerador é igual a zero não possui 
inversa). 
 
Exemplo 06: Calcule: 
 
a) 
7
5
3
2
÷ 
 
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b) 
6
5
4
1
÷ 
 
c) 
5
1
6
 
 
d) 
4
3
2
 
 
e) 
5
6
12
5
 
 
f) 
8
7
4
3
 
 
g) 
3
7
2
2
4
3
−
−
 
 
h) 
15
2
5
2
4
3
5
37
3
2
÷−






−⋅−
 
 
i) 





−





+÷





−÷


















−−÷











−−− 2
3
2
4
3
3
2
4
3
5
4
3
1
5
4
3
12 
 
 
1.2. Potenciação e radiciação 
 
1.2.1. Definições 
 
Uma potência é a repetição de uma multiplicação, da forma 
 
bbbbba n ××××== L (n termos iguais a b na multiplicação), onde 
 
a é o resultado da potência n-ésima de b . 
b é a base. 
n é o expoente. 
 
 
 
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Exemplo 07: 
 
a) 
27
8
3
2
3
2
3
2
3
2 3
=××=





 
 
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1622222 4 =−×−×−×−=− 
 
Observações: 
 
1) ( ) 44 22 −≠− 
 
2) Se o expoente é 1, o resultado é igual a base. 
 
3) Se a base é igual a zero e o expoente é diferente de zero, o resultado é igual a zero. 
 
4) Se o expoente é zero e a base é diferente de zero, o resultado é igual a 1. 
 
5) Se o expoente é negativo, deve-se inverter a base e modificar o sinal do expoente. 
 
6) Se o expoente for um número fracionário, ele indicará uma radiciação, da forma 
n pn
p
aa = . 
 
1.2.2. Propriedades 
 
a) Produto de potências de mesma base 
 
nmnm
aaa
+
=⋅ 
 
b) Razão entre potências de mesma base 
 
nm
n
m
a
a
a
−
= 
 
Da propriedade anterior podemos concluir: 
 
10 === − aa
a
a mm
m
m
 (todo número dividido por ele mesmo é igual a 1). 
 
m
mm
a
a
a
a
−
==
01
 ou m
mm
a
a
a
a
==
−−
01
 
 
c) Potência de potência 
 
nmnm aa ⋅=)( 
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Observação: 
nmnm aa ≠)(
 
 
d) Potência de um produto 
 
( ) mmm baba ⋅=⋅ 
 
e) Potência de um quociente 
 
m
mm
b
a
b
a
=





 0≠b 
 
f) Radiciação 
 
n
m
n m aa = 
 
Utilizando a propriedade do item c, podemos concluir: 
 
( ) n mpnpmpnmpn m aaaa ==






=
⋅
 
 
g) Raiz de um produto 
 
nnn baba ⋅=⋅ 
 
h) Raiz de um quociente 
 
n
n
n
b
a
b
a
= 0≠b 
 
i) Raiz de uma raiz 
 
nmm n aa ⋅= 
 
Exemplo 08: Calcule o valor das expressões a seguir, utilizando as propriedades de 
potenciação e radiciação: 
 
a) ( )019− 
 
b) 
3
2
1 −






− 
 
c) 43− 
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d) ( ) ( ) ( )254 222 −⋅−⋅− 
 
e) 432 2793 ⋅⋅ 
 
f) 
34
2
25
1
5
15 





⋅





⋅
−
 
 
g) 222 36 ⋅⋅ 
 
h) 842 36 ⋅⋅ 
 
i) 5
4
2
8
 
 
j) 
6 2
3
81
9
 
 
k) 3 5525 ⋅⋅ 
 
l) ( )[ ] 06453






 
 
m) ( )[ ] ( )[ ]32784344 3223 ⋅÷⋅ 
 
n) 
n
n
n
n
a
a
a












⋅
−
−
2
1
 
 
o) 000002,0400× 
 
p) 
004,0
00072,0
 
 
q) 1
11
2
32
−
−− +
 
 
r) ( ) ( )( )2
33
004,0
02,001,0 −⋅
 
 
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s) 
1
11
9
1
94
−
−−







 +
 
 
t) ( ) 1
1
0001,010
10001,01,0
−
−
×
××
 
 
u) 4 0016,0 
 
v) 5 00032,0− 
 
w) 81,0− 
x) 
10
11
11
11
1
+
+
+
 
 
y) 3 5 602 
 
z) 64 27144 ⋅ 
 
Exemplo 09: Racionalize as expressões a seguir: 
 
a) 
2
2
 
 
b) 
3 5
3
 
 
c) 
7 23
4
 
 
Exemplo 10: Calcule as expressões a seguir, supondo que nas divisões o divisor é 
sempre diferente de zero: 
 
a) )2(3 2xx −⋅− 
 
b) )
3
1(6 223 zxyyzx −⋅− 
 
c) 23 −⋅ xx 
 
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d) aa n ⋅ 
 
e) nmnm xx +− ⋅ 3
3
2
3
1
 
 
f) )1()1( 2 +−⋅+ ttt 
 
g) )2(
2
1 23 aa −÷ 
 
h) 25 −− ÷ xx 
 
i) mm uu ÷+1 
 
j) )2(6 2334 −−÷ cbba 
 
k) ])(18[)(72 23 baba −⋅−÷−⋅ 
 
l) ])(4[)(12 4322373234 babababa +−÷+ 
 
m) 34 ++ ÷ mm xx 
 
n) )5(3 32 −− −÷− mm aa 
 
o) 4 35 3 xx ÷ 
 
p) nn 2143 84 −+ ⋅ 
 
q) 1212 28127)9( ++− ÷⋅ mmmm 
 
 
1.3. Produtos notáveis 
 
Os casos mais comuns de produtos notáveis são: 
 
a) Produto da soma de dois termos pela sua diferença: 22)()( bababa −=−⋅+ 
b) Quadrado da soma de dois termos: 2222)( bababa +±=± 
 
De forma geral, temos o produto notável: )(...)()()( babababa n ±⋅⋅±⋅±=± , que 
resulta na multiplicação de n termos )( ba ± . O resultado deste produto notável pode ser 
obtido de duas formas: 
 
1) Utilizando-se o Triângulo de Pascal para determinar seus coeficientes, conforme 
mostrado abaixo. 
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M
151010515
146414
13313
1212
111
10
n
 
 
onde n é o valor da potência do termo )( ba ± . O resultado do produto notável será uma 
soma de 1+n termos, onde cada termo possui o produto pk ba × e é multiplicado por 
um coeficiente, obtido do triângulo acima. Para cada termo do resultado, o valor do 
expoente k do termo a da soma varia de n (1o termo) a zero (último termo). O contrário 
ocorre com o termo b da soma, cujos expoentes p variam de zero (primeiro termo) a n 
(último termo). Se tivermos o produto nba )( + , os sinais de todos os termos serão 
positivos, ao passo que se tivermos o produto nba )( − , os sinais dos termos serão 
alternados (o primeiro termo terá sinal positivo, o segundo terá sinal negativo, o terceiro 
positivo e assim por diante). 
 
Exemplo 11: 
 
a) 3223302112033 331331)( babbaabababababa +++=+++=+ 
 
Nota-se na expressão acima que para n=3, os coeficientes dos termos são 1,3,3 e 1, e de 
acordo com o triângulo de Pascal apresentado, o expoente de a varia de 3 a 0 nos 
termos e o expoente de b varia de 0 a 3. Como temos uma soma )( ba + , todos os 
termos possuem sinais positivos. 
 
b) 3223302112033 331331)( babbaabababababa −+−=−+−=− 
c) 222011022 2121)( babababababa ++=++=+ 
 
2) Através das expressões: 
 
∑
=
−
⋅⋅





=+
n
k
kknn ba
k
n
ba
0
)( 
 
∑
=
−
⋅⋅





⋅−=−
n
k
kknkn ba
k
n
ba
0
)1()( 
 
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Os termos )!(!
!
knk
n
k
n
−⋅
=





 são os coeficientes de cada termo do resultado obtido, que 
correspondem aos coeficientes dados no triângulo de Pascal dado anteriormente. 
 
Exemplo 12: 
 
∑
=
−
⋅⋅





⋅−=−
3
0
33 3)1()(
k
kkk yx
k
yx 
3032121210303
3
3)1(
2
3)1(
1
3)1(
0
3)1()( yxyxyxyxyx ⋅⋅





⋅−+⋅⋅





⋅−+⋅⋅





⋅−+⋅⋅





⋅−=− 
322332233 33
!0!3
!3
!1!2
!3
!2!1
!3
!3!0
!3)( yxyyxxyxyyxxyx −+−=
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
=− 
 
Exemplo 13: Desenvolva os seguintes produtos notáveis: 
 
a) 5)( ba − 
b) 32 )( bac + 
c) )2()2( yxyx −+⋅++ 
d) 2)( cba ++ 
e) 3)( zyx −+ 
f) 
2
3223
2
3
3
2






− baba 
g) 
2
3
4
4
1






−
x
 
h) )()( 2323 LRLR +⋅− 
i) )35()53( amma xyyx +⋅− 
j) 





−⋅





+
y
xa
y
xa
3
2
3
2 22
 
 
 
1.4. Polinômios 
 
1.4.1. Definição 
 
Polinômio é uma soma algébrica de monômios (termos algébricos). 
 
Exemplo 14: 
 
a) 23 2xx − (2 termos – binômio) 
 
b) 22 54 bbxx +− (3 termos – trinômio). 
 
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c) 324 amaxy
y
bx
ay −+−+ (mais de 3 termos – polinômio). 
 
 
1.4.2. Grau de um polinômio 
 
É dado pelo termo de grau mais elevado. Para o polinômio a seguir, temos: 
 
2
2
944332
3
2155
m
ab
xbayxzyx −+− 
 
a) O polinômio é do 3o grau em relação à x. 
b) O polinômio é do 4o grau em relação à y. 
c) O polinômio é do 1o grau em relação à z. 
d) O polinômio é do 4o grau em relação à a. 
e) O polinômio é do 9o grau em relação à b. 
f) O polinômio possui grau –2 em relação à m. 
 
 
1.4.3. Operações com polinômios 
 
� Adição e Subtração 
 
Basta somar ou subtrair os termos semelhantes (que apresentam variáveis de mesmo 
grau). 
 
Exemplo 15: Sendo 
 
2345
1 42 babaaP +−= 
4532
2 16328 abbbaP ++−= 
234324
3 42816 bababaabP −++−= , calcule: 
 
a) 321 PPPS ++= 
b) 32 PPD −= 
 
Exemplo 16: Indique os polinômios resultantes das situações descritas a seguir. 
 
a) Subtraia o triplo da soma de 2 números consecutivos do dobro de sua diferença (o 
maior número menos o menor número), sendo x o maior desses números. 
 
b) Subtraia a diferença entre 22 2 +− tt e 122 −+ tt da soma de 12 +t com 33 −t . 
 
 
 
 
 
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� Multiplicação 
 
Basta aplicar a propriedade distributiva da multiplicação. 
 
Exemplo 17: Calcule: 
 
a) yxyxyxyx 5253627 2)432( ⋅+− 
b) )32()2352( 223223 xyxyyyxxyx +−⋅−−+ 
c) )47()54( 422442246 bbaababaa +−⋅+− 
 
 
� Divisão 
 
Dividir um polinômio D por um polinômio d resulta em: 
 
 D d 
 R Q 
 
onde: D dividendo 
 d divisor 
 Q quociente 
 R resto 
 
d
RQ
d
D
RQdD
+=
+×=
 
d÷
 
 
Para tal, devemos ter: 
 
1) )()( dGrauDGrau ≥ 
2) )()()( dGrauDGrauQGrau −= 
3) )()( dGrauRGrau < 
 
Exemplo 18: Façamos a divisão de 94925 234 −+−− xxxx por 322 −− xx : 
 
94925 234 −+−− xxxx 322 −− xx 
 
234 15105 xxx ++− 2285 2 ++ xx 
 9468 23 −++ xxx (quociente) 
 xxx 24168 23 ++− 
 92822 2 −+ xx 
 664422 2 ++− xx 
 5772 +x (resto) 
 
Assim, 
32
57722285
32
94925
2
2
2
234
−−
+
+++=
−−
−+−−
xx
x
xx
xx
xxxx
 
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Exemplo 19: Calcule as divisões a seguir. Nos polinômios que possuem mais de uma 
variável, divida-os considerando x como variável. 
 
a) )43()28296( 2 +÷++ xxx 
b) )()( 55 yxyx −÷− 
c) )322()44( 235 xxxxx ++÷−+ 
d) )()( 224224 yxyxyyxx +−÷++ 
e) )22()16284( 223 −+−÷−+− aaaaa 
f) )3()38116( 22432234 bxbxbxbbxbxx +−÷++−+− 
g) )84()81644( 2423325 xbxxbbxbxx +÷−+−− 
h) )2()2( 226336 yxyxyyxx ++÷++ 
i) 





−+−÷





−+++ 22432234 2
3
1
2
1
2
12
8
5
18
5
3
1 bxbxbxbbxbxx 
 
 
� Regra de Ruffini: utilizada para obter de forma rápida o quociente e o resto da 
divisão de um polinômio por ax − . Teremos: 
 
1)()( −= DGrauQGrau 
0)( =RGrau )1)(( <RGrau 
 
...+nx ax − 
0kx ...1 +−nx 
 
A utilização do dispositivo de Ruffini se torna uma aplicação importante quando 
conhecemos uma das raízes de um polinômio de grau elevado (maior que 2). Se 
dividimos um polinômio por ax − e encontramos resto nulo, significa que a é uma das 
raízes deste polinômio. Por exemplo, para um polinômio do 3º grau, dado pela formula 
geral 
 
dxcxbx +⋅+⋅+ 23 
 
supondo que as 3 raízes deste polinômio sejam 1r , 2r e 3r , podemos escrevê-lo da 
seguinte forma: 
 
)()()( 32123 rxrxrxdxcxbx −⋅−⋅−=+⋅+⋅+ 
 
Se conhecemos uma das raízes deste polinômio, por exemplo, 1r , podemos dividi-lo por 
1rx − . Dessa forma, teremos como resultado da divisão um polinômio do 2º grau e resto 
nulo. Assim, torna-se mais fácil o cálculo das outras duas raízes do polinômio do 3º 
grau dado. 
 
 
 
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Exemplo 20: Façamos as seguintes divisões: 
 
a) )3()1272( 4 −÷+− xxx 
 
 
 
 
4x 3x 2x 1x 0x 
2 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ -7 ⊕ 12 coef. do dividendo. 
 3 2 6 18 47 153 coef. do quociente seguidos do resto. 
 
 ⊗ 
 
 ⊗ 
 ⊗ 
 ⊗ 
 
 
 
Quociente: 47186223 +++ xxx 
Resto: 153 
 
 
b) )2()1143( 235 +÷−+− xxxx 
 
 
5x 4x 3x 2x 1x 0x 
3 0 -4 1 0 -11 
 -2 3 -6 8 -15 30 -71 
 
Quociente: 3015863 234 +−+− xxxx 
Resto: 71− 
 
Exemplo 21: Usando o dispositivo de Ruffini, calcule: 
 
a) )3()138( 2 −÷+− xxx 
b) )2()7( 3 −÷− xxx 
c) )2()1( 4 +÷+− xxx 
d) )1()2( 4 +÷− xxx 
e) )2()272( 23 −÷+−− aaaa 
f) )1()165879( 2345 +÷+++−− xxxxxx 
g) )2()375( 23 −÷−−+ xxxx 
h) )()( 66 yxyx +÷− 
i) )()( 444 yzxzyx +÷− 
j) )13()123( 5 +÷+ aa 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 15
1.5. Fatoração 
 
Fatorar um número (ou uma expressão algébrica) é decompô-lo em vários fatores, 
transformando-o em produtos de termos mais simples. 
 
Exemplo 22: 
 
a) 22 32332236 ×=×××= 
 
36 2 
18 2 
 9 3 
 3 3 
 1 
 
 
b) yxxy ⋅⋅= 4381 
 
Existem números que não podem ser fatorados devido ao fato de serem divisíveis 
somente por eles mesmos e pela unidade. São chamados de números primos. 
 
Exemplo 23: 
 
13 13 
1 1 
 
 
1.5.1. Fatoração de polinômios 
 
Faremos agora o estudo de alguns casos de fatoração de polinômios. 
 
� 1o Caso: Fator comum em todos os termos 
 
Neste caso existe um fator comum em todos os termos que pode ser colocado em 
evidência. 
 
Exemplo 24: 
 
a) )(2 axxaxx +⋅=+ 
b) )432(13523926 2232223 nmmmnmnnmnm +−⋅=+− 
 
Exemplo 25: Fatore: 
 
a) 34625574 70105420140 yxyxzyxzyx −+− 
b) 6758 947 aaaa −+− 
c) mmmm xxxx +−+ −−− 123 
d) 3211 +++− +−− mmmm aaaa 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 16
e) abcabcabdabc 120906045 +−− 
f) 54453627 14988470 babababa +−+ 
g) 23635456 1821043952 babababa −+− 
h) vtrvtrtr 342552 1193451 +− 
i) cbacmbacba 253423 855117 +− 
j) 32725423 2515105 yxyxyxyx −+− 
 
 
� 2o Caso: Fator não comum. 
 
Neste caso podemos colocar um fator que não seja comum em todos os termos em 
evidência. 
 
Exemplo 26: 
 
a) 





+⋅=+
x
xx
111 
b) 





+⋅=+ 1
2
2
a
x
aax 
 
Exemplo 27: Fatore as expressões abaixo, observando o fator não comum dado para 
cada caso: 
 
a) 1641236 632 +−+ xxx fator: 44x 
b) 8753 aaaa +−+ fator: ba m 
c) cabbcabcaab 43232 21121827 +−− fator: 2223 cba 
d) 21 ++ ++ xxx ttt fator: 321 +− xta 
 
 
� 3º Caso: Agrupamento 
 
Neste caso temos grupos de termos possuindo fatores comuns. 
 
Exemplo 28: 
 
a) bcacaba +++2 
 )()( bacbaa +⋅++⋅= 
 )()( caba +⋅+= 
 
b) bybzaybxaxaz −−+−+ 
 )()( yzxbyxza ++⋅−++⋅= 
 )()( bazyx −⋅++= 
 
 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 17
Exemplo 29: Fatore: 
 
a) 23 aabba +++ 
b) dbxdbyadyadxbcybcxacyacx −−++−−+ 
c) dcbdacaba +++++ 222 
d) )2()( bxabaxx −⋅−−+⋅ 
e) 2222 mnxnpmnmmnxmpxnpxmnp +++++++ 
f) 123 +++ mmm 
g) abxybyxyax +++ 22 
h) aabab 3223 2 −−+ 
i) axbyabxy +−− 22 
j) adbcabcd 22 +++ 
k) 123 +−− ddd 
 
 
� 4º Caso: Diferença de dois quadrados perfeitos. 
 
)()(22 bababa −⋅+=− 
 
Exemplo 30: 
 
a) 62 2536 aa − 
 )56()56( 33 aaaa −⋅+= 
 
b) 18 −a 
 )1()1( 44 −⋅+= aa 
 )1()1()1( 224 −⋅+⋅+= aaa 
 )1()1()1()1( 24 −⋅+⋅+⋅+= aaaa 
 
c) 32 −a 
 )3()3( −⋅+= aa 
 
Exemplo 31: Fatore: 
 
a) 273 2 −a 
b) 
25
2
2 yx − 
c) 22 )(25)6( bayx −⋅−+ 
d) 22 )()( baba −−+ 
e) 4810001,0 x− 
f) 44 )(273 dca −⋅− 
g) 22 )2(9)6( mnnm −⋅−+ 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 18
h) 231,0 xa− 
i) 22 )( cda +− 
j) 122 −+xa 
 
 
� 5º Caso: Trinômio quadrado perfeito. 
 
222 )(2 bababa +=++ 
222 )(2 bababa −=+− 
 
Para que um trinômio ordenado segundo as potências decrescentes de uma variável seja 
quadrado perfeito é necessário que o primeiro e o último termo tenham sinal positivo, e 
que o segundo termo seja mais ou menos o dobro do produto das raízes quadradas dos 
outros dois termos (1º e 3º). 
 
Exemplo 32: 
 
a) 122 ++ dd 
 
Considerando ,0>d temos 11,2 == dd e 122 ⋅⋅= dd . 
 
O trinômio dado é quadrado perfeito. Assim, 
 
 122 ++ dd 2)1( += d 
 
 b) 222 69 cbabca +− 
 
Considerando ,0,, >cba temos bccbaa == 222 ,39 e bcaabc ⋅⋅−=− 326 . 
 
O trinômio é quadrado perfeito. Assim, 
 
 
222 69 cbabca +− 2)3( bca −= 
 
Exemplo 33: Converta em trinômios quadrados perfeitos as seguintes expressões, 
adicionando um termo: 
 
a) aba 1449 2 − 
b) 22 481 ba + 
c) 449 44 +yx 
d) pxx +2 
e) aa −24 
f) 12 22 +− yx 
g) 1144 222 +zyx 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 19
Exemplo 34: Fatore os seguintes trinômios: 
 
a) 
4
2
2 fdfd +− 
b) 
4
333 2 +− aa 
c) 168 24 +− aa 
d) 363 48 ++ xx 
e) npnp 546441169 22 ++ 
f) xx 5
4
252
−+ 
g) 94249 2244 ++ baba 
h) 
16
14 2 +− aa 
i) 22 882 yxyx ++ 
j) 2412362 5105 ++++ ++ aaaa bbxx 
 
 
� 6º Caso: Trinômio do 2o grau. 
 
Da identidade 
 
abbxaxxbxax +++=+⋅+ 2)()( 
 abxbax +⋅++= )(2 
temos: 
 
 )()()(2 bxaxabxbax +⋅+=+⋅++ 
 
Exemplo 35: 
 
a) Para fatorar o trinômio 1272 ++ xx , devemos determinar dois números tais que o 
produto deles seja 12+ e a soma dos mesmos seja 7+ . 
 






=
=+
12
7
ab
ba
 São eles: +3 e +4, logo )4()3(1272 +⋅+=++ xxxx 
 
b) 22 −− xx 
 






−=
−=+
2
1
ab
ba
 São eles: 2− e 1+ , logo )1()2(22 +⋅−=−− xxxx 
 
 
 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 20
Exemplo 36: Fatore: 
 
a) 24112 ++ tt 
b) 232 +− xx 
c) 22 23 yyxx ++ 
d) 200302 +− xx 
e) 2092 +− xx 
f) 3522 −+ xx 
g) 422 −+ xx 
h) xxx 20255 23 +− 
i) 144 2 +− aa 
j) 
93
2 422 axax +− 
k) 372 2 ++ xx 
l) 253 2 −− aa 
m) abcbac −⋅−− )(2 
 
 
� 7º Caso: Soma ou diferença de dois cubos. 
 
)()( 2233 aaxxaxax ++⋅−=− 
)()( 2233 aaxxaxax +−⋅+=+ 
 
O primeiro passo para fatorar um polinômio do tipo 33 ax ± e obter as expressões acima 
é calcular uma das raízes deste polinômio. Tomando o polinômio 33 ax − , teremos: 
 
033 =− ax 
33 ax = 
ax =1 
 
Dessa forma, a é uma das raízes do polinômio. As outras duas raízes são complexas e 
conjugadas. Sabendo que a é uma raiz, o polinômio é divisível por )( ax − . Utilizando o 
dispositivo de Ruffini, podemos realizar a divisão )()( 33 axax −÷− . 
 
 
3x 2x 1x 0x 
1 0 0 3a− 
 a 1 a 2a 0 
 
Como era de se esperar, o resto da divisão é nulo e seu quociente será: 
 
)( 22
33
aaxx
ax
ax
++=
−
−
 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 21
Concluindo, )()( 2233 aaxxaxax ++⋅−=− . Realizando o mesmo processo, é fácil 
obter )()( 2233 aaxxaxax +−⋅+=+ . 
 
Exemplo 37: Fatore: 
 
a) 648 3 +x 
b) 66 ba − 
c) 127 3 +a 
d) 33)( cba ++ 
e) 643 −a 
f) 316 x+ 
g) 233233 zvmzyx − 
h) 164 3 −x 
i) 32128 y+ 
j) 66 2439 yx + 
 
 
� 8º Caso: Combinação dos casos anteriores. 
 
Exemplo 38: 
 
554637 32328 yxyxyx +− 
 
Colocando 358 yx em evidência, temos: 
 
)44(8 2235 yxyxyx +−⋅= 
 trinômio quadrado perfeito 
235 )2(8 yxyx −⋅= 
 
Exemplo 39: Fatore: 
 
a) 222 2 mbaba −+− 
b) 4434 234 −++− xxxx Dica: adicione e subtraia à expressão dada 2x . 
c) 642246 yyxyxx −−+ 
d) 1251016 22 −−+ xxy 
e) bcacbaba −−++ 22 2 
f) 4423 +−− ddd 
g) 8457 216nmnm − 
h) 121 a+ 
i) 2xmx − 
j) 22 pn − 
k) 3382 −− xx 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 22
l) 42 6481 cx − 
m) 28292 +− aa 
n) 22 24144 baba +− 
o) xxqbxqxqxqxb 98251630 226434 −+−++ 
p) 22224 494362581 ataxazayaxa ++−−− 
q) bcacabcba 222222 +++++ 
r) 2222 424 bxyabyxa +++−− 
s) 2446 23 −−+ aaa 
t) abbxaxx 10252 +−− 
u) 129 nm − 
v) 2223 1616 axaxx +−− 
 
 
1.5.2. Frações racionais 
 
Simplificação de frações – simplifica-se uma fração dividindo ambos os termos 
(numerador e denominador) pelos seus fatores comuns. 
 
Exemplo 40: 
 
a) 332
2
4223
2
43
12
)43(2
)12(2
86
24
babbabba
ba
baba
ba
−
=
−⋅
⋅
=
−
 
 
b) 
1)1(
)1(
12 22 −
=
−
−⋅
=
+−
−
x
a
x
xa
xx
aax
 
 
Exemplo 41: Reduza à expressão mais simples as seguintes frações: 
 
a) 34
423
18
27
yzx
zyx
 
 
b) 26
4224
10
2515
tx
txtx −
 
 
c) 432
3223
93
62
abba
baba
−
−
 
 
d) 22
22 2
xa
xaxa
−
++
 
 
e) 
abb
aba
−
−
2
2
 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 23
f) 
aba
bdbcadac
+
+++
2 
 
g) 
aab
baab
2
632
−
+−−
 
 
h) 22
22
9
96
ax
aaxx
−
+−
 
 
i) 2
22
4
)()(
x
axax −−+
 
 
j) 
acxcax
abxbax
+⋅+−
+⋅+−
)(
)(
2
2
 
 
k) 246
56
yaa
yaa
−
+
 
 
l) 
632
632
+−−
−+−
naan
naan
 
 
m) 
bccba
bcacabcba
2
222
222
222
+−−
−+−++
 
 
Exemplo 42: Simplifique e calcule o valor numérico das frações: 
 
a) 
3
92
−
−
x
x
 para x=3 
 
b) 
6
103
2
2
−+
−+
aa
aa
 para a=2 
 
c) 22
22
34
23
baba
baba
++
++
 para a=–b 
 
d) 
xx
x
−
−
2
2 1
 para x=1 
 
e) 
2
164
+
−
x
x
 para x=–2 
 
f) 
ba
bdbcadac
−
−−+
 para b=a 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 24
g) 
1
123
+
+++
x
xxx
 para x=–1 
 
h) 
4
65
2
2
−
+−
a
aa
 para a=2 
 
i) 
8124
422
2
2
+−
−+
xx
xx
 para x=2 
 
j) 
2
23
2
2
−−
++
xx
xx
 para x=–1 
k) 
yx
yx
−
−
33
 para x=y 
 
l) 
1
13
+
+
x
x
 para x= –1 
 
m) 
3
273
−
−
x
x
 para x=3 
 
Exemplo 43: Resolva: 
 
a) 
bb
aa
b
a
−
−
÷ 2
2
 
 
b) 22
22
3218
32
43
94
ba
yx
ba
yx
−
+
÷
−
−
 
 
c) 





+÷





−
x
x
x
x
11 2
2
4
 
 
d) 
ba
baa
ba
baba
3
3 224
22
3223
−
+
×
+
−
 
 
e) 
ax
aaxx
axaaxx
−
++
÷−−+
22
3223 2)( 
 
f) 
1
2
1
3
1
1
2
−
+
−
−
+ xxx
 
 
g) 
12
12
24
2
+−
+−
xx
xx
 
 
Inatel – Instituto Nacional de Telecomunicações 
Curso de Cálculo I – 1o Período 25
1.6. Funções 
 
1.6.1. Definição 
 
Dados dois conjuntos de números reais A (de valores x) e B (de valores y), dizemos que 
uma função f de A em B, (notação dada por f: A→ B), é uma regra que associa a cada 
elemento de A um único elemento de B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notação: )(xfy = , onde a variável x é chamada de variável independente e a variável y 
é chamada de variável dependente. 
 
Exemplo 44: As relações a seguir representam funções de A em B? 
 
 
a) A B 
 
 1 3 
 2 5 
 3 
 4 6 
 
 
b) A B 
 
 1 3 
 2 5 
 3 
 4 7 
 
 
c) A B 
 
 1 3 
 5 
 2 
 3 7 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
x y 
regra 
f 
A B 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 26
1.6.2. Valor numérico da função 
 
É todo valor da variável dependente calculado para um dado valor da variável 
independente. 
 
Exemplo 45: Dada a função 12)( 2 +−== xxxfy , determine: 
 
a) )0(f b) )1(−f c) )2(f 
 
1.6.3. Intervalos ou subconjuntos de ℜ 
 
Intervalo fechado 
 
bxa ≤≤ ou [a,b] 
Intervalo aberto 
 
bxa << ou (a,b) ou ]a,b[ 
Intervalo fechado à 
esquerda 
 
 
bxa <≤ ou [a,b[ 
Intervalo fechado à direita 
 
bxa ≤< ou ]a,b] 
 
 
∞<<∞− x ou ),( ∞−∞ ou 
ℜ 
 
 
∞<≤ xa ou ),[ ∞a 
 
 
∞<< xa ou ),] ∞a 
 
 
bx ≤<∞− ou ],( b−∞ 
Intervalos infinitos 
 
 
bx <<∞− ou [,( b−∞ 
 
1.6.4. Domínio, imagem e raizes de uma função 
 
- Domínio: é o conjunto dos valores reais de x para os quais a função existe. Para se 
determinar o domínio de uma função deve-se estabelecer uma condição de existência e 
encontrar os valores de x que satisfazem esta condição. 
 
- Imagem: é o conjunto de valores assumidos pela função. 
 
- Raiz(es): é(são) o(s) valor(es) de x para o(s) qual(is) a função assume o valor zero. 
 
Exemplo 46: Determinar o domínio das funções a seguir: 
 
a) 13)( +== xxfy 
b) xxxxfy 835)( 23 −+== 
a b 
a b 
a b 
a b 
a 
a 
b 
b 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 27
c) 
x
xfy 3)( == 
d) 
44
23)(
+−
+
==
x
x
xfy 
e) 
423
1)(
+
+
+
==
x
x
x
xfy 
f) xxfy == )( 
g) 3)( xxfy == 
h) 
2
3)(
−
+
==
x
x
xfy 
i) 3 1)(
x
xfy == 
j) xxfy −== 1)( 
k) 
xx
xfy
−
+
−
==
1
1
1
1)( 
 
1.6.5. Funções crescentes e decrescentes 
 
Uma função é crescente num intervalo se para qualquer x1 e x2 pertencentes a esse 
intervalo com x1< x2 tivermos f(x1)< f(x2). O gráfico a seguir, obtido da equação 
12 −= xy , representa uma função crescente. 
 
 
 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 28
Uma função é decrescente num intervalo se para qualquer x1 e x2 pertencentes a esse 
intervalo com x1< x2 tivermos f(x1)> f(x2). O gráfico a seguir, obtido da equação 
22 +−= xy , representa uma função decrescente. 
 
 
 
Exemplo 47: Para as funções a seguir, determine: 
 
a) Os conjuntos domínio e imagem 
b) O(s) intervalo(s) onde a função é crescente 
c) O(s) intervalo(s) onde a função é decrescente 
 
 
1) Função: 42 −= xy 2) Função: 
2xy = 
 
3) Função: 3xy = 
 
 
 
 
4) Função: 
x
y 1= 5) Função: xy = 6) Função: 3 xy = 
 
 
 
 
 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 29
7) Função: 2
1
x
y = 8) Função: 2
3
xy = 9) Função: 3
2
xy = 
 
 
 
 
 
 
 
1.6.6. Funções pares e ímpares 
 
Uma função f é par se e somente se )(),()( fDxxfxf ∈∀−= . O gráfico a seguir, obtido 
da equação )3cos( xy = , para x dado em graus, representa uma função par. 
 
 
 
 
 
Uma função f é ímpar se e somente se )(),()( fDxxfxf ∈∀−−= . O gráfico a seguir, 
obtido da equação )3sen( xy = , para x dado em graus, representa uma função ímpar. 
 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 30
Graficamente, temos: 
 
Função Par Função Ímpar 
 
 
O gráfico da função par é simétrico em 
relação ao eixo y. 
O gráfico da função ímpar é simétrico em 
relação à origem dos eixos. 
 
 
Exemplo 48: As funçõescujas equações são dadas a seguir são pares, ímpares ou nem 
pares e nem ímpares? 
 
a) 2)( 2 += xxf 
 
b) xxxf 52)( 3 −= 
 
c) 6)( += xxf 
 
Exemplo 49: Dada a função )1)(1(12 −+=−= xxxy , cujo gráfico é apresentado a 
seguir, determine: 
 
 
 
a) Seu domínio. 
b) Sua imagem. 
c) Os intervalos de x onde a função é decrescente. 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 31
d) Os intervalos de x onde a função é crescente. 
e) Suas raízes. 
f) A função é par, ímpar ou nem par e nem ímpar? 
 
 
1.7. Funções do primeiro grau 
 
São funções cujos gráficos resultam em retas. Os itens a seguir detalharão o estudo de 
retas. 
 
1.7.1. Incrementos (ou variações) 
 
Indicam as variações de uma grandeza. Se uma partícula se desloca do ponto ),( 111 yxP 
para o ponto ),( 222 yxP , os incrementos nas coordenadas são dados por 
 
12 xxx −=∆ 
12 yyy −=∆ 
 
Os incrementos podem ser positivos, negativos ou nulos. 
 
1.7.2. Coeficiente angular de uma reta 
 
Calculado como a divisão da variação na vertical pela variação na horizontal. É definido 
através da relação αtg
xx
yy
x
y
m =
−
−
=
∆
∆
=
12
12
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O coeficiente angular pode ser positivo, negativo, nulo ou ainda não existir. 
 
Se 0>m , a reta é crescente. 
Se 0<m , a reta é decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 
y 
P1 
P2 
x2 x1 
y1 
y2 
x 
 ∆y 
variação 
vertical 
∆x � variação horizontal 
α 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 32
1.7.3. Retas paralelas e perpendiculares 
 
PARALELAS PERPENDICULARES 
 
 
sr mm = 
t
r
m
m
1
−= 
 
 
Exemplo 50: Demonstre as relações acima. 
 
 
1.7.4. Equação de Retas 
 
Podemos escrever uma equação de reta, não vertical, se conhecermos seu coeficiente 
angular m e suas coordenadas em um ponto ponto ),( 000 yxP . Se ),( yxP for outro ponto 
qualquer dessa reta, então: 
 
)( oo
o
o xxmyy
xx
yy
m
x
y
m −=−→
−
−
=→
∆
∆
= ou oo yxxmy +−= )( 
 
Exemplo 51: Escreva uma equação para a reta que passa pelo ponto (2,3) e possui 
coeficiente angular 
3
2
−=m . 
 
Exemplo 52: Escreva a equação da reta que passa pelos pontos )2,3(1 −P e )5,4(2 −P . 
 
Exemplo 53: Determine a equação das retas vertical e horizontal que passam pelo ponto 
(2,3). 
 
1.7.5. Coeficiente linear – b 
 
A ordenada do ponto onde uma reta não vertical corta o eixo y é chamada de coeficiente 
linear da reta. Sabendo que o ponto ),0(0 bP pertence à reta e tomando um ponto 
qualquer ),( yxP também pertencente à reta, temos: 
 
reta r 
reta r 
reta s 
reta t 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 33
bmxyxmbyxxmyy oo +=→−=−→−=− )0()( 
 
Essa equação é chamada de equação reduzida da reta. 
A raiz de uma função do primeiro grau é dada por: 0=+= bmxy �
m
b
x −= . 
Estudo de sinais: 
0>m 0<m 
 
Conclusão: 
 
 
 
 
Exemplo 54: Determinar a equação da reta que possui coeficiente linear igual a 3− e 
passa pelo ponto )3,2( −− . 
 
Exemplo 55: Escreva a equação reduzida para a reta que passa pelo ponto )2,1(1 −P que 
seja: 
 
a) paralela à reta 43 −= xy . 
b) perpendicular à reta 43 −= xy 
 
Exemplo 56: Para qual valor de k as retas 534 =+ kyx e 12 =+ yx são: 
 
a) paralelas 
b) perpendiculares 
 
Exemplo 57: Determine o valor de k para o qual a reta que passa pelos pontos )3,2(−A 
e )2,(kB seja paralela à reta de equação 52 =+ yx . 
 
Exemplo 58: Considere a reta r representada no gráfico a seguir. Determine a equação 
da reta s que seja perpendicular à reta r no ponto de intersecção (2,2). 
 
 
 
 
 
x 
m
b−
 
+ 
– 
x 
m
b−
 
+ 
– 
x 
m
b−
 
mesmo sinal 
de m 
sinal contrário 
de m 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 34
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 59: Prove que as retas representadas no gráfico a seguir são perpendiculares. 
 
 
 
 
Exemplo 60: Considere a reta r representada no gráfico a seguir. Determine: 
 
a) a equação da reta s que seja perpendicular à reta r no ponto (4,3). 
b) a equação da reta t que seja paralela à reta r no ponto (-1,0). 
c) trace as retas s e t no gráfico abaixo. 
 
 
3 
-2 
1 2 3 
2 
1 
-1 
y 
x 
r 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 35
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
 
 
Exemplo 61: Para que valores de Rc ∈ a função 1)1()( +−= xcxf é crescente? 
 
Exemplo 62: Para que valores de Rp ∈ a função 2)12()( −−= xpxf é decrescente? 
 
Exemplo 63: Estude o sinal das retas a seguir: 
 
a) 23)( +−= xxf 
b) 1
3
)( −= xxf 
c) 
5
2)( +−= xxf 
 
Exemplo 64: Resolva em ℜ as inequações a seguir: 
 
a) 0)5)(105( >−− xx 
b) 
2
1
2
12 −≤− xx 
c) 0
5
24 ≥
−
−
x
x
 
d) 0
3
)53)(12( ≥
−
−−−
x
xx
 
 
Exemplo 65: (ASG, 1º sem de 2010) O preço de uma passagem de ida ou volta da 
faculdade ao centro da cidade é de R$ 2,00, mas é possível comprar um passe por 
R$ 25,00 que lhe dá direito a pagar somente R$ 0,25 por cada passagem de ida ou volta. 
Em resumo, existem duas formas de usar o serviço de transporte para ir e voltar da 
faculdade: O aluno pode pagar R$2,00 por cada passagem ou o aluno pode comprar o 
passe por R$25,00 e tendo o passe em mãos, deverá pagar mais R$0,25 por passagem. 
Baseado nestas informações, pede-se: 
reta r 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 36
a) Ache as equações para o custo C de x passagens por mês nas duas condições de 
pagamento. 
 
b) Quantas passagens devem ser usadas para que o passe comece a compensar a sua 
compra? 
 
Exemplo 66: (ASG, 2º sem de 2011) O preço de venda de um produto é de R$27,00. A 
venda de 100 unidades dá um lucro de R$260,00. Sabendo que o custo fixo de produção 
é de R$540,00 e que o custo variável é proporcional ao número de unidades produzidas, 
determine: 
 
a) O custo variável de produção de cada unidade do produto. 
b) Uma expressão do lucro obtido em função da quantidade de peças vendidas. 
c) O número de peças vendidas que gera um lucro de R$23.460,00. 
d) O número mínimo de peças que deverão ser produzidas e vendidas para que haja 
algum lucro. 
 
 
1.8. Funções do segundo grau 
 
1.8.1. Definição 
 
É toda função que assume a forma 
 
,)( 2 cbxaxxf ++= onde 0≠a e a, b e c ℜ∈ 
 
Exemplo 67: 32 −= xy 1=a 0=b 3−=c 
 
 
1.8.2. Raízes ou zeros da função do 2o grau 
 
São obtidas utilizando a fórmula de Bhaskara: 
 
0)( 2 =++= cbxaxxf 
 
 
,
2a
b
x
∆±−
= onde acb 42 −=∆ 
 
 
Para 10 x→>∆ e ℜ∈2x / 21 xx ≠ (raízes reais distintas). 
 10 x→=∆ e ℜ∈2x / 21 xx = (raízes reais iguais). 
 10 x→<∆ e ℜ∉2x (não existem raízes reais). 
 
 
 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 37
Exemplo 68: Determine as raízes das funções a seguir: 
 
 
a) 0342 =+− xx 
 
b) 0
3
2
3
52
=−−
x
x 
 
 
1.8.3. Gráfico da função do 2o grau 
 
É dado por uma parábola. 
 
Exemplo 69: Esboce o gráfico das funções a seguir: 
 
a) 342 +−= xxy 
 
b) 42 +−= xy 
 
Através do exemplo 69, concluímos que: 
 
Se →> 0a a parábola possui concavidade voltada para cima. 
Se →< 0a aparábola possui concavidade voltada para baixo. 
 
Para 0>a teremos 
 
 
 
Para 0<a teremos 
 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 38
1.8.4. Coordenadas do vértice da função do 2o grau 
 
a
b
xv 2
−
= 
a
yv 4
∆−
= 
 
Se →> 0a xv é o ponto de mínimo e yv é o valor mínimo. 
Se →< 0a xv é o ponto de máximo e yv é o valor máximo. 
 
Exemplo 70: Calcule as raízes e as coordenadas dos vértices das funções: 
 
a) 352 2 +−= xxy 
 
b) 472 2 ++−= xxy 
 
 
1.8.5. Conjunto imagem da função do 2º grau 
 
 
1o Caso: 0>a 
 
 
 
 
 
 





 ∆−≥ℜ∈=
a
yyf
4
/)Im( 
 
 
 
2o Caso: 0<a 
 
 
 
 
 
 





 ∆−≤ℜ∈=
a
yyf
4
/)Im( 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 39
Exemplo 71: Para cada função dada a seguir, calcule suas raízes em ℜ , indique seu 
conjunto imagem, faça o estudo de sinais e o estudo de sua variação (para que valores 
de x a função é crescente ou decrescente). 
 
a) 562 +−= xxy 
b) 472 2 ++−= xxy 
c) 253 2 −−= xxy 
d) 1342 +−= xxy 
 
Exemplo 72: Resolva em ℜ as inequações a seguir: 
 
a) 0
14112
2
2
2
≥
+−
−+
xx
xx
 
b) 0
65
253
2
2
<
−+−
+−
xx
xx
 
c) 0
4
23
2
2
>
−
−+−
x
xx
 
d) 0)4)(25( 22 ≥−− xx 
 
Exemplo 73: Qual deve ser o valor de k para que, qualquer que seja x, o trinômio 
kxx ++ 22 seja superior a 10? 
 
Exemplo 74: Determine o valor de m para que o mínimo de 352 +−−= mmxxy seja 
atingido no ponto 15=x . 
 
Exemplo 75: Sabe-se que a função quadrática 22 ++= bxaxy não tem raízes reais e 
que a abscissa de seu vértice é –3. Que valores a e b podem assumir? 
 
Exemplo 76: (ASG, 1º sem de 2009) Em um planeta menor que a Terra, supondo a 
existência de vida como em nosso planeta, um garoto lança verticalmente para cima, do 
alto de um prédio de 12 metros em relação ao solo, uma pequena bola. O movimento 
desta bola é considerado uniformemente variado e o garoto admite que a equação 
horária deste movimento seja do tipo cbtattS ++= 2)( . Durante o procedimento ele 
anota as seguintes características do movimento: 
• A bolinha muda de sentido no instante .
2
3
=t 
• A bolinha passa pelo ponto de coordenadas (1,18). 
 
Com a intenção de repetir os cálculos do movimento e determinar o tempo gasto pela 
bola para atingir o solo, o garoto percebe a necessidade de encontrar a equação que rege 
este movimento. Sabendo-se que você é um estudante de engenharia, o garoto viaja em 
sua nave até a Terra e lhe pede auxílio na determinação desta equação. Como você é um 
bom amigo, determine: 
 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 40
a) A equação que rege o movimento. 
b) O tempo gasto pela bola para atingir o solo. 
 
Exemplo 77: A temperatura y de uma região, em um determinado período, variou de 
acordo com a função 20)( 2 −−= tttT , em que t representa o tempo, em horas, com 
70 ≤≤ t . Para este período, determine o intervalo de tempo (t) em que a temperatura 
foi positiva, o intervalo em que foi negativa, o instante em que ocorreu a menor 
temperatura e o menor valor da temperatura. 
 
Exemplo 78: O custo diário da produção de uma indústria de aparelhos de telefone é 
dado pela função 250086)( 2 +−= xxxC , em que C(x) é o custo em dólares e x é o 
numero de unidades fabricadas. Quantos aparelhos devem ser produzidos diariamente 
para que o custo seja mínimo? 
 
1.9. Funções definidas em partes 
 
1.9.1. Introdução 
 
Uma função pode ser definida por uma ou mais sentenças matemáticas válidas para 
diferentes intervalos de seu domínio. 
 
Exemplo 79: Esboce o gráfico da função definida em partes a seguir, indicando os 
conjuntos domínio e imagem. 
 




−
=
,1
,
,
)( 2x
x
xf 
se
se
se
 
2
20
0
>
≤≤
<
x
x
x
 
 
Exemplo 80: Escreva as expressões que definem a função do gráfico a seguir: 
 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 41
1.9.2. Função modular 
 
A função modular é definida por duas sentenças: 
 



−
==
,
,||)(
x
x
xxf 
se
se
 
0
0
<
≥
x
x
 
 
Ou de forma mais geral, 
 



<−
≥
==
0)()(
0)()()(
xfsexf
xfsexf
xfy 
 
Exemplo 81: Esboce o gráfico da função modular || xy = , indicando os conjuntos 
domínio e imagem. 
 
Exemplo 82: Esboce o gráfico das funções a seguir, indicando os conjuntos domínio e 
imagem. Indique também as expressões das funções definidas em partes e seus 
intervalos de existência. 
 
a) 21 −−= xy 
b) 42 −= xy 
c) 12 ++−= xxy 
 
Exemplo 83: Encontre a solução das equações modulares a seguir: 
 
a) 6|| =x 
b) 3|52| =+x 
c) 2|43| −=−x 
d) 82|1| −=+ xx 
e) 06|||| 2 =−+ xx 
 
Exemplo 84: Encontre a solução das inequações modulares a seguir: 
 
a) 5|| ≥x 
b) 3|| <x 
c) 3|12| >+x 
d) 8|53| ≤−x 
e) 2|43| −≥−x 
f) 1|6| −<− x 
g) 1
3
42 ≥
+−
−
x
x
 
h) 2
1
2 ≤
+
−−
x
x
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 42
1.10. Translação de gráficos 
 
Sejam as funções )(xfy = e kxfy += )( . O gráfico de kxfy += )( é o gráfico de 
)(xfy = : 
 
• transladado k unidades para cima se 0>k . 
• transladado || k unidades para baixo se 0<k . 
 
Observe o gráfico das funções a seguir: 
 
 
 
Sejam agora as funções )(xfy = e )( hxfy += . O gráfico de )( hxfy += é o gráfico 
de )(xfy = : 
 
• transladado h unidades para a esquerda se .0>h 
• transladado || h unidades para direita se .0<h 
 
Observe o gráfico das funções a seguir: 
 
 
 
 
 
xxfy == )( 
3−= xy 
2+= xy 
2)( xxfy == 
2)3( −= xy 
2)2( += xy 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 43
Exemplo 85: Tomando como referência o gráfico da função xy = e os conceitos de 
translação vertical e horizontal, determine a equação de cada função representada no 
gráfico abaixo: 
 
 
 
 
Exemplo 86: A figura a seguir mostra o gráfico da função 2xy = . Usando o conceito de 
translação, faça o gráfico das seguintes funções: (OBS: Utilize o gráfico abaixo). 
 
a) 4)1()( 21 −−= xxf 
b) 2)2()( 22 ++= xxf 
c) 5)3()( 23 +−= xxf 
d) 5)6()( 24 −+= xxf 
e) 1)5()( 25 +−= xxf 
f) 3)1()( 26 ++= xxf 
 
xy = 
 
 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 44
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
 
 
1.11. Funções compostas 
 
Sejam os diagramas: 
 
 
 
Função Simples: y = f(x) 
 
 
 
 
 
 
Função composta de f e g: y = f(g(x)) 
 
 
 
 
 
Notações: fog , “f de g”, função composta de f e g. 
 
Exemplo 87: Escreva a expressão da função ))(( xgf sendo 1)( 2 −= xxg e 
7)( −= xxf . 
 
x f y 
x g h f y 
h = g(x) y = f(h) 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 45
Exemplo 88: Escreva a expressão de ))(( xgf e determine )),2((gf sendo 7)( −= xxf 
e 2)( xxg = . 
 
Exemplo 89: Sejam xxf =)( ,
4
)( xxg = e 84)( −= xxh . Encontre )))((( xfgh . 
 
Exemplo 90: Se 54)( −= xxu , 2)( xxv = e 
x
xf 1)( = , encontre as expressões para as 
seguintes funções: 
 
a) )))((( xfvu b) )))((( xvfu c) )))((( xfuv 
 
d) )))((( xufv e) )))((( xvuf f) )))((( xuvf 
 
Exemplo 91: Dadas as funçõesreais 1)( 2 −= xxh , 
x
x
xf
−
−
=
3
2)( e 22)( −= xxg , 
determine: 
 
a) o domínio de ))(( xfh . 
b) a(s) raiz(es) de ))(( xfg . 
 
Exemplo 92: Dadas as funções 3)( += xxf e 1)( 2 −= xxg , calcule o valor de 
)0(fog . 
 
Exemplo 93: Sejam f e g funções de ℜ em ℜ , sendo ℜ o conjunto dos números reais, 
dadas por 32)( −= xxf e 14))(( +−= xxgf . Nestas condições, determine )1(−g . 
 
 
1.12. Funções exponenciais 
 
1.12.1. Definição 
 
Dado um número real a, tal que 0>a e 1≠a , denomina-se função exponencial de base 
a à função xaxf =)( definida para todo x real. O domínio da função exponencial é 
ℜ=D e o conjunto imagem é ∗+ℜ=Im . 
 
Exemplo 94: Por que devemos ter 0>a e 1≠a ? 
 
 
1.12.2. Propriedades 
 
Considerando 0>a , 0>b , 1≠a , 1≠b e ℜ∈yx, , as seguintes propriedades são 
válidas: 
 
P1) 1=xa , se 0=x 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 46
P2) ℜ∈∀x , temos 0)( >= xaxf , ou seja, para qualquer valor real de x, 
}0/{Im >ℜ∈= yy *+ℜ= . 
 
P3) xaxf =)( é crescente .1>∀a 
 
P4) xaxf =)( é decrescente .10 <<∀ a 
 
P5) yxyx aaa +=. 
 
P6) yxy
x
a
a
a
−
= 
 
P7) ( ) yxyx aa .= 
 
P8) xxx baba ).(. = 
 
P9) 
x
x
x
b
a
b
a






= 
 
Observações: 
 
O1) xxx baba +≠+ )( 1≠∀x 
O2) yxx aa y )(≠ 
O3) xx 632 ≠⋅ 
 
1.12.3. Gráficos 
 
1>a
 – Função Crescente 10 << a – Função Decrescente 
 
 
ℜ=)( fD
 
*)Im( +ℜ=f
 
ℜ=)( fD
 
*)Im( +ℜ=f
 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 47
Nos dois gráficos representados, a função não assume o valor zero. Portanto não existe 
raiz real. 
 
Uma função exponencial especial amplamente utilizada na engenharia é a função 
exponencial natural xexf =)( , na qual a base é o número e =2,718281828... , chamado 
de número de Euler. 
 
1.12.4. Aplicações 
 
As funções exponenciais aparecem em aplicações que envolvem: 
 
- crescimento populacional; 
- decaimento radioativo; 
- carga e descarga de elementos de circuitos; 
- taxas de juros; 
- resfriamento de corpos; 
- etc. 
 
Exemplos 95: O número de bactérias numa cultura após t horas é dado pela expressão: 
teB .693,0100=
. 
 
a) Qual o número inicial de bactérias presentes? 
b) Quantas bactérias estarão presentes após 6 horas? 
 
Exemplo 96: (ASG, 2º sem de 2010) Estima-se que, daqui a t anos, a população de 
certa cidade do interior de MG será dada, em milhares de habitantes, por 
ttP 02,0360)( ×= . Pede-se: 
 
a) Qual é a população atual desta cidade? 
b) Em que ano a população desta cidade será de 540 mil habitantes? 
c) Se utilizarmos a mesma equação para estimar a população desta cidade nos anos 
anteriores, em que ano sua população era de 20 mil habitantes? 
 
Exemplo 97: Você faz um investimento de R$ 2.000,00 onde a taxa de rendimento é de 
8 % ao ano. Pede-se: 
 
a) Uma equação que calcula o montante acumulado depois de t anos. 
b) Qual o capital acumulado após 16 anos? 
 
Exemplo 98: O modelo de decaimento radioativo é dado por troeyy .−= , onde: 
 
y � quantidade de elemento radioativo presente em um instante t. 
yo � quantidade inicial de elemento radioativo (t = 0). 
r � constante que mede a velocidade de decaimento, 0>r . 
 
Para o carbono 14, 4102,1 −×=r para t dado em anos. Pergunta-se: qual a porcentagem 
de carbono 14 presente após 800 anos? 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 48
Exemplo 99: Associe as funções aos gráficos abaixo: 
 
(1) xy 2= (2) xy −= 3 (3) xy −−= 3 
(4) xy −−= 5,0 (5) 22 −= −xy (6) 25,1 −= xy 
 
( ) ( ) ( ) 
 
( ) ( ) ( ) 
 
 
 
Uma equação é exponencial quando a variável é expoente de uma ou mais potências dos 
termos desta equação. 
 
Exemplo 100: Encontre a solução das equações exponenciais a seguir: 
 
a) 11 3322 −+ +=+ xxxx 
 
b) 5,0164 =⋅ x 
 
c) 01,01000 =x 
 
d) ( ) 128 2781 =x 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 49
e) 314
9
425,2 =+x 
 
f) 12 652 =+− xx 
 
g) 82222 121 −=+−+ −++ xxxx 
 
h) 



=
=
−
+
42
1282
106
32
yx
yx
 
 
i) 122223 )()( +− = xxx aa 
 
j) 008,0)2,0(3 1 =−x 
 
k) 1221 77205277 ++−− −=+− xxxx 
 
l) 025512455 2 =−⋅+⋅ xx 
 
m) 542 25)2(34 ⋅=⋅+ +xx 
 
n) 0932633 2 =−⋅−⋅ xx 
 
 
Exemplo 101: Encontre a solução das inequações exponenciais a seguir: 
 
a) 
4
14 >x 
b) 
132
3
1
3
1 −






<





xx
 
c) ( ) ( ) 32224 1,01,0 2 −−− < xxx 
 
d) 15 42 >−x 
 
 
1.13. Funções inversas e funções logarítmicas 
 
1.13.1. Função injetora 
 
Uma função )(xf é injetora no domínio fD se )()( bfaf ≠ sempre que ba ≠ . 
 
Exemplo 102: Considere o gráfico das funções: 31 )( xxf = e 22 )( xxf = . Podemos 
afirmar que as duas são funções injetoras? 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 50
3
1 )( xxf = 22 )( xxf = 
 
 
Para a função 31 )( xxf = notamos que para todo ba ≠ , a condição )()( bfaf ≠ é 
satisfeita. Já para o gráfico de 22 )( xxf = , isso não acontece. De fato se tivermos 2=a 
e 2−=b , 4)()( == bfaf . Portanto, conclui-se que a função )(1 xf é injetora, já a 
função )(2 xf não é injetora. 
 
Graficamente podemos saber se uma função é ou não injetora fazendo o teste da reta 
horizontal. Traçando diversas retas horizontais no gráfico de uma função )(xf 
qualquer, esta reta só pode interceptar curva da função em um único ponto. Se esta 
condição for satisfeita, dizemos que )(xf é injetora. 
 
1.13.2. Função Inversa 
 
Somente uma função injetora pode ser invertida. A função definida pela inversa de uma 
função injetora )(xf é a inversa de )(xf , cujo símbolo é: )(1 xf − . ATENÇÃO: 
)(1 xf − não significa )(1 xf . 
 
Dadas duas funções )(xf e )(xg podemos dizer que f e g são inversas uma da outra se 
e somente se: xxgf =))(( e xxfg =))(( . Nesse caso: )()( 1 xfxg −= e )()( 1 xgxf −= . 
 
Se )(xf e )(xg são duas funções inversas, então o domínio de uma é igual à imagem 
da outra, ou seja, 
 
gfD Im= e fgD Im= 
 
Exemplo 103: Verifique se as funções 23)( += xxf e 
3
2)( −= xxg são inversas. 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 51
Exemplo 104: Determine a inversa de 1
2
1
+= xy e esboce os gráficos das duas 
funções. Note que o gráfico da função )(xf e o gráfico de sua inversa, )(1 xf − , são 
simétricos em relação à função identidade ( xy = ). 
 
Exemplo 105: Determine a inversa, o domínio e a imagem da função 
2
3)(
−
+
=
x
x
xf . 
 
 
1.13.3. Função logarítmica de base a 
 
A função logarítmica de base a, representada por )(log)( xxf a= é a função inversa da 
função exponencial xaxf =)( , onde 0>a e 1≠a . Portanto, 
 
xayx ya =↔=)(log 
 
Vimos anteriormente que o domínio da função )(xf é igual à imagem de sua inversa 
)(1 xf − , e que a imagem de )(xf é o domínio da inversa )(1 xf − . Sendo assim, 
podemos afirmar que a função logarítmica apresenta: 
 
- Domínio: *+ℜ=D 
- Imagem: ℜ=Im 
 
Observe os gráficos abaixo: 
 
1>a 10 << a 
 
 
 
ℜ== − )Im()( 1ffD 
*1)()Im( +− ℜ== fDf 
ℜ== − )Im()( 1ffD 
*1)()Im( +− ℜ== fDf 
 
 
De forma geral, temos: 
xxf 2)( = 
)(log)( 21 xxf =− 
xxf )2/1()( = 
)(log)(
2
1
1 xxf =−
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 52
 
 
 
As funções logarítmicas de base10 e base e possuem nomes e notações típicas: 
 
- )ln()(log xxy e == : função logaritmo natural de x ou função logaritmo neperiano de x. 
- )log()(log10 xxy == : função logaritmo decimal de x. 
 
As seguintes propriedades são válidas: 
 
P1) 0)1(log =a 
 
P2) 1)(log =aa 
 
P3) na na =)(log 
 
P4) ba ba =)(log 
 
P5) Se b = c, então )(log)(log cb aa = 
 
P6) )(log)(log xpx apa ⋅= 
 
P7) Logaritmo do produto: )(log)(log)(log 2121 xxxx aaa +=⋅ 
 
P8) Logaritmo do quociente: )(log)(loglog 21
2
1 xx
x
x
aaa −=





 
 
P9) Mudança de base: )log(
)log(
)ln(
)ln(
)(log
)(log)(log
b
x
b
x
b
x
x
a
a
b === 
 
 
Exemplo 106: Determine )625(log 51 
 
Exemplo 107: Qual a base a do sistema de logaritmos, onde o logaritmo de 7 é 1/4? 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 53
Exemplo 108: Qual é o número cujo logaritmo no sistema de base 3 9 é 0,75? 
 
Exemplo 109: Determine o valor de x para: 
 
a) 5)00032,0(log =x 
 
b) ( ) 3278log −=x 
 
c) 
12
115255log 3 −=




x 
 
d) 
P
NNx =)(log 
e) 53)ln( += tx 
 
f) 
4log
8log
2log
2log
=
+
−
x
x
 
 
Exemplo 110: Num sistema de logaritmos, o logaritmo da base aumentada de 2 é 2. 
Qual é a base do sistema? 
 
Exemplo 111: Um aplicador investe R$ 10.000,00 em um negócio que rende 5,25 % de 
juros compostos ao ano. Em quanto tempo esse aplicador terá um saldo de R$ 
25.000,00? 
 
Exemplo 112: Expresse as relações seguintes em função de um só logaritmo: 
 
a) 3log5log
2
1
22 + 
 
b) 23log52log +− aa 
 
c) 12log23log
3
1
55 −+ 
 
Exemplo 113: Determine o domínio das seguintes funções: 
 
a) )1(log 22 −= xy 
 
b) 





+−
+⋅
=
23
)1(log 2
2
2
1
xx
xxy 
 
c) 





−= )3(loglog
3
13 xy 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 54
d) [ ])3(loglog 22
2
1 −= xy 
 
Exemplo 114: Encontre a solução das equações a seguir: 
 
a) 





=





−+





+
9
24log
3
1log
3
1log xx 
b) 1)log(
2
1)53log(
2
1
=+− xx 
c) 2)11(log)7(log 22 =−−+ xx 
d) 2)(log )625(5 xx x = 
e) 4)(log327 xx x = 
f) )5log()1log(1
2
1log3
5
1log2 +−+=




 −
+




 −
x
xx
 
g) 9)(log512 ax xa =+ 
 
Exemplo 115: Dados 30103,0)2log( = , 47712,0)3log( = e 69897,0)5log( = , 
determine: 
 
a) )02,0log( 
b) )300log( 
c) )2000log( 
d) )003,0log( 
e) )500log( 
 
Exemplo 116: Calcule os valores de m para que )76log( 2 +− mm seja: 
 
a) real 
b) positivo 
c) negativo 
d) nulo 
 
Exemplo 117: Esboce o gráfico das funções a seguir indicando o domínio e a imagem 
de cada uma: 
 
a) )(log2 xy = 
b) 1)(log
2
1 −



= xy 
c) )1(log2 −= xy 
 
Exemplo 118: (ASG, 2º sem de 2011) Considere que o nível de álcool no sangue de 
uma pessoa decresce de acordo com a fórmula: 
ttN )5,0.(2)( = 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 55
onde N é dado em gramas por litro e t é o tempo medido em horas a partir do momento 
em que o nível de álcool foi constatado. 
 
Sabendo-se que o limite de álcool no sangue para dirigir com segurança é de 0,8 gramas 
por litro e que t em minutos é o tempo necessário para que o motorista espere até 
alcançar o nível permitido para dirigir com segurança, determine este valor de t. 
Considere log (2) = 0,3. 
 
Exemplo 119: (ASG, 1º sem de 2010) Quando um paciente ingere um medicamento, a 
droga entra na corrente sanguínea e, ao passar pelo fígado e pelos rins, é metabolizada e 
eliminada a uma taxa que é proporcional à quantidade presente no corpo. Suponha uma 
dose única de um medicamento cujo princípio ativo é de 250 mg. A quantidade q desse 
princípio ativo que continua presente no organismo t horas após a ingestão é dada pela 
expressão ttq )6,0(250)( ⋅= . Usando 1,1)3ln( = , 6,1)5ln( = e 7,0)2ln( = , pede-se qual 
o tempo necessário para que a quantidade dessa droga presente no corpo do paciente 
seja menor que 50 mg. 
 
Exemplo 120: Considerando o exemplo 98, qual é o tempo de meia vida do carbono-14, 
ou seja, em quanto tempo ocorre o decaimento de metade de sua quantidade inicial? 
 
Exemplo 121: Uma população de mosquitos desenvolve-se segundo o modelo dado 
pela função 0,01t0 e)( ×= PtP , onde o tempo t é dado em dias. Pede-se: 
 
a) Qual é a população inicial de mosquitos, sabendo que após 40 dias a população é de 
aproximadamente 400.000 indivíduos? 
b) Em quantos dias a população de mosquitos triplica? 
 
 
1.14. Funções trigonométricas 
 
1.14.1. Conceitos iniciais 
 
A trigonometria é a área da matemática que estuda relações entre as medidas de lados e 
ângulos de um triângulo retângulo. Um triângulo retângulo é um triângulo que possui 
um ângulo reto (que mede 90º). A figura a seguir mostra um triângulo retângulo e a 
nomenclatura utilizada para seus lados. 
 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 56
Para todo triângulo retângulo, a relação de Pitágoras é válida: ²²² bac += 
 
As funções trigonométricas básicas são definidas por: 
 
c
b
sen =)(α 
c
a
=)cos(α 
a
b
tg =)(α 
 
c
a
sen =)(β 
c
b
=)cos(β 
b
a
tg =)(β 
 
De acordo com as definições acima, é fácil notar que quando dois ângulos α e β são 
complementares, o seno de um deles é igual ao cosseno do outro. 
 
Existem duas unidades mais utilizadas para medidas de arcos: o grau e o radiano, cuja 
conversão se dá através de uma regra de três simples, sabendo que 180º correspondem a 
pi radianos. Um radiano é o ângulo definido em um círculo por um arco de 
circunferência com o mesmo comprimento que o raio do referido círculo. Um grau é a 
medida de um ângulo correspondente a 1/360 de uma circunferência. 
 
Consideremos agora uma circunferência trigonométrica (circunferência de raio unitário 
cujo centro se localiza na origem dos eixos de coordenadas cartesianas) e um arco AM, 
conforme mostrado na figura a seguir. 
 
 
 
 
Observando a circunferência trigonométrica, podemos obter as seguintes relações para 
um determinado ângulo θ: 
 
ysen =)(θ 
x=)cos(θ 
AP
x
y
tg ==)(θ 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 57
1.14.2. Valores e sinais do seno, cosseno e tangente de um arco 
 
Faremos agora um estudo do sinal das funções trigonométricas observando cada 
quadrante da circunferência trigonométrica mostrada a seguir. 
 
 
 
� 1º Quadrante 
 
0)( >θsen 0)cos( >θ 0)( >θtg 
 
� 2º Quadrante 
 
0)( >θsen 0)cos( <θ 0)( <θtg 
 
� 3º Quadrante 
 
0)( <θsen 0)cos( <θ 0)( >θtg 
 
� 4º Quadrante 
 
0)( <θsen 0)cos( >θ 0)( <θtg 
 
A tabela a seguir traz os valores de seno, cosseno e tangente para alguns arcos 
principais. 
 
θ θ )(θsen )cos(θ )(θtg 
pi20 ≡ o3600 ≡ 0 1 0 
6pi 30º 21 23 33 
4pi 45º 22 22 1 
3pi 60º 23 21 3 
−→ 2piθ , ∞→)(θtg 
2pi 90º 1 0 +→ 2piθ , −∞→)(θtg 
pi 180º 0 1− 0 
−→ 23piθ , +∞→)(θtg 
23pi 270º 1− 0 +→ 23piθ , −∞→)(θtg 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 58
Os valores das funções são dados na tabela para os principais arcos pertencentes ao 1º 
quadrante da circunferência trigonométrica (além dos arcos π/2 rad, π rad e 3π/2 rad, 
que dividem os quadrantes). Dessa forma, utilizando a análise do sinal das funções 
trigonométricas vista anteriormente, torna-sefácil obter os valores de seno, cosseno e 
tangente para os principais arcos dos outros três quadrantes. 
 
1.14.3. Detalhamento das funções trigonométricas 
 
a) Função seno 
 
Na figura a seguir, o segmento Oy' que mede sen(x), é a projeção do segmento OM 
sobre o eixo OY. 
 
 
 
Propriedades da função seno: 
 
• Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais. Sendo assim seu 
domínio é dado por ℜ=fD . 
 
• Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo 
 
{ } ]1,1[11Im −=≤≤−ℜ∈= yyf 
 
• Periodicidade: A função é periódica de período 2pi. Para todo x em ℜ e para todo k 
em Ζ , temos 
 
)2()( pikxsenxsen += ℜ∈∀x Ζ∈∀k 
 
Completamos o gráfico da função seno, repetindo seus valores em cada intervalo de 
medida 2pi. 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 59
• Simetria: A função seno é ímpar, pois para todo x real, )()( xsenxsen −−= . 
 
b) Função cosseno 
 
Na figura a seguir, o segmento Ox' que mede cos(x), é a projeção do segmento OM 
sobre o eixo horizontal OX. 
 
 
 
Propriedades da função cosseno: 
 
• Domínio: A função cosseno está definida para todos os valores reais. Sendo assim 
seu domínio é dado por ℜ=fD . 
 
• Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo 
 
{ } ]1,1[11Im −=≤≤−ℜ∈= yyf 
 
• Periodicidade: A função é periódica de período 2pi. Para todo x em ℜ e para todo k 
em Ζ , temos 
 
)2cos()cos( pikxx += ℜ∈∀x Ζ∈∀k 
 
Completamos o gráfico da função cosseno, repetindo seus valores em cada intervalo de 
medida 2pi. 
 
 
• Simetria: A função cosseno é par, pois para todo x real, )cos()cos( xx −= . 
 
 
 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 60
c) Função tangente 
 
A função tangente é obtida através da relação entre as funções seno e cosseno: 
 
)cos(
)()(
x
xsen
xtg = 
 
Na figura a seguir, o segmento AT mede a tg(x). 
 
 
 
Propriedades da função tangente: 
 
• Domínio: Para todo valor inteiro de k, o domínio da função tangente é dado por 
 





 Ζ∈+≠ℜ∈= kkxxD f ,2
)12( pi
 
 
• Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto de todos os reais, ou 
seja, ℜ=fIm . 
 
• Periodicidade: A função é periódica de período pi. Para todo fDx ∈ e para todo k 
inteiro, temos 
 
)()( pikxtgxtg += fDx ∈∀ Ζ∈∀k 
 
Completamos o gráfico da função tangente, repetindo seus valores em cada intervalo de 
medida pi. 
 
 
• Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo fDx ∈ , )()( xtgxtg −−= . 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 61
 
d) Função cotangente 
 
A função cotangente é obtida através da relação entre as funções cosseno e seno: 
 
)(
1
)(
)cos()(cotg
xtgxsen
x
x == 
 
Na figura a seguir, o segmento BS mede a cotg(x). 
 
 
 
Propriedades da função cotangente: 
 
• Domínio: Para todo valor inteiro de k, o domínio da função cotangente é dado por 
 
{ }Ζ∈≠ℜ∈= kkxxD f ,pi 
 
• Imagem: O conjunto imagem da função cotangente é o conjunto de todos os reais, ou 
seja, ℜ=fIm . 
 
• Periodicidade: A função é periódica de período pi. Para todo fDx ∈ e para todo k 
inteiro, temos 
 
)(cotg)(cotg pikxx += fDx ∈∀ Ζ∈∀k 
 
Completamos o gráfico da função cotangente, repetindo seus valores em cada intervalo 
de medida pi. 
 
 
• Simetria: A função cotangente é ímpar, pois para todo fDx ∈ , )(cotg)(cotg xx −−= . 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 62
 
e) Função secante 
 
A função secante é obtida definida por 
 
)cos(
1)sec(
x
x = 
 
Na figura a seguir, o segmento OV mede a sec(x). 
 
 
 
Propriedades da função secante: 
 
• Domínio: Para todo valor inteiro de k, o domínio da função secante é dado por 
 





 Ζ∈+≠ℜ∈= kkxxD f ,2
)12( pi
 
 
• Imagem: O conjunto imagem da função secante é o conjunto dado por 
 
{ }1||/Im ≥ℜ∈= yyf 
 
• Periodicidade: A função é periódica de período 2pi. Para todo fDx ∈ e para todo k 
inteiro, temos 
)2(s)(s pikxecxec += fDx ∈∀ Ζ∈∀k 
 
Completamos o gráfico da função secante, repetindo seus valores em cada intervalo de 
medida 2pi. 
 
• Simetria: A função secante é par, pois para todo fDx ∈ , )sec()(s xxec −= . 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 63
 
f) Função cossecante 
 
A função cossecante é obtida definida por 
 
)(
1)sec(cos
xsen
x = 
 
Na figura a seguir, o segmento OU mede a cossec(x). 
 
 
 
Propriedades da função cossecante: 
 
• Domínio: Para todo valor inteiro de k, o domínio da função cossecante é dado por 
 
{ }Ζ∈≠ℜ∈= kkxxD f ,pi 
 
• Imagem: O conjunto imagem da função cossecante é o conjunto dado por 
 
{ }1||/Im ≥ℜ∈= yyf 
 
• Periodicidade: A função é periódica de período 2pi. Para todo fDx ∈ e para todo k 
inteiro, temos 
 
)2(scos)(coss pikxecxec += fDx ∈∀ Ζ∈∀k 
 
Completamos o gráfico da função cossecante, repetindo seus valores em cada intervalo 
de medida 2pi. 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 64
 
• Simetria: A função cossecante é ímpar, pois para todo fDx ∈ , 
)sec(cos)(coss xxec −−= . 
 
1.14.4. Relações trigonométricas importantes 
 
Relação trigonométrica fundamental 
 



=+→÷
=+→÷
=+ )(cosec)(cotg1)(sen
)(sec)(tg1)(cos
 1)(cos)(sen 222
222
22
xxx
xxx
xx 
 
 
Adição e Subtração de Arcos 
 
1) )()()cos()cos()cos( bsenasenbaba −=+ 
 
2) )()()cos()cos()cos( bsenasenbaba +=− 
 
3) )cos()()cos()()( absenbasenbasen +=+ 
 
4) )cos()()cos()()( absenbasenbasen −=− 
 
5) )).tg(tg(1
)tg()tg()tg(
ba
baba
m
±
=± 
 
 
Duplicação de Arcos 
 
Fazendo a=b e substituindo na relação (1), encontramos: 
 
)()(cos)2cos( 22 asenaa −= 
 
Fazendo a=b e substituindo na relação (3), encontramos: 
 
)cos()(2)2( aasenasen = 
 
Somando as relações (1) e (2), encontramos: 
 
)cos()cos(2)cos()cos( bababa =−++ 
 
Adotando 
qba
pba
=−
=+
⇔


 −
=
+
=
22
qpbqpa 
 
Assim, teremos 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 65





 −





 +
=+
2
cos
2
cos2)cos()cos( qpqpqp 
 
Somando as relações (3) e (4), encontramos: 
 
)cos()(2)()( basenbasenbasen =−++ 
 
Adotando 
qba
pba
=−
=+
⇔


 −
=
+
=
22
qpbqpa 
 
Assim, teremos 
 





 −





 +
=+
2
cos
2
2)()( qpqpsenqsenpsen 
 
Várias outras relações trigonométricas podem ser obtidas através das apresentadas 
anteriormente. Como exercício, tente obter as relações para a diferença de dois senos e 
para a diferença de dois cossenos. 
 
 
Bissecção de Arcos 
 
2
)cos(1
2
sen
aa −±=





 
2
)cos(1
2
cos
aa +±=





 
)cos(1
)cos(1
2
tg
a
aa
+
−±=





 
 
 
Exemplo 122: Converta os seguintes ângulos de radianos para graus: 
 
a) 6pi 
b) 35pi 
c) 47pi 
d) 67pi 
 
Exemplo 123: Determine o domínio das funções a seguir no universo [ [pi2,0 : 
 
a) )(xseny = 
b) 1)cos( −= xy 
c) )2( pi+= xtgy 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 66
Exemplo 124: Determine o período das funções a seguir: 
 
a) )3( pi−= xseny 
b) 





+=
42
cos3 pixy 
c) )4(2 xseny = 
d) 1
3
cos3 −




=
xy 
 
Exemplo 125: Determine p de modo que a equação 13)( 2 +−= ppxsen tenha solução. 
 
Exemplo 126: Determine o valor de m sabendo-se que o período da função 






=
m
xy cos é 
3
7pi
. 
 
Exemplo 127: Esboce o gráfico (para x variando de 0 a pi2 ) das funções a seguir. Em 
seguida determine o período e o conjunto imagem de cada uma delas. 
 
a) )cos(xy = 
b) )2sen(1 xy += 
c) 1)2cos(3 −= xy 
d) 





=
4
sen
xy 
e) 





++=
4
sen1 πxy 
f) 2
2
2cos −





−=
π
xy 
 
Exemplo 128: Sendo θ um ângulo tal que piθ <<0 e 21)sen( =θ , determine 
)cos(θ e )(θtg . 
 
Exemplo 129: Calcule, utilizando a operação com arcos: 
 
a) )75cos( ° 
b) 





−
6
2sen pipi 
 
Exemplo 130: Dados 41)4cos( −=x (4x é arco do 2° quadrante), determine )8sen( x , 
)8cos( x , )8( xtg e o quadrante a que pertence o arco 8x. 
 
Exemplo 131: Determine [ ]pi,0∈x tal que 0)3cos()5cos( =+ xx . 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 67
 
Exemplo 132: Dado 
5
3)sen( =x e 



∈ ,π
π
x
2
, calcule cos(x) e tg(x). 
 
Exemplo 133: Dado 
3
1)cos( =x e 



∈ π,
π
x 2
2
3
, calcule sen(x) e tg(x). 
 
Exemplo 134: Dado 
2
1)tg( =x e 



∈
2
3π
π,x , calcule sen(x) e cos(x). 
 
Exemplo 135: Determine os valores de m que satisfazem a equação 
7
12)sen( −= mx , 
sabendo que pi ≤ x ≤ 2pi. 
 
Exemplo 136: Determine os valores de m que satisfazem a equação 
5
12)cos( += mx , 
sabendo que 0 ≤ x ≤ pi. 
 
Exemplo 137: Sendo a ∈ 3ºQ, b ∈ 4ºQ e tendo-se 
3
4)tg( =a e 
5
13)sec( =b , calcule o 
valor de cos(a+b). 
 
Exemplo 138: Se 
5
2)sen( =x e 90º<x<180º, determine o valor da expressão 
)sec(
)cotg()tg(
x
xxy += . 
 
Exemplo 139: Simplifique a expressão 
cossec(x)
)(cotg)(seccos
)(1
)(cos 22
2
2 xx
xsen
x −
−
−
. 
 
Exemplo 140: Se 
5
3)sen( −=x e 180º < x < 270º, determine o valor de: 
 
a) )sen(2xy = 
b) 





=
2
sen
xy 
 
Exemplo 141: O gráfico a seguir representa uma função do formato 
CBxAy +⋅= )cos( . Pede-se: 
 
a) Os valores de A, B e C. 
b) O domínio desta função. 
c) A imagem desta função. 
d) O período desta função. 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 68
 
 
 
 
1.15. Funções trigonométricas inversas 
 
Vimos anteriormente que para uma função qualquer admitir uma inversa, a mesma deve 
ser injetora em seu domínio. A princípio, as funções trigonométricas não admitem 
funções inversas, pelo fato de não serem injetoras, ou seja, as mesmas possuem o 
mesmo valor de imagem para valores diferentes do domínio. Entretanto, se o domínio 
de cada uma delas for restringido a um intervalo, é possível obter suas funções inversas. 
 
A seguir detalharemos cada função trigonométrica inversa. 
 
1.15.1. Função arco-seno 
 
É a função inversa obtida após a limitação do domínio da função seno, conforme 
mostrado a seguir. 
 
 
 
)(sen xy = 
 




−=
2
,
2
pipiD 
 
[ ]1,1Im −= 
 
 
A função inversa arco-seno é dada por: 
 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 69
 
 
)(arcsen xy = 
 
[ ]1,1−=D 
 




−=
2
,
2
Im pipi 
 
 
1.15.2. Função arco-cosseno 
 
É a função inversa obtida após a limitação do domínio da função cosseno, conforme 
mostrado a seguir. 
 
 
 
)cos(xy = 
 
[ ]pi,0=D 
 
[ ]1,1Im −= 
 
 
A função inversa arco-cosseno é dada por: 
 
 
 
)(arccos xy = 
 
[ ]1,1−=D 
 
[ ]pi,0Im = 
 
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1.15.3. Função arco-tangente 
 
É a função inversa obtida após a limitação do domínio da função tangente, conforme 
mostrado a seguir. 
 
 
 
)(tg xy = 
 




−=
2
,
2
pipiD 
 
ℜ=Im 
 
 
A função inversa arco-tangente é dada por: 
 
 
 
)(arctg xy = 
 
ℜ=D 
 




−=
2
,
2
Im pipi 
 
1.15.4. Função arco-cotangente 
 
É a função inversa obtida após a limitação do domínio da função cotangente, conforme 
mostrado a seguir. 
 
 
 
)(cotg xy = 
 
] [pi,0=D 
 
ℜ=Im 
 
 
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A função inversa arco-cotangente é dada por: 
 
 
 
)(arccotg xy = 
 
ℜ=D 
 
] [pi,0Im = 
 
1.15.5. Função arco-secante 
 
É a função inversa obtida após a limitação do domínio da função secante, conforme 
mostrado a seguir. 
 
’ 
 
)(sec xy = 
 





 ≠≤≤ℜ∈=
2
,0/ pipi xxxD 
 
{ }1/Im ≥ℜ∈= yy 
 
 
A função inversa arco-secante é dada por: 
 
 
 
)(arcsec xy = 
 
{ }1/ ≥ℜ∈= xxD 
 





 ≠≤≤ℜ∈=
2
,0/Im pipi yyy 
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1.15.6. Função arco-cossecante 
 
É a função inversa obtida após a limitação do domínio da função cossecante, conforme 
mostrado a seguir. 
 
’ 
 
)(seccos xy = 
 





 ≠≤≤−ℜ∈= 0,
22
/ xxxD pipi 
 
{ }1/Im ≥ℜ∈= yy 
 
 
A função inversa arco-cossecante é dada por: 
 
 
 
)(arccossec xy = 
 
{ }1/ ≥ℜ∈= xxD 
 





 ≠≤≤−ℜ∈= 0,
22
/Im yyy pipi 
 
Exemplo 142: Utilizando os conceitos de funções inversas, determine: 
 
a) ))(sen(arcsen x 
b) ))2(arcsen(sen x 
c) 











4
tgarctg pi 
d) ))2/1(cos(arccos − 
 
Exemplo 143: Determine x sabendo que )2/1(arcsen=x . 
 
Exemplo 144: Calcule: 
 
a) 











4
3
arcsentg 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 73
b) 











2
1
arccossec 
c) ))2sec((arccossen))1tg(arcsec( −− 
d) 











4
3
arctgsen 
 
Exemplo 145: Encontre o domínio da função ))log(1arccos( xy −= . 
 
 
1.16. Equações paramétricas 
 
1.16.1. Parametrização de curvas 
 
Considere uma partícula se deslocando no plano (em duas dimensões), descrevendo 
uma trajetória, como indicado no gráfico da figura a seguir. 
 
 
 
Em muitos casos, não há como descrever a trajetória da partícula como uma equação no 
formato )(xfy = . Por esta razão, é necessário utilizar uma terceira variável, por 
exemplo, t. Cada coordenada da posição da partícula em movimento será dada em 
função de t, chamado de parâmetro. Dessa forma, 
 
)(
)(
tgy
tfx
=
=
 
 
e cada posição da partícula será dada pelo ponto de coordenadas [ ])(),(),( tgtfyx = . 
 
Se x e y são definidos como funções )(tfx = e )(tgy = ao longo de um intervalo de 
valores de t, então o conjunto de pontos [ ])(),(),( tgtfyx = definido por essas equações 
é uma curva parametrizada. As equações são chamadas de equações paramétricas da 
curva. 
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Curso de Cálculo I – 1o Período 74
Se t é definido num intervalo fechado da forma bta ≤≤ , o ponto inicial é dado por 
[ ])(),(),( agafyx oo = e o ponto final [ ])(),(),( bgbfyx = . 
 
Exemplo 146: A posição de uma partícula deslocando-se em um plano xy é dada pelas 
seguintes equações e pelo intervalo do parâmetro: 
 
tx = , ty = onde 0≥t . Pede-se: 
 
a) Determinar a posição dessa partícula nos