Teste e Exames resolvidos de Calculo 1

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Instituto Superior Politécnico de Viseu 
Escola Superior de Tecnologia de Viseu 
Departamento de Matemática 
 
 
 
TESTES E EXAMES 
RESOLVIDOS DE CÁLCULO I 
− CET EM DESIGN MOBILIÁRIO − 
 
 
 
 
 
Jorge P. J. Santos 
Ano lectivo 2007/2008 
 
 
ÍNDICE 
1ª Teste – 20/05/2008 ......................................................................................................................................................... 1 
2ª Teste – 03/06/2008 ......................................................................................................................................................... 3 
3ª Teste – 03/06/2008 ......................................................................................................................................................... 7 
4ª Teste – 03/06/2008 ......................................................................................................................................................... 9 
Exame – 24/07/2008......................................................................................................................................................... 14 
1º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (20/05/2008) Jorge P. J. Santos 
 1
 
INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE VISEU 
1º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário 
Duração: 1h00m 20/05/2008 
________________________________________________________________________________________________ 
1. Resolva as seguintes condições em IR: 
a) −3×
2
31 x− − 
6
51 x− ≥ 
3
2 (2x − 5); b) 
32
1
62
1 22 xxxx −−=−− ; 
Resolução: 
a) −3×
2
31 x− −
6
51 x− ≥ 
3
2 (2x − 5) ⇔ −
2
3 +
2
9x −
6
1 +
6
5x ≥ 
3
4x −
3
10 ⇔ 
⇔ −
6
9 +
6
27x −
6
1 +
6
5x ≥ 
6
8x −
6
20 ⇔ − 9 + 27x − 1 + 5x ≥ 8x − 20 ⇔ 
⇔ 27x + 5x − 8x ≥ 9 + 1 − 20 ⇔ 24x ≥ − 10 ⇔ x ≥ −
24
10 ⇔ x ≥ −
12
5 
b) 
32
1
62
1 22 xxxx −−=−− ⇔ 
332
1
62
1
2
22 xxxx +−=−− ⇔ 
6
2
6
2
6
3
66
3
6
3 22 xxxx +−=−− ⇔ 
⇔ 3x2 − 3 − x = 3 − 2x + 2x2 ⇔ 3x2 − 3 − x − 3 + 2x − 2x2 = 0 ⇔ x2 + x − 6 = 0 ⇔ 
⇔ x =
12
)6(1411 2
×
−××−±−
 ⇔ x =
2
2411 +±− ⇔ x =
2
51±− ⇔ x = −3 ∨ x = 2 
________________________________________________________________________________________________ 
2. Resolva o sistema de equações e faça, se possível, a sua verificação 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+
=−+
=++
5
1262
22
zyx
zyx
zyx
. 
Resolução: 
No método de substituição começa-se por resolver uma das equações em ordem a umas das variáveis. Sendo assim 
pode-se começar por resolver a primeira equação em ordem a x. De seguida, substitui-se o valor obtido nas restantes 
equações. 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+
=−+
=++
5
1262
22
zyx
zyx
zyx
 ⇔ ( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+−−
=−+−−
−−=
522
126222
22
zyzy
zyzy
zyx
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+−−
=−+−−
−−−−−−−−−−−−−
522
126244
zyzy
zyzy ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−
=−
−−−−−−
32
832
zy
zy 
A seguir resolve-se uma outra equação, a segunda ou a terceira, em ordem a uma outra variável, a variável y ou a 
variável z. Pode-se então resolver a terceira equação em ordem a y e substituir o valor obtido nas restantes equações 
1º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (20/05/2008) Jorge P. J. Santos 
 2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=−
−−−−−−
−−−−−−
zy 23
 ⇔ 
( )
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
=−−−
−−−−=
zy
zz
zzx
23
83232
2322
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−−−−−−−
=−−−
−++=
8346
462
zz
zzx
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−−−−
=−
+=
147
38
z
zx
 
Finalmente resolve-se a única equação que sobrou, a segunda, em ordem à única variável que sobrou, a variável z, e 
substitui-se o valor obtido nas restantes equações 
( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
−×−−=
−=
−×+=
223
2
238
y
z
x
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−=
=
1
2
2
y
z
x
 
Para terminar, falta fazer a verificação 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=−−+=−+
=++=−−×+×=−+
=−+=−+×+=++
5212)2(12
12264)2(162262
2222)2(1222
zyx
zyx
zyx
 
2º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (04/06/2008) Jorge P. J. Santos 
 3
 
INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE VISEU 
2º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário 
Duração: 1h00m 04/06/2008 
________________________________________________________________________________________________ 
1. Considere a função f definida graficamente por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Indique o domínio e o contradomínio. 
b) Apresente os extremos da função (máximos relativos, máximo absoluto, mínimos relativos e mínimo absoluto). 
c) Indique os valores dos objectos que correspondem à imagem (−2). 
d) Indique os zeros de f. 
e) Calcule a taxa de variação média da função f no intervalo [−4,−1]. 
f) Apresente os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente. 
g) Indique os intervalos em que f é positiva e em que f é negativa. 
Resolução: 
a) O domínio da função f corresponde ao intervalo Df = [−6,6] e o contradomínio corresponde ao intervalo 
D’f = ]−3,1]∪[3,7]. 
b) A função f possui os máximos relativos f(−6) = 7, f(−1) = 6, f(3) = 1 e f(6) = 0 e os mínimos relativos f(−3) = 3 e 
f(5) = −2. A função f não possui mínimo absoluto e o máximo absoluto de f é f(−6) = 7. 
c) Os objectos que correspondem à imagem −2 são 1 e 5. 
d) A função f possui os zeros x = 0, x = 2, x = 4 e x = 6. 
e) A taxa de variação média de f em [−4,−1] é dada por 
tvm[−4,−1] = ab
afbf
−
− )()( =
)4(1)(
)4(1)(
−−−
−−− ff =
41
46
+−
− =
3
2 . 
f) A função f é crescente nos intervalos [−3,−1], ]0,3] e [5,6] e é decrescente nos intervalos [−6,−3], [−1,0] e [3,5]. 
−4 −3 −2 −1 32 4 5 6 x7−5 1−6−7
2
−1
−2
3
1
4
5
−3
−4
−5
6
7
y
2º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (04/06/2008) Jorge P. J. Santos 
 4
g) A função f é positiva para x∈[−6,0[∪]2,4[ e é negativa para x∈]0,2[∪]4,6[. 
________________________________________________________________________________________________ 
2. Considere a função real de variável real definida por 
f(x) =
[ [
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈−
−∈−+
82se1
2
1
28se62
2
1 2
,xx
,xxx
. 
a) Calcule f(−8), f(−4), f(0), f(2) e f(8). 
b) Determine, analiticamente, os zeros de f. 
c) Diga, justificando a partir das alíneas anteriores, se a função é injectiva. 
d) Determine o vértice do gráfico da função definida analiticamente por g(x) = 2
1 x2 + 2x − 6. 
e) Represente graficamente a função. 
Resolução: 
a) f(−8) =
2
1 × (−8)2 + 2×(−8) − 6 = 32 − 16 − 6 = 10; f(−4) =
2
1 × (−4)2 + 2×(−4) − 6 = 8 − 8 − 6 = − 6; 
 f(0) =
2
1 × 02 + 2×0 − 6 = 0 + 0 − 6 = − 6; f(2) =
2
1 × 2 − 1 = 1 − 1 = 0. 
 f(8) =
2
1 × 8 − 1 = 4 − 1 = 3. 
b) No intervalo [−8,2[ os zeros da função f são dados por 
f(x) = 0 ∧ x∈[−8,2[ ⇔ 
2
1 x2 + 2x − 6 = 0 ∧ x∈[−8,2[ ⇔ 
2
2x +
2
4x −
2
12 = 0 ∧ x∈[−8,2[ ⇔ 
⇔ x2 + 4x − 12 = 0 ∧ x∈[−8,2[ ⇔ x =
12
)12(1444 2
×
−××−±−
 ∧ x∈[−8,2[ ⇔ 
⇔ x =
2
84 ±− ∧ x∈[−8,2[ ⇔ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=∨−−=
2
84
2
84 xx ∧ x∈[−8,2[ ⇔ 
⇔ (x = −6 ∨ x = 2) ∧ x∈[−8,2[ ⇔ x = −6 
No intervalo [2,8] os zeros da função f são dados por 
f(x) = 0 ∧ x∈[2,8] ⇔ 
2
1 x − 1 = 0 ∧ x∈[2,8] ⇔ 
2
x −
2
2 = 0 ∧ x∈[2,8] ⇔ 
⇔ x − 2 = 0 ∧ x∈[2,8] ⇔ x = 2 ∧ x∈[2,8] ⇔ x = 2 
Deste modo, os zeros de f são x = −6 e x = 2. 
c) A função f não é injectiva, pois existem objectos diferentes que correspondem à mesma imagem (f(−6) = f(2) = 0). 
2º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (04/06/2008) Jorge P. J. Santos 
 5
d) A função g é quadrática, pois pode ser escrita na forma 
g(x) = ax2 + bx + c. 
com a =
2
1 ≠ 0, b = 2 e c = − 6. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Por isso, o vértice da função g 
é dado por 
V = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−−
a
acb,
a
b
4
4
2
2
=
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
×
−××−
−
×
−
2
14
)6(
2
142
2
12
2
2
, = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−−
2
124
1
2 , = (−2, −8). 
g) Por d) sabe-se que a função f no intervalo [−8,2[ é parte deuma função quadrática. Como o gráfico de uma função 
quadrática é uma parábola, o gráfico de f no intervalo [−8,2[ é parte de uma parábola com os extremos 
x y = 
2
1 x2 + 2x − 6 
−8 
2
1 × (−8)2 + 2×(−8) − 6 = 32 − 16 − 6 = 10 
2 
2
1 × 22 + 2×2 − 6 = 2 + 4 − 6 = 0 
A função f no intervalo [2,8] é parte de uma função linear, pois pode ser escrita na forma 
f(x) = ax + b 
com a =
2
1 ≠ 0 e b = − 1. Como o gráfico de uma função linear é uma recta, o gráfico de f no intervalo [2,8] é parte 
de uma recta com os extremos 
x y =
2
1 x − 1 
2 
2
1 × 2 − 1 = 1 − 1 = 0 
8 
2
1 × 8 − 1 = 4 − 1 = 3 
O gráfico da função f é dado por 
2º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (04/06/2008) Jorge P. J. Santos 
 6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 y = f(x)
−6 −4 −2 2 4 x−8 6 8
4
2
6
−2
8
y
−4
−6
10
−8
 y = f(x) 
3º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (12/06/2008) Jorge P. J. Santos 
 7
 
INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE VISEU 
3º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário 
Duração: 1h00m 12/06/2008 
________________________________________________________________________________________________ 
1. Simplifique a expressão 
cos (x + 3π) + 2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + xsin π
2
3 + ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + xtg π
2
5 + cotg (x − 3π). 
Resolução: 
cos (x + 3π) + 2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + xsin π
2
3 + ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + xtg π
2
5 + cotg (x − 3π) = 
= cos (x + π + 2π) + 2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + xsin π
2
3 + ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++ xtg ππ
2
12 + cotg (x − π − 2π) = 
= cos (x + π) + 2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + xsin π
2
3 + ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + xtg π
2
1 + cotg (x − π) = 
= − cos x − 2 cos x − cotg x + cotg x = − 3cos x 
________________________________________________________________________________________________ 
2. Resolva em IR as seguintes equações: 
a) 3tg x = − 3 ; b) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
2
3 πxsin = sin x; 
Resolução: 
a) 3tg x = − 3 ⇔ tg x = −
3
3 ⇔ x =
6
5π + kπ, k∈ZZ 
b) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
2
3 πxsin = sin x ⇔ 3x + 
2
π = x + 2kπ ∨ 3x + 
2
π = π − x + 2kπ ⇔ 
⇔ 3x − x = −
2
π + 2kπ ∨ 3x + x = −
2
π + π + 2kπ ⇔ 2x = −
2
π + 2kπ ∨ 4x = 
2
π + 2kπ 
⇔ x = −
4
π + kπ ∨ x = 
8
π +
2
πk , k∈ZZ 
________________________________________________________________________________________________ 
3. Considere a função real de variável real f: x → f(x) = 1 + 2 cos (2x). 
a) Indique o domínio e o contradomínio de f. 
b) Indique os valores de x que tornam máxima a função e que pertencem ao intervalo ⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤−
22
ππ , . 
3º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (12/06/2008) Jorge P. J. Santos 
 8
c) Escreva a expressão geral dos zeros da função. 
d) Calcule f(α), sabendo que tg2α = 3 ∧ ⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤∈
2
0 πα , . 
Resolução: 
a) O domínio da função co-seno é IR e por isso o domínio de f é Df = IR. Para calcular o contradomínio, sabe-se que 
−1 ≤ cos (2x) ≤ 1 ⇔ −2 ≤ 2cos (2x) ≤ 2 ⇔ −1 ≤ 1 + 2cos (2x) ≤ 3 
e o contradomínio de f é D’f = [−1,3]. 
b) Os valores de x que maximizam o valor da função são dados por 
f(x) = 3 ⇔ 1 + 2cos (2x) = 3 ⇔ 2cos (2x) = 2 ⇔ 
⇔ cos (2x) = 1 ⇔ 2x = 2kπ ⇔ x = kπ, k∈ZZ 
Como x∈ ⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤−
22
ππ , , então x = 0 é o único valor que maximiza o valor da função. 
c) Os zeros da função são dados por 
f(x) = 0 ⇔ 1 + 2cos (2x) = 0 ⇔ 2cos (2x) = −1 ⇔ 
⇔ cos (2x) = −
2
1 ⇔ 2x =
3
2π + 2kπ ∨ 2x = 
3
4π + 2kπ ⇔ 
⇔ x =
3
π + kπ ∨ x = 
3
2π + kπ, k∈ZZ 
d) Ora 
tg2α = 3 ∧ ⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤∈
2
0 πα , ⇔ tg α = 3± ∧ ⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤∈
2
0 πα , ⇔ α =
3
π 
Donde 
f(α) = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
3
πf = 1 + 2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×
3
2 πcos = 1 + 2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
3
2πcos = 1 + 2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
2
1 = 1 − 1 = 0 
4º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (17/06/2008) Jorge P. J. Santos 
 9
 
INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE VISEU 
4º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário 
Duração: 1h00m 17/06/2008 
________________________________________________________________________________________________ 
1. Considere os pontos A = (−2,5), B = (−4,−1) e C = (4,3). 
a) Calcule AB , AC e BC . 
b) Averigúe, através do teorema de Pitágoras, se o triângulo [ABC] é rectângulo. 
c) Determine as coordenadas dos pontos médios D de [AB] e E de [BC]. 
d) Mostre que DE e AC são vectores colineares e que ACDE
2
1= . 
e) Determine ur perpendicular a BA de modo que || ur || = 10. 
Resolução: 
a) Os comprimentos AB , AC e BC dos segmentos [AB], [AC] e [BC] são dados por 
 AB = ( ) ( )222211 abab −+− = ( ) ( )( ) ( )( )22 5124 −−+−−− = ( ) ( )22 5124 −−++− = ( ) ( )22 62 −+− = 40 
 AC = ( ) ( )222211 acac −+− = ( )( ) ( )22 5324 −+−− = ( ) ( )22 5324 −++ = ( )22 26 −+ = 40 
 BC = ( ) ( )222211 bcbc −+− = ( )( ) ( )( )22 1344 −−+−− = ( ) ( )22 1344 +++ = 22 48 + = 80 
b) O triângulo é rectângulo se a soma dos quadrados dos comprimentos dos dois lados menores for igual ao quadrado 
do comprimento do lado maior. Ou seja, se 
222
BCACAB =+ ⇔ ( ) ( ) ( )222 804040 =+ ⇔ 40 + 40 = 80 
Como a igualdade é verdadeira, o triângulo é rectângulo. 
c) Os pontos médios D de [AB] e E de [BC] são dados por 
D = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++
22
2211 ba,ba = ( ) ( ) ( )⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+−+−
2
15
2
42 , = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−−
2
15
2
42 , = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
2
4
2
6 , = (−3,2) 
E = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++
22
2211 cb,cb = ( ) ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+−
2
31
2
44 , = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+−
2
31
2
44 , = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
2
2
2
0 , = (0,1) 
d) Os vectores DE e AC são definidos por 
DE = E − D = (0,1) − (−3,2) = (0 − (−3), 1 − 2) = (0 + 3, 1 − 2) = (3,−1) 
AC = C − A = (4,3) − (−2,5) = (4 − (−2), 3 − 5) = (4 + 2, 3 − 5) = (6,−2) 
4º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (17/06/2008) Jorge P. J. Santos 
 10
Os vectores DE e AC são colineares se existe um número real k tal que 
DE =k AC ⇔ (3,−1) = k(6,−2) ⇔ (3,−1) = (6k,−2k) ⇔ 
⇔ 
⎩⎨
⎧
−=−
=
k
k
21
63
 ⇔ 
⎩⎨
⎧
−=−
=
12
36
k
k
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
−
−
2
1
6
3
k
k
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
2
1
2
1
k
k
 ⇔ k =
2
1 
Daqui conclui-se que os vectores DE e AC são colineares. 
Para provar que ACDE
2
1= , é necessário calcular as normas 
DE = ( )22 13 −+ = 19 + = 10 
AC = AC = 40 
Donde 
AC
2
1 = 40
2
1 = 22
40 =
4
40 = 10 = DE 
e) Seja ur = (u1,u2). O vector BA é definido por 
BA = A − B = (−2,5) − (−4, −1) = ((−2) − (−4), 5 − (−1)) = (−2 + 4, 5 + 1) = (2,6) 
O vector ur é perpendicular a BA e || ur || = 10. Ou seja, 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⊥
10||u||
BAu
r
r
 ⇔ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=⋅
10
0
||u||
BAu
r
r
 ⇔ ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⋅
10
062
2
2
2
1
21
uu
,u,u
 ⇔ 
⎩⎨
⎧
−−−−−−−−
=+ 062 21 uu ⇔ 
⇔ 
⎩⎨
⎧
−−−−−−
−= 21 62 uu ⇔ ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
−=
103
3
2
2
2
2
21
uu
uu
 ⇔ 
⎩⎨
⎧
=+
−−−−−−−−
109 22
2
2 uu
 ⇔ 
⇔ 
⎩⎨
⎧
=
−−−−−−
1010 22u
 ⇔ 
⎩⎨
⎧
=
−−−−−
22
2 1010u
 ⇔ 
⎩⎨
⎧
=
−−−−−
10010 22u
 ⇔ 
⎩⎨
⎧
=
−−−−
1022u
 ⇔ 
⇔ 
⎩⎨
⎧
±=
−−−−−
102u
 ⇔ ⎪⎩
⎪⎨⎧ =
−=
10
103
2
1
u
u ∨ ⎪⎩
⎪⎨⎧ −=
=
10
103
2
1
u
u 
Donde, ur = ( )10103 ,− ou ur = ( )10103 −, . 
________________________________________________________________________________________________ 
4º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (17/06/2008) Jorge P. J. Santos 
 11
2. Considere os vectores ur = ( )13 , e vr = ( )13 ,− . Calcule: 
a) u
r ⋅ vr ; 
b) || ur || e || vr ||; 
c) cos ( u
r
^ v
r
) e u
r
^ v
r
. 
Resolução: 
a) O produto interno entre os vectores u
r
e v
r
é dado por 
u
r ⋅ vr = u1v1 + u2v2 = ( )13 , ⋅ ( )13 ,− = 3 ( )3− + 1×1 = −3 + 1 = −2 
b) As normas dos vectores u
r
e v
r
são dadas por 
|| u
r
|| = 22
2
1 uu + = ( ) 22 13 + = 13+ = 4 = 2 
|| v
r
|| = 22
2
1 vv + = ( ) 22 13 +− = 13+ = 4 = 2 
c) O co-seno do ângulo formado pelos vectores u
r
e v
r
é dado por 
cos ( ur ^ vr ) =
||v||||u||
vu rr
rr ⋅ =
22
2
×
− =
2
1− 
O ângulo entre os vectores u
r
e v
r
 é dado por 
ur
^ v
r
 = π −
3
π =
3
2π 
________________________________________________________________________________________________ 
3. Sejam A = (3,1,2), B = (−4,−1,3), ur = (2,4,1) e vr = (1,−1,2). 
a) Represente graficamente os pontos A e B e os vectores u
r
, v
r
 e vu
rr + . 
b) Indique um vector ortogonal a AB . 
c) Determine um vector unitário com o mesmo sentido de ur e outro com sentido contrário. 
d) Calcule vu rr ⋅ e o ângulo entre os vectores ur e vr . 
4º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (17/06/2008) Jorge P. J. Santos 
 12
Resolução: 
 a) A representação gráfica dos pontos A e B e dos vectores u
r
, v
r
 e vu
rr + é dada por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) O vector AB é definido por 
AB = B − A = (−4,−1,3) − (3,1,2) = ((− 4) − 3, (− 1) − 1, 3 − 2) = (−7,−2,1) 
Para obter um vector ortogonal basta trocar duas coordenadas, multiplicar uma dessas duas coordenadas por (−1) e 
anular a coordenada que não foi trocada. Por exemplo 
w
r
= (2,−7,0) 
é um vector ortogonal a AB . 
c) O vector unitário com o mesmo sentido de ur é definido por 
||u||
ur
r
= ( )
2
3
2
2
2
1
321
uuu
u,u,u
++
= ( )
222 142
142
++
,, = ( )
1164
142
++
,, = ( )
21
142 ,, = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
21
1
21
4
21
2 ,, = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
21
21
21
214
21
212 ,, 
O vector unitário com sentido contrário a u
r
 é definido por 
3 
2 
1 
z 
5 
4 
6 
A 
B 
x 
4 
3 
2 
1 
5 
−1
−2
−3
−4
4 3 2 1 y 6 5 −1 −2 −3 −4 ur
v
r
 
u
r
v
rvu
rr +
4º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (17/06/2008) Jorge P. J. Santos 
 13
−
||u||
ur
r
=− ( )
2
3
2
2
2
1
321
uuu
u,u,u
++
= ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−−
21
21
21
214
21
212 ,, 
d) O produto interno entre os vectores ur e vr é dado por 
u
r ⋅ vr = u1v1 + u2v2 + u3v3 = (2,4,1)⋅(1,−1,2) = 2×1 + 4×(−1) + 1×2 = 2 − 4 + 2 = 0 
As normas dos vectores u
r
e v
r
são dadas por 
|| u
r
|| = 23
2
2
2
1 uuu ++ = 222 142 ++ = 1164 ++ = 21 
|| v
r
|| = 23
2
2
2
1 vvv ++ = ( ) 222 211 +−+ = 411 ++ = 6 
O co-seno do ângulo formado pelos vectores u
r
e v
r
é dado por 
cos ( ur ^ vr ) =
||v||||u||
vu rr
rr ⋅ =
621
0
× = 0 
O ângulo entre os vectores u
r
e v
r
é 
2
π . 
Exame de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (24/07/2008) Jorge P. J. Santos 
 14
 
INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE VISEU 
Exame de Cálculo I – CET em Design Mobiliário 
Duração: 3h00m 24/07/2008 
________________________________________________________________________________________________ 
1. Resolva as seguintes condições em IR: 
a) 
2
53 x− − 2×
5
31 x− ≥
10
3 (3x − 7); b) 
2
)2( 2+x − (x + 1) =
6
x −
3
2 +
6
)22)(22( +− xx ; 
Resolução: 
a) 
2
53 x− − 2×
5
31 x− ≥
10
3 (3x − 7) ⇔ 
2
3 −
2
5x −
5
2 +
5
6x ≥
10
9x −
10
21 ⇔ 
⇔ 
10
15 −
10
25x −
10
4 +
10
12x ≥
10
9x −
10
21 ⇔ 15 − 25x − 4 + 12x ≥ 9x − 21 ⇔ 
⇔ − 25x + 12x − 9x ≥ − 15 + 4 − 21 ⇔ − 22x ≥ − 32 ⇔ x ≤
22
32 ⇔ x ≤
11
16 
b) 
2
)2( 2+x − (x + 1) =
6
x −
3
2 +
6
)22)(22( +− xx ⇔ 
2
442 ++ xx − (x + 1) =
6
x −
3
2 +
6
44 2 −x ⇔ 
⇔ 
2
2x +
2
4x +
2
4 − x − 1 =
6
x −
3
2 +
6
4 2x −
6
4 ⇔ 
6
3 2x +
6
12x +
6
12 −
6
6x −
6
6 =
6
x −
6
4 +
6
4 2x −
6
4 ⇔ 
⇔ 3x2 + 12x + 12 − 6x − 6 = x − 4 + 4x2 − 4 ⇔ 
⇔ 3x2 + 12x + 12 − 6x − 6 − x + 4 − 4x2 + 4 = 0 ⇔ − x2 + 5x + 6 = 0 ⇔ 
⇔ x =
)1(2
6)1(455 2
−×
×−×−±−
 ⇔ x =
2
24255
−
+±− ⇔ x =
2
75
−
±− ⇔ x = −1 ∨ x = 6 
________________________________________________________________________________________________ 
2. Resolva o sistema de equações e faça, se o sistema for possível, a sua verificação 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+−
−=+
−=+−
66
43
422
zyx
zx
zyx
. 
Resolução: 
No método de substituição começa-se por resolver uma das equações em ordem a umas das variáveis. Sendo assim 
pode-se começar por resolver a primeira equação em ordem a x. De seguida, substitui-se o valor obtido nas restantes 
equações. 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+−
−=+
−=+−
66
43
422
zyx
zx
zyx
 ⇔ ( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+−+−−
−=+−+−
−+−=
66224
43224
224
zyzy
zzy
zyx
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−++−+
−=+−+−
−−−−−−−−−−−−
66224
43224
zyzy
zzy ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=+
−−−−−
24
02
zy
zy 
Exame de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (24/07/2008) Jorge P. J. Santos 
 15
A seguir resolve-se uma outra equação, a segunda ou a terceira, em ordem a uma outra variável, a variável y ou a 
variável z. Pode-se então resolver a segunda equação em ordem a z e substituir o valor obtido nas restantes equações 
( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+
−=
−×−+−=
224
2
2224
yy
yz
yyx
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
−−−−−−−
++−=
224
424
yy
yyx
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−−−−−
+−=
22
64
y
yx
 
Finalmente resolve-se a única equação que sobrou, a terceira, em ordem à única variável que sobrou, a variável y, e 
substitui-se o valor obtido nas restantes equações 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
×−=
×+−=
1
12
164
y
z
x
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−=
=
1
2
2
y
z
x
 
Para terminar, falta fazer a verificação 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++−=−−×+−=−+−
−=−=−×+=+
−=−−=−×+×−=+−
6262)2(1626
462)2(323
4422)2(212222
zyx
zx
zyx
 
________________________________________________________________________________________________ 
3. Considere a função real de variável real definida por 
f(x) =
[ ]
] ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈−+−
−∈−
82se1812
2
3
210se1
2
1
2 ,xxx
,xx
. 
a) Calcule f(−10), f(2), f(3), f(5), f(7) e f(8). 
b) Determine, analiticamente, os zeros de f. 
c) Calcule a taxa de variação média da função f no intervalo [5,7]. 
d) Diga, justificando a partir das alíneas anteriores, se a função é injectiva. 
e) Determine o vértice do gráfico da função definida analiticamente por g(x) = − 23 x2 + 12x − 18. 
f) Represente graficamente a função. 
Resolução: 
a) f(−10) =
2
1 × (−10) − 1 = − 5 − 1 = − 6; f(2) =
2
1 × 2 − 1 = 1 − 1 = 0; 
 f(3) = −
2
3 × 32 + 12×3 − 18 = −
2
27 + 36 − 18 = −
2
27 +
2
72 −
2
36 =
2
9 = 4,5; 
 f(5) = −
2
3 × 52 + 12×5 − 18 = −
2
75 + 60 − 18 = −
2
75 +
2
120 −
2
36 =
2
9 = 4,5; 
 f(7) = −
2
3 × 72 + 12×7 − 18 = −
2
147 + 84 − 18 = −
2
147 +
2
168 −
2
36 = −
2
15 = − 7,5; 
Exame de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (24/07/2008) Jorge P. J. Santos 
 16
 f(8) = −
2
3 × 82 + 12×8 − 18 = − 96 + 96 − 18 = − 18. 
b) No intervalo [−10,2] os zeros da função f são dados por 
f(x) = 0 ∧ x∈[−10,2] ⇔ 
2
1 x − 1 = 0 ∧ x∈[−10,2] ⇔ 
2
x −
2
2 = 0 ∧ x∈[−10,2] ⇔ 
⇔ x − 2 = 0 ∧ x∈[−10,2] ⇔ x = 2 ∧ x∈[−10,2] ⇔ x = 2 
No intervalo ]2,8] os zeros da função f são dados por 
f(x) = 0 ∧ x∈]2,8] ⇔ −
2
3 x2 + 12x − 18 = 0 ∧ x∈]2,8] ⇔ −
2
3 2x +
2
24x −
2
36 = 0 ∧ x∈]2,8] ⇔ 
⇔ − 3x2 + 24x − 36 = 0 ∧ x∈]2,8] ⇔ x =
)3(2
)36()3(42424 2
−×
−×−×−±−
 ∧ x∈]2,8] ⇔ 
⇔ x =
6
1224
−
±− ∧ x∈]2,8] ⇔ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
+−=∨−
−−=
6
1224
6
1224 xx ∧ x∈]2,8] ⇔ 
⇔ (x = 6 ∨ x = 2) ∧ x∈]2,8] ⇔ x = 6 
Deste modo, os zeros de f são x = 2 e x = 6. 
c) A taxa de variação média de f em [5,7] é dada por 
tvm[5,7] = ab
afbf
−
− )()( =
57
)5((7)
−
− ff =
2
5457 ,, −− =
2
12− = − 6. 
d) A função f não é injectiva, pois existem objectos diferentes que correspondem à mesma imagem (f(2) = f(6) = 0). 
e) A função g é quadrática, pois pode ser escrita na forma 
g(x) = ax2 + bx + c 
com a = −
2
3 ≠ 0, b = 12 e c = − 18. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Por isso, o vértice da 
função g é dado por 
V = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−−
a
acb,
a
b
4
4
2
2
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−×
−×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−×−
−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−×
−
2
34
)18(
2
3412
2
32
12
2
, = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
−−−− 6
108144
3
12 , = (4, 6). 
f) A função f no intervalo [−10,2[ é parte de uma função linear, pois pode ser escrita na forma 
f(x) = ax + b 
Exame de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (24/07/2008) Jorge P. J. Santos 
 17com a =
2
1 ≠ 0 e b = − 1. Como o gráfico de uma função linear é uma recta, o gráfico de f no intervalo [−10,2[ é parte 
de uma recta com os extremos 
x y =
2
1 x − 1 
−10 
2
1 ×(−10) − 1 = − 5 − 1 = − 6 
2 
2
1 × 2 − 1 = 1 − 1 = 0 
Por d) sabe-se que a função f no intervalo ]2,8] é parte de uma função quadrática. Como o gráfico de uma função 
quadrática é uma parábola, o gráfico de f no intervalo ]2,8] é parte de uma parábola com os extremos 
x y = −
2
3 x2 + 12x − 18 
2 −
2
3 × 22 + 12×2 − 18 = − 6 + 24 − 18 = 0 
8 −
2
3 × 82 + 12×8 − 18 = − 96 + 96 − 18 = − 18 
O gráfico da função f é dado por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
________________________________________________________________________________________________ 
4. Simplifique a expressão 
sin (x + 5π) + 3 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + xcotg π
2
3 + 4 tg (x + π) + ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +− xcos
2
π . 
y
8
−2
−4
−6
6
−8
2
−10
4
6
−12
−14
−16
−18
−4 −2 2 4 6 x−6−8−10 8 10
Exame de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (24/07/2008) Jorge P. J. Santos 
 18
Resolução: 
sin (x + 5π) + 3 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + xcotg π
2
3 + 4 tg (x + π) + ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +− xcos
2
π = 
= sin (x + π + 4π) + 3 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + xcotg π
2
3 + 4 tg (x + π) + ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +− xcos
2
π = 
= sin (x + π) + 3 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + xcotg π
2
3 + 4 tg (x + π) + ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +− xcos
2
π = 
= − sin x − 3 tg x + 4 tg x + sin x = tg x 
________________________________________________________________________________________________ 
5. Resolva em IR as seguintes equações: 
a) 2cos x = − 3 ; b) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
3
2 πxtg = tg x; 
Resolução: 
a) 2cos x = − 3 ⇔ cos x = −
2
3 ⇔ x =
6
5π + 2kπ ∨ x =
6
7π + 2kπ, k∈ZZ 
b) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
3
2 πxtg = tg x ⇔ 2x + 
3
π = x + kπ ⇔ 2x − x = −
3
π + kπ ⇔ x = −
3
π + kπ, k∈ZZ 
________________________________________________________________________________________________ 
6. Considere a função real de variável real f: x → f(x) = 1 − 2 sin (2x). 
a) Indique o domínio e o contradomínio de f. 
b) Indique os valores de x que tornam máxima a função e que pertencem ao intervalo [0,2π]. 
c) Escreva a expressão geral dos zeros da função. 
Resolução: 
a) O domínio da função seno é IR e por isso o domínio de f é Df = IR. Para calcular o contradomínio, sabe-se que 
− 1 ≤ sin (2x) ≤ 1 ⇔ − 2 ≤ − 2sin (2x) ≤ 2 ⇔ − 1 ≤ 1 − 2sin (2x) ≤ 3 
e o contradomínio de f é D’f = [−1,3]. 
b) Os valores de x que maximizam o valor da função são dados por 
f(x) = 3 ⇔ 1 − 2sin (2x) = 3 ⇔ − 2sin (2x) = 2 ⇔ 
⇔ sin (2x) = − 1 ⇔ 2x =
2
3π + 2kπ ⇔ x =
4
3π + kπ, k∈ZZ 
Como x∈[0,2π], então x =
4
3π e x =
4
7π são os únicos valores que maximizam o valor da função. 
Exame de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (24/07/2008) Jorge P. J. Santos 
 19
c) Os zeros da função são dados por 
f(x) = 0 ⇔ 1 − 2sin (2x) = 0 ⇔ − 2sin (2x) = −1 ⇔ sin (2x) =
2
1 ⇔ 
⇔ 2x =
6
π + 2kπ ∨ 2x = 
6
5π + 2kπ ⇔ x =
12
π + kπ ∨ x = 
12
5π + kπ, k∈ZZ 
________________________________________________________________________________________________ 
7. Considere os pontos A = (1,−2), B = (−2,4) e C = (4,7). 
a) Calcule AB , AC e BC . 
b) Diga, justificando, se o triângulo [ABC] é isósceles. 
c) Averigúe, através do produto interno, se o triângulo [ABC] é rectângulo. 
d) Determine as coordenadas do ponto médio M de [AC]. 
e) Calcule ur perpendicular a AC tal que || ur || = 1. 
Resolução: 
a) Os comprimentos AB , AC e BC dos segmentos [AB], [AC] e [BC] são dados por 
 AB = ( ) ( )222211 abab −+− = ( )( ) ( )( )22 2412 −−+−− = ( ) ( )22 2412 ++−− = ( ) 22 63 +− = 45 
 AC = ( ) ( )222211 acac −+− = ( ) ( )( )22 2714 −−+− = ( ) ( )22 2714 ++− = 22 93 + = 90 
 BC = ( ) ( )222211 bcbc −+− = ( )( ) ( )22 4724 −+−− = ( ) ( )22 4724 −++ = 22 36 + = 45 
b) O triângulo é isósceles porque tem dois lados iguais e um diferente. Neste caso tem-se 
AB = BC 
c) O triângulo é rectângulo se tiver um ângulo recto. Ou seja, se um dos produtos internos AB ⋅ AC , BA ⋅ BC e 
CA ⋅CB for nulo. Ora 
 AB ⋅ AC = (B − A) ⋅ (C − A) = ((−2,4) − (1,−2)) ⋅ ((4,7) − (1,−2)) = 
 = (−3,6) ⋅ (3,9) = −3×3 + 6×9 = −9 + 54 = 45 
 BA ⋅ BC = (A − B) ⋅ (C − B) = ((1,−2) − (−2,4)) ⋅ ((4,7) − (−2,4)) = 
 = (3,−6) ⋅ (6,3) = 3×6 + (−6)×3 = 18 −18 = 0 
 CA ⋅ CB = (A − C) ⋅ (B − C) = ((1,−2) − (4,7)) ⋅ ((−2,4) − (4,7)) = 
 = (−3,−9) ⋅ (−6,−3) = (−3)×( −6) + (−9)×(−3) = 18 + 27 = 45 
Neste caso o triângulo é rectângulo no vértice C. 
d) O ponto médio M de [AC] é dado por 
Exame de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (24/07/2008) Jorge P. J. Santos 
 20
M = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++
22
2211 ca,ca = ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+
2
72
2
41 , = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+
2
72
2
41 , = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
2
5
2
5 , 
e) Seja ur = (u1,u2). O vector AC é definido por 
AC = C − A = (4,7) − (1,−2) = (4 − 1, 7 − (−2)) = (4 − 1, 7 + 2) = (3,9) 
Se o vector u
r
 é perpendicular a AC e || u
r
|| = 10, então 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⊥
1||u||
ACu
r
r
 ⇔ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=⋅
1
0
||u||
ACu
r
r
 ⇔ ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⋅
1
093
2
2
2
1
21
uu
,u,u
 ⇔ 
⎩⎨
⎧
−−−−−−−
=+ 093 21 uu ⇔ 
⇔ 
⎩⎨
⎧
−−−−−−
−= 21 93 uu ⇔ ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
−=
13
3
2
2
2
2
21
uu
uu
 ⇔ 
⎩⎨
⎧
=+
−−−−−−−
19 22
2
2 uu
 ⇔ 
⇔ 
⎩⎨
⎧
=
−−−−−
110 22u
 ⇔ 
⎩⎨
⎧
=
−−−−−
22
2 110u
 ⇔ 
⎩⎨
⎧
=
−−−−
110 22u
 ⇔ ⎪⎩
⎪⎨⎧ =
−−−−
10
12
2u
 ⇔ 
⇔ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
±=
−−−−−
10
1
2u
 ⇔ ⎪⎩
⎪⎨⎧ ±=
−−−−−
10
10
2u
 ⇔ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
=
10
10
2
10
103
1
u
u
 ∨ 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−=
10
10
2
10
103
1
u
u
 
Donde, u
r
= ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − 101010103 , ou u
r
= ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛− 101010103 , . 
________________________________________________________________________________________________ 
8. Sejam ur = (1,2,3) e vr = (4,−6,−2). 
a) Represente graficamente os vectores u
r
, v
r
 e vu
rr + . 
b) Indique um vector ortogonal a ur . 
c) Determine um vector unitário com o mesmo sentido de u
r
 e outro com sentido contrário. 
d) Calcule vu rr ⋅ e o ângulo entre os vectores ur e vr . 
Resolução: 
Exame de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (24/07/2008) Jorge P. J. Santos 
 21
a) A representação gráfica dos vectores ur , vr e vu rr + é dada por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Para obter um vector ortogonal basta trocar duas coordenadas, multiplicar uma dessas duas coordenadas por (−1) e 
anular a coordenada que não foi trocada. Por exemplo 
w
r
= (−1,2,0) 
é um vector ortogonal a u
r
. 
c) O vector unitário com o mesmo sentido de ur é definido por 
||u||
ur
r
= ( )
2
3
2
2
2
1
321
uuu
u,u,u
++
= ( )
222 321
321
++
,, = ( )
941
321
++
,, = ( )
14
321 ,, = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
14
3
14
2
14
1 ,, = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
14
143
14
142
14
14 ,, 
O vector unitário com sentido contrário a u
r
 é definido por 
−
||u||
ur
r
=− ( )
2
3
2
2
2
1
321
uuu
u,u,u
++
= ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−−
14
143
14
142
14
14 ,, 
d) O produto interno entre os vectores ur e vr é dado por 
u
r ⋅ vr = u1v1 + u2v2 + u3v3 = (1,2,3)⋅(4,−6,−2) = 1×4 + 2×(−6) + 3×(−2) = 4 − 12 − 6 = −14 
As normas dos vectores u
r
e v
r
são dadas por 
3 
2 
1 
z 
x 
4 
3 
2 
1 
5 
−1
−2 
−3 
−4 
u
r
v
r
u
r
 v
r
vu
rr + 
2 1 −1 y4 3 −3−4 −5 −6 −2
Exame de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (24/07/2008) Jorge P. J. Santos 
 22
|| u
r
|| = 23
2
2
2
1 uuu ++ = 222 321 ++ = 941 ++ = 14 
|| v
r
|| = 23
2
2
2
1 vvv ++ = ( ) ( )222 264 −+−+ = 43616 ++ = 56 
O co-seno do ângulo formado pelos vectores u
r
e v
r
é dado por 
cos ( u
r
^ v
r
) =
||v||||u||
vu rr
rr ⋅ =
5614
14
×
− =
5614
14
×
− =
784
14− =
28
14− =
2
1− 
O ângulo entre os vectores u
r
e v
r
é 
3
2π .