Modelos Estocasticos

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Modelos Estocásticos Ambientais
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Por que estocástico ?
Porque você não controla os fatores que provocam as variações nas taxas vitais
Não é possível saber com certeza como esses fatores irão se comportar
Por que Ambiental ?
Porque esses fatores são extrínsecos à dinâmica populacional, isto é, originam-se no meio ambiente em que a população está inserida.
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São duas as formas de modelar a variabilidade ambiental:
Via sorteio de valores aleatórios para as taxas vitais a partir de distribuições beta, respeitando a estrutura de correlação entre as taxas vitais (Morris & Doak, 2001).
É necessário atrelar essa estrutura de correlação a pelo menos uma variável ambiental relevante para que o modelo consiga representar a variabilidade ambiental adequadamente.
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Aparentemente é possível também gerar variabilidade ambiental, via distribuições beta, sem considerar a estrutura de correlação entre as taxas: dispensa a estimativa da estrutura de correlações:
permitiria a simulação de estocasticidade ambiental com dados de 1 único período. Entretanto,não se garante a correlação entre as taxas vitais e a variabilidade ambiental. 
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Via a manipulação dos estados ambientais x(t). Assume basicamente 3 modos:
Seqüências independente e identicamente distribuídas (IID)
x(t), o estado do ambiente no tempo “t”, é sorteado aleatoriamente de uma distribuição uniforme.
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Cadeia de Markov
 x(t+1) depende de x(t) → Assume-se que há correlação entre os estados ambientais
Permite atribuir freqüências de ocorrência distintas aos diferentes estádios ambientais
Também pode trabalhar como IID (sem correlação entre os estádios ambientais, com freqüências de ocorrências dos estádios ambientais distintas os idênticas)
Também pode trabalhar como modelo determinístico periódico. 
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				x(t+1) = Pt x(t)
Onde Pt é uma matriz de transição coluna-estocástica, ou seja pij ≥ 0, ∑ i pij = 1 para todo j).
Pt controla a estrutura de correlações e as freqüências de ocorrência dos diferentes estádios ambientais. 
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ρ = 0
f(B) = 0,1
f(B) = 0,5
 IID
f(B) = 0,9
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f(B) = 0,5
ρ = 0,9
ρ = 0
 IID
ρ = - 0,9
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Seqüências auto-regressivas de médias móveis (ARMA em inglês)
Usados em caso de estruturas mais complexas de correlação entre os estádios ambientais
Trabalha bem com correlações de ordens superiores. 
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Incluindo a variabilidade ambiental no modelo matricial via a manipulação dos estádios ambientais:
Assume-se que a variabilidade ambiental está expressa na variação que as taxas de transição aij mostram a cada período. Em outras palavras, cada matriz At representa um estádio ambiental, ou seja, At = x(t).
Inclui estocasticidade demográfica 
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Como fazer:
Gerar a seqüência de estádios ambientais;
Projetar a população, selecionando as matrizes At de acordo com a seqüência ambiental obtida. 
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			n(t+1) = At At-1 ... A0 n(0)
			n(t+1) = At n(t)
onde At (t = 1,...,n) é o estádo ambiental no tempo t.
No modo IID:
	At é sorteada do conjunto de estados ambientais A1 ... An através de uma distribuição uniforme.
No modo Markoviano:
					At = Pt-1 At-1 
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Autovetores para ambientes markovianos:
Para t → ∞, tanto a estrutura populacional (ep) como o valor reprodutivo (vr) tendem a convergir para proporções fixas entre as classes, sem depender da estrutura inicial da população.
			ep(t+1) = At ep(t) / ║At ep(t)║
ep = vetor estrutura populacional
║ At ep(t)║ = ∑i epi(t)
║ep(0)║ = 1	
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			vr*(t) = vr*(t+1) At / ║vr*(t+1) At║
vr* = vetor valor reprodutivo transposto;
║ vr*(t+1) At║ = ∑i vr*i(t) 
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Crescimento populacional
Destacam-se dois tipos de taxa de crescimento populacional sob modelos estocásticos ambientais:
Crescimento da média: é utilizada eventualmente, mas é mais comum em trabalhos antigos.
Média temporal da taxa de crescimento: É tida como a medida mais adequada do crescimento populacional em modelos estocásticos ambientais.
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Crescimento populacional
Em modelos matriciais estocásticos ambientais a taxa média temporal é conhecida como logλs (stochastic growth rate), comumente abreviada simplesmente para λs
Para convertê-la em unidades equivalentes ao λ determinístico use: 	e logλs
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Modelos Estocásticos Demográficos
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A estocasticidade demográfica diz respeito a fatores intrínsecos à população (genética, fisiologia)
É responsável pelas respostas diferenciadas que plantas de uma mesma classe possam dar em função da variabilidade ambiental
São os fatores ditos demográficos estocásticos que geram a variabilidade nas taxas vitais quando os fatores ambientais mantêm-se constantes
Para n → ∞, estocasticidade demográfica → 0
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Modelagem matricial
Estudado via simulações
Histórias de vida são sorteadas:
Transições → distribuição multinomial
Fecundidade → distribuição de Poisson (comum 			para plantas), entre outras possibilidades
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Entradas aij de A + P(mortalidade)j são assumidas como as probabilidades da distribuição multinomial
Oferece um risco de extinção (er) específico para a população projetada nas simulações, ou seja, er depende de n(0)
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Tabela de vida		Matriz de probabilidades *
* Matriz de probabilidades = matriz de transição A + linha i = k+1 com as taxas de mortalidade pata cada j
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Vetor estrutura populacional	matriz de probabilidades
A coluna j da matriz de probabilidades corresponde às probabilidades de transição e morte dos indivíduos da classe i do vetor estrutura populacional, sendo i = j
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Processo de ramificação (Branching process)
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Reprodução:
N = 0,
N = 1 ou
N = 2
P(N = 0) = p0
P(N = 1) = p1
P(N = 2) = p2
N = 0 é definitivo
(Caswell 2001)
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Modelagem por ramificação (Branching Process)
Apoiado nas propriedades assintóticas da matriz A, oferece estimativas assintóticas de risco de extinção associado à matriz (q∞) e independente de n(0)
q converge para valores constantes q∞ quando t → ∞
Risco de extinção associado à população:
 		Q = ∏i qi(ni)
Q = P(extinção) da população
qi = P(extinção) da classe i
ni = número de indivíduos na classe i
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Classificado em 3 tipos:
λ < 1 processo subcrítico	
					P(extinção) = 1
					Dispensa análise
λ = 1 processo crítico
					P(extinção) = 1
					Dispensa análise
λ > 1 processo supercrítico
					P(extinção) < 1
				 Análise determina P(extinção)