EQUACAO 3 MOMENTOS VIGAS HIPERESTATICAS

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TECNOLOGIA EM CONSTRUÇÃO DE EDIFÍCIOS 
 
CONSTRUÇÕES EM CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
 
 
VIGAS HIPERESTÁTICAS - EQUAÇÃO DOS 3 MOMENTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila organizada pelo professor: 
� Edilberto Vitorino de Borja 
 
 
2014.2 
 
1 
ÍNDICE 
 
1 CÁLCULO DE MOMENTOS FLETORES PARA VIGAS CONTÍNUAS 2 
 
 
1.1 Método da equação dos 3 momentos 2 
1.2 Aplicações 4 
1.3 Convenção de sinais 4 
1.4 Cálculo e desenho do diagrama de momentos fletores de viga contínua 5 
1.5 Cálculo das reações de apoio 6 
1.6 Exercícios 10 
 
2 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
1. CALCULO DE MOMENTOS FLETORES PARA VIGAS CONTINUAS 
 
Vigas Contínuas: são vigas hiperestáticas com dois ou mais vãos. 
Na determinação dos esforços seccionais de vigas isostáticas utilizam-se as três equações de 
equilíbrio da estática, necessárias e suficientes para garantir sua estabilidade. 
Para as vigas hiperestáticas, as incógnitas (reações) são em número superior as três equações de 
equilíbrio da estática, sendo necessários então novos métodos para determinação dos seus esforços. 
Foram criados então vários métodos para o cálculo das reações de apoio e dos momentos fletores nos 
vãos. Uma vez conseguidos estes valores, pode-se calcular os momentos fletores e forças cortantes nos 
demais pontos da viga e conseqüentemente desenhar os diagramas. 
Métodos de Cálculo: 
Método dos Deslocamentos 
Método dos Esforços 
Método de Cross 
Método da Equação dos Três Momentos 
 
1.1 MÉTODO DA EQUAÇÃO DOS 3 MOMENTOS 
O método apresentado a seguir é válido apenas para vigas que tenham inércia constante ao longo 
do comprimento de toda a viga (inércia constante para todos os vãos). 
O método calcula os momentos fletores em 3 apoios (Xn-1, Xn e Xn+1) seqüenciais de uma viga, a 
partir dos quais pode-se calcular os momentos fletores em qualquer seção. 
Vamos escolher um trecho de dois vãos ( e ) e de três apoios (n-1, n e n+1) de uma viga 
continua sujeita a um carregamento qualquer conforme a figura abaixo: 
 
 
A Equação dos 3 Momentos apresentada abaixo é valida para uma viga com momento de inércia 
constante no vão e de vão para vão. 
Fórmula 
) 6(- X . X . ) 2( X . 1n1n21nnnnn1-nn ++++ ?µ+µ=+++ 11 llll 
 
 
3 
Onde: 
• nl e 1+nl :comprimento dos vãos; 
• Xn-1, Xn e Xn+1: momentos nos apoios; 
• 
n
2µ e 1n1+?µ : Fatores de carga (função do tipo de carga atuante no vão). 
Quando houver mais de uma carga atuando em um mesmo vão, os fatores de carga finais 
são dados pela soma dos fatores de carga de cada uma das cargas. 
FATORES DE CARGA: 
1. Para carga uniformemente distribuída ao longo do vão: 
q
µ
2µ 1
l
 
24
3q.
 21
l
=µ=µ 
 
2. - Para carga concentrada no vão: 
 
a
P
b
l
µ µ1 2
 
).(b
6
P.a.b
 1 l
l
+=µ 
).(a
6
P.a.b
 2 l
l
+=µ 
 
 
Observação 
O índice "1" nas fórmulas de fatores de carga acima indica apoio da esquerda e o índice "2" indica apoio da 
direita. 
 
1.2 APLICAÇÕES 
Para se calcular os momentos fletores em todos os apoios de uma viga contínua, deve-se aplicar a 
equação dos três momentos em vãos subseqüentes dois a dois. O resultado é que o número total de 
aplicações é igual ao número de vãos menos um. 
 
4 
 
Para quatro vãos, aplica-se três vezes a equação dos três momentos: 
 
q
l 1 l l l2 3 4
1ª aplicação
2ª aplicação
3ª aplicação
X0 X1 X2 X3 X4
X0 X1 X2
X1 X2 X3
X2 X3 X4
conhecido
conhecido
 
Com as três aplicações, fica-se com três equações dos três momentos, uma para cada aplicação e 
três incógnitas (X1, X2 e X3), já que os momentos X0 e X4 são previamente conhecidos. 
 
1.3 CONVENÇÃO DE SINAIS - MOMENTOS 
 
Olhando as cargas à esquerda da seção considerada: 
considera como positivo o momento com tendência de giro no 
sentido horário 
 
 
Olhando as cargas à direita da seção considerada: considera 
como positivo o momento com tendência de giro no sentido 
anti-horário 
 
 
1.4 CÁLCULO E DESENHO DO DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES DE UMA VIGA CONTÍNUA 
4,0 m
3,5 kN/m
2,0
10 kN
3,0
0 1 21 2
 
 
EQUAÇÃO: ) 6(- X . X . ) 2( X . 1n1n21nnnnn1-nn ++++ ?µ+µ=+++ 11 llll 
 
5 
 
Uma aplicação: 2 vãos. 
Vãos Apoios 
n = 1 n -1 = 0 
n +1 = 2 n = 1 
 n +1 = 2 
 
) 6(- X . X . ) 2( X . 21122212101 ?µ+µ=+++ llll 
 
Observação: 
Nos apoios de extremidade o valor do momento será igual a 0 (zero) - se não houver balanço. 
 
A) CÁLCULO DOS FATORES DE CARGA 
Vão 1 Vão 2 
l1 = 4,0 m
3,5 kN/m
0 1
1
µ
2
1
 
b = 3,0
1 2
2
l2 = 5,0 m
µ
1
2 a = 2,0
10 kN
 
Cálculo 
9,33 
24
4 . 3,5
 
24
3q.
 
3
1 ===µ
l
 
Cálculo 
165.(3
6.5
10.2.3
.(b
6
P.a.b
 ) )21 =++=µ =l
l
 
 
 
 
� Agora podemos resolver a 1ª aplicação 
 
kN.m 8,44 - X
16,00) (9,336- X5,00) (4,002
) 6(- X . ) 2(
 1
1
2
1
1
2121
=
+×=×+×
?+=+ µµll
 
 
B) CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO 
As reações de apoio devem ser calculadas separadamente para cada vão. Além das cargas nos 
vãos (distribuidas e/ou concentradas), devem-se aplicar também os momentos nos apoios do respectivo 
vão. O sentido destes momentos (horário ou anti-horário) deve deformar o vão da mesma maneira que a 
carga aplicada sobre ele. 
 
 
6 
Para vão 1: 
 
ΣM0 = 0 
3,5 . 4,00 . 2,00 - R1 . 4,00 - (-8,44) = 0 
R1 = 9.11 kN 
ΣV = 0 
R0 + 9,11 - 3,5 . 4,00 = 0 
R0 = 4,89 kN 
 
Para vão 2: 
 
ΣM1 = 0 
10 . 2,00 + (-8,44) - R2 . 5,00 = 0 
R2 = 2,31 kN 
ΣV = 0 
R1 + 2,31 - 10 = 0 
R1 = 7,69 kN 
 
 
OBSERVAÇÕES PERTINENTES: 
• A reação no apoio 1 é igual a soma das reações do apoio 1 para os vãos 1 e 2; 
• As reações de apoio são cargas concentradas; 
• Desenhar, ao final, a viga com os respectivos momentos fletores nos apoios e as reações 
de apoio, a partir dos quais serão calculados os momentos fletores que servirão de base 
para o desenho do diagrama: 
 
 
• Os Momentos fletores são determinados nas seções de início e de fim de carga distribuída 
e nas seções de carga concentrada.; 
• É indiferente olhar as cargas à esquerda ou à direita de uma determinada seção, o 
resultado é sempre o mesmo!!!!!! 
 
 
7 
Os momentos fletores deverão ser calculados nas seguintes seções: 0, 1, A, 2. 
Seção 0 
M0 = X0 = 0 
Seção 1 
M1 = X1 = - 8,44 kNm 
 
Ou, olhando as cargas à esquerda: 
 
Convenção: 
 
 
M1 = +4,89.4,00-3,5.4,00.2,00 = -8,44 kNm 
 
• Qualquer que seja a maneira de se realizar o cálculo, aproveitando o valor da Equação dos 
Três Momentos, calculando-se com os valores à esquerda ou à direita da seção, o resultado 
deve ser sempre o mesmo. 
 
Seção A 
Convenção: 
 
 
Olhando as cargas à direita: 
 
MA = +2,31.3,00 = 6,93 kNm 
Seção 2 
M2 = X2 = 0 
 
 
 
C) DESENHO DOS DIAGRAMAS: 
Com os valores dos momentos fletores nos vários pontos da viga, pode-se fazer o desenho do 
diagrama. 
Para este desenho, algumas convenções devem ser seguidas: 
� valores de momento fletor positivos, abaixo da linha de referência e negativos, acima desta linha. 
� linha do diagrama de momentos fletores entre dois pontos consecutivos: 
 
8 
- se não houver carga entre estes dois pontos, a linha é reta e inclinada; 
- se houver carga distribuída entre estes dois pontos, a linha é uma parábola do 2o grau. A 
parábola do 2o grau necessita de três pontos para ser desenhada. No diagrama de momentos 
fletores, dois dos pontosda parábola são os momentos fletores nos pontos extremos. Há a 
necessidade então de um terceiro ponto. Este ponto é conseguido “pendurando-se” (pendurar 
significa no mesmo sentido da carga) o valor de qx²/8 (q: valor da carga, x: distância entre os dois 
pontos) a partir da metade da reta que une os pontos extremos. (obs.: o sentido da carga sempre 
empurra a “barriga” da parábola). 
 
 
 
Desenho Final: 
Desenho final do diagrama de momentos fletores do exemplo proposto: 
 
 
 O observação 
O ponto sob o qual se "pendura" o valor qx2/8 não é necessariamente o ponto de máximo momento 
fletor. 
 
 
 
9 
1.5 EXERCÍCIO RESOLVIDO – Calcular os momentos e reações de apoios das vigas hiperestáticas abaixo aplicando a 
equação dos 3 Momentos 
 
Etapa 1: Cálculo dos momentos nos apoios das extremidades: 
Apoio 0 → X0 = 0 
Apoio 3 → X3 = - 6 x 1,5 = -9 kN.m 
 
Etapa 2: Aplicação da equação dos 3 momentos: como a viga tem 3 vão, faz-se necessário 2 aplicações do 
método. 
1º aplicação (vãos e ): Para primeira aplicação n = 1 
) 6(- X . X . ) 2( X . 1n1n21nn1-n ++++ ?+=+++ µµ11 nnnn llll 
 
vãos apoios 
 
n-1 = 0 
 
n = 1 
 n + 1 = 2 
 
 
) 6(- X . X . ) 2( X . 21122212101 ?+=+++ µµllll 
 
2º aplicação (vãos e ): Para a segunda aplicação n = 2 
) 6(- X . X . ) 2( X . 1n1n21nnnnn1-nn ++++ ?µ+µ=+++ 11 llll 
↓ 
) 6(- X . X . ) 2( X . 31222212 ?+=+++ µµ333 llll 
 
vãos apoios 
 
n-1 = 1 
 
n = 2 
 n + 1 = 3 
 
 
 
 
-9 
0 
 
10 
 
Fórmulas 
 
) 6(- X . X . ) 2( X . 211122212101 ?µ+µ=+++ llll 
 
Cálculo dos fatores de carga 
vão 
 
vão 
 
vão 
 
Cálculo 
7,59
24
2.4,5
24
q
 
33
===µ l12 
Cálculo 
 
 
Cálculo 
Se não há carga no vão 
 
 
 O observação 
Cálculo dos fatores de carga em um determinado vão: 
� se não houver carga neste vão o fator de carga é igual a zero. 
� se houver mais de uma carga neste vão o fator de carga final é igual a soma dos fatores de carga 
das cargas atuantes. 
 Agora podemos resolver a 1ª aplicação 
Cálculo 
 
2(4,50 + 3,50).X1 + 3,50.X2 = -6(7,59 + 6,29) 
16.X1 + 3,50.X2 = -83,28 (1° equação) 
E na seqüência podemos resolver a 2ª aplicação 
Cálculo 
0 
 
11 
 
3,50 . X1 + 2(3,50 + 4,00) . X2 + 4,00 . -9 = - 6(5.71 + 0) 
3,50 . X1 + 15,.00 . X2 = 1,74 (2° equação) 
 
Resolvendo-se o sistema de duas equações a duas incógnitas, decorrente da 1° e 2° aplicações da 
Equação dos 3 Momentos, chega-se aos valores dos momentos X1 e X2. 
 Então: 
X0 = 0 
X1 = -5,51 kNm 
X2 = 1,40 kNm 
X3 = -9,00 kNm 
� Conclusão 
A partir daí pode ser feito o cálculo das reações de apoio e dos valores dos momentos fletores nos pontos 
necessários para possibilitar o desenho dos diagramas. 
 
 
0
1 21 2
3,0 kN/m
4 kN
3,5 kN
3,0 m
1,5 m
2,5 kN
2,0 m
2,5 m
1,0 m
A B C
 
 
4,5 m
25 kN/m
1,5
F1 (kN)
2,0
2,0
F3 (kN)
1,0
2,0
F2 (kN)
0 1 2 31 2 3
 
 
 
 
 
 
1 
. Exemplo: 
Aplicação da Equação dos 3 Momentos: 
� Cálculo dos momentos nos apoios da viga contínua abaixo esquematizada: 
A viga tem dois vãos, portanto será 
necessária uma aplicação da 
Equação dos 3 Momentos. 
 
 
Fórmula 
1º aplicação (vãos e ): 
 
1º aplicação: 
Vãos: 
 
 
Apoios: 
n-1 =0 
n 
=1 
n+1 
=2 
 
 
� Cálculo dos fatores de carga 
Cálculo dos fatores de carga 
vão 
 
vão 
 
Cálculo Cálculo 
 
2 
 
 
 
 
Agora podemos resolver a 1ª aplicação 
Cálculo 
 
2(5,00 + 4,50) . X1 = -6(13,02 + 18,56) 
19,00 . X1 = -189,48 
X1 = -9,97 kNm 
 
Então: 
X0 = 0 
X1 = -9,97 kNm 
X2 = 0 
� Conclusão 
A partir daí pode ser feito o cálculo das reações de apoio e dos valores dos momentos fletores nos 
pontos necessários para possibilitar o desenho dos diagramas. 
 
 
 
2. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
� Anotações de Aula do Prof. Edilberto 
� http://www.lami.pucpr.br/cursos/estruturas