Apostila de Administração Financeira Orçamentária

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Administração Financeira Orçamentária I 1
FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
INTRODUÇÃO
A matemática financeira tem como objetivo principal estudar o valor do dinheiro em
função do tempo. Este conceito, aparentemente simples, tem vários detalhes quanto à forma de
estudo do valor do dinheiro no tempo. Vejamos alguns conceitos para melhor compreendermos o
objetivo da matemática financeira.
⇒⇒⇒⇒ Risco: quando estamos concedendo crédito, estamos mesmo é analisando o risco contido nas
operações de crédito. Os conceitos de matemática financeira serão importantes para medir o
risco envolvido em várias operações de créditos.
⇒⇒⇒⇒ Prejuízo (ou despesa): Em qualquer operação financeira, normalmente, ocorre o pagamento
de juros, taxas, impostos, etc., caracterizando-se para alguns como prejuízo e para outros como
pagamento de despesas financeiras. A matemática financeira irá mostrar quanto se pagou de
despesa ou medir o tamanho do prejuízo em uma operação financeira.
⇒⇒⇒⇒ Lucro (ou receita): Da mesma forma que alguém ou uma instituição paga juros e caracteriza-
o como prejuízo ou despesa, quem recebe pode classificar estes juros como lucro ou receita ou
simplesmente como a remuneração do capital emprestado. A matemática financeira nos ajuda a
calcular este juro ou receita, bem como a remuneração do capital emprestado.
PORCENTAGEM
O cálculo de porcentagem é uma operação das mais antigas, em termos de cálculos
comerciais e financeiros. A expressão por cento é indicada geralmente por meio do sinal % .
Quando efetuamos um cálculo de porcentagem, na verdade estamos efetuando um simples
cálculo de proporção. Vejamos o exemplo a seguir:
Exemplo 01:
Qual é a comissão de 10% sobre R$ 800,00?
O raciocínio que se deve empregar na solução deste problema é exatamente este:
- Se a comissão sobre R$ 100,00 é R$ 10,00, quanto será sobre R$ 800,00 ?
Neste caso teremos:
100,00 10,00
800,00 X
Aplicando a propriedade fundamental das proporções (o produto dos meios é igual ao produto
dos extremos), teremos que:
100 . X = 800 . 10
100X = 8.000
 X = 8.000/100
 X = R$ 80,00 
(assim sendo, (100 . 80) = (800 . 10)
8.000 = 8.000
Administração Financeira Orçamentária I 2
E X E R C Í C I O S
1) Achar 9% de R$ 1.297,00
2) Achar 2,5% de R$ 4.300,00
3) Achar 0,5% de R$ 1.346,50
4) Achar 108% de R$ 1.250,25
5) Achar 0,6% de R$ 500,00
6) Dos 30 participantes de um curso, 12 são homens. Qual a participação de mulheres na turma?
7) Calcular o número cujos 12% são R$ 100,80
8) Calcular o número cujos 500% são R$ 160,00
9) Calcular o número cujos 6,5% são R$ 26,00
10) Qual a taxa que rende R$ 850,00 sobre um capital investido de R$ 5.500,00?
11) Sobre um valor principal, houve um rendimento de R$ 15.500,00 a uma taxa de 31,5%. Qual
o valor aplicado?
12) Qual o valor do rendimento obtido por um capital de R$ 45.000,00 a uma taxa de 24,32%?
OPERAÇÕES COM MERCADORIAS
Com base nos conceitos de porcentagem, é possível resolver várias situações que
envolvem negociações com mercadorias, ou seja, cálculo do lucro, preço de venda, custo, etc.
Para achar a soma de um número qualquer e sua porcentagem, calculam-se primeiro a
porcentagem e, em seguida, adiciona-se esta ao número dado.
Exemplo 01:
Por quanto se deve vender certa mercadoria que custou R$ 4.126,75, para obter uma
rentabilidade (lucro) de 6% ?
Solução algébrica:
4.126,75 100%
X 6%
Onde:
Lucro = 4.126,75 . 6 = 24.760,50 = R$ 247,61
 100 100
Então teremos:
Lucro = R$ 247,61
Custo da mercadoria = R$ 4.126,75
Preço da venda = R$ 4.374,36
Administração Financeira Orçamentária I 3
Observe que R$ 4.126,75 representa a parte inteira = 100% ou 100% = 1;
 100
Observe que R$ 247,60 representa a parte fracionária = 6% ou 6% = 0,06.
 100
Partindo deste raciocínio, concluímos que:
Preço de venda = parte inteira (1) + parte fracionária (0,06), ou seja, podemos deduzir que o
índice para calcular o preço de venda neste exemplo será: 1,06. Vamos comprovar:
Preço de venda = 4.126,75 . 1,06
Preço de venda = 4.374,36
E X E R C Í C I O S
1) Um produto custou R$ 10,00 e foi vendido por R$ 12,00. De quanto por cento foi o lucro?
2) Um produto custou R$ 125,00 e foi vendido por R$ 182,00. De quanto por cento foi o lucro?
3) Uma determinada mercadoria foi comprada por R$ 80,00 e vendida por R$ 60,00. De quanto
por cento foi o prejuízo?
4) Um objeto comprado por R$ 40,00 é vendido 20% abaixo do custo. De quanto é o prejuízo?
5) Um objeto comprado por R$ 50,00 é vendido com 12% de lucro. Quanto a empresa obteve de
lucro?
6) Um investidor comprou uma casa por R$ 50.000,00 e gastou 80% do custo em reparos. Mais
tarde vendeu a casa por R$ 120.000,00. Qual foi o seu lucro? De quanto por cento foi o seu
lucro?
JUROS (J)
É a remuneração obtida a partir do capital de terceiros. Esta remuneração pode ocorrer a
partir de dois pontos de vista:
- de quem paga: nesse caso, o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo,
prejuízo, etc.
- de quem recebe: podemos entender como sendo rendimento, receita financeira, ganho,
etc.
Podemos concluir que os juros só existem se houver um capital empregado, seja este capital
próprio ou de terceiros.
Capital (C) ou Valor Presente (PV) ou Principal (P)
É o recurso financeiro transacionado na data focal zero de uma determinada operação
financeira. Podemos entender como data focal zero a data de inicio da operação financeira ou
simplesmente podemos dizer que é o valor aplicado como base para cálculo dos juros.
Administração Financeira Orçamentária I 4
Taxa (i)
É o coeficiente obtido da relação dos juros (J) com o capital (C), que pode ser
representado em forma percentual ou unitária. Os conceitos e tipos de taxas são bastante
variados, como por exemplo:
- taxa de inflação;
- taxa real de juros;
- taxa acumulada;
- taxa unitária;
- taxa percentual;
- taxa over;
- taxa equivalente;
- taxa nominal, entre outras.
Prazo ou Tempo ou Períodos (n)
É o tempo necessário que um certo capital (C), aplicado a uma taxa (
produzir um montante (M). Neste caso, o período pode ser inteiro ou fracioná
exemplo:
- período inteiro:1 dia; 1 mês comercial (30 dias), 1 ano comercial (360 di
- período fracionário:3,5 meses, 15,8 dias, 5 anos e dois meses, etc.
Podemos também considerar como um período inteiro os períodos do tipo: u
dias, um período de 30 dias, etc., ou seja, a forma de entendimento dos períodos
como estão sendo tratados nos problemas.
Montante (M) ou Valor Futuro (FV) ou Soma ( S)
É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação comerc
após um determinado período de tempo, ou seja, é soma do capital (C) com os ju
Assim temos: M = C + J
Partindo da fórmula acima, temos que: J = M – C e C = M - J
Exemplo 01:
Uma aplicação obteve um rendimento líquido de R$ 78,25 durante um determin
foi o valor resgatado, sabendo-se que a importância aplicada foi de R$ 1.568,78 
Solução algébrica:
J = 78,25 C= 1.568,78 M = ?
M = C + J
M = 1.568,78 + 78,25
M = R$ 1.647,03
Exemplo 02:
Qual o valor dos juros resultante de uma operação em que foi investido u
1.250,18 e que gerou um montante de R$ 1.380,75 ?
Solução pela
1568,78
78,25
R$ 1
i), necessita para
rio, vejamos um
as), etc.
m período de 15
 vai depender de
ial ou financeira
ros (J).
ado tempo, qual
?
m capital de R$
 HP-12C
.647,03
ENTER
+
Administração Financeira Orçamentária I 5
Solução algébrica:
C = 1.250,18 M= 1.380,75 J= ?
J = M - C
J = 1.380,75 – 1.250,18
J = R$130,57
Exemplo 03:
Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 1.500,00, sabendo-se que o
rendimento deste investimento foi de R$ 378,25?
Solução algébrica:
M= 1.500,00 J=378,25 C= ?
C = M - J
C = 1500,00 – 378,25
C = R$ 1.121,75
DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA
É a movimentação de recursos financeiros (entradas e saídas de caixa) ao longo de um
período de tempo. Na verdade estamos nos referindo à entrada e saída de dinheiro. O conceito de
caixa (financeiro) não pode ser confundido com o conceito de competência (contábil).
Serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em período de tempo. O
tempo é representado por uma linha horizontal dividida pelo número de períodos relevantes para
análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima, e
as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo.
Modelo simplificado
 (+) entradas
 tempo(n)
 (-) saídas
Modelo detalhado
entradas( ) saídas( )
Solução pela HP-12C
1.380,75
1.250,18
R$ 130,57
ENTER
-
Solução pela HP-12C
1.500
378,25
R$ 1.121,75
ENTER
-
tempo(n)
Administração Financeira Orçamentária I 6
Chamamos de PV o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data focal 0(zero); FV,
valor futuro, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas.
PMT é a prestação, ou as entradas e saídas durante o fluxo. Na HP-12C a diferença entre
entradas e saídas será simbolizada pelo sinal negativo e positivo.
Regimes de Capitalização
São os métodos pelos quais os capitais são remunerados. Os regimes utilizados em
Matemática Financeira são SIMPLES e COMPOSTOS ou linear e exponencial,
respectivamente.
Exemplo 04:
Seja um capital de R$ 1.000,00, aplicado a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Qual o valor
acumulado no final de cada período pelos regimes de capitalização simples e composta ?
Solução algébrica: 01
Regime de Capitalização Simples
n Capital aplicado
(R$)
Juros de cada período Valor acumulado ou montante
1 1.000,00 1.000 . 10% = 100 1.000 + 100 = 1.100
2 1.000,00 1.000 . 10% = 100 1.100 + 100 = 1.200
3 1.000,00 1.000 . 10% = 100 1.200 + 100 = R$ 1.300,00
Diagrama de Fluxo de caixa para o Regime de Capitalização Simples
 M=R$ 1.300,00
 C. i = R$ 100,00 C . i = R$ 100,00 C . i = R$ 100,00
C = R$ 1.000,00
Solução algébrica: 02
Regime de Capitalização Composta
n Capital aplicado
(R$)
Juros de cada período Valor acumulado ou montante
1 1.000,00 1.000 . 10% = 100 1.000 + 100 = 1.100
2 1.100,00 1.100 . 10% = 110 1.100 + 110 = 1.210
3 1.210,00 1.210 . 10% = 121 1.210 + 121 = R$ 1.331,00
Diagrama de Fluxo de caixa para o Regime de Capitalização Composta
Administração Financeira Orçamentária I 7
J = PV . i . n
 M=R$ 1.331,00
 C. i = R$ 100,00 M1. i = R$ 110,00 M2. i = R$ 121,00
C = R$ 1.000,00
Vamos então verificar o diagrama de fluxo de caixa do ponto de vista de quem empresta
recursos (emprestador) e do ponto de vista de quem toma empréstimo ( tomador).
Do ponto de vista do emprestador:
 (resgate ou montante)
 M=R$ 1.331,00
 C. i = R$ 100,00 M1. i = R$ 110,00 M2. i = R$ 121,00
C = R$ 1.000,00
(investimento ou aplicação)
Do ponto de vista do tomador:
 (resgate ou montante)
 C=R$ 1.000,00
 C. i = R$ 100,00 M1. i = R$ 110,00 M2. i = R$ 121,00
 M = R$ 1.331,00
 (pagamento dos recursos)
JUROS SIMPLES
Podemos entender juros simples como sendo o sistema de capitalização linear. O regime
de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor do capital inicial,
ou seja, sobre os juros gerados, a cada período, não incidirão novos juros.
Sendo assim, teremos a fórmula dos juros simples:
Administração Financeira Orçamentária I 8
Colocando o PV em evidência, teremos:
PV = J
 i.n
Colocando o n em evidência, teremos:
 n = J
 PV.i
Colocando o i em evidência, teremos:
 i = J V - 1
 PV.n V
Exemplo 05:
Determine o juro obtido com um capital de R$ 1.250,00 durante 5 meses com a taxa de 5,5% ao
mês.
Solução algébrica:
J = 1250 . 0,055 . 5
J = R$ 343,75
Exemplo 06:
Qual foi o capital que gerou rendimento de R$ 342,96 du
mês ?
Solução algébrica:
J= 342,96
PV = 342,96
 0,025 . 11
PV = 342,96 = R$ 1.247,13
 0,275
Solução pela HP
342,96
0,025
11
R$ 1.247,
EN
X
EN
Solução pela HP-12C
1.250,00
0,055
5
ENTER
X
X
rante 11 mes
R$ 3
-12C
13
TER
TER
÷÷÷÷
 
 ou i = F
 P
es, a uma taxa de 2,5% ao
43,75
Administração Financeira Orçamentária I 9
Exemplo 07:
Pedro pagou ao Banco 4 de juros por um dia de traso sobre
uma prestação de R$ 5 ros aplicada pelo banco ?
Solução algébrica:
i = 2,14
 537,17 . 1
i = 2,14 = 0,0039
 537,17
i = 0,003984 . 100
i = 0,3984% ao dia
imensal = 0,3984 . 30
imensal = 11,95%
Exemplo 08:
Durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 967,74 que gerou rendimentos de R$
226,45 com uma taxa de 1,5% ao mês ?
Solução algébrica:
n = ? PV = R$ 967,74 i = 1,5% ao mês J= R$ 226,45
n = 226,45 = 226,45
 967,74 . 0,015 14,52
n =15,6 meses ou 15 meses e 18 dias
 OBSERVAÇÃO:
- A parte inteira 15 representa os 15 meses.
-A parte decimal do número 15,6, ou seja, 0,6, representa os 18 dias. Neste caso, para
calcularmos os dias, basta multiplicar a parte decimal por 30 ( 0,6 . 30 = 18).
Exemplo 09:
André emprestou R$ 15,00 de Alm esolveu cobrar sua dívida. André
efetuou um pagamento de R$ 23 taxa de juros acumulados nesta
operação? Qual foi a taxa mensal de
Solução algébrica:
PV = 15,00
FV = 23,75
N = 6 meses
i(ac) = ?
imensal = ?
100 30
11,95% ao mês
X X
i(ac) = 23
 
i(ac) = { 1,5
i(ac) = 0,5833
i(ac) = 58,33%
imensal = 58,3
imensal = 9,72
Solução pela HP-12C
15
23,75
ENTER
∆%
ir. Após 6 meses André r
,75 a Almir. Qual foi a 
 juros?
,75 - 1 . 100
15
833 – 1 } . 100
 . 100
 a. p. ou ao
3 / 6
% ao mês
 
semestre
Solução pela HP-12C
226,45
967,74
0,015
15,60meses
ENTER
X
ENTER
÷÷÷÷
 58,3
6
 9,72
3 a . p
% ao 
÷÷÷÷
 ECCOS S/A a importância de R$ 2,1
37,17. Qual o foi a taxa mensal de ju84....
Solução pela HP-12C
2,14
537,17
1
ENTER
X
ENTER
÷÷÷÷
 a
.
mês
Administração Financeira Orçamentária I 10
Montante (M) ou Valor Futuro (FV)
Antes de apresentar a fórmula do montante ou valor futuro, devemo lembra dos c nceitos
inicias, onde tenhamos que:
FV = PV + J e J = PV . i . n
Assim teremos:
FV = PV ( 1 + i . n )
Exemplo 10:
Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 84.975,59 aplicados em um CDB pré-fixado de
90 dias, a uma taxa de 1,45% ao mês?
Solução algébrica:
n = 90 dias ou (3meses) PV = R$ 84.975,59 i = 1,45% ao mês FV= ?
FV = 84.975,59(1 + 0,0145 . 3)
FV = 84.975,59(1 + 0,0435)
FV = 84.975,59(1,0435)
FV = R$ 88.672,03
Capital (C) ou Valor Presente (PV)
A Fórmula do Capital ou Valor Presente pode ser deduz a a part da fórmula do
Montante ou Valor Futuro (FV).
Assim teremos: FV = PV(1 + i . n)
Colocando PV em evidência:
 PV = FV
 (1 + i . n)
Exemplo 11:
Determine o valor da aplicação cujo valor de resgate bruto foi de R
de 3 meses, sabendo-se que a taxa da aplicação foi de 1,77% ao mês.
 Solução algébrica:
PV = 84.248,00
 (1 + 0,0177 . 3)
PV = 84.248,00 = 84.248,00 
 ( 1 + 0,0531 ) 1,0531
PV = R$ 80.000,00
Solução pela HP-12C
84975,59
1,45
3
R$ 88.672,03
ENTER
%
X +
Solu
84248
1
0,0177
3
$
id
 84.248,0
ção pela H
R$ 80.000
ENTE
ENTE
ENTE
X
ir
s 
0 
P
,0
R
R
R
r
por um 
-12C
0
+
o
 período
÷÷÷÷
Administração Financeira Orçamentária I 11
E X E R C Í C I O S
1) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 5.000,00, pelo prazo de 5
meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3,5 % ao mês ? R. J = R$ 875,00
2) Um capital de R$ 12.250,25, aplicado durante 9 meses, rende juros de R$ 2.756,31.
Determine a taxa mensal e a taxa acumulada correspondente. R. i = 2,5% - i(acum) 22,50%
3) Uma aplicação de R$ 13.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$
1.147,25. Pergunta-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? R. i(anual) = 17,65%
4) Sabe-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma aplicação de R$ 9.750,00 à taxa
de 5% ao trimestre, pede-se que calcule o prazo. R. n = 16 trim
5) Qual o capital que aplicado, à taxa de 2,8% ao mês, rende juros de R$ 950,00 em 360 dias?
R. PV = R$ 2.827,38
6) Qual é o juro obtido através da aplicação de capital de R$ 2.500,00 a 7% ao ano durante 3
anos ?
 R. J = R$ 525,00
7) Determinar o valor futuro da aplicação de um capital de R$ 7.565,01, pelo prazo de 12 meses,
à taxa de 2,5% ao mês. R. FV = R$ 9.834,51
8) Um financiamento de R$ 21.749,41 é liquidado por R$ 27.612,29 no final de 141 dias.
Calcular a taxa mensal de juros. R. i = 5,74% a m.
9) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu em 180 dias R$ 1.200,00. Qual é a taxa simples anual
ganha? R. i = 48% aa
10) Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 370,00, sabendo-se que o
rendimento deste investimento foi de R$ 148,50? R. PV = R$ 221,50
11) João pagou a uma financeira a importância de R$ 10,30 de juros por 2 dias de atraso sobre
uma prestação de R$ 732,10. Qual foi a taxa mensal de juros aplicada pela financeira?
R. i = 21,1% am.
12) João pagou a uma financeira a importância de R$ 10,30 de juros por 2 dias de atraso sobre
uma prestação de R$ 732,10. Qual foi a taxa diária de juros aplicada pela financeira?
R. i = 0,7035% ad.
13) Qual o capital que aplicado à taxa simples de 20% ao mês em 3 meses monta R$ 8.000,00 ?
R. PV = R$ 5.000,00
14) Qual é o juro obtido através da aplicação de capital de R$ 5.800,00 a 12% ao ano durante 2
anos?
R. J = R$ 1.392,00
15) Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 8.580,00, sabendo-se que o
rendimento deste investimento foi de R$ 1.920,80?
R. PV = R$ 6.659,20
Administração Financeira Orçamentária I 12
Cálculo dos juros simples para períodos não inteiros
Em algumas situações, o período de aplicação ou empréstimo não coincide com o período
da taxa de juros. Nesses casos é necessário se trabalhar com a taxa equivalente .
Taxas Equivalentes são aquelas que, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo
período de tempo, produzem o mesmo juro ou rendimento.
Exemplo 12:
Um banco oferece uma taxa de 28% ao ano pelo regime de juros simples. Quanto ganharia de
rendimento um investidor que aplicasse R$ 15.000,00 durante 92 dias ?
Solução algébrica:
PV = 15.000,00
i = 28% ao ano
n = 92 dias
J = ?
Juros Exato e Comer
Quando falamo , nos referindo a s dias do calendário,
ou seja, devemos cons te em cada mês Como, por exemplo:
Janeiro (31 dias), feve m ano pode ter 3 5 ou 366 dias.
No caso do ju empre um Mês ias, e, sendo
assim, um ano comerc
Exemplo 13:
Uma prestação no valo
taxa de 48% ao ano. P
 a) Determinar os juro
 b) Determinar os juro
Solução algébrica: 
PV = R$ 14.500
i = 48% ao ano
a) Jexato = 14500 .
 36
Opção1: transformando a taxa
J = 15000 . 0,28 . 92
 360
J = 15000 . 0,000778 . 92
J = R$ 1.073,33
Opção2: transformando o prazo
J = 15000 . 0,28 . 92
 360
J = 15000 . 0,28 . 0,255556
J = R$ 1.073,33
Opção3: transformando o produto
J =
 
Solução pela HP – 12C
15000
0,28
92
360
R$ 1.073,33
ENTER
X
X
÷÷÷÷
cial
s em juro exato, estamos na verdade
iderar a quantidade de dias existen
reiro (28 ou 29 dias). Desta forma, u
ro comercial devemos considerar s
ial vai ter sempre 360 dias.
 15000 . 0,28 . 92 = 386.400,00
 360 360
J = R$ 1.073,33
r de R$ 14.500,00 venceu em 01/02/03 sendo quitad
ede-se:
s exato
s comercial
01.02200
15.03200
 0,48 . 42 = R$ 800,88
5
de 30 d
. 
6
o
a em 15/03/03, com a
3 g D.MY
3 g DYS
Administração Financeira Orçamentária I 13
b) Jcomercial = 14500 . 0,48 . 42 = R$ 812,00
 360
E X E R C Í C I O S - JUROS PERIODO NÃO INTEIRO/TAXA EQUIVALENTE E
JUROS EXATO (365 dias) e COMERCIAL (360 dias)
1) Calcular o rendimento de R$ 12.000,00 plicados durante 8 meses e 3 dias à taxa de juros
simples de 40% ao ano. Efetuar os cálculos considerando o ano comercial (360 dias) e o ano
exato (365 dias). R. J(com) = R$ 3.240,00 e J x) = R$ 3.195,62
2) Uma prestação no valor de R$ 6.332 ceu em 01/04/00 sendo quitada em 17/05 do
mesmo ano com a taxa de 25% ao ano. Determine os juros exato e comercial.
R. J(ex) = R$ 199,50 e J(com) = R$ 202,27
3) Calcular o valor dos juros de uma aplicaçã de R$ 21.150,00, feita com a taxa de 3,64% ao
mês, pelo prazo de 32 dias. R. R$ 821,18
4) Calcular o rendimento de R$ 23.000,00 apl ados por 14 dias à taxa simples de 2,5% ao mês.
R. R$ 268,33
5) Qual o valor do rendimento de uma apli C.D.B. à taxa de 22,5% ao ano sabendo-se
que o capital de R$ 28.400,00 foi investid 5/02/2.003 e resgatado em 15/04 do mesmo
ano? Calcule o juro exato e o comercial.
R. J(ex) = R$ 1.207,97 e J (Com) = R$ 1.224,75
6) Calcule as taxas equivalentes a 40% ao a
a) 7 dias; R. i(com) = 0,78% e i(ex) = 0,77%
b) 29 dias; R. i(com) = 3,22% e i(ex) = 3,1
Solução pela HP-12C
14.500
0,48
42
365
R$ 800,88
14.500
0,48
42
360
R$ 812,00
ENTER
X
X
X
÷÷÷÷
X
ENTER
÷÷÷÷
cação em
o em 0
no
8%
ic
(e
 a
,00 ven
o
 (Comercial e Exato) para:
Administração Financeira Orçamentária I 14
c) 1 mês; R. i(com) = 3,33% e i(ex) = 3,29%
d) 32 dias; R. i(com) = 3,56% e i(ex) = 3,51%
e) 1 trimestre; R. i(com) = 10,00% e i(ex) = 9,86%
f) 45 dias; R. i(com) = 5,00% e i(ex) = 4,93%
g) 1 semestre; R. i(com) = 20,00% e i(ex) = 19,73%
7)Determinara taxa simples para 22 dias de aplicação, equivalente à taxa de 3,05% ao mês.
R. i22dias = 2,24%
DESCONTOS
É a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é
resgatado antes de seu vencimento. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no setor
comercial, em que o portador de títulos de crédito, tais como letras de câmbio, notas
promissórias etc., pode levantar fundos em um banco descontando o título antes do vencimento.
O Banco naturalmente, libera uma quantia menor do que o valor inscrito no título, dito nominal.
Podemos classificar os tipos de descontos como Simples(método linear) e Composto(
método exponencial).
Desconto Racional Simples ou “ por dentro”
O valor do desconto é a diferença entre o valor futuro ((VN) valor nominal ou de resgate) e o
valor atual ((VL) valor líquido liberado na data do desconto) calculado a juros simples.
Vamos aplicar as seguintes fórmulas:
Para calcular o desconto racional simples:
DRS = VN – VL
Para calcular o valor líquido:
 VL = VN - DRS .
O desconto racional simples (DRS) pode também ser encontrado diretamente pela seguinte
fórmula:
 DRS = VN . id . n
 ( 1 + id . n )
Administração Financeira Orçamentária I 15
 Id = DC : (VN.n ).100
Exemplo 01:
Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à
taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional simples e o valor líquido?
Solução algébrica:
Dados: VN = R$ 25.000,00; nd = 2 meses;
 id = 2,5% ao mês; DRS = ?
DRS = 25.000,00 . 0,025 . 2
 ( 1 + 0,025 . 2 )
DRS = 1250
 1,05
DRS = R$ 1.190,48
VL = VN - DRS
VL = 25.000 – 1.190,48
VL = R$ 23.809,52
Desconto Bancário ou Comercial ou “ por fora ”
O valor do desconto é obtido multiplicando-se o valor nominal do título pela taxa de
desconto fornecida pelo banco pelo prazo a decorrer até o vencimento do título.
Vamos expressar esta situação através da seguinte fórmula:
 DC = VN.id.n VL = VN – DC
Exemplo 02:
Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à
taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto comercial (bancário) e o valor líquido?
Solução algébrica:
Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 2 meses;
 id = 2,5% ao mês; DC = ?
DC = 25.000,00 . 0,025 . 2
DC = R$ 1.250,00
VL = 25.000 – 1250,00
VL = R$ 23.750,00
Exemplo 03:
Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 é descon meses antes do seu
vencimento, à taxa de desconto de 2,5% ao mês. Sa obra 1% a título de
despesas administrativas e que o IOF (Imposto Sobr
sobre o valor do título, obter o valor recebido pelo po
tomar um empréstimo com a taxa líquida de 2,8% ao
Solução pela HP-12C
25.000 ENTER
0,025 X 2 X
1 ENTER
0,025 ENTER
2 X + ÷
C
2
Solução pela HP-12C
25.000 ENTER
0,025 X 2 X
C
2
tada em um banco 2 
bendo-se que o banco c
HS
5000 +
R$ 23.750,00
HS
5.000,00 +
R$ 23.809,52
e Operações Financeiras) é 0,0041% ao dia
rtador do título. Uma outra alternativa seria
 mês. Qual a melhor opção?
Administração Financeira Orçamentária I 16
Solução algébrica:
Dados: VN = R$ 25.000,00; nd = 2 meses;
 id = 2,5% ao mês; iadm= 1%; iIOF = 0,0041%;
i = 2,8% ao mês(empréstimo)
VL = ? DC = ? DIOF = ? Dadm = ?
ONDE:
D = despesas
DIOF = despesas com IOF
Dadm = despesas administrativas
VL = VN – DC – DIOF - Dadm
DC = VN . Id . n
DC = 25.000 . 0,025 . 2 = R$ 1.250,00
Dadm = 25.000 . 0,01 = R$ 250,00
DIOF = 25.000 . 0,000041 . 60 = R$ 61,50
VL = 25.000 – 1.250 – 250 – 61,50
VL= R$ 23.438,50
Se considerarmos que o PV seja R$ 23.438,50 e FV = 25.000,00, então teremos que a taxa
desta operação será:
i = FV - PV
 PV . n
i = 25.000 – 23.438,50 = 1.561,50 = 0,033310579 = 3,33 % ao mês
 23.438,50 . 2 46.877,00
A operação de empréstimo com a taxa de 2,8% ao mês, neste caso, será melhor opção.
Operações com um conjunto de títulos
Estudaremos nos próximos itens as situações em que haja mais de um título ou borderô
de títulos ou duplicatas.
Exemplo 04:
Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas num banco à
taxa de desconto bancário de 3% ao mês. Qual o valor líquido recebido pela empresa ?
Duplicata Valor(R$) Prazo(vencimento)
A 2.500,00 25 dias
B 3.500,00 57 dias
C 6.500,00 72 dias
Neste exemplo, vamos aplicar inicialmente a metodologia de cálculo para um único título.
Solução algébrica:
a)Duplicata A:
DC = 2.500 . 0,03 . 25 = R$ 62,50
 30
b)Duplicata B:
DC = 3.500 . 0,03 . 57 = R$ 199,50
 30
c)Duplicata C:
DC = 6.500 . 0,03 . 72 = R$ 468,00
 30
Valor líquido = 12.500 - 62,50 – 199,50 – 468,00 = R$ 11.770,00
Administração Financeira Orçamentária I 17
E X E R C Í C I O S
1) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 3.000,00, com vencimento
para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês ? R. DC = R$ 225,00
2) Qual a taxa mensal simples de desconto utilizada numa operação a 120 dias cujo valor
nominal é de R$ 1.000,00 e cujo valor líquido é de R$ 880,00 ? R. i = 3,41%
3) Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicatas descontadas a 2,4% ao mês, conforme o
borderô a seguir:
a) 6.000 15 dias
b) 3.500 25 dias
c) 2.500 45 dias
R. VL = R$ 11.768,00
4) Uma duplicata de R$ 32.000,00, com 90 dias a decorrer até o vencimento, foi descontada por
um banco à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente.
R. VL = R$ 29.408,00
5) Achar o valor líquido do borderô de cobrança a baixo, á taxa de desconto bancário é de 2% ao
mês. R. VL = R$ 4.461,11
Duplicatas Valor(R$) Prazo(vencimento)
X 800,00 13 dias
Y 1.350,00 29 dias
Z 2.430,00 53 dias
6) Qual a taxa mensal de um desconto comercial de R$ 225,00 aplicado sobre um título de valor
nominal de R$ 3.000,00 com antecipação de 90 dias? R. i = 2,5% ao mês.
7) Calcular a taxa mensal de desconto nas seguintes condições:
 Duplicatas Valor Nominal Período Valor Líquido Desconto Comercial
A 6.000,00 15 dias 5.928,00
B 7.800,00 12 dias 6.435,00
C 4.125,00 50 dias 3.854,00
D 8.540,00 3 meses 7.451,00
E 9.547,00 1 ano 6.452,00
Respostas:
A = 2,40% ao mês
B = 43,75% ao mês
C = 3,94% ao mês
D = 4,25% ao mês
E = 2,70% ao mês
8) Uma duplicata no valor de R$ 8.425,00 foi descontada 85 dias antes do vencimento com
desconto de 925,40. Qual a taxa semestral de desconto comercial aplicada? R. 23,26% a .s.
Administração Financeira Orçamentária I 18
JUROS COMPOSTOS
Podemos entender os juros compostos como sendo o que popularmente chamamos de
juros sobre juros.
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais
útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é
conhecido por cálculo exponencial de juros.
FÓRMULAS:
 Para calcular o Montante:
FV = PV( 1 + i )n
 Para calcular o Capital:
PV = FV
 ( 1 + i )n
 Para calcular a Taxa:
 FV QQ/QT
 i = - 1 . 100
 PV
Onde:QQ = Quanto eu Quero ( o prazo da taxa a ser calculada)
 QT = Quanto eu Tenho ( o prazo da operação que foi informado)
Para calcular o prazo :
 n = LN (FV/ PV)
 LN(1 + i)
Onde: LN = Logaritmo neperiano
Para calcular os juros :
 J = PV[(1 + i )n – 1]
Administração Financeira Orçamentária I 19
Exemplo 01:
Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5
meses.
Solução algébrica:
FV = 5000(1 + 0,04)5
FV = 5000(1,04)5
FV = 5000(1,2166529)
FV = R$ 6.083,26
Exemplo 02:
Qual o capital que, em 6 anos à taxa de juros compostos de 15% ao ano, monta R$ 14.000 ?
Solução algébrica:
PV = FV = 14000
 ( 1 + i ) n (1,15) 6
PV = 14.000 = R$ 6.052,59
 2,31306
Exemplo 03:
A loja “Leve Tudo” financia a venda de uma máquina no valor de R$ 10.210,72, sem entrada,
para pagamento em uma única prestação de R$ 14.520,68 no final de 276 dias. Qual a taxa
mensal cobrada pela loja ?
Dados:
i = ?
PV = R$ 10.210,72
FV = R$ 14.520,68
n = 276 dias
Solução algébrica:
i = 14.520,68 30/276 - 1 . 100
 10.210,72
 i = {(1,422101...)0,108696... – 1} . 100
 i = {0,039018...} . 100
i = 3,90% ao mês
Solução pel HP-12
5.000
4
5
R$ 6.083,26
CHS V
i
n
FV
14.
15
6
V
2C
PV
Solução pela HP-1
10.210,72
14.520,68
276
30
CHS
n
FV
ENTER
÷÷÷÷
i
3,90% ao 
Solução pela HP-12C
000
R$ 6.052,59
CHS F
i
n
PV
mês
C
P
a 
Administração Financeira Orçamentária I 20
Exemplo 04:
Em que prazo um empréstimo de R$ 24.278,43 pode ser liquidado em um único pagamento de
R$ 41.524,33, sabendo-se que a taxa contratada é de 3% ao mês ?
Dados:
n = ? i = 3% ao mês
PV = R$ 24.278,43 FV = R$ 41.524,33
Solução algébrica:
 LN 41.524,33
 24.278,43
 n =
 LN ( 1 + 0,03)
 n = LN(1,710338)
 LN(1,03)
 n = 0,536691...
 0,029559...
 n = 18,156731... meses
Exemplo 05:
Calcular os juros de uma aplicação de capital 5 meses à taxa de
10% ao mês.
 Dados:
PV = R$ 1.000,00?
i = 10% ao mês
n = 5 meses
J = ?
Solução algébrica:
J= 1.000[(1 + 0,10)5 – 1]
J= 1.000[(1,10)5 – 1]
J= 1.000[1,61051 – 1]
J= 1.000[0,61051 ]
J= R$ 610,51
Cálculo dos Juros Compostos para Períodos não In
As operações de juros composto perío
adotarmos a convenção do p azo para dias, vejamos a
1 ano exato = 365 ou 366 dias;
1 ano = 360 dias;
1 semestre = 180 dias;
1 trimestre = 90 dias;
1 mês comercial = 30 dias;
1 mês exato = 29 ou 31 dias;
1 quinzena = 15 dias.
Solução1 pela HP-12C
 6
41.524,33
24.278,43 LN
1,03 
18,156731..
g
ENTER
÷÷÷÷
f
Solução 2 pela HP-12C
41.524,33
24.278,43
3
 meses
FV
PV
i
CHS
1.000
10
5
 1.610,51
 
PV
FV
i
n
CHS
RCL P +
V
teiros
dos não inteiros podem facilita se
 R$ 610,51
s para 
 seguir:
r
das
ser 
 de R$ 1000,00 pelo prazo de 
 LN
 meses
÷÷÷÷
19n
Solução pela HP-12C
 g
Administração Financeira Orçamentária I 21
Quando deparamos com este tipo de situação devemos considerar o prazo
n = QQ (Quanto eu Quero) , sempre considerando o prazo em dias.
 QT (Quanto eu Tenho)
Sendo assim, teremos a seguinte fórmula do Valor Futuro(FV):
FV = PV (1 + i )QQ/QT
Exemplo 06:
Determinar o montante de uma aplicação de R$ 13.500,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano,
para um período de 92 dias pelo regime de juros compostos.
Dados:
PV = R$ 13.500,00
i =25% ao ano
n = 92 dias
FV = ?
Solução algébrica:
FV = 13.500(1 + 0,25)92/360
FV = 13.500(1,25)0,255556
FV = 13.500(1,058683)
FV = R$ 14.292,22
E X E R O S
1) Calcular o valor futuro ou montante de uma o financeira de R$ 15.000,00, admitindo-
se uma taxa de 2,5% ao mês para um período de 17 meses. R. FV = R$ 22.824,27
2) Calcular o capital aplicado pelo prazo de 6 meses a uma taxa de 1,85% ao mês, cujo valor
resgatado foi de R$ 98.5
3) Durante quanto tem tante de R$
45.562,45 com uma taxa
4) Qual a taxa mensal d
R$ 4.489,64 durante um
5) Determinar os juros 
durante 7 meses. R. J = R
6) A que taxa de juro
35.112,26, considerando
7) Determinar o valor 
com uma taxa de 2,8% a
R. PV = R$ 1.253,46
OBS.: neste caso a taxa está ao ano e o prazo está em dias.
As perguntas:
Qual é o prazo que eu Quero?
Qual é o prazo que eu Tenho ?
Solução pela HP-12C
13.500
1 0,25
92 360
 R$ 14.292,22
ENTER
ENTER +
ENTER ÷÷÷÷
yx X
62,25. R.PV = 88.296,69
po uma aplicação de R$ 26.564,85 produziu um mon
 de 0,98% ao mês ? R. n = 55,32 aprox. 56 meses
e juros necessária para 
 ano? R. i = 5% am.
obtidos através de uma
$ 209,38
s mensais um capital
 um período de aplicaç
de um investimento qu
o mês, produzindo um 
aplicaçã
C Í C I 
um capital R$ 2.500,0
 aplicação de R$ 580
 de R$ 13.200,00 p
ão de 7 meses ? R. i = 
e foi realizado pelo r
montante de R$ 2.500
0 produzir um montante de
,22 com uma taxa de 4,5%
ode transformar-se em R$
15%am
egime de juros compostos,
,00 ao final de 25 meses.
Administração Financeira Orçamentária I 22
8) Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicado por 10 meses a juros efetivos de 2% a.m. ?
R. J = R$ 875,98
9) Determinar o montante de uma aplicação de R$ 10.600,00, negociada a uma taxa de 25% ao
ano, para um período de 119 dias pelo regime de juros compostos. R. FV = R$ 11.411,43
10) Determinar o capital que, aplicado por 7 meses a juros efetivos de 4% ao mês, rende R$
10.000,00. R. PV = R$ 31.652,40
11) Em que prazo um empréstimo de R$ 55.000,00 pode ser quitado por meio de um único
pagamento de R$ 110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% ao ano?
R. n = 5 anos
12) Tenho R$ 10.000,00 e aplico em uma caderneta de poupança 23% do valor, a uma taxa de
2,5% ao mês a juros compostos durante 4 bimestres. Qual o valor do resgate no final do período?
R. FV = R$ 2.802,33
13) André pretende aplicar R$ 30.000,00. Ele fez uma análise em três bancos diferentes. Veja a
tabela abaixo com as condições oferecidas por cada banco.
BANCO X Y Z
Taxa 2% ao mês 2% ao trim 2,5% ao mês
Prazo 2 bimestres 2 trimestres 3,5 meses
a) Calcule o montante referente as condições oferecidas por cada banco
 R. FVx = R4 32.472,96; FVy = R$ 31.212,00 e FVz = R$ 32.708,06
b) Qual é a melhor opção?
Desconto Racional Composto
O desconto composto é aquele que a taxa de desconto incide sobre o montante (M), (FV)
ou (VN). Utilizaremos todas as metodologias anteriores para os cálculos do desconto composto.
 DRC = VN – VL
 VL = VN .……
 (1 + id)nd
Exemplo 01:
Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 5.000,00
considerando uma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês, sendo descontado 3 meses antes do seu
vencimento.
Dados:
VN = 5000; id = 3,5% ao mês; n = 3 meses; DRC ?; VL = ?
Solução algébrica:
VL = 5000 .……
 (1 + 0,035)3
 VL = 5000 = 5000__ = R$ 4509,71 .…= …
 (1,035)3 1,10872
DRC = 5000 – 4509,71 = R$490,29
Solução pela HP-12C
5000 FV
3,5 i
3 n
PV 4509,71
5.000 +
R$ 490,29
Administração Financeira Orçamentária I 23
Desconto Bancário ou Comercial ( para descontos compostos)
Considere um título de Valor Nominal (VN), com vencimento em um período (n), e um
Valor Líquido (VL), que produz um Valor Futuro (FV) igual a VN, quando aplicado por (n)
períodos a uma taxa composta de descontos (id) por período. Vamos verificar:
DBC = VN – VL
Onde: DBC = Desconto Bancário Composto
 VL = VN (1 + id)-nd
Exemplo 02:
Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00, 60 dias para o seu vencimento, é descontada a uma
taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o valor líquido
creditado na conta e o valor do desconto bancário concedido.
 Solução algébrica:
Dados: VN = R$ 25.000,00; nd = 60dias (2 meses);
 id = 2,5% ao mês; VL = ? DBC = ?
VL = 25.000(1+ 0,025)-2
VL = 25.000(1,025)-2
VL = 25.000 . 0,9518144
VL = R$ 23.795,35
DBC = 25.000 – 23.795,35 = R$ 1.204,64
E X E R C Í C I O S
1) Um título no valor nominal de R$ 59.895,00 foi pago 3 m to. Se a taxa
mensal de desconto racional composto era 10%, de quanto
R. VL = R$ 45000,00
2) Determinar o desconto racional composto de um título
considerando uma taxa de juros compostos de 1,8% ao mês
seu vencimento. R. DRC = R$ 206,62
3) Uma duplicata de R$ 17000,00, 90 dias para o seu venc
1,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto co
creditado na conta e o valor do Desconto Bancário concedido
R. VL = R$ 16257,38 e DBC = R$ 742,61
Solução pela HP-12C
25.000 CHS FV
2,5 i
-
P
2
eses antes do vencimen
2 n
V 23.795,35
5.000 -
R$ 1.204,64
 era o valor líquido deste título?
 de valor nominal de R$ 3000,00
, sendo descontado 4 meses antes do
imento, é descontada a uma taxa de
mposto. Calcular o Valor Líquido
.
Administração Financeira Orçamentária I 24
OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS
o Brasil S. A. , as taxas de juros de cada instituição
ricas ponderadas pelas concessões observadas nos últimos
do no ranking de cada modalidade de operação de crédito.
ta o custo da operação para o cliente, sendo obtida pela
cais e operacionais.
s
Conforme o Banco Central d
financeira representam médias geomét
cinco dias úteis, período esse apresenta
A taxa de juros total represen
soma da taxa média e dos encargos fis
Taxas equivalentes a juros composto
Duas taxas são consideradas equivalentes, a ju icadas a um
mesmo capital, por um período de tempo equivalente e g
 ieq = [ ( 1 + ic)QQ/QT - 1] .
Onde:
ieq = taxa equivalente
ic = taxa conhecida
QQ = Quanto eu Quero
QT = Quanto eu Tenho
Exemplo 01:
Calcular a equivalência entre as taxas:
Taxa Conhecida T
a) 79,5856% ao ano 1 mês
b) 28,59% ao trimestre 1 seme
c) 2,5% ao mês 105 dia
d) 0,5 ao dia 1 ano
e) 25% (ano comercial) 1 ano e
Solução algébrica:
 a)
ieq = { ( 1 + ic)QQ/QT - 1 } . 100
ieq = { ( 1 + 0,7958)11/12- 1 } . 100
ieq = { ( 1 + 0,7958)0,083333 - 1 } . 100
ieq = { 1,049997 - 1 } . 100
ieq = { 0,049997 } . 100
ieq = 5% ao mês
Solução algébrica: Soluçã
 c)
 ieq = { 
 ieq = { 
 ieq = { 
 ieq = { 
 ieq = 9,0
Solução algébrica:
 b)
ieq = { ( 1 + 0,2859)180/90 - 1 } . 100
ieq = { ( 1 + 0,2859)2 - 1 } . 100
ieq = { 1,653539 - 1 } . 100
ieq = { 0,653539 } . 100
ieq = 65,35% ao semestre
1,7958
30 
1 
ros compostos, quando apl
erem o mesmo rendimento.
 100
axa e
stre
s
xato
o alg
 ( 1 +
 ( 1, 
 1,0
 0,0
3 %
Sol
 
 
E
quivalente para:
 ( base 365 dias)
ébrica
 0,025)105/30 - 1 }
025)3,5 - 1 } . 10
90269 - 1 } . 100
90269 } . 100
ao período
ução pela HP-12C
 360
 100
5% ao mês
ENTER
NTER
- X
 . 100
0
 - a)
÷
 Yx
Administração Financeira Orçamentária I 25
Taxa Real, Taxa Aparente e Taxa de Inflação
Denominamos taxa aparente (i) aquela que vigora nas operações correntes (financeiras e
comerciais).
Quando não há inflação (I), a taxa aparente (i) é igual à taxa real (R); porém, quando há
inflação (I), a taxa aparente (i) é formada por dois componentes:
- Um correspondente ao “juro real” e outro correspondente a inflação.
Sendo:
C: capital inicial
R: taxa real de juros
I: taxa de inflação
i: taxa aparente
Exemplo 01:
Qual a taxa aparente, correspondente a um ganho real de 9% ao ano se a taxa de inflação do
período for 11,9% ?
Resolução:
i = ? R = 9%ao ano I = 11,9%
(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)
(1 + i) = (1 + 0,09) . (1 + 0,119)
(1 + i) = (1,09) . (1,119)
(1 + i) = 1,22
 i = 1,22 - 1
 i = 0,22 . 100 → i = 22% ao ano
Exemplo 02:
Qual a taxa real, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se a inflação do período for
11,9% ?
Resolução:
i = 22% ao ano R = ? I = 11,9%
(
(
 
 
 
 
 
 
 ao ano
Solução algébrica
d)
ieq = { ( 1 + 0,005)360/1 - 1 } . 100
ieq = { ( 1,005)360 - 1 } . 100
ieq = { 6,022575 - 1 } . 100
ieq = { 5,022575 } . 100
ieq = 502,265% ao ano
Solução algébrica
e)
ieq = { ( 1 + 0,25)365/360 - 1 } . 100
ieq = { ( 1, 25)1,013889 - 1 } . 100
ieq = { 1,253880 - 1 } . 100
ieq = { 0,253
ieq = 25,39% 
Daí,
 (1 + i) = (1 + R) 
Resolução pela HP 12C:
 1,22 CHS FV
Resolução pela HP 12C:
 1,09 ENTER
 1,119 X
 1 -
 100 X 22
1 + i) = (1 + R) . (1 + I)
1 + 0,22) = (1 + R) . (1+ 0,119)
 (1,22) = (1+ R) . (1,119)
 1,22 = (1 + R)
 1,119
 1,09 = (1 + R)
 1,09 – 1 = R
 0,09 = R
 R = 0,09 . 100 → R = 9% 
 1,119 PV
 1 n
 i 9
880 } . 100
 ao período
. (1 + I)
Administração Financeira Orçamentária I 26
Exemplo 03:
Qual a taxa de inflação, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se o rendimento real
for no período 9% ?
Resolução:
I = ? R = 9%ao ano i = 22% ao ano
(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)
(1 + 0,22) = (1 + 0,09) . (1+ I)
 (1,22) = (1,09) . (1 + I)
 1,22 = (1 + I)
 1,09
 1,119 = (1 + I)
 1,119 – 1 = I
 0,119 = I
 I = 0,119 . 100 → I = 11,9% ao ano
Taxa de juros nominal
Freqüentemente, os juros são capitalizados mais de uma vez no período a que se refere
a taxa de juros. Quando isso ocorre, a taxa de juros é chamada de taxa nominal. Veja as suas
características a seguir:
- Aplica-se diretamente em operações de juros simples.
- É suscetível de ser proporcionalizada (dividida ou multiplicada) “n” vezes em seu
período referencial de modo que possa ser expressa em outra unidade de tempo (caso dos
juros simples) ou como unidade de medida para ser capitalizada em operações de juros
compostos.
- É uma taxa referencial que não incorpora capitalização.
- É calculada com base no valor nominal da aplicação ou empréstimo.
Exemplos de taxas nominais:
- 18% ao ano capitalizada mensalmente;
- 5% ao mês capitalizada diariamente;
- 8% ao semestre capitalizada mensalmente;
- operação de câmbio;
- operação de overnight em que a taxa de juros é mensal com capitalizações diárias.
Considerando um capital aplicado a umataxa de juros efetiva em que os juros são
capitalizados apenas uma única vez por ano, o montante ao término do primeiro ano de aplicação
é:
FV = PV (1 + i )
Se a taxa de juros for nominal ao ano, capitalizada semestralmente (capitalizada duas
vezes por ano), o montante ao fim de um ano será:
FV = PV 1 + ij 2.1
 2
Resolução pela HP 12C:
 1,22 CHS FV
 1,09 PV
 1 n
 i 11,9
Administração Financeira Orçamentária I 27
Se a taxa de juros for nominal ao ano, capitalizada mensalmente (capitalizada 12 vezes
por ano), o valor do montante ao final do terceiro ano será:
FV = PV 1 + ij 12.3
 12
Em geral, podemos expressar do seguinte modo o montante de um capital aplicado
pelo prazo “m” a uma taxa nominal “ij” com juros capitalizados “n” vezes durante o período
referencial da taxa nominal:
FV = PV 1 + ij n.m
 n
 Para o cálculo do capital:
 PV = FV
 1 + ij nm -1
 n
Onde:
ij = taxa de juros nominal
n = número de vezes em que os juros são capitalizados no período a que se refere a taxa nominal;
m = prazo da aplicação na mesma unidade de tempo da taxa nominal;
PV = capital da aplicação;
FV = montante
Taxa proporcional (taxa linear)
A maior parte dos juros no sistema financeiro nacional e internacional encontra-se
referenciada na taxa linear como: remuneração linear da caderneta de poupança, as taxas
internacionais libor e prime rate, o desconto bancário, os juros da Tabela Price, entre outros. É
determinada pela relação simples entre a taxa considerada na operação (taxa nominal) e o
número de vezes em que ocorrem juros (quantidades de períodos de capitalização). Entretanto,
basicamente, o conceito de taxa proporcional é somente utilizado para capitalização simples, no
sentido de que o valor dos juros é proporcional apenas ao tempo.
A taxa proporcional ao mês para uma taxa nominal de 18% ao ano capitalizada
mensalmente é de 1,5% ao mês:
 Taxa proporcional = 18% = 1,5% ao mês
 12
A taxa proporcional de 6% ao mês para 3 meses, é de 18% ao mês:
 Taxa proporcional = 6% . 3 = 18% ao mês
Logo, as taxas proporcionais devem atender à seguinte proporção:
n1 . i1 = n2 . i2
Administração Financeira Orçamentária I 28
Exemplo 02:
Determinar as seguintes taxas proporcionais:
a) 2,5% ao mês é proporcional a qual taxa anual ? 2,5% . 12 = 30% ao ano.
b) 3,0% ao semestre é proporcional a qual taxa anual ? 3,0% . 2 = 6% ao ano.
c) 4,0% ao trimestre é proporcional a qual taxa anual ? 4,0% . 4 = 16% ao ano.
d) 9,05% ao semestre é proporcional a qual taxa trimestral ? 9,05% / 2 = 4,25% ao trimestre
Exemplo 03:
Calcular o montante de um investimento de R$ 1200,00 aplicado por 3 anos a juros nominal de
16% ao ano, capitalizados mensalmente.
Solução algébrica:
Dados:
PV = 1200 m = 3 anos ij = 16%ao ano n = 12 FV = ?
FV = 1200 1 + 0,16 12.3
 12
FV = 1200 (1 + 0,01333)36
FV = 1200(1,01333)36
FV = 1200 . 1,61076
FV = R$ 1.933,15
Exemplo 04:
Qual o valor de resgate para um capital de R$ 200,00 aplicado por 27 dias a a 9% ao mês
capitalizados diariamente.
Solução algébrica:
Dados:
PV = 200 m = 27dias ij = 9%ao mês n = 30dias FV = ?
FV = 200 1 + 0,09 30 . (27/30)
 30
FV = 200 (1 + 0,00300)30. 0,90000
FV = 200(1,00300)27
FV = 200 . 1,08424
FV = R$ 216,85
 OBS.: O prazo dado foi transformado à mesma unidade de tempo da taxa
 nominal m = 27/30 meses.
Solução pela HP-12C
16 ENTER
12 ÷ i
36 n
1200 CHS PV
FV 1.933,14792
Solução pela HP-12C
9 ENTER
30 ÷ i
27 n
200 CHS PV
FV 216,84788
Administração Financeira Orçamentária I 29
E X E R C I C I O S
1) Determinar a taxa:
a) anual equivalente a 2% ao mês R. 26,82%
b) mensal equivalente a 60,103% ao ano R. 3,99%
c) anual equivalente a 0,1612% ao dia R. 78,57%
d) trimestral equivalente a 39, 46 % a 1 semestre R. 18,09%
2) Calcule a taxa aparente anual que deva cobrar uma financeira para que ganhe 8% ao ano de
juros reais quando a inflação for de 5% ao ano. R. i = 13,40%aa
3) A taxa de juros para aplicações de curtos e médios prazos, em um banco é 40% ao ano. Que
remuneração real recebe o cliente, se a inflação for de 38% ao ano? R. R = 1,45%aa
4) Que taxa de inflação anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 12% ao ano de juros
reais, caso a taxa aparente seja de 25% ao ano ? R.I = 11,60%aa
5) Por um capital aplicado de R$ 6000,00, aplicado por dois anos, o investidor recebeu R$
5. 179,35 de juros. Qual a taxa aparente ganha se a inflação for de 30% ao ano e o juro real for
de 5% ao ano ? R. i = 36,5%aa
6) Emprestamos um dinheiro a 4,36% ao ano. Se a inflação foi de 1% no período, qual a taxa
real da operação? R. R = 3,32%aa
7) Um gerente empresta um dinheiro à taxa de 8%. A inflação do mês foi de 0,80%. Quanto foi a
taxa real? R. R = 7,14%aa
8) Calcular o montante resultante de um investimento de R$ 1300,00 aplicado por 3 anos a juros
nominais de 16% ao ano, capitalizados mensalmente. R. FV = R$ 1.352,68
9) Qual o valor de resgate para um capital de R$ 300,00 aplicado pelos seguintes prazos e taxas ?
a) 6 meses a 28% ao ano capitalizados mensalmente R. FV = R$ 344,52
b) 8 meses a 18% ao semestre capitalizados mensalmente R. FV = R$ 380,03
c) 27 meses a 12 % ao trimestre capitalizado mensalmente R. FV = R$ 865,01
d) 7 meses a 28% ao ano capitalizado trimestralmente R. FV = R$ 343,47
10) Uma aplicação de R$ 1.000,00 foi efetuada em 17/03/1995 para resgate em 24/06/1998. Para
uma taxa de juros nominal de 12% ao mês com capitalização diária, calcular o valor do resgate
(considerando ano civil). R. FV = R$ 117.974,14
11) Calcular o valor de um capital que, aplicado durante 7 anos à taxa nominal de 84% ao ano
com capitalização mensal, rendeu R$ 10.000,00 de juros. R. PV = R$ 34,14
12) Em quantos meses um capital de R$ 5.000,00 aplicado a juros nominal de 120% ao ano
capitalizado mensalmente, produz um montante de R$ 11.789,75? R. m = 0,75ano ou 9 meses
13) Um capital de R$ 15.000,00 é aplicado por 180 dias à taxa nominal de 24% ao trimestre
capitalizada mensalmente. Calcular o valor do resgate. R. FV = R$ 23.803,11
Administração Financeira Orçamentária I 30
SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS
São aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são constantes e ocorrem em intervalos
iguais. Para classificar estes conceitos, vamos interpretar as palavras.
• Séries – número de coisas ou eventos, semelhantes ou relacionados, dispostos ou
ocorrendo em sucessão espacial ou temporal.
• Uniformes – que tem uma só forma; que tem a mesma foram; igual, idêntico; muito
semelhantes.
• Pagamentos – cumprimento efetivo da obrigação exigível.
Classificação das séries de pagamentos
a) Quanto ao tempo
• Temporária - quando tem um número limitado de pagamentos;
• Infinita – quando tem um número infinito de pagamentos.
b) Quanto à constância ou periodicidade
• Periódicas – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempos iguais;
• Não periódicas – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempo variáveis.
c) Quanto ao valor dos pagamentos
• Fixos ou Uniformes– quando todos os pagamentos são iguais;
• Variáveis – quando os valores dos pagamentos variam.
d) Quanto ao vencimento do primeiro pagamento
• Imediata – quando o primeiro pagamento ocorre exatamente no primeiro período da
série;
• Diferida – quando o primeiro pagamento não ocorre no primeiro período da série,
ou seja, ocorrerá em períodos seguintes.
e) Quanto ao momento dos pagamentos
• Antecipadas – quando o primeiro pagamento ocorre no momento “0”(zero) da série
de pagamentos;
• Postecipadas – quando os pagamentos ocorrem no final dos períodos.
Série Uniforme de Pagamento Postecipada
São aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1; este sistema é também
chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada(0 + n).
Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor de um pagamento ou prestação
(PMT) será possível calcular o valor presente(PV) de uma série de pagamentos postecipada
através da seguinte fórmula:
 (1 + i)n - 1
 PV = PMT
 (1 + i)n . i
Administração Financeira Orçamentária I 31
EXEMPLO 01:
Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos mensais de R$
1500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo de 3,5% ao mês
a taxa de juros negociada na operação.
Dados: PV = ? n = 6 meses i = 3,5% ao mês PMT = R$ 1500,00
Resolução algébrica:
 (1 + i)n - 1
PV = PMT
 (1 + i)n . i
 (1 + 0,035)6 - 1
PV = 1500
 (1 + 0,035)6 . 0,035
 (1,035)6 - 1
PV = 1500
 (1,035)6 . 0,035
 1,229255 - 1
PV = 1500
 1,229255 . 0,035
 0,229255
PV = 1500
 0,043024
PV = 1500[5,328553]
PV = R$ 7992,83
Dado o Valor Presente(PV), Achar a Prestação (PMT)
Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor presente(PV) de uma série de
pagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações (PMT) através da seguinte
fórmula:
 (1 + i)n . i
 PMT = PV
 (1 + i)n - 1
Resolução pela HP-12C
 f REG
1500 CHS PMT
6 n
3,5 i
 PV 7992,83
Administração Financeira Orçamentária I 32
EXEMPLO 02:
Um produto é comercializado à vista por R$ 500,00.
comprador resolver financiar em cinco prestações me
que a taxa de juros cobrada pelo comerciante seja de 5%
Dados: PV = 500 n = 5 meses i = 5% a
Resolução algébrica:
 (1 + 0,05)5 . 0,05
PMT = 500
 (1 + 0,05)5 - 1
 (1,05)5 . 0,05
PMT = 500
 (1,05)5 - 1
 1,276282 . 0,05
PMT = 500
 1,276282 - 1
 0,063814
PMT = 500
 0,276282
PMT = 500[0,230975]
PMT = R$ 115,49
Dado o Valor Futuro(FV), Achar a Prestação (PMT
Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) 
pagamentos postecipada, será possível calcular o valor 
fórmula:
 i
 PMT = FV
 (1 + i)n - 1
EXEMPLO 03:
Determinar o valor dos depósitos mensais que, quan
durante 7 meses, produz um montante de R$ 5000,00, p
 Dados: FV = 5000 n = 7 meses i = 4%
Resolução algébrica:
 Qual deve ser o valor da prestação se o
nsais iguais e sem entrada, considerando
 ao mês?
o mês PMT = ?
)
e o valor futuro(FV) de uma série de
das prestações (PMT) através da seguinte
do aplicado a uma taxa de 4% ao mês
elo regime de juros compostos.
 ao mês PMT = ?
Resolução pela HP-12C
 f REG
 500 CHS PV
5 n
5 i
 PMT 115,49
Resolução pela HP-12C
 f REG
 5000 FV
7 n
4 i
PMT 633 05
Administração Financeira Orçamentária I 33
 0,04
PMT = 5000
 (1 + 0,04)7 - 1
 0,04
PMT = 5000
 (1,04)7 - 1
 0,04
PMT = 5000
 1,315932 - 1
 0,04
PMT = 5000
 0,315932
PMT = 5000[0,126610]
PMT = R$ 633,05
Dado o Valor Presente(PV), Calcular o Prazo (n)
Sendo informados uma taxa(i), o valor presente(PV) e um pagamento ou
prestação(PMT) em uma série uniforme de pagamentos postecipada, será possível calcular o
número de pagamentos ou prazo(n), através da seguinte fórmula:
 PV
 LN 1 - . i
 PMT
 n = -
 LN(1+ i)
EXEMPLO 04:
Um produto é comercializado à vista por R$ 1750,00. Uma outra alternativa seria financiar este
produto a uma taxa de 3% ao mês. Gerando uma prestação de R$ 175,81; considerando que o
comprador escolha a segunda alternativa, determinar a quantidade de prestações deste
financiamento.
 Dados: PV = 1750 n = ? i = 3% ao mês PMT = 175,81
Resolução algébrica:
 1750
 LN 1 - . 0,03
Resolução pela HP-12C
f REG
1750 PV
3 i
175,81 CHS PMT
 n 12
Administração Financeira Orçamentária I 34
 175,81
 n = -
 LN(1+ 0,03)
 LN [1 – (9,953928) . 0,03 ]
 n = -
 LN(1,03)
 LN [1 – (0,29861
 n = -
 LN(1,03)
 LN[0,701382 ]
 n = -
 LN(1,03)
 -0,354702
 n = -
 0,02956
 n = - - 12 ⇒ n = 
Dado o Valor Futuro(FV), C
Sendo informados um
uniforme de pagamentos po
prazo(n), através da seguinte 
EXEMPLO 05:
Um poupador deposita R$ 150
tempo observou-se que o sald
poupança de 0,08% ao mês, d
Dados: FV = 30.032,62 
Resolução algébrica:
 30032,62 . 0,0
 LN 
8) ]
12meses
alcular o Prazo (n)
a taxa(i), um valor futuro(FV) e a prestação(PMT) em uma série
stecipada, será possível calcular o número de pagamentos ou
fórmula:
,00 por mês em uma caderneta de poupança; após um determinado
o da conta era de R$ 30.032,62. Considerando uma taxa média de
etermine a quantidade de depósito efetuado por este poupador.
 i = 0,08% ao mês PMT = 150,00 n = ?
008
 +1
 FV . i
 LN +1
 PMT
n = -
 LN(1 + i)
Resolução pela HP-12C
f REG
30032,62 CHS FV
150 PMT
 0,08 i
 n 186 meses
Administração Financeira Orçamentária I 35
 150
 n = -
 LN(1+ 0,0008)
 24,026096
 LN + 1
 150
 n = -
 LN(1,0008)
 LN[ 0,160174 + 1]
 n = -
 LN(1,0008)
 LN[ 1,160174 ]
 n = -
 LN(1,0008)
 0,148570
 n = - ⇒ n = 185,712500 ⇒ n = 186 meses
 0,000800
Dada a prestação (PMT), calcular o Valor Futuro (FV)
Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor do pagamento ou prestação (PMT)de uma série uniforme de pagamentos postecipados, será possível calcular o valor futuro (FV),
através da seguinte fórmula:
 FV = PMT (1 + i )n - 1
 i
EXEMPLO 06:
Uma pessoa realiza depósitos mensais no valor de R$ 100,00 em uma caderneta de poupança;
considerando uma taxa de 0,8% ao mês, e um prazo de trinta anos, qual será o valor acumulado
após este período?
Dados: PMT = 100,00 n = 30 anos ou 360 meses i =0,8% ao mês FV = ?
Resolução algébrica:
FV = 100 (1 + 0,008)360 - 1
 0,008
FV =100 (1,008)360 - 1
Resolução pela HP-12C
f REG
100 CHS PMT
0,8 i
360 n
FV 207.641,32
Administração Financeira Orçamentária I 36
 0,008
FV = 100 17,611306 - 1
 0,008
FV = 100 16,611306 ⇒ FV = 100 (2076,4132) ⇒ FV = R$ 207.641,32
 0,008
E X E R C Í C I O S
1) Determinar o valor futuro de um investimento mensal de R$ 1000,00, durante 5 meses, à taxa
de 5% ao mês. R. FV = R$ 5.525,63
2) Determine o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual de R$
10.000,00, no final de cada um dos próximos 8 anos, sabendo-se que esse investimento é
remunerado com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos. R. PV = R$ 53.349,24
3) Determinar o valor das prestações mensais de um financiamento realizado com a taxa efetiva
de 2,5% ao mês, sabendo-se que o valor presente é de R$ 1000,00 e que o prazo é de 4 meses.
R. PMT = R$ 265,82
4) Um automóvel custa à vista o valor de R$ 14.480,00, e pode ser financiado em 48 parcelas
mensais e iguais, com a taxa de 1,8% ao mês. Determinar o valor das prestações.
R. PMT = R$ 453,06
5) No exercício anterior, considere uma entrada de 20% e uma taxa de 1,5% ao mês para
recalcular o valor da prestação. R. PMT = R$ 340,28
6) Uma pessoa deposita em uma financeira, no final de cada mês, durante 5 meses, a quantia de $
100.000,00. Calcule o Montante da renda, sabendo que a financeira paga juros compostos de 2%
ao mês, capitalizados mensalmente. R. FV = R$ 520.404,02
7) Qual o período financeiro necessário, para se aplicar $ 500,00 anualmente e se resgatar o
montante da renda de $12. 099,00, se a financiadora me oferecer 25% ao ano de rendimento?
R. n = 8,78 aprox. 9anos
8) Quanto se deverá depositar mensalmente para que, ao fim de 5 anos, não se processando
nenhuma retirada, se tenha $ 50.000,00? Considerar que a instituição paga 2,5% ao mês sobre o
saldo credor. R. PMT = R$ 367,66
9) Um bem cujo preço à vista é de $ 4.000 será pago em oito prestações mensais iguais pagas ao
fim de cada mês. Considerando que o juro composto cobrado é de 5% ao mês, calcular o valor
das prestações. R. PMT = R$ 618,89
10) A juros nominais de 36% ao ano capitalizado mensalmente, determinar o tempo necessário
para liquidar um financiamento de $ 842,36 por meio de prestações mensais postecipadas de
$ 120. R. n = 7,99 aproxima. 8 meses
Administração Financeira Orçamentária I 37
Série Uniforme de Pagamento Antecipada
As séries uniformes de pagamentos antecipados são aqueles em que o primeiro
pagamento ocorre na data focal 0 (zero). Este tipo de sistema de pagamento é também chamado
de sistema de pagamento com entrada (1 + n).
Dada à prestação (PMT), calcular o valor presente (PV)
Sendo informados a taxa (i), um prazo (n) e valor da prestação (PMT) será possível
calcular o valor presente (PV) de uma série de pagamento antecipada através da seguinte
fórmula:
 (1 + i)n –1
 PV = PMT
 (1 + i )n-1 . i
EXEMPLO 01:
Uma mercadoria é comercializada em 4 (quatro) pagamentos de R$ 185,00; sabendo-se que a
taxa de financiamento é de 5% ao mês, e um dos pagamentos foi considerado como entrada,
determine o preço à vista desta mercadoria.
Resolução algébrica:
Dados: n = 4 PMT = R$185,00 i=5%am PV= ?
 (1 + 0,05)4 –1
PV = 185
 (1 + 0,05 )4-1 . 0,05
 (1 ,05)4 –1
PV = 185
 (1,05 )3 . 0,05
 1,215506 –1
PV = 185
 1,157625 . 0,05
 0,215506
PV = 185
 0,057881
Resolução pela HP-12C
 f REG
 g BEG
185 CHS PMT
5 i
4 n
P V 688,80
OBS. : PARA SÉRIE UNIFORME
ANTECIPADA, ANTES DE
FAZER A RESOLUÇÃO PELA
HP12-C PRESSIONAR AS
TECLAS: G BEG
Administração Financeira Orçamentária I 38
PV = 185[ 3,723248 ]
PV = R$ 688,80
Dado o valor presente (PV), calcular a prestação (PMT)
Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor presente (PV) será possível
calcular o valor dos pagamentos ou recebimentos (PMT) de uma série de pagamento antecipada
através da seguinte fórmula:
 (1 + i)n-1 . i
 PMT = PV
 (1 + i )n - 1
EXEMPLO 02:
Um automóvel que custava à vista R$ 17.800,00 pode ser financiado em 36 pagamentos iguais;
sabendo-se que a taxa de financiamento é de 1,99% ao mês, calcule o valor da prestação mensal
deste financiamento.
Resolução algébrica:
Dados: n = 36meses PMT =? i = 1,99%am PV= R$ 17.800,00
 (1 + 0,0199)36-1 . 0,0199
PMT = 17800
 (1 + 0,0199 )36 - 1
 (1,993039)35 . 0,0199
PMT = 17800
 (1,0199 )36 - 1
 0,039661
PMT = 17800
 2,032700 - 1
 0,039661
PMT = 17800
 1,032700
PMT = 17800[ 0,038405 ]
PMT = R$ 683,62
Dado o valor presente(PV), calcular o prazo(n)
Sendo informados uma taxa (i), a prestação (PMT) e o valor presente (PV) será
possível calcular o prazo (n) em uma série de pagamento antecipada através da seguinte
fórmula:
Resolução pela HP-12C
 f REG
 g BEG
17800 CHS PV
1,99 i
36 n
P MT 683,62
Administração Financeira Orçamentária I 39
 PV . i
 ln 1 -
 n = - PMT. (1 + i)
 ln(1 + i)
EXEMPLO 03:
Um produto custa à vista R$ 1500,00, e foi adquirido a prazo, com uma prestação mensal de R$
170,72, sendo que a primeira será paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros
contratada foi de 3% ao mês, qual a quantidade de prestações deste financiamento?
Resolução algébrica:
Dados: n = ? PMT =R$ 170,72 i = 3%am PV= R$ 1.500,00
 1500 . 0,03
 ln 1 -
 n = - 170,72 . (1 + 0,03)
 ln(1 +0,03)
 45
 ln 1 -
 n = - 170,72 . (1,03)ln(1,03)
 45
 ln 1 -
 n = - 175,84
 0,029559
 ln [1 - 0,255972 ]
 n = -
 0,029559
 ln [ 0,744028 ]
 n = -
Resolução pela HP-12C
 f REG
 g BEG
1500 PV
3 i
170,72 CHS PMT
n 10 meses
Administração Financeira Orçamentária I 40
 0,029559
 - 0,295596
 n = -
 0,029559
 n = - { - 10,000275 }
 n = 10 meses
Dada à prestação (PMT), calcular o valor futuro (FV)
Sendo informados uma taxa (i), a prestação (PMT) e o prazo (n), será possível calcular
o valor futuro (FV) em uma série uniforme de pagamento antecipada através da seguinte
fórmula:
 (1 + i)n - 1
 FV = PMT . (1+ i )
 i
EXEMPLO 04:
Um poupador necessita acumular nos próximos 5 anos a importância de R$ 37.500,00, e acredita
que, se na data de hoje abrir uma caderneta de poupança no Banco Popular S/A, com depósitos
mensais de R$ 500,00, ele terá o valor de que precisa. Considerando que a poupança paga, em
média, uma taxa de 0,8% ao mês, pergunta-se: o poupador vai conseguir acumular o valor que
precisa?
Resolução algébrica:
Dados: n = 5 anos(60meses) PMT =R$ 500,00? i = 0,8%am FV= ?
 (1 + 0,008)60 - 1
FV = 500 . (1 + 0,008)
 0,008
 (1,008)60 - 1
FV = 500 . (1,008)
 0,008
 1,612991 - 1
FV = 500 . (1,008)
 0,008
 0,612991
FV = 500 . ( 1,008)
 0,008
Resolução pela HP-12C
 f REG
 g BEG
500 CHS PMT
0,8 i
60 n
FV 38.618,43
Administração Financeira Orçamentária I 41
FV = 500[ 76,623867 ] . (1,008)
FV = 38.311,93 . (1,008)
FV = R$ 38.618, 43 (ainda sobrará dinheiro)
Dado o valor futuro (FV), calcular a prestação (PMT)
Sendo informados uma taxa (i), o valor futuro (FV) e o prazo (n), será possível calcular
o valor da prestação (PMT) em uma série uniforme de pagamento antecipada através da
seguinte fórmula:
 FV . i
 PMT =
 [(1 + i)n – 1] . ( 1 + i)
EXEMPLO 05:
Considere o poupador do exemplo anterior, que se depos
resgatar no final de 5 anos a importância de R$ 37.500
Considerando a mesma taxa, ou seja, 0,8% ao mês, de
depósito para que o poupador consiga acumular exatamen
Resolução algébrica:
Dados: n = 5 anos (60 meses) PMT= ? 
 37.500,00 . 0,008
 PMT =
 [(1 + 0,008)60 – 1] . ( 1 + 0,008)
 300
 PMT =
 [(1,008)60 – 1] . (1,008)
 300
 PMT =
 [1,612991 – 1] . (1,008)
 300
 PMT =
 [0,612991] . (1,008)
 300
 PMT = → PMT = R$ 485,52
 0,617895
E X E R C I C I O S
itar R$ 500,00 na data de hoje, para
,00, deverá resgatar um pouco mais.
 quanto deverá ser o valor de cada
te o valor de R$ 37.500,00?
 i = 0,8% FV = R$ 37.500,00
Resolução pela HP-12C
 f REG
 g BEG
37500 CHS FV
0,8 i
60 n
FV 485,52
Administração Financeira Orçamentária I 42
1) Uma pessoa deposita em uma financeira no início de cada mês, durante 5 meses,a quantia de
R$ 100.000,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos
de 2% ao mês, capitalizados mensalmente. R. FV = R$ 530.812,09
2) Qual o montante da renda, para aplicações mensais de R$ 120,00 cada, a taxa de juros
compostos de 3% ao mês, durante o período financeiro de 6 meses, sendo que o primeiro
depósito foi exigido no ato da abertura do contrato? R. FV = R$ 799,49
3) Um terreno é vendido em 4 prestações mensais iguais de R$ 150.000,00 cada uma, sendo a
primeira dada como entrada. Se a taxa do financiamento for 14% ao mês, qual o preço à vista?
 R. PV= R$498.244,80
4) Uma geladeira é vendida em 5 prestações mensais de R$ 8000,00 cada uma, sendo a primeira
dada como entrada. Qual o preço à vista, se a taxa de juros do financiamento for de 9% ao mês?
R. PV = R$33.917,75
5) Um automóvel usado é vendido à vista por R$ 300.000,00, mas pode ser vendido a prazo em
12 prestações mensais iguais(antes de serem corrigidas monetariamente), sendo a primeira no ato
da compra. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é 2% ao mês, obter o valor de cada
prestação antes de serem corrigidos. R. PMT = R$27.811,08
6) Uma mercadoria custa R$ 106.589,53 a vista, podendo ser vendida em 6 prestações mensais, à
taxa de 5% ao mês, sendo a primeira paga no ato da compra. Qual será o valor de cada
prestação? R. PMT = R$20.000,00
7) Uma mercadoria custa R$ 106.589,53 a vista, podendo ser vendida em prestações mensais de
R$ 20.000,00, à taxa de 5% ao mês, sendo a primeira paga no ato da compra. Quantas
prestações deverão ser pagas? R. n = 6 meses
8) Em quantos meses uma pessoa consegue liquidar um empréstimo de R$ 1.895.395,00
pagando prestações mensais antecipadas de R$ 500.000,00 a juros efetivos de 10% ao mês?
R. n = 5 meses
9) Quanto deverá ser depositado no início de cada período para obter um montante de R$
305.200,00 no final de 30 períodos a uma taxa de 5% ao mês? R. PMT = R$ 4.374,95
Administração Financeira Orçamentária I 43
Série Uniforme de Pagamentos Diferida
São aquelas em que os períodos ou intervalos de
pelo menos a partir do 2o período, ou seja, se consider
(n), o período seguinte será (n + 1), o próximo será (n +
Cálculo do Valor Presente(PV)
Sendo informados uma taxa(i), uma prestação 
carência (c), será possível calcular o valor presente (PV
diferida através da seguinte fórmula:
 1 – ( 1 + i)– n
 PMT .
 i
 PV =
 (1 + i)c-1
Considerando que “c” seja a carência, uma carência po
EXEMPLO 01:
Uma mercadoria encontra-se em promoção e é comerc
R$ 150,00; a loja está oferecendo ainda uma carência
Determine o valor à vista desta mercadoria, sabendo-se
de 3% ao mês.
Resolução algébrica:
Dados: PMT = R$ 150,00 n = 5 meses c 
PV = ?
 1 – (1 + 0,03)– 5
 150 .