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1 
Probabilidade e Modelos 
Probabilísticos 
1ª Parte: Conceitos básicos, variáveis aleatórias, 
modelos probabilísticos para variáveis aleatórias 
discretas, modelo binomial, modelo de Poisson 
2 
Probabilidade 
 Mensuração da chance de ocorrência de 
fenômenos aleatórios, mostrando como poderão 
ocorrer os fatos. 
 Base teórica para a análise inferencial. 
3 
Exemplo de um 
experimento aleatório 
 Selecionar uma pessoa ao acaso e observar se é 
homem ou mulher. 
 Resultados possíveis: 
 homem, mulher 
 Espaço amostral = {homem, mulher} 
 
4 
Probabilidade 
de um resultado 
 Qual a probabilidade de homem e de 
mulher? 
 P(homem) = 0,5 
 P(mulher) = 0,5 
 A probabilidade é um número entre 0 e 
1, sendo que a soma das 
probabilidades de todos os resultados 
possíveis deve ser 1. 
50% homens 
50% mulheres 
5 
Evento 
 Evento = conjunto de resultados possíveis 
 Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 Probabilidades: P(1) = P(2) = ... = P(6) = 1/6 
 Eventos: A = número par, 
 B = núm. menor que 3 
 A = {2, 4, 6} B = {1, 2} 
 P(A) = 1/2 P(B) = 2/6 = 1/3 
6 
Operações com eventos 
A 
 
A
)(1)( APAP 
não A 
7 
Operações com eventos 
A 
 
B 
A  B 
)()()()( BAPBPAPBAP 
Eventos Mutuamente Exclusivos: SEM intersecção 
AB =  P() = 0 
8 
Probabilidade condicional 
Tipo do leite
Condição do peso B (B) C (C) UHT (U) Total
dentro das especificações (D) 500 4500 1500 6500
fora das especificações (F) 30 270 50 350
Total 530 4770 1550 6850
051,0
6850
350
)( FP
032,0
1550
50
)|( UFP
)(
)(
6850
1550
6850
50
1550
50
)|(
UP
UFP
UFP


9 
Probabilidade condicional 
5
3
8/5
8/3
)(
)(
)|( 


CalabresaP
CalabresaChampignonP
CalabresaChampignonP
Qual é a probabilidade 
de selecionar um pedaço 
com champignon supondo 
que houvesse calabresa 
nele? 
Qual é a probabilidade 
de selecionar um pedaço 
com calabresa supondo 
que houvesse champignon 
nele? 
4
3
8/4
8/3
)(
)(
)|( 


ChampignonP
CalabresaChampignonP
ChampignonCalabresaP
10 
Probabilidade Condicional 
Qual é a probabilidade 
de selecionar um pedaço 
com champignon supondo 
que houvesse calabresa nele? 
4
2
8/4
8/2
)(
)(
)|( 


CalabresaP
CalabresaChampignonP
CalabresaChampignonP
Qual é a probabilidade 
de selecionar um pedaço com 
calabresa supondo que 
houvesse champignon nele? 
4
2
8/4
8/2
)(
)(
)|( 


ChampignonP
CalabresaChampignonP
ChampignonCalabresaP
11 
Probabilidades de eventos 
) ( 1 ) ( A P A P   
1) Evento complementar: 
) ( ) ( ) ( ) ( B A P B P A P B A P      
2) Propriedade da soma: 
) ( ) ( ) ( B P A P B A P    
3) Propriedade da soma para eventos mutuamente exclusivos: 
) / ( ) ( ) ( A B P A P B A P ×   
4) Propriedade do produto: 
) ( ) ( ) ( B P A P B A P ×   
5) Propriedade do produto para eventos independentes 
12 
Variável aleatória 
 “Uma variável aleatória é uma função com valores 
numéricos, cujo valor é determinado por fatores de 
chance.” Associa números aos eventos do espaço 
amostral. 
 X = número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda; 
 = {(cara, cara), (cara, coroa), {coroa, cara), (coroa, coroa)}
X:
0 1 2
x
13 
Exemplos de variáveis 
aleatórias 
 Vida útil (em horas) de um televisor. 
 Número de peças com defeito em um lote produzido. 
 Número de acidentes registrados durante um mês na 
BR.101. 
 Na internet, o tempo (em segundos) para que uma 
determinada mensagem chega ao seu destino. 
 Se uma mensagem chega (X = 1), ou não (X = 0), ao seu 
destino 
14 
Variáveis aleatórias 
variável aleatória 
discreta 
os possíveis resultados 
estão contidos em um 
conjunto finito ou 
enumerável 
contínua 
os possíveis resultados 
abrangem todo um intervalo 
de números reais 
0 1 2 3 4 ... 0 
número de defeitos em ... tempo de resposta de ... 
15 
Construção de distribuições 
de probabilidades 
Sortear 2 bolas 
com reposição 
X = número de bolas pretas na amostra 
16 
3/5 
2/5 
3/5 
2/5 
3/5 
2/5 
Sortear 2 bolas 
com reposição 
X = número de bolas 
 pretas na amostra 
x p(x) 
0 9/25 (0,36) 
1 12/25 (0,48) 
2 4/25 (0,16) 
(10) (20) 
17 
3/5 
2/5 
2/4 
2/4 
3/4 
1/4 
Sortear 2 bolas 
sem reposição 
X = número de bolas 
 pretas na amostra 
x p(x) 
0 6/20 (0,30) 
1 12/20 (0,60) 
2 2/20 (0,10) 
(10) (20) 
18 
Sortear 2 bolas 
 
X = número de bolas 
 pretas na amostra 
x p(x) 
0 0,30 
1 0,60 
2 0,10 
Distrib. de X 
 sem reposição 
Distrib. de X 
 com reposição 
x p(x) 
0 0,36 
1 0,48 
2 0,16 
independência 
19 
Exemplo 1 
 Considere que numa grande rede de 
computadores, em 60% dos dias ocorre alguma 
falha. 
 Construir a distribuição de probabilidades para a 
variável aleatória X = número de dias com 
falhas na rede, considerando o período de 
observação de três dias. (Suponha independência.) 
 
20 
Exemplo 1 
x 
0 
1 
1 
1 
2 
2 
2 
3 
Possibilidades 
BBB 
BBR 
BRB 
RBB 
BRR 
RBR 
RRB 
RRR 
Probabilidade 
0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064 
0,4 x 0,4 x 0,6 = 0,096 
0,4 x 0,6 x 0,4 = 0,096 
0,6 x 0,4 x 0,4 = 0,096 
0,4 x 0,6 x 0,6 = 0,144 
0,6 x 0,4 x 0,6 = 0,144 
0,6 x 0,6 x 0,4 = 0,144 
0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216 
21 
Exemplo 1 
 x p(x) 
 
 0 0,064 
 1 0,288 
 2 0,432 
 3 0,216 
 Total 1 
0,064 
 0 1 2 3 
0,216 
0,432 
0,288 
número de dias com falhas na rede 
Distribuição de probabilidade de X: 
22 
Valor esperado e 
variância 
 x p(x) 
 x1 p1 
 x2 p2 
 ... ... 
 xn pn 
 Total 1 
   ii pxXE
     ii pxXV
22 
23 
Propriedades do valor esperado e variância 
a)E(c) = c 
b)E(X + c) = E(X) + c 
c) E(cX) = cE(X) 
d)E(X + Y) = E(X) + E(Y) 
e) E(X – Y) = E(X) – E(Y) 
a)V(c) = 0 
b)V(X + c) = V(X) 
c) V(cX) = c2V(X) 
d)DP(cX) = |c|DP(X) 
24 
X = número de dias com falhas na rede. 
   ii pxXE
E(X) = 0(0,064) + 1(0,288) + 2(0,432) + 3(0,216) = 1,8 
Exemplo 1 
 x p(x) 
 0 0,064 
 1 0,288 
 2 0,432 
 3 0,216 
25 
X = número de dias com falha na rede. 
 x p(x) 
 0 0,064 
 1 0,288 
 2 0,432 
 3 0,216 
V(X) = (0 – 1,8)2(0,064) + (1 – 1,8)2(0,288) +(2 – 
1,8)2(0,432) + (3 – 1,8)2(0,216) = 0,72 
Exemplo 1 
     ii pxXV
22 
26 
Experimento binomial 
 consiste de n ensaios; 
 cada ensaio tem somente dois resultados: 
“sucesso” / “fracasso”; 
 os ensaios são independentes, com P(sucesso) = p 
 (0 < p < 1 constante ao longo dos ensaios); 
 ====> X = número de sucesso nos n ensaios 
27 
Exemplos de experimentos 
binomiais 
 Número de caras em 10 lançamentos de uma 
moeda; 
 Número de itens defeituosos numa amostra de 20 
itens (supondo amostragem aleatória e com 
reposição); 
 Número de eleitores favoráveis a um determinado 
projeto de lei em uma amostra de 200 
entrevistados (supondo amostragem aleatória de 
uma população muito grande). 
 
 
28 
Cálculo das probabilidades em 
experimentos binomiais 
 X = número de caras em 3 lançamentos de uma 
moeda com P(cara)= p; 
 P(X = 1) = ? 
 
 X = 1 
C K K 
K C K 
K K C 
P(CKK) = p (1 - p)2 
P(X = 1) = 3 p (1 - p)2 






x
n
29 
O modelo binomial 
  xnx pp
x
n
xXP







 1)(
Para um particular 
 x = 0, 1, ..., n: 
)!(!
!
,
xnx
n
x
n
C xn








pnXE )(
)1()( ppnXV 
30 
Exemplo 1 (de novo) 
Considere que numa grande rede de computadores, 
em 60% dos dias ocorre alguma falha. 
Construir a distribuição de probabilidades para a 
variável aleatória X = número de dias com 
falhas na rede, considerando o período de 
observação de três dias. (Suponha independência.) 
31 
Exemplo 1 (de novo) 
 X = número de dias com falhas 
 binomial com 
 n = 3 p = 0,6 1 – p = 0,4 
  xx
x
xXP








3
4,06,0
3
)(
32 
Exemplo 1 (de novo) 
n = 3 
p = 0,6 
 
P(X=x) = 0,6x.(1- 0,6)(3-x) ( ) 
3 
x 
1 
( ) 3 
0 
P(X=0) = 0,60.(1- 0,6)(3-0) = 1.0,60.0,43 = 0,064 
= ( ) 
3 
0 
3! 
0! (3-0)! 
= 1 
33 
Exemplo 1 (de novo) 
n = 3 
p = 0,6 
 
( ) 3 
1 
P(X=1) = 0,61.(1- 0,6)(3-1) = 3.0,61.0,42 = 0,288 
= ( ) 
3 
1 
3! 
1! (3-1)! 
= 3 
P(X=x) = 0,6x.(1- 0,6)(3-x) ( ) 
3 
x 
34 
Exemplo 1 (de novo) 
n = 3 
p = 0,6 
 
( ) 3 
2 
P(X=2) = 0,62.(1- 0,6)(3-2) = 3.0,62.0,41 = 0,432 
= ( ) 
3 
2 
3! 
2! (3-2)! 
= 3 
P(X=x) = 0,6x.(1- 0,6)(3-x) ( ) 
3 
x 
35 
Exemplo 1 (de novo) 
n = 3 
p = 0,6 
 
( ) 3 
3 
P(X=3) = 0,63.(1- 0,6)(3-3) = 1.0,63.0,40 = 0,216 
= ( ) 
3 
3 
3! 
3! (3-3)! 
= 1 1 
P(X=x) = 0,6x.(1- 0,6)(3-x) ( ) 
3 
x 
36 
Distribuição da variável X 
0,064 
 0 1 2 3 
0,216 
0,432 
0,288 
 x p(x) 
 0 0,064 
 1 0,288 
 2 0,432 
 3 0,216 
 Total 1 
8,16,03)(  pnXE
72,04,06,03)1()(  ppnXV
37 
Distribuição de Poisson 
 Número de observações de uma variável em um 
intervalo contínuo (tempo ou espaço): 
distribuição de Poisson. Exemplos: 
chamadas telefônicas por minuto, 
mensagens que chegam a um servidor por 
segundo 
acidentes por dia, 
defeitos por m2, etc.. 
38 
Distribuição de Poisson 
Pressupostos 
 Os números de ocorrências em quaisquer intervalos 
são independentes. 
 A probabilidade de duas ou mais ocorrências 
simultâneas é zero. 
 O número médio de ocorrências () é constante em 
todo o intervalo considerado. 
39 
Distrib. de Poisson: uma justificativa 
X = núm. de ocorrências em [t, t+1] 
t t+1 
n intervalos de amplitude 1/n, com n   
p = probab. de ocorrência em cada intervalo 
xnx pp
x
n
xXP 





 )1()(
n   
p  0 
n p   > 0 !
)(
x
et
xXP
tx  

(x =0, 1, 2, ...) 
40 
 As probabilidades de uma distribuição de Poisson 
são dadas por: 
P(X=x) = 
e-t . tx 
x! 
t - número médio de ocorrências no intervalo 
 (tempo ou espaço) considerado. 
Distribuição de Poisson 
Equação 
41 
Valor Esperado e Variância 
 O valor esperado (média) e a variância de uma 
distribuição de Poisson são iguais a. 
E(X) = t Var(X) = t
42 
Exemplo 2 
 Em um processo produtivo têxtil, o número 
médio de defeitos por m2 de tecido é 0,4, 
variando segundo uma distribuição de Poisson. 
Qual é a probabilidade de que, em 1 m2 de tecido 
fabricado: 
a) não haja defeito? 
43 
Exemplo 2 - item a 
 = 0,4 t =1 t = 0,4 
P(X=0) = 
e-0,4 . 0 
0! 
= 0,6703 ou 67,03% 
P(X=x) = 
e-0,4 . x 
x! 
44 
Exemplo 2 
 Em um processo produtivo têxtil, o número 
médio de defeitos por m2 de tecido é 0,4, variando 
segundo uma distribuição de Poisson. Qual é a 
probabilidade de que, em 1 m2 de tecido 
fabricado: 
a) não haja defeito? 
b) haja no máximo 1 defeito? 
45 
Exemplo 2 - item b 
P(X=1) = 
e-0,4 . 1 
1! 
= 0,2681 ou 26,81% 
P(X=x) = 
e-0,4 . x 
x! 
P(X=0) + P(X=1) = 0,6703 + 0,2681 = 0,9384 
 ou 93,84% 
)( 1XP

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