A1_CVGA

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FOLHA DE QUESTÕES
CURSO: DISCIPLINA:
ASS.: NOME:
Professor :
DATA: Nº de ordem GRAU: PROVA: TURMA MATRÍCULA:
___/____/____
Todas as questo˜es devem conter os ca´lculos ou justificativas.
1a Questa˜o (valor: 2,0 pontos): Determinar o vetor −→w , ortogonal ao eixo OZ, |−→w | = 8, forma
um aˆngulo de 30o com o vetor
−→
i e aˆngulo obtuso com o vetor
−→
j .
2a Questa˜o (valor: 2,0 ponto): O quadrila´tero ABCD, na figura abaixo, e´ um losango de lado 2.
Calcular:
(a)
−→
AC · −−→BD;
(b)
−→
AB · −−→AD
(c)
−→
BA · −−→BC;
(d)
−−→
BC · −−→DA;
A
B
C
D
30o
2
2
2
2
3a Questa˜o (valor: 2,0 pontos): Uma forc¸a dada pelo vetor
−→
F = 3
−→
i +4
−→
j +5
−→
k move, em linha
reta, uma part´ıcula do ponto P (2, 1, 0) para o ponto Q(4, 6, 2). Determinar:
(a) O trabalho realizado, sendo a unidade de comprimento o metro e a forc¸a e´ medida em
newtons.
(b) −→v o vetor projec¸a˜o de −→F sobre o vetor −→PQ.
1
4a Questa˜o (valor: 2,0 pontos): Dados os vetores −→u = (1,−1, 1) e −→v = (2,−3, 4) , calcular:
(a) um vetor de mo´dulo 4 simultaneamente ortogonal a −→u e −→v ;
(b) a a´rea do paralelogramo determinado por −→u e −→v ;
(c) a altura do paralelogramo relativa a` base definida pelo vetor −→u .
5a Questa˜o (valor: 2,0 pontos): Na figura temos um avia˜o voando a 600 km/h. Num determi-
nado instante comec¸a a soprar um vento com velocidade de 100Km/h, conforme indica a
figura. Determinar a velocidade resultante do avia˜o.
Gabarito
1a Questa˜o: Seja w = (x, y, z), temos:
(i) |w| = 8 =⇒ x2 + y2 + z2 = 64
(ii) −→w ⊥ ~k =⇒ z = 0.
(iii) α = 30o =⇒ cosα = x|−→w | =⇒
√
3
2
=
x
8
=⇒ x = 4√3.
(iv) β aˆngulo obtuso ⇒ y < 0
Substituindo-se (ii) e (iii) em (i) temos
(
4
√
3
)2
+ y2 + 02 = 64 ⇒ 48 + y2 = 64 ⇒ y2 = 16 ⇒ y =
±4 (iv)=⇒ y = −4
Resposta: −→w = (4√3,−4, 0).
2a Questa˜o:
(a)
−→
AC · −−→BD = 0, pois sa˜o ortogonais.
(b)
−→
AB · −−→AD = |−→AB| · |−−→AD| cos 60o = 2 · 2 · 1
2
= 2.
2
(c)
−→
BA · −−→BC = |−→BA| · |−−→BC| cos 120o = 2 · 2 · −1
2
= −2.
(d)
−−→
BC · −−→DA = |−−→BC| · |−−→DA| cos 180o = 2 · 2 · (−1) = −4.
3a Questa˜o:
(a) W =
−→
F · −→PQ = (3, 4, 5) · (2, 5, 2) = 6 + 20 + 10 = 36 Joules.
(b) −→v = proj−−→
PQ
−→
F =
( −→
F · −→PQ
|−→PQ| · |−→PQ|
)
· −→PQ = 36
33
(2, 5, 2) =
12
11
(2, 5, 2) = (
24
11
,
60
11
,
24
11
).
4a Questa˜o: −→u = (1,−1, 1) e −→v = (2,−3, 4) . Portanto
−→u ×−→v =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 −1 1
2 −3 4
∣∣∣∣∣∣ = −4~i+ 2~j − 3~k + 2~k + 3~i− 4~j = (−1,−2,−1)
(a) −→w = ± 4|−→u ×−→v |(
−→u ×−→v ) = ±( 4√
6
,
8√
6
,
4√
6
).
(b) A´rea A = |−→u ×−→v | =
√
(−1)2 + (−2)2 + (−1)2 = √6 u.m.a..
(c) A = |−→u | · h =⇒ h = A|−→u | =
√
6√
3
=
√
2 u.m.c.
5a Questa˜o:
1a soluc¸a˜o: Temos na figura abaixo que o vetor velocidade resultante e´ dado por:
−→
V R = (a, b)+(c, 0).
60o
a
b
600
100 c
(a,b)
(c,0)
x
y
(a,b)+(c,0)
Mas, cos 60o =
a
600
⇒ 1
2
=
a
600
⇒ a = 300, sen 60o = b
600
⇒
√
3
2
=
b
600
⇒ b = 300√3 e
c = 100. Assim sendo, temos que
−→
V R = (a, b) + (c, 0) = (300, 300
√
3) + (100, 0) = (400, 300
√
3).
Portanto |−→V R| =
√
(400)2 + (300
√
3)2 =
√
160000 + 270000 =
√
430000 ≈ 655, 7 m/s
3
2a soluc¸a˜o: Aplicando a Lei dos Cossenos no triaˆngulo abaixo temos
|−→V R|2 = (600)2 + (100)2 − 2 · 600 · 100 · cos 120o = 360000 + 10000− 120000(−1
2
) = 430.000⇒
|−→V R| ≈ 655, 7 m/s.
60o
600
100 x
y
120o
100
|−→V R|
4