Capacitores e Indutores

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Centro universitario Uniara 
Mario Felipe Camargo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capacitores e Indutores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Araraquara – SP 
2015 
 
 
 
 
Mario Felipe Camargo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capacitores e Indutores 
 
Trabalho de avaliação de curso apresentado ao centro 
educacional uniara como exigencia parcial de avaliação 
da disciplica Eletricidade decorente ao terceiro bimestre 
do segundo ano de engenharia mecatronica. 
 
Professor(a): Cristiano Minotti. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Araraquara – SP 
2015 
2 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedico este trabalho a Gunter Camilo Kiefer 
por todo o incentivo e ajuda para que isto fosse 
possivel. 
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5 
 
Sumário 
Introdução .............................................................................................................................................. 7 
Abstract ................................................................................................................................................... 9 
Capitulo 1 - Capacitores ........................................................................................................................ 11 
1.1 - Origem do capacitor. ................................................................................................................ 11 
1.2 - Funcionamento dos capacitores de placas planas .................................................................. 13 
1.3 - Associação dos capacitores ...................................................................................................... 15 
1.3.1 - Associação dos capacitores em paralelo: ......................................................................... 15 
1.3.2 - Associação dos capacitores em serie: ............................................................................... 15 
1.4 - Carga do capacitor em função do tempo. ............................................................................... 16 
1.4.1 - Interpretação grafica dos resultados obtidos: ................................................................. 20 
1.5 - Filtros com capacitores: ........................................................................................................... 21 
1.5.1 - Filtro Passa-Baixas ............................................................................................................. 23 
1.5.2 - Filtro Passa-altas ................................................................................................................ 23 
1.6 - Tipos de capacitores ................................................................................................................. 24 
1.6.1 - Capacitores ceramicos: ..................................................................................................... 24 
1.6.2 - Capacitores eletroliticos: .................................................................................................. 24 
1.6.3 - Capacitores de poliester: .................................................................................................. 25 
1.6.4 - Capacitores variaveis e trimmers: .................................................................................... 25 
1.6.5 - Capacitor a oleo: ................................................................................................................ 26 
1.6.6 - Capacitores especiais: ....................................................................................................... 26 
1.6.6.1 - Diodo Varicap ................................................................................................................. 26 
1.6.6.2 - DRAM (DINAMIC RAM) .................................................................................................. 27 
1.6.6.3 - Capacitores de cerâmica SMD ....................................................................................... 28 
1.6.6.4 - Sensores capacitivos ...................................................................................................... 28 
1.7 - Codigo de Capacitores: ............................................................................................................ 29 
Capitulo 2 - Indutores ........................................................................................................................... 35 
2.1 - Descoberta do eletromagnetismo ........................................................................................... 35 
2.2 - Lei de indução de Faraday ........................................................................................................ 36 
2.3 - Circuitos transitorios ................................................................................................................ 38 
2.3.1 - Condições de contorno: .................................................................................................... 38 
2.4 - Indutancia ................................................................................................................................. 42 
2.4.1 - Coeficiente de indutancia mutua ...................................................................................... 42 
2.4.2 - Alta indutancia .................................................................................................................. 43 
2.5 - Energia armazenada no campo magnetico da bobina ............................................................ 43 
6 
 
2.6 - Calculo de reatância indutiva:.................................................................................................. 45 
2.7 - Associação dos Indutores ......................................................................................................... 47 
2.7.1 - Associação dos indutores em paralelo: ............................................................................ 47 
2.7.2 - Associação dos Indutores em serie: .................................................................................. 47 
2.8 - Principais tipos de indutores .................................................................................................... 48 
2.8.1 - Indutores com núcleo de ar .............................................................................................. 48 
2.8.2 - Indutores com núcleo ferromagnético ............................................................................. 48 
2.8.3 - Indutores com núcleo laminado ....................................................................................... 49 
2.8.4 - Indutores com núcleo de ferrite ....................................................................................... 49 
2.8.5 - Indutores Toroidais ........................................................................................................... 49 
2.8.6 – Gyrator (indutor especial). ............................................................................................... 50 
2.9 - Codigo de Cores para indutores ............................................................................................... 50 
2.10 - Transformadores .................................................................................................................... 51 
2.10.1 - Relação entre tensão e correntes no transformador ......................................................... 52 
2.11 - Circuito oscilador LC ou circuito tanque ................................................................................53 
2.11.1 - Frequencia natural do circuito LC. .................................................................................. 55 
2.11.2 - Aplicação do circuito RL (tanque) ................................................................................... 55 
2.12 - Filtros com capacitores e indutores ....................................................................................... 56 
2.12.1 - Filtro Passa-Baixas: .......................................................................................................... 56 
2.12.2 - Filtros Passa-Altas: .......................................................................................................... 57 
Conclusão. ............................................................................................................................................. 61 
Referencias. .......................................................................................................................................... 63 
 
 
7 
 
 
Introdução 
O presente trabalho, tem como objetivo apresentar os componentes capacitor e indutor tanto do ponto de vista 
historico como tecnico, sendo este pautado pelo rigor matematico para tal empreita foram pesquisados sites e 
livros de fisica com enfase no estudo de eletricidade bem como livros de calculo voltados a equações diferenciais 
ordinarias 
 
Palavra – chave: Capacitor, Indutor, Eletricidade, Fisica, Eletromagnetismo, Equações diferenciais 
 
 
8 
 
 
 
9 
 
Abstract 
This job has as objective to introduce the components: capacitor and inductor, both point of view technical and 
historic, like be guided by mathematical rigor and for such were searched in internet and book of physic with 
emphasis in the study of electricity and calculation who aimed to ordinary equation. 
Keywords: Capacitor, Inductor, Eletricity, physical, electromagnetism, differential equation. 
 
10 
 
 
11 
 
Capitulo 1 - Capacitores 
 
1.1 - Origem do capacitor. 
 
Os gregos antigos já sabiam que pedaços de ambar passam a atrair particulas leves quando atritados. O ambar 
passa a ser eletrificado a partir do efeito triboeletrico, separação mecanica das cargas em um dielétrico. A 
palavra grega para ambar é ηλεκτρον ("elektron") e é a origem da palavra “eletricidade”. 
Por volta de 1650, Otto Von Guericke construiu um gerador eletrostatico primitivo: uma esfera de enxofre 
girando em um eixo. 
 
Figura 1: Gerador eletroestatico feito a partir de enxofre 
 
 Quando Guerricke quando encostou sua mão na esfera e a girou produziu uma carga de eletricidade estatica. 
Esse esperimento inspirou o desenvolvimento e de varias formas de “maquinas de friquição”, que ajudou 
enormemente nos estudos da eletricidade. 
O jarro de Leyden foi descoberto independente por duas partes: O cientista e juiz alemão Ewald Georg Von 
Kleist, e os cientistas holandes Pieter Van Musschenbroek e Andreas Cunaeus. Esses cientistas desenvolveram 
o jarro de Leyden enquanto trabalhavam sobre a teoria da eletricidade e viam a eletricidade como um fluido, e 
esperavam desenvolver o jarro para “capturar” esse fluido. Em 1744 Von Kleist colocou o jarro alinhado com 
uma folha de prata e carregou a folha com uma maquina de friquição. Kleist estava convencido que aquela 
carga eletrica substancial poderia ser coletada quando ele recebeu um choque significantemente do 
dispositivo. O “jarro de Kleist” foi independentemente descoberto por volta da mesma epoca por Pieter Van 
Musschenbroek e seu assistente Cunaeus na universidade de Leiden, quando tentavam carregar um jarro de 
12 
 
agua com eletricidade. Cunaeus recebeu varios choques. Van Musschenbroek comunicou o esperimento para a 
comunidade de cientistas Frances, e o jarro passou a ser chamado de jarro de Leyden. 
 
 
Figura 2: interior de um Jarro de Leyden vista em corte. 
 
Daniel Gralath foi o primeiro a conectar varios jarros em paralelo para aumentar a possivel carga armazenada. 
O termo bateria foi concedido por Benjamin Franklin devido a essa combinação, que comparou com uma 
bateria de canhões (varios canhões agrupados no mesmo local). O termo foi usado mais tarde para a 
combinação de multiplas celular eletroquimicas, o significado moderno para o termo “bateria”. Pelo meio do 
seculo 19, o jarro de Leyden tornou-se bastante comum para os escritores assumirem que seus leitores já o 
conheciam e entendiam o basico de seu funcionamento. 
 
 
Figura 3: Bateria feita a partir de varios jarros de Leyden ligados em em paralelo. 
 
Por volta da virada do seculo, começou a ser usado largamente em transmissores Spark-gap (chamados de 
transmissores de centelhas) e em equipamentos medicos de eletroterapia. Pelo começo do seculo 20, 
melhores dieletricos e a necessidade de um tamanho reduzido, resistencia e indutancia elevada para o uso nas 
13 
 
novas tecnologias de radio causou o envolvimento do jarro de Leyden da forma compacta dos capacitores 
modernos. 
 
1.2 - Funcionamento dos capacitores de placas planas 
 
Os capacitores de placas planas, como o próprio nome já diz, é constituido por duas placas de material 
condutor de area A separados por uma distancia d. O espaço entre as placas, normalmente é preenchido por 
um dieletrico (isolante), cada dieletrico possui um valor diferente para a constante ε, Quando o meio é um 
vácuo o valor é ε0=8,89.10-12 F/m. A equação que nos da o valor do capacitor dependendo de sua geometria 
pode ser obitido e apresentada pela equação 1: 
 
 
𝑐 = ε0
𝐴
𝑑
 
Equação 1:geometria de um capacitor. 
 
Quando o capacitor é carregado fluem para as sua placas cargas de sinais opostos estas cargas se atram 
mutuamente, mas não pode ser descarregadas devido ao dieletrico (isolante) que as separam, as cargas ficam 
assim, então com isso o capacitor continua a se carregar até que atinja o seu limite. 
 
 
Figura 4:Representação da parte interna de um capacitor. 
 
A capacitancia de um capacitor em função de sua carga é dada pela equação 2: 
 
 
𝑄 = 𝐶 ∗ 𝑈 
Equanção 2 
 
Onde que representa carga em Coulomb C representa a capacitancia em Farad e U a diferença de potencial, 
através da equação 2, podemos calcular a energia armazenada pelo capacitor: 
 
14 
 
 
Figura 5:Grafico representado a carga do capacitor em função da diferença de potencial (ddp=u) 
 
A area sob a reta é igual a area do triangulo de base U e de altura Q logo utilizando a area do triangulo: 
 
A =
b ∗ h
2
 
Equação 3 
 
𝐸 =
𝑄 ∗ 𝑈
2
 
Equação 4 
 
Substituindo a equação 2 na equação 4 obtemos: 
 
𝐸 =
(𝐶 ∗ 𝑈) ∗ 𝑈
2
 
Equação 5 
 
Logo: 
𝐸 =
𝐶 ∗ 𝑈²
2
 
Equação 6:energia armazenada no campo eletrico de um capacitor. 
 
15 
 
1.3 - Associação dos capacitores 
 
1.3.1 - Associação dos capacitores em paralelo: 
Na figura 6 podemos ver a representação da associação de capacitores em paralelo, na associação em paralelo 
podemos ver que todos os capacitores estão submetidos a mesma ddp (diferença de potencial), a carga total 
da associação é igual a soma das cargas contidas em cada capacitor: 
 
𝑄𝑡 = 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3+ . . . +𝑞𝑛 
Equação 7 
 
Substituindo a equação 2 na equação 7, ficamos com: 
 
𝐶 ∗ 𝑈 = 𝑐1 ∗ 𝑈 + 𝑐2 ∗ 𝑈 + 𝑐3 ∗ 𝑈+. . . +𝑐𝑛 ∗ 𝑈 
Equação 8 
 
Como a diferença de potencial é a mesma em cada um dos capacitores podemos colocar U em evidencia: 
 
𝐶 ∗ 𝑈 = 𝑈 ∗ (𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐3+ . . . +𝑐𝑛) 
Equação 9 
 
Fazendo as devidas divisões ficamos com: 
 
𝐶 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐3+. . . +𝑐𝑛 
Equação 10 
 
Se desprende da equação 10 que quando associamos os capacitores emparalelo a capacitancia total aumenta. 
 
 
Figura 6:Capacitores ligados em paralelo. 
 
1.3.2 - Associação dos capacitores em serie: 
Na associação em serie a tensão total é igual a soma das tensões em cada um dos capacitores: 
16 
 
 
𝑈 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3+ . . . +𝑢𝑛 
Equação 11 
 
Utilizando a equação 2 e rearranjando de forma que: 
 
𝑈 =
𝑄
𝐶
 
Equação 12 
 
Substituindo a equação 11 na equação 12 obtemos: 
 
𝑄
𝐶
=
𝑄
𝑐1
+
𝑄
𝑐2
+
𝑄
𝑐3
+. . . +
𝑄
𝑐𝑛
 
Equação 13 
 
Levando em conta que todos os capacitores estarão carregados com a mesma carga (Q), podemos coloca o Q 
em evidencia, e fazer as eventuais divisões ficando com: 
 
1
𝐶
=
1
𝑐1
+
1
𝑐2
+
1
𝑐3
+. . . +
1
𝑐𝑛
 
Equação 14 
 
Atraves da equação 14 concluimos que quando associamos capacitores em paralelo a capacitancia total 
diminui. 
 
Figura 7: Capacitores ligados em serie. 
 
1.4 - Carga do capacitor em função do tempo. 
 
17 
 
 
Figura 8 : Diagrama do circuito RC 
 
Condição inicial 
𝑖(0) =
𝑉
𝑅
 
Equação 15 
 
Aplicação KVL 
 
−𝑉 + 𝑅𝑖(𝑡) + 𝑉𝑐(𝑡) = 0 
Equação 16 
 
−𝑉 + 𝑉𝑅(𝑡) + 𝑉𝑐(𝑡) = 0 
Equação 17 
 
Mas a corrente do capacitor é dada por 
 
𝑖𝑐(𝑡) = 𝑐
𝑑𝑉𝑐(𝑡)
𝑑𝑡
 
Equação 18 
 
Fazendo os devidos ajustes e integrando chegamos a 
 
𝑉𝑐(𝑡) =
1
𝑐
∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡
𝑡
0
 
Equação 19 
 
Substituindo a equação 19 na equação 17 obtemos: 
 
−V + Ri(t) +
1
c
∫ i(t)dt = 0
t
0
 
Equação 20 
 
18 
 
𝑅𝑖(𝑡) +
1
𝑐
∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑣
𝑡
0
 
Equação 21 
 
Dividindo ambos os membros por R, ficamos com : 
 
𝑖(𝑡) +
1
𝑅𝑐
∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 =
𝑣
𝑅
𝑡
0
 
Equação 22 
 
Derivando ambos os membros em relação a t obtemos: 
 
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+
1
𝑅𝑐
𝑖(𝑡) = 0 
Equação 23 
 
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= −
1
𝑅𝑐
𝑖(𝑡) 
Equação 24 
 
Utilizando o metodo de separação de variaveis para a resolução de equações diferenciais e integrandos dos 
dois lados temos: 
 
∫
𝑑𝑖
𝑖
= −∫
1
𝑅𝑐
𝑑𝑡 
Equação 25 
 
ln(𝑖) =-
1
𝑅𝑐
𝑡 + 𝑐 
Equação 26 
 
Elevando e a cada um dos lados da equação obtemos: 
 
𝑒ln(𝑖) = 𝑒−
1
𝑅𝑐
𝑡+𝑐 
Equação 27 
 
O que nos da: 
 
𝑖(𝑡) = 𝑒−
1
𝑅𝑐
𝑡 ∗ 𝑒𝑐 
Equação 28 
19 
 
 
Chamando 𝑒𝑐 de K, obtemos: 
 
𝑖(𝑡) = 𝑘 ∗ 𝑒−
1
𝑅𝑐
𝑡 
Equação 29 
 
Impondo a condição de contorno: 
 
𝑖(0) =
𝑉
𝑅
 
Equação 30 
 
E substituindo na equação 29, obtemos o valor de K: 
 
𝑉
𝑅
= 𝑘 ∗ 𝑒−
0
𝑅𝑐 
Equação 31 
 
𝑉
𝑅
= 𝑘 ∗ 𝑒0 
Equação 32 
 
𝑉
𝑅
= 𝑘 ∗ 1 
Equação 33 
 
𝐾 =
𝑉
𝑅
 
Equação 34 
 
Substituindo o valor de K na equação 29, obtemos: 
 
𝑖(𝑡) =
𝑣
𝑅
∗ 𝑒−
1
𝑅𝑐
𝑡 
Equação 35 
 
𝑉𝑐(𝑡) =
1
𝑐
∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡
𝑡
0
 
Equação 36 
 
Variação da tensão com o carregamento do capacitor e substituindo na equação 35 da equação 34 obtemos: 
20 
 
 
𝑉𝑐(𝑡) = 𝑉(1 − 𝑒−
1
𝑅𝑐
𝑡) 
Equação 37: Variação da tensão do capacitor em função do tempo 
 
1.4.1 - Interpretação grafica dos resultados obtidos: 
 
 
Figura 9: Graficos da variação de corrente e tensão do capacitor me função do tempo. 
 
Atravez dos graficos notamos que o fluxo de corrente no circuito diminui com o tempo, isto acontece devido ao 
capacitor que inicialmente se encontrava descarregado, absorve uma grande capacidade de corrente quando o 
tempo é igual a 0, quando o tempo tende ao infinito o capacitor passa a se comportar como um circuito aberto 
e o seu fluxo de corrente sessa, já com a sua tensão acontece ao contrario, a tensão nos terminais do capacitor 
no tempo t=0 é 0 e o capacitor se carrega esponencialmente até atingir a tensão iguai a tensão da fonte, o 
tempo de carga/ descarga do capacitor depende da constante RC, como podemos ver abaixo. 
 
𝑈 = 𝑅𝑖 
Equação 38 
 
Logo 
 
𝑅 =
𝑈
𝑖
 
Equação 39 
 
𝑄 = 𝐶𝑈 
Equação 40 
 
Logo 
 
21 
 
𝐶 =
𝑄
𝑈
 
Equação 41 
 
Ao multiplicarmos R por C, multiplicamos a equação 38 pela 39: 
 
𝑈
𝑖
∗
𝑄
𝑈
 
Equação 42 
 
O que nos da 
 
𝑄
𝑖
 
Equação 43 
 
Lembrando que i é 
𝑄
𝑡
 e fazendo substituições na equação 42, obtemos: 
 
𝑄
𝑄
𝑡
 
Equação 44 
 
O que resulta em t, que no sistema internacional é dada em segundos, podemos calcular o valor de R e de C 
para controlar o tempo de carga e descarga do capacitor, isso é muito usado em circuitos temporizadores ou 
osciladores como, por exemplo, os osciladores de relaxação, um outro bom exemplo, é o dos osciladores 
integrado 555 onde comparadores são senciveis aos niveis de tensão de um terço e dois terços do nivel de 
tensão em um capacitor. 
 
1.5 - Filtros com capacitores: 
 
Capacitores ligados a corrente alternada se comportam como resistores o que chamamos de reatancia 
capacitiva, a reatancia capacitiva varia com o valor do capacitor e da frequencia (Hz) aplicada. 
 
22 
 
 
Figura 10: Circuiro de um capacitor ligado em uma tensão alternada 
 
𝑉(𝑡) = 𝑉 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
Equação 45 
 
𝑄 = 𝑐 ∗ 𝑢 
Equação 46 
 
𝑢 =
𝑄
𝑐
 
Equação 47 
 
Por Thevinin : 
 
𝑄
𝑐
= 𝑢 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
Equação 48 
 
Derivando ambos os lados em relação a t ficamos com: 
 
1
𝑐
∗
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 𝑣𝜔 ∗ cos(𝜔𝑡) 
Equação 49 
 
Lembrando que 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
 é igual a i e substituindo, obtemos: 
 
𝑖
𝑐
= 𝑣𝜔 ∗ cos(𝜔𝑡) 
Equação 50 
 
Tomando cos(𝜔𝑡) = 1; 
 
𝑖
𝑐
= 𝑣𝜔 
23 
 
Equação 51 
 
Como v=Ri e 𝑅 =
𝑢
𝑖
; rearranjamos a equação anterior obtendo: 
 
1
𝜔𝑐
=
𝑣
𝑖
= 𝑋𝑐 = 𝑟𝑒𝑎𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 
Equação 52 
 
Note que 𝜔 =
2𝜋
𝑡
 ou 2𝜋 ∗ 𝑓; substituindo obtemos: 
 
𝑋𝑐 =
1
2𝜋 ∗ 𝑓𝑐
 
Equação 53:Reatancia capacitiva de um capacitor. 
 
Atravez da equação anterior notamos que para reatancias capacitivas baixa deveremos ter valores de 
frequencia ou de capacitores altas, e para reatancia capacitiva altas, deveremos ter valores de frequencia ou de 
capacitores baixas. 
1.5.1 - Filtro Passa-Baixas 
 
O Filtro passa-baixas basico é constituido por um capacitor e um resistor ligados como na figura abaixo: 
 
 
Figura 11: circuito filtro passa-baixa 
 
O principio de funcionamento de um filtro passa-baixas reside no fato de um capacitor apresentar baixa 
reatancia capacitiva para altas frequencias ( podemos considerar o capacitor como um curto-circuito ), as 
baixas frequencias que entram no circuito são direcionadas a saida já as frequencias alta são direcionadas para 
o terra, já que o capacitor serve como um curto para elas. 
 
1.5.2 - Filtro Passa-altas 
 
O Filtro passa-altas basico é constituido por um capacitor e um resistor ligados como na figura abaixo: 
24 
 
 
 
Figura 12: Circuito filtro passa-altas 
 
O principio de funcionamento de um filtro passa-altas reside no fato de um capacitor apresentar alta reatancia 
capacitiva para baixas frequencias ( podemos considerar o capacitor como um circuito aberto ), as altas 
frequencias que entram no circuito são direcionadas a saida já as frequencias baixas são bloqueadas e não 
passam pelo capacitor. 
 
1.6 - Tipos de capacitores 
 
1.6.1 - Capacitores ceramicos: 
 
Os capacitores ceramicos são normalmente de pequenasdimensões e encapsulados em discos, a isolação das 
placas é feita por ceracicas e da o nome a este tipo de capacitor, tais capacitores são normalmente utilizados 
em altas frequencias e possuem baixos valores de capacitancia atingindo a ordem de pico-farards. 
 
 
Figura 13: Capacitores ceramico. 
 
1.6.2 - Capacitores eletroliticos: 
 
Os Capacitores eletroliticos consistem em fitas de metal separadas por um polimero e enrolados de forma a 
aumentar a area e com isso o valor de sua capacitancia, tal dispositivo é embebido em um liquido isto é o 
eletrólito que serve como dieletrico, tais capacitores tem polaridade e normalmente são utilizados em baixas 
frequencias ou onde é requerido um grande acumulo de carga, os capacitores eletriliticos normalmente tem 
25 
 
capacitancias que vão de alguns micro farards a milhares de farards um exemplo de aplicação para estes 
capacitores são em circuitos eleminados de ripple (ondulação) em fontes de alimentação. 
 
 
Figura 14: Capacitores eletrolitico. 
 
1.6.3 - Capacitores de poliester: 
 
Os capacitores de poliester são contituidos de laminas de metal separadas por um dieletrico de poliester 
enrolados em uma bobina revestidos por uma ceramica que normalmente contem o codigo de cores referente 
a sua capacitancia, tais capacitores são largamentes utilizados em circuitos de audio (tais como amplificadores) 
e osciladores de baixa frequencia. 
 
 
Figura 15 : Capacitor de poliester com as respectivas faixas relativa aos codigo de cores. 
 
1.6.4 - Capacitores variaveis e trimmers: 
 
Os capacitores variaveis são constituidos de placas alinhadas a uma certa distancia d que podem ser deslocadas 
com isso a variação da area do capacitor em relação ao campo eletrico aplicado, normalmente as placas são 
ligadas a eixos ou parafusos tais capacitores era muito utilizados em circuitos receptores de radio para variar a 
frequencia de recepção do circuito resonante, os trimmers são utilizados geralmente para ajuste de frequencia 
fina em transmissores e receptores de radio frequencia em circuitos osciladores a cristal. 
 
26 
 
 
Figura 16: Capacitores variaveis 
 
1.6.5 - Capacitor a oleo: 
 
Os capacitores e oleo tem como dieletrico um tipo de oleo, tais capacitores tem capacitancia entre alguns 
farards a dezenas de farards, os capacitores a oleo são utilizados em circuitos retificadores de alta tensão no-
breaks e em motores para corrigir o fator de potência. 
 
 
Figura 17: Capacitor a oleo 
 
1.6.6 - Capacitores especiais: 
 
1.6.6.1 - Diodo Varicap 
 
27 
 
Varicap ou varactor, é um tipo de diodo que possui uma resistencia variável que é função da tensão à qual ele é 
submetido. A nomenclatura varicap vem do inglês variable capacitance (capacitância variável) e varactor vem 
também do inglês variable reactance (reatância variável) e são duas nomenclaturas utilizadas para denominar o 
mesmo tipo de dispositivo. 
 
Funcionamento: 
Quando reversamente polarizados, os diodos semicondutores apresentam em sua junção PN uma capacitância 
que é devida à presença de portadores de carga separados por uma camada isolante (formada pela 
recombinação dos portadores). Essa região também é chamada de zona de depleção. Ao variarmos a tensão 
nos terminais desse diodo, variamos a separação destes portadores, ou seja, a largura dessa camada isolante, o 
que equivale a aumentar o meio dielétrico entre as placas energizadas de um capacitor. Dessa forma, atuando 
sobre a tensão no diodo, temos uma resposta na capacitância gerada. Em diodos semicondutores comuns, esse 
efeito não é muito expressivo ( é preciso uma grande variação de tensão para variar significativamente a 
capacitância). Por isso, os varicaps são construídos de modo a se ampliar esse efeito capacitivo, tornando-os 
mais sensíveis a variações de tensão, enquanto que os diodos comuns geralmente são feitos de forma a 
minimizar esse efeito. 
 
Aplicações: 
aparelhos de televisão onde possuem um seletor de canais automático que contém diodos varicaps com a 
função de sintonizar as freqüências dos canais recebidos em conseqüencia da variação de tensão em seus 
catodos (polarização reversa), acarretando mudança de capacitância internamente nestes diodos. 
 
 
Figura 18: Representação esquematica de um diodo varicap 
 
1.6.6.2 - DRAM (DINAMIC RAM) 
 
A diferença básica está no tipo de célula que a compõe. Enquanto na SRAM a célula de memória é composta 
por um Flip-Flop, na DRAM ela é formada por um transistor MOS. 
 
Na DRAM a informação é armazenada na Capacitância parasita de um transistor MOS. Devido à corrente de 
fuga esta informação pode ser perdida após um determinado tempo (de 2 a 4 ms), necessitando portanto de 
uma renovação periódica denominada operação de Refresh. 
 
28 
 
Sempre que uma operação de leitura for realizada em determinado endereço,todas as células desse endereço 
sofrerão um refresh( realizado por um CI controlador de DRAM ) 
 
Figura 19: memorias RAM dinamicas que utilizam capacitancias parazitas entre as junções dos transistor mosfet 
para armazenar informações 
 
1.6.6.3 - Capacitores de cerâmica SMD 
 
Os capacitores SMD são geralmente empregados como capacitores de desacoplamento, possui duas funções 
principais que são totalmente relacionadas: 
 
1. Servir como uma fonte de energia de ação rápida junto ao circuito integrado, permitindo que ele opere até 
que a fonte de alimentação principal possa fornecer a corrente que ele necessita 
 
2. Desviar ruídos de alta frequência de volta para a fonte de alimentação. Os capacitores cerâmicos SMD 
consistem de um bloco retangular de dielétrico de cerâmica no qual um certo número de eletrodos metálicos 
intercalados estão contidos. 
 
 
Figura 20: Capacitores ceramicos SMD (surface Mont Divice) 
 
1.6.6.4 - Sensores capacitivos 
 
Funcionamento: 
29 
 
Desde o ponto de vista puramente teorico, se diz que o sensor esta formado por um oscilador cuja capacidade 
de é formado por um eletrodo interno (parte do proprio sensor) e outro externo (contido uma uma peça 
conectada ao terra). O eletrodo externo pode ser feito de duas formas diferentes; em algumas aplicações o 
eletrodo é o proprio objeto a ser detectado, previamente conectado ao terra; então a capacidade em questão 
ira varias de acordo com a distancia entre o sensor e o objeto. No entanto, em outras aplicações se coloca uma 
massa, e o corpo a ser detectado funciona como um dieletro entre a massa e a placa ativa, modificando assim 
as caracteristicas do condensador equivalente. 
 
Aplicações: 
Estes sensores são usados para a identificação dos objetos, para serem usados como contadores e para toda a 
classe de monitoramento de carga dos materiais solidos e liquidos. Também são utilizados por varios 
dispositivos touchscreen, como celulares, computadores; como o sensor detecta a pequena diferença de 
potencial entre as membranas que esta sendo tocadas pelos dedos eletricamente polarizados pela pessoa que 
esta usando. 
 
Figura 21: Sensor de proximidade capacitiva. 
 
1.7 - Codigo de Capacitores: 
 
Um dos grandes problemas para todos que praticam a eletrônica é a leitura dos códigos de alguns 
componentes. Para os resistores não existem muitos problemas, a não ser em caso dos tipos SMD, mas para os 
capacitores a coisa muda. Os diversos tipos de código e o modo como são aplicados podem causar confusões. 
Veja nesse artigo como ler os códigos dos principais tipos de capacitores. 
 
A variedade de tipos, formas e tamanhos segundo os quais são encontrados os capacitores exige dos 
fabricantes técnicas especiais para marcar seus componentes. Para os capacitores grandes, por exemplo,os 
eletrolíticos, poliéster e papel de grandes dimensões, existe espaço suficiente para que a marcação direta, sem 
problemas seja feita, conforme sugere a figura 1. 
 
30 
 
 
Figura 22: Encapsulamento variado para capacitores. 
 
No entanto à medida que os componentes se tornam menores, cada vez menos espaço existe para a marcação 
dos valores. Esse processo culmina com os capacitores SMD que mal têm espaço para a gravação de 3 ou 4 
pequenos símbolos, conforme mostra a figura 2.No entanto à medida que os componentes se tornam 
menores, cada vez menos espaço existe para a marcação dos valores. Esse processo culmina com os 
capacitores SMD que mal têm espaço para a gravação de 3 ou 4 pequenos símbolos. 
 
Figura 23: Capacitores SMD e seus respectivos codigos 
 
Mesmo assim, esses componentes ainda precisam ser lidos, em alguns casos, com o auxílio de uma lente de 
aumento. Os códigos especiais podem assumir diversas formas, conforme o tipo de componente considerado. 
Um deles, é o código de 2 ou 3 dígitos adotado para os capacitores cerâmicos e outros. Conforme mostra a 
figura 24, um capacitor de 47 pF e um de 100 pF podem vir com a marcação simples 47 e 100. As letras estão 
relacionadas com a tolerância. 
 
31 
 
 
Figura 24: Capactores ceramicos e seus respectivo codigo de tensão 
 
Mas, o profissional deve estar atento para o caso em que os três dígitos não indicam o valor direto do 
componente, mas sim o valor dado por um código que, de certa forma lembra o código usado para os 
resistores. Nesse código, os dois primeiro dígitos fornecem o valor ou mantissa da capacitância, enquanto que 
o terceiro fornece o multiplicador ou número de zeros que deve ser acrescentado à mantissa para se obter a 
capacitância. Assim, conforme mostra a figura 25, um capacitor com a marcação 223 é de 22 + 000 pF ou 22 nF. 
Um capacitor de 101 é de 10 + 0 = 100 pF. 
 
 
Figura 25: Capactores ceramicos e seus respectivo codigo de tensão 
 
tabela abaixo dá os valores dos multiplicadores para o terceiro dígito dos códigos de capacitores (em pF) 
 
Tabela: 
Terceiro Digito Multiplicador 
0 1 
1 10 
2 100 
3 1.000 
4 10.000 
5 100.000 
6 – Não usado 
7 – Não usado 
8 0,01 
9 0,1 
 
Por exemplo, um capacitor com a marcação 473 é de 47 + 000 = 47 000 pF ou 47 nF. 
 
32 
 
Em alguns casos, o leitor pode ficar confusão se um código de tolerância for acrescentado a essa marcação. Por 
exemplo, um capacitor com a marcação 223J é um capacitor de 22 nF (22 + 000 pF) com +/- 5% de tolerância. A 
tabela com o código de tolerâncias é dada a seguir. 
 
Tabela: 
Letra Tolerancia 
B +/- 0,10% 
C +/- 0,25% 
D +/- 0,50% 
E +/- 0,50% 
F +/- 1% 
G +/- 2% 
H +/- 3% 
J +/- 5% 
K +/- 10% 
M +/- 20% 
N +/- 0,05% 
P +100%, -0% 
Z +80%, - 20% 
 
b) Capacitores de poliéster (antigos) 
 
Tentando recuperar algum equipamento antigo ou mesmo repará-lo numa oficina, o leitor pode se defrontar 
com um capacitor de poliéster metalizado do tipo “zebrinha” como o mostrado a seguir. 
33 
 
 
Figura 26: Explicação para cada faixa do capacitor de poliester. 
 
Conforme podemos ver, neste capacitor temos faixas coloridas que devem ser lidas no sentido indicado na 
mesma figura. Essas faixas indicam o valor do componente, a tensão de trabalho e também a tolerância e 
coeficiente de temperatura de acordo com a tabela 2 (os valores são encontrados em picofarads). 
 
34 
 
 
 
 
35 
 
Capitulo 2 - Indutores 
 
O indutor, também conhecido como solenóide ou bobina, é um componente elétrico capaz de armazenar 
energia em um campo magnético gerado pela corrente que o circula. Essa capacidade é chamada de indutância 
e é medida em Henrys (H). 
 
De maneira geral, um indutor é composto por um fio condutor enrolado em forma de espiral. Cada volta da 
bobina é chamada de espira e a sua quantidade influencia diretamente na intensidade do campo magnético 
gerado. 
 
Indutores são amplamente utilizados em circuitos analógicos e em processamento de sinais. Juntamente com 
capacitores e outros componentes, formam circuitos ressonantes, os quais podem enfatizar ou atenuar 
frequências específicas. 
 
As aplicações possíveis vão desde o uso de grandes indutores em fontes de alimentação, como forma de 
remoção de ruídos residuais, além de bobinas de ferrite ou toroidais para filtragem de rádio-frequência, até 
pequenos indutores utilizados em transmissores e receptores de rádio e TV. Indutores também são 
empregados para armazenamento de energia em algumas fontes de alimentação chaveadas. 
 
2.1 - Descoberta do eletromagnetismo 
 
Hans Christian Ørsted foi um físico e químico dinamarquês. 
 
É conhecido sobretudo por ter descoberto que as correntes eléctricas podem criar campos magnéticos que são 
parte importante do Electromagnetismo. As suas descobertas moldaram a filosofia pós-kantiana e os avanços 
na ciência durante o final do século XIX. Foi também o primeiro pensador moderno a descrever explicitamente 
e denominar a experiência mental. 
 
Enquanto se preparava para uma palestra na tarde de 21 de abril de 1820, Ørsted desenvolveu uma 
experiência que forneceu evidências que o surpreenderam. Enquanto preparava os seus materiais, reparou que 
a agulha de uma bússola deflectia do norte magnético quando a corrente eléctrica da bateria que estava a usar 
era ligada e desligada. Esta deflexão convenceu-o que os campos magnéticos radiam a partir de todos os lados 
de um fio carregando uma corrente eléctrica, tal como ocorre com a luz e o calor, e que isso confirmava uma 
relação directa entre electricidade e magnetismo. 
 
36 
 
 
Figura 27: Diagrama esquematico do experimento de Orested. 
 
À época desta descoberta, Ørsted não sugeriu nenhuma explicação satisfatória para o fenómeno, nem tentou 
representar o fenómeno numa estrutura matemática. No entanto, três meses mais tarde deu início a 
investigações mais intensivas. Pouco depois publicou as suas descobertas, provando que a corrente eléctrica 
produz um campo magnético à medida que flui através de um fio. A unidade CGS da indução eletromagnética 
(Oersted) foi assim designada em honra dos seus contributos no campo do electromagnetismo. 
 
As suas descobertas resultaram numa pesquisa intensa em electrodinâmica por parte da comunidade 
científica, influenciando o desenvolvimento de uma forma matemática única que representasse as forças 
magnéticas entre condutores portadores de corrente por parte do físico francês André-Marie Ampère. As 
descobertas de Ørsted representaram também um grande passo em direcção a um conceito de energia 
unificado. 
 
2.2 - Lei de indução de Faraday 
 
 
 
Figura 28: Representação de uma espira de comprimento l se deslocando na direção y com velocidade v 
atravez de um capo magnetico B que esta saindo do plano do papel. 
 
A força magnetica criada por um campo magnetico perpendicular a um eletron que atravessa as linhas de 
campo com velocidade v é dada por: 
 
𝐹𝑀 = −𝑞 ∗ 𝑣 ∗ 𝐵 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 
37 
 
Equação 54 
 
Quanto a velocidade e o campo são perpendiculares 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 1, ficamos com 
 
𝐹𝑀 = −𝑞 ∗ 𝑣 ∗ 𝐵 
Equação 55 
 
Já a a força eletrica devido a um campo eletrico é dada por: 
 
𝐹𝐸 = 𝑞 ∗ �⃗� 
Equação 56 
 
Igualando a força eletrica a magnetica obtemos: 
 
𝑞 ∗ �⃗� = −𝑞 ∗ 𝑣 ∗ 𝐵 
Equação 57 
 
Sendo assim: 
 
�⃗� = 𝑣 ∗ 𝐵 
Equação 58 
 
𝑑𝑑𝑝 = −𝐸𝐼 ∗ 𝑙 
Equação 59 
 
𝐸 = 𝑣 ∗ 𝐵 ∗ 𝑙 
Equação 60 
 
Onde l é o cumprimento da barra contendo os eletrons que atravessa o campo magnetico 
O fluxo magneticoque atravessa uma dada area A é dado por: 
 
Φ = 𝐵 ∗ 𝐴 
Equação 61 
 
Podemos definir a area A como o produto do comprimento da barra que atravessa o campo magnetico (l) 
multiplicado pela distancia percorrida pela barra 
 
𝐴 = 𝑙 ∗ 𝑦 
38 
 
Equação 62 
 
Substituindo: 
 
Φ = 𝐵 ∗ 𝑙 ∗ 𝑦 
Equação 63 
 
E derivando em ambos os lados: 
 
dΦ
dt
= B ∗ l ∗
dy
dt
 
Equação 64 
 
Observando que 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑣 e substituindo na equação 64, temos: 
 
𝑑Φ
𝑑𝑡
= 𝐵 ∗ 𝑙 ∗ 𝑣 
Equação 65 
 
Observando que 𝐵 ∗ 𝑙 ∗ 𝑣 = −𝑑𝑑𝑝 = −𝜀 obtemos: 
 
𝜀 = −
𝑑Φ
𝑑𝑡
 
Equação 66 
 
2.3 - Circuitos transitorios 
 
 
Figura 29: Representação esquematica de um circuito transitorio envolvendo indutores e resistosres. 
 
2.3.1 - Condições de contorno: 
 
𝑣𝐿(0) = 𝑅 ∗ 𝐼 
Equação 67 
39 
 
 
𝑖𝑙(0) = 0 
Equação 68 
 
𝑣(0) = 𝑅 ∗ 𝑖 
Equação 69 
 
𝑣𝐿(𝑡) = 𝐿 ∗
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 
Equação 70 
 
Aplicando a lei de Kierchoff ao circuito temos: 
 
𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐼𝑟 + 𝐼𝐿 
Equação 71 
 
 
Derivando ambos os lados e considerando que a corrente total é constante ficamos com 
 
𝑑𝑖𝑟
𝑑𝑡
+
𝑑𝑖𝐿
𝑑𝑡
= 0 
Equação 72 
 
Em 
𝑑𝑖𝑟
𝑑𝑡
 podemos considerar que 𝑖𝑟 =
𝑣
𝑟
 e 𝑣 = 𝐿 ∗
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 então 
𝑑𝑖
𝑑𝑡
=
𝑣
𝐿
 e substituindo na equação 72, obtemos: 
 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
∗
1
𝑟
+
𝑣
𝑙
= 𝑜 
Equação 73 
 
Multiplicando ambos os lados por r obtemos: 
 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
𝑟
𝐿
∗ 𝑣 = 𝑜 
Equação 74 
 
Isolando 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 , temos que: 
 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −
𝑟
𝐿
∗ 𝑣 
Equação 75 
40 
 
 
Utilizando o metodo de separação de variaveis para equações diferenciais ficamos com: 
 
𝑑𝑣
𝑣
= −
𝑟
𝐿
∗ 𝑑𝑡 
Equação 76 
 
Integrando ambos os lados, ficamos com: 
 
∫
𝑑𝑣
𝑣
= −
𝑟
𝐿
∗ ∫𝑑𝑡 
Equação 77 
 
ln|𝑣| = −
𝑟
𝐿
∗ 𝑡 + 𝑐 
Equação 78 
 
Elevando e a ambos os lados 
 
𝑒ln|𝑣| = 𝑒−
𝑟
𝐿
∗𝑡+𝑐 
Equação 79 
 
Ficamos com: 
 
𝑣𝐿(𝑡) = 𝑒
−
𝑟
𝐿
∗𝑡 ∗ 𝑒𝑐 
Equação 80 
 
Considerando 𝑒𝑐 = 𝐾 , obtemos 
 
𝑣𝐿(𝑡) = 𝑒
−
𝑟
𝐿
∗𝑡 ∗ 𝐾 
Equação 81 
 
Obtendo o valor de K atravez das condições de contorno: 
 
𝑣(0) = 𝑟 ∗ 𝑖 = 𝑒0 ∗ 𝐾 
Equação 82 
 
Logo: 
 
41 
 
𝐾 = 𝑟 ∗ 𝑖 
Equação 83 
 
Substituindo K, temos 
 
𝑣𝐿(𝑡) = 𝑟 ∗ 𝑖 ∗ 𝑒
−
𝑟
𝐿
∗𝑡 
Equação 84 
 
Sabemos que 𝑣 = 𝐿 ∗
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 e obtendo 
𝑖
𝑡
 , isolando i temos: 
 
𝑣(𝑡)
𝐿
=
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 
Equação 85 
 
Separando as variaveis: 
 
𝑑𝑖 =
1
𝐿
∗ 𝑣(𝑡) ∗ 𝑑𝑡 
Equação 86 
 
Integrando em ambos os lados: 
 
∫𝑑𝑖 =
1
𝐿
∗ ∫𝑣(𝑡) ∗ 𝑑𝑡 
Equação 87 
 
𝑖(𝑡) =
1
𝐿
∗ ∫𝑣(𝑡) ∗ 𝑑𝑡 
Equação 88 
 
Substituindo e integrando 𝑣𝐿(𝑡) 
 
𝑖(𝑡) =
𝑟𝑖
𝐿
∗ ∫𝑒−
𝑟
𝐿
∗𝑡 ∗ 𝑑𝑡 
Equação 89 
 
𝑖(𝑡) =
𝑟
𝐿
∗ 𝑖 ∗
𝐿
𝑟
∗ 𝑒(−
𝑟
𝐿
∗𝑡) + 𝑐 
Equação 90 
 
42 
 
𝑖(𝑡) = 𝑖 ∗ (1 − 𝑒−
𝑟
𝐿
∗𝑡) 
Equação 91 
 
 
Figura 30: Grafico representando a variação da corrente e da tensão em um circuito RL em função do tempo. 
 
2.4 - Indutancia 
 
 
Figura 31; representação esquematica da indução magnetica entre duas bobinas(indutores). 
 
Φ21 = ∫ �⃗� ∗ �⃗� ∗ 𝑑𝑎 
Equação 92 
 
O fluxo magnetico na bobina 2 devido ao campo gerado pela bobina 1 é igual a integral do vetor campo 
magnetico escalar com o vetor normal integrado na area da 
 
2.4.1 - Coeficiente de indutancia mutua 
 
𝑀21 =
𝑁2 ∗ Φ21
I1
 
Equação 93 
43 
 
 
Onde 𝑁2 representa o numero de espiras na bobina 2 e 𝐼1 a corrente que passa pela bobina 1 
 
𝑁2 ∗ Φ21 = M21 ∗ I1 
Equação 94 
 
Onde 𝑁2 ∗ Φ21 é conhecido como numero de acoplamento de fluxo 
 
Derivando ambos os membros da equação 94, obtemos: 
 
𝑁2 ∗
dΦ21
dt
= 𝑀21 ∗
𝑑𝐼1
𝑑𝑡
 
Equação 95 
 
Mas 𝑁2 ∗
dΦ21
dt
 é igual a −𝜀 = −𝑑𝑑𝑝 
 
𝜀 = −𝑀21 ∗
𝑑𝑖1
𝑑𝐼2
 
Equação 96 
 
Unidade 
 
[𝑀] =
𝑣
𝑎
𝑠
= 𝐻𝑒𝑛𝑟𝑦(𝐻) 
Equação 97 
 
2.4.2 - Alta indutancia 
 
M pode ser substituido por L (indutancia) 
 
𝜀 = −𝐿 ∗
𝑑𝑖1
𝑑𝐼2
 
Equação 98 
 
2.5 - Energia armazenada no campo magnetico da bobina 
 
 
Figura 32: Simbolo de um indutor. 
44 
 
 
𝑃 = 𝜀 ∗ 𝐼 
Equação 99 
 
Onde 
 
𝜀 = 𝐿 ∗
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 
Equação 100 
 
Substituindo na equeção 
 
𝑃 = 𝐿 ∗
𝑑𝑖
𝑑𝑡
∗ 𝐼 
Equação 101 
 
Tal que 
 
𝑃 =
𝑑𝑢
𝑑𝑡
 
Equação 102 
 
Substituindo na equação 
 
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= 𝐿 ∗
𝑑𝑖
𝑑𝑡
∗ 𝐼 
Equação 103 
 
Multiplicando ambos os lados por dt 
 
𝑑𝑢 = 𝐿 ∗ 𝐼 ∗ 𝑑𝑖 
Equação 104 
 
Integrando ambos os lados obtemos: 
 
∫𝑑𝑢 = 𝐿 ∗ ∫ 𝐼 ∗ 𝑑𝑖 
Equação 105 
 
45 
 
𝑢 = 𝐿 ∗
𝐼2
2
 
Equação 106 
 
2.6 - Calculo de reatância indutiva: 
 
Os indutores apresentam uma resistencia a tensões alternadas, o que nos chamamos de reatancia indutiva. 
 
Quando ligamos o indutor a uma fonte de corrente, o indutor grosso modo tenta expulsar tal corrente quando 
tentamos retirar a corrente se acontece o oposto. 
 
 
Figura 33: Circuito representando o indutor ligado a uma corrente alternada. 
 
𝑣(𝑡) = 𝑣 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
Equação 107 
 
A tensão em um indutor pode ser dada : 
 
𝑣 = −𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 
Equação 108 
 
Usando Theveni: 
 
−𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= 𝑣 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
Equação 109 
 
Dividindo ambos os lados por L: 
 
−
𝑑𝑖
𝑑𝑡
=
𝑣
𝐿
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
Equação 110 
46 
 
 
−
𝑑𝑖
𝑑𝑡
=
𝑣
𝐿
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 
Equação 111 
 
−𝑑𝑖 =
𝑣
𝐿
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)𝑑𝑡 
Equação 112 
 
E integrando ambos os lados: 
 
−∫𝑑𝑖 =
𝑣
𝐿
∫𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)𝑑𝑡 
Equação 113 
 
−𝑖 = −
𝑣
𝐿𝜔
cos (𝜔𝑡) 
Equação 114 
 
Considerando cos(𝜔𝑡) como 1, condição para que v seja maximo, obtemos: 
 
 
−𝑖 = −
𝑣
𝐿𝜔
 
Equação 115 
 
𝑖 =
𝑣
𝐿𝜔
 
Equação 116 
 
𝐿𝜔 =
𝑣
𝑖
 
Equação 117 
 
Rearranjando os termos para obtermos a lei de ohm, onde 𝑅 =
𝑣
𝑖
 : 
 
𝐿𝜔 = 𝑅 = 𝑋𝐿 
Equação 118 
 
Substituindo 𝜔 = 2𝜋𝑓; obtemos: 
 
47 
 
𝑋𝐿 = 2𝜋𝑓𝐿 
Equação 119 
 
2.7 - Associação dos Indutores 
 
2.7.1 - Associação dos indutores em paralelo: 
 
Na figura a seguir podemos ver a representação da associação dos indutores em paralelo 
 
𝑖1 + 𝑖2 = 𝑖𝑒𝑞 
Equação 120 
 
𝑑𝑖1
𝑑𝑡
+
𝑑𝑖2
𝑑𝑡
=
𝑑𝑖𝑒𝑞
𝑑𝑡
 
Equação 121 
 
𝑣
𝐿1
+
𝑣
𝐿2
=
𝑣
𝐿𝑒𝑞
𝐿𝑒𝑞 = (
1
𝐿1
+
1
𝐿2
)
−1
 
Equação 122 
 
 
Figura 34: Ciruito representando indutores ligados em paralelo 
 
2.7.2 - Associação dos Indutores em serie: 
 
Na associação dos indutores em serie 
 
Imagen: Indutores ligados em serie. 
 
𝑉1 + 𝑉2 = 𝑉𝑒𝑞 
Equação 123 
 
48 
 
𝐿1
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝐿2
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= 𝐿𝑒𝑞
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 
Equação 124 
 
𝐿𝑒𝑞 = 𝐿1 + 𝐿2 
Equação 125 
 
 
2.8 - Principais tipos de indutores 
 
2.8.1 - Indutores com núcleo de ar 
 
São indutores que não utilizam núcleo de material ferromagnético. Possuem baixa indutância e são utilizadas 
em altas frequências, pois não apresentam as perdas de energia causadas pelo núcleo, as quais aumentamconsideravelmente com a frequência. 
 
 
Figura 35: Indutores de nucleo de ar 
 
2.8.2 - Indutores com núcleo ferromagnético 
 
Empregam materiais ferromagnéticos no núcleo, aumentando milhares de vezes o valor da impedância, devido 
ao aumento e concentração do campo magnético. Entretanto, apresentam diversos efeitos colaterais, tais 
como correntes de Foucault, histerese, saturação etc. 
 
 
Figura 36: Indutor com nucleo de ferromagnetico 
 
49 
 
2.8.3 - Indutores com núcleo laminado 
 
Muito utilizadas em transformadores e outros indutores que operam em baixa frequência. O núcleo dessas 
bobinas é feito de finas camadas de aço-silício, envolvidas por uma cobertura de verniz isolante. O verniz 
isolante previne a formação de correntes parasitas (Foucault) e a adição de silício ao aço reduz a histerese do 
material. 
 
 
Figura 37: Indutor com nucleo laminado. 
 
2.8.4 - Indutores com núcleo de ferrite 
 
Feitas de um tipo de cerâmica ferrimagnética não condutora, não apresentando correntes parasitas, além de 
baixa histerese. São empregas em altas frequências, onde o material apresenta maior rendimento. 
 
 
Figura 38: Indutor com nucleo de ferrite. 
2.8.5 - Indutores Toroidais 
 
Em indutores em forma de bastão, o campo magnético circula não só pelo núcleo, mas também pelo ar entre 
uma extremidade e outra da bobina. Isso causa grandes perdas, diminuindo o valor da indutância. Um núcleo 
toroidal é feito geralmente de ferrite e possui o formato de uma rosca, criando um caminho fechado para a 
circulação do campo magnético, aumentando, com isso, o valor da indutância. 
50 
 
 
Figura 39: Indutor com nucleo torroidal 
 
2.8.6 – Gyrator (indutor especial). 
 
O gyrator é um componente linear, passivo, sem perdas, com duas portas de rele eletrica elementais. 
Foi proposto em 1948 por Bernard D. H. Tellegen como um hipotetico quinto elemento linear depois 
de resistor, capacitor, indutor e transformador ideal. 
Ao contrario dos quatros elementos convencionais, o gyrator é um não recíproco ou seja, inverte as 
características de um componente elétrico ou de uma rede elétrica e, no caso de elementos lineares, 
também inverte a impedância. Por exemplo, faz um circuito capacitivo se comportar como indutivo, 
um circuito LC em série se comportar como um circuito LC em paralelo, um filtro passa-faixa se 
comportar como um filtro rejeita-faixa, entre outros. 
O gyrator permite a realização de rede com dois ou mais dispositivos, que não poderia ser realizado 
com apenas os quatros elementos convencionais. Em particular, o gyrator torna possivel a realização 
de rede de isoladores e circuladores. 
Embora o gyrator foi concebido como o quinto elemento linear, sua aprovação o torna em ambos, 
um transformador ideal e ou um capacitor ou um indutor redundante. Assim o numero de elementor 
linear necessario é na verdadde reduzido em três.Circuitor que funcionan comoum gyrator podem 
ser contruidos com transistores e amplificadores operacionais usando feedback. 
 
 
Figura 40: Representação esquematica do Gyrator. 
 
2.9 - Codigo de Cores para indutores 
 
O mesmo principior para o codigo de cores usado nos resistores vale para os indutores: 
51 
 
Onde a primeira e a segunda faixa corresponde aos valores, a terceira faixa representa o multilocador e a 
quarta faixa representa a tolerancia ou faixa de erro. 
 
 
Figura 41: representação esquematica de um indutor, suas faixas de identificação e a tabela com os valores 
correspondentes. 
 
2.10 - Transformadores 
 
Um transformador é um dispositivo destinado a transmitir energia elétrica ou potência elétrica de um circuito a 
outro, induzindo tensões, correntes e/ou de modificar os valores das impedâncias elétricas de um circuito 
elétrico. 
 
Inventado em 1831 por Michael Faraday, os transformadores são dispositivos que funcionam através da 
indução de corrente de acordo com os princípios do eletromagnetismo, ou seja, ele funciona baseado nos 
princípios eletromagnéticos da Lei de Faraday-Neumann-Lenz e da Lei de Lenz, onde se afirma que é possível 
criar uma corrente elétrica em um circuito uma vez que esse seja submetido a um campo magnético variável, e 
é por necessitar dessa variação no fluxo magnético que os transformadores só funcionam em corrente 
alternada. 
52 
 
 
Figura 42: Representação esquematica de um transformador constituido de duas bobinas sendo uma primaria 
e outra secundaria com numeros de espiras N1 e N2 Submetidas ao mesmo fluxo magnetico e acopladas por um 
nucleo de ferro silicio. 
 
𝜆 = 𝑁 ∗ Φ 
Equação 126 
 
𝑣1 =
𝑑𝜆
𝑑𝑡
= 𝑁1 ∗
𝑑Φ
𝑑𝑡
 
Equação 127 
 
𝑣2 =
𝑑𝜆
𝑑𝑡
= 𝑁2 ∗
𝑑Φ
𝑑𝑡
 
Equação 128 
 
Dividindo ambas as equações, obtemos: 
 
𝑣1
𝑣2
=
𝑁1 ∗
𝑑Φ
𝑑𝑡
𝑁2 ∗
𝑑Φ
𝑑𝑡
 
Equação 129 
 
Chegamos a relação do numero de espiras entre o primerio e o secundario 
 
𝑣1
𝑣2
=
𝑁1
𝑁2
 
Equação 130 
 
2.10.1 - Relação entre tensão e correntes no transformador 
 
Sabendo que a potencia do primario tem que ser igual a potencia do secundario podemos dizer que: 
 
𝑣1 ∗ 𝑖1 = 𝑉2 ∗ 𝑖2 
53 
 
Equação 131 
Logo: 
 
𝑣1
𝑣2
=
𝑖2
𝑖1
 
Equação 132 
E generalizando 
 
𝑣1
𝑣2
=
𝑖2
𝑖1
=
𝑁1
𝑁2
 
Equação 133 
 
2.11 - Circuito oscilador LC ou circuito tanque 
 
 
Figura 43: Representação esquematica de um circuito tanque (LC) e seu respectivo grafico de variação de 
tensão em função do tempo; 
 
Aplicando as leis de Kirchoff ao circuit, obtemos: 
 
𝑣𝑐 + 𝑣𝐿 = 𝑜 
Equação 134 
 
Aplicando as equações de tensão para cada componente, temos: 
 
1
𝑐
∗ ∫ 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝐿 ∗
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= 𝑜 
Equação 135 
 
Detivando ambos os lado 
 
1
𝑐
∗ 𝑖(𝑡) + 𝐿 ∗
𝑑2𝑖
𝑑2𝑡
= 0 
Equação 136 
54 
 
 
Dividindo ambos os membros por L 
 
𝑑2𝑖
𝑑2𝑡
+
1
𝐿𝑐
∗ 𝑖(𝑡) = 𝑜 
Equação 137 
 
Lembrando que 
1
𝐿𝑐
= 𝜛2 e aplicando 
𝑑2𝑖
𝑑2𝑡
+ 𝜛2 ∗ 𝑖(𝑡) = 𝑜 
Equação 138 
 
Resolvendo a equação diferencial checamos a equação caracteristica 
 
𝜆2 + 𝜛2 = 0 
Equação 139 
 
𝜆2 = −𝜛2 
Equação 140 
 
 Tomando a raiz em ambos os lados: 
 
𝜆 = ±√−𝜛2 
Equação 141 
 
𝜆 = ±√−1 ∗ √𝜛2 
Equação 142 
 
𝜆 = ±√−1 ∗ 𝜛 
Equação 143 
 
Mas √−1 = 𝑗 
 
𝜆 = ±𝐽 ∗ 𝜛 
Equação 144 
Nos levando a 
 
𝑖(𝑡) = 𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜛𝑡) + 𝐵 ∗ cos (𝜛𝑡) 
55 
 
Equação 145 
 
2.11.1 - Frequencia natural do circuito LC. 
 
Lembrando que 𝜛2 =
1
𝐿𝑐
 
 
𝜛 = √
1
𝐿𝑐
=
1
√𝐿𝑐
 
Equação 146 
 
Sendo que 𝜛 =
2𝜋
𝑡
= 2𝜋 ∗
1
𝑡
 , entretando 
1
𝑡
= 𝑓 levando a 𝜛 = 2𝜋 ∗ 𝑓, substituindo na equação anterior, 
obtemos: 
 
2𝜋 ∗ 𝑓 =
1
√𝐿𝑐
 
Equação 147 
Isolando a frequencia (f), temos: 
 
𝑓 =
1
2𝜋√𝐿𝑐
 
Equação 148 
 
2.11.2 - Aplicação do circuito RL (tanque) 
 
Os circuitos tanque são muito utilizados em osciladores do tipo duplo T que fornecem uma onda senoidal ou 
em transmissores de radio frequencia.Um bom exemplo são os circuitos tanques (RL) largamente utilizados em 
transmissores FM de baixo custo que pode ser visto na figura. 
 
Figura 44: circuito oscilador duplo T. 
 
56 
 
 
Figura 45: diagrama esquematico de um transmissor FM de baixo custo. 
 
2.12 - Filtros com capacitores e indutores 
 
Existem diversas configurações práticas de filtros usando capacitores e indutores. 
O número de capacitores e indutores usados num filtro, assim como sua disposiçãodeterminam o seu modo de 
ação. 
Esse modo normalmente é expresso pela forma como ele atenua as freqüências a partir do ponto em que ele 
deve fazer isso. Essa atenuação é medida em "dB por oitava", ou seja, em quantos dB (decibéis) é reduzida a 
intensidade do sinal para cada aumento de 1/8 do valor da freqüência. 
Os filtros mais simples possuem poucas seções, ou seja, conjuntos básicos de capacitores e indutores, 
enquanto que os mais elaborados podem ter muitas seções. 
Damos a seguir alguns tipos práticos de filtros que podem ser encontrados com freqüência nos equipamentos 
eletrônicos comuns: 
 
2.12.1 - Filtro Passa-Baixas: 
 
Existem 3 tipos de filtros simples destinados a passagem de correntes de baixas frequencias. 
 
O primeiro (Figura 46) é denominado “filtro T”, sendo formado por dois indutores e um capacitor. 
Os indutores são ligados em série, de modo a oferecer pequena oposição à passagem dos sinais de baixas 
freqüências e maior oposição à passagem das altas freqüências. 
O capacitor é ligado em paralelo de modo a curto-circuitar os sinais de altas freqüências que ainda conseguem 
passar pelo primeiro indutor. 
 
 
57 
 
Figura 46: Filtro T passa-baixas. 
 
O segundo (Figura 47) é um filtro mais simples de "meia secção" usando apenas um indutor e um capacitor. 
Esse filtro também é chamado "L" pela semelhança com essa letra invertida. 
 
Seu funcionamento é semelhante ao filtro anterior: o indutor oferece forte oposição à passagem dos sinais de 
freqüências mais altas enquanto que o capacitor curto-circuita os sinais que ainda possam passar. 
 
 
Figura 47: Filtro L passa-baixas. 
 
O terceiro (Figura 48) um filtro 𝜋 (PI) que utiliza dois capacitores e um indutor. 
 
Neste circuito, o primeiro capacitor funciona como um curto-circuito para os sinais de alta freqüência. O 
indutor ainda dificulta a passagem dos que não forem curto-circuitados e o segundo capacitor curto-circuita os 
sinais que ainda conseguem passar. 
 
Esse tipo de filtro é muito usado em fontes de alimentação para eliminar as ondulações que restam após o 
processo de retificação. 
 
Nos transmissores, esse tipo de filtro é usado para eliminar harmônicas e sinais espúrios. 
 
 
Figura 48: Filtro 𝜋 (𝑃𝐼) passa-baixas. 
 
2.12.2 - Filtros Passa-Altas: 
 
Assim como os filtros passa-baixa também existem os tipos de filtros simples destinados a passagem de 
correntes de altas frequencias. 
58 
 
 
O primeiro (Figura 49) é um circuito T em que temos dois capacitores e um indutor. Neste circuito, os 
capacitores dificultam a passagem dos sinais de baixas freqüências, enquanto o indutor coloca em curto os 
sinais de baixas freqüências que ainda conseguem passar. 
 
 
Figura 49: Filtro T passa-altas. 
 
O segundo (Figura 50) é um filtro em "L" em que usamos um capacitor e um indutor. 
 
Nele, os sinais de alta freqüência passam com facilidade pelo capacitor e não passam pelo indutor. 
 
 
Figura 50: Filtro em L passa-altas. 
 
O terceiro (Figura 51) um filtro em PI, com dois indutores e um capacitor. 
 
Figura 51: filtro 𝜋 “PI” passa-altas 
 
As configurações que mostramos podem ser ampliadas com a repetição de diversas secções iguais de modo a 
aumentar seus efeitos. 
59 
 
A ação de um filtro é medida em termos de atenuação do sinal a partir da freqüência para o qual foi calculado. 
Assim, um filtro típico pode ter atenuações de 6 dB por oitava, 12 dB por oitava, etc, dependendo do modo 
como são construídos. 
A atenuação do sinal para um filtro passa-baixas, por exemplo, expressa em dB por oitava (decibéis por oitava), 
indica quanto o sinal diminui de intensidade na saída do filtro quando a freqüência aumenta 1/8 de seu valor a 
partir daquele para o qual o filtro é calculado. 
Por exemplo, se elevarmos de 2 000 para 2 250 Hz (1/8 de 2 000 é 250), a intensidade do sinal diminui de 12 dB 
para um filtro cuja atenuação é de 12 dB por oitava, conforme mostra a curva da figura 52. 
 
 
Figura 52: Representação grafica de uma frequencia em um filtro passa-baixa. 
 
 
 
 
 
60 
 
 
 
61 
 
Conclusão. 
 
Concluimos com este trabalho que em poucas palavras o capacitor tem capacidade de armazenas cargas graças 
a sua composição onde suas placas são separadas por um dieletrico e carregadas criando assim um 
eletromagnetico, serve para armazenar carga tendo essa para corrente continua e para corrente alternada onde 
a inversão da tensão faz com que ele não consiga se carregar e sempre fique carregando e descarregando 
servindo assim como um resistor, teve sua origem graças a o cientista e juiz alemão Ewald Georg Von 
Kleist, e os cientistas holandes Pieter Van Musschenbroek e Andreas Cunaeus que descobriram mutuamente o jarro de leyden 
que foi o precursor do capacitor suas aplicações são vastas variando desde fonte de alimentação até filtros de frequencia. 
Já em relação ao indutor podemos dizer que sua origem foi graças a Hans Christian Ørsted um físico e químico dinamarquês 
com o experimento da bussola e do fio, quando energizado com corrente continua ele cria um campo magnetico que pode 
induzir outras componentes e se for induzido por um campo magnetico pulsante ele é capaz de gera carga, quando 
energizado com corrente alternada ele serve como uma ressistencia uma vez que quando o seu campo magnetico inverte 
quando se desliga a alimentação ou invertendo ela, suas aplicações variam desde circuitos ressonantes, transformadores até 
filtros de frequencia. 
Ambos os componentes são utilizados largamente, podemos dizer também que no futuro estes componentes estarão cada 
vez menores e com rendimento melhor. 
62 
 
 
 
63 
 
 
 
 
 
Referencias. 
 
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Edgard Blucher, 1997. 
 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. Eletromagnetismo. 3. ed. Rio de Janeiro: Ltc - Livros 
Técnicos e Científicos, 2007. 
 
CURSO Básico de Física - Vanderlei Bagnato - IFSC USP. São Carlos: Ifsc Usp, 2002. P&B. 
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=NwnVV1wwfQA&list=PLW5Hta-
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MESALVA! RLC. Porto Alegre: Me Salva, 2014. P&B. Disponível em: 
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BRAGA, Newton C.. Códigos de Componentes,Código de Capacitores, Indutores, 
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<http://www.newtoncbraga.com.br/index.php?option=com_content&view=article&id=376:proj
etando-e-montando-fontes-sem-transformador-art009&catid=54:dicas&Itemid=41>. Acesso 
em: 13 set. 2015. 
 
WIKIPEDIA. Leyden jar, capacitor, indutor, Varicap, Hans Christian Ørsted. Disponível 
em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Wikipédia:Página_principal>. Acesso em: 06 set. 15. 
 
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