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ÁLGEBRA LINEAR LISTA DE EXERCÍCIOS B 2º SEMESTRE Todas as respostas e justificativas de cada uma das questões estão a cargo do aluno, este deve estudar as definições dadas em sala de aula através das referências bibliográficas da disciplina e/ou verificar as anotações pessoais das aulas para respaldar suas respostas e justificativas. O gabarito está disponível para auxiliar em algumas respostas e o aluno deve apenas consulta-lo após tentar resolver as questões, dessa forma construirá um conhecimento mais sólido e seguro. A responsabilidade de resolver a lista de exercícios é do aluno, cabe a este estudar arduamente para responder cada uma das questões aqui propostas, eventualmente, o professor poderá responder algumas questões dessa lista a fim de consolidar o conteúdo ministrado em sala. André Gustavo Lista de Exercícios de Álgebra Linear Obs. Esta lista tem como pré-requisito o conteúdo abordado na lista A de exercícios, bem como o conhecimento básico de matrizes e determinantes. Os métodos para achar a solução de um sistema (escalonamento/ Gauss-Jordan) e discussão de um sistema (Teorema do posto) são pressupostos importantes para os temas que serão tratados aqui, dessa forma, torna-se de inteira responsabilidade do aluno, revisar os temas apresentados anteriormente para responder as questões desta lista. 1) Dados os subespaços abaixo, verifique se U + V é soma direta. a) W = ³; U = {(x, y, z); x = y} e V = {(x, y, z); z = 0}. b) W = ³; U = {(x, y, z); x = 0} e V = {(x, y, z); y = z = 0}. 2) Escreva, se possível, cada vetor v abaixo como combinação linear dos elementos do conjunto S, justifique a resposta. a) ( ) {( ) ( ) ( ) ( )} b) ( ) {( ) ( )} c) ( ) {( ) ( )} d) ( ) {( ) ( ) ( )} 3) Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços: a) W = {(x, y, z) ³; x + z e x - 2y = 0} b) W = {(x, y, z) ³; x + 2y - 3z = 0} c) {( ) ( ) } d) {( ) ( ) } 4) Seja W = ³; U = {(x, y, z); x = y} e V = {(x, y, z); z = 0}. Determine um sistema de geradores de U, V, U + V e U V. Todas as respostas e justificativas de cada uma das questões estão a cargo do aluno, este deve estudar as definições dadas em sala de aula através das referências bibliográficas da disciplina e/ou verificar as anotações pessoais das aulas para respaldar suas respostas e justificativas. O gabarito está disponível para auxiliar em algumas respostas e o aluno deve apenas consulta-lo após tentar resolver as questões, dessa forma construirá um conhecimento mais sólido e seguro. A responsabilidade de resolver a lista de exercícios é do aluno, cabe a este estudar arduamente para responder cada uma das questões aqui propostas, eventualmente, o professor poderá responder algumas questões dessa lista a fim de consolidar o conteúdo ministrado em sala. André Gustavo 5) Encontre as equações lineares homogêneas que caracterizam os seguintes subespaços: a) W = [(-2, 1,0), (3, 0, 1), (-1, 2, 1)] ³ b) W = [(2, 1,-2), (4, -2, -4)] ³ c) W = [( ) ( ) ( ) ] ( ) d) W = [(2, -2), (-1,1)] ² 6) Dados U = [(1, 2, 1), (-1, 0, 4)] e W =[(-1, 1, 0), (1 ,2, -1)] subespaços do ³, Determine suas equações lineares homogêneas e o gerador de U W. 7) Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD, justifique a resposta: a) {(1, -1, 3), (5, 2, 4), (4, 1, 7)} b) {(1, 2, -3, 1), (2, 3, -7, 1), (1,4, 1, 5), (0, 3, 5, 5)} c) {( ) ( ) ( ) ( )} d) {( ) ( ) ( ) ( )} e) { } f) { } 8) Dado W = {(-1,1,-3,4,1), (1,0,-1,2,-3), (1,-2,5,2,7), (2,-1,1,m,-1)} tal que W = 5; determine m real para que ele seja linearmente dependente. Justifique sua resposta. 9) Determine k de modo que o conjunto {(1,0,k),(1,1,k),(1,k,k²)} seja LI. Justifique sua resposta. Todas as respostas e justificativas de cada uma das questões estão a cargo do aluno, este deve estudar as definições dadas em sala de aula através das referências bibliográficas da disciplina e/ou verificar as anotações pessoais das aulas para respaldar suas respostas e justificativas. O gabarito está disponível para auxiliar em algumas respostas e o aluno deve apenas consulta-lo após tentar resolver as questões, dessa forma construirá um conhecimento mais sólido e seguro. A responsabilidade de resolver a lista de exercícios é do aluno, cabe a este estudar arduamente para responder cada uma das questões aqui propostas, eventualmente, o professor poderá responder algumas questões dessa lista a fim de consolidar o conteúdo ministrado em sala. André Gustavo 10) Mostrar que o conjunto de vetores {u, v, w} contido em um espaço vetorial V é linearmente independente, então o conjunto {u + v, v + w, u + w} também será linearmente independente. 11) Dados os conjuntos de vetores abaixo, verifique (usando a definição) quais deles formam uma base dos seus respectivos espaços vetoriais. Justifique sua resposta. a) { } ( ) b) { } ( ) c) {( ) ( ) ( ) ( )} ( ) d) {(1, 1, -1), (2, -1, 0), (3, 2, 0)} ³ e) {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 3), (0, 0, 0, 5)} 4 f) {(0,- 1, 2), (2, 1, 3), (-1, 0, 1), (4, -1, -2)} ³ 12) Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais: a) W = [(1, 0,0), (0, 5, -2), (-1, 0, 2), (0, 5, 0)] ³ b) W = [( ) ( ) ( ) ( )] ( ) c) W = {( ) ( ) } ( ) 13) Dados U = {(x, y, z, w) 4; x = y = t} e V = {(x, y, z, w) 4; x = z = 0}, subespaços vetoriais do 4, determine uma base e a dimensão dos subespaços vetoriais indicados abaixo justificando a resposta: a) U b) V c) U + V d) U V Todas as respostas e justificativas de cada uma das questões estão a cargo do aluno, este deve estudar as definições dadas em sala de aula através das referências bibliográficas da disciplina e/ou verificar as anotações pessoais das aulas para respaldar suas respostas e justificativas. O gabarito está disponível para auxiliar em algumas respostas e o aluno deve apenas consulta-lo após tentar resolver as questões, dessa forma construirá um conhecimento mais sólido e seguro. A responsabilidade de resolver a lista de exercícios é do aluno, cabe a este estudar arduamente para responder cada uma das questões aqui propostas, eventualmente, o professor poderá responder algumas questões dessa lista a fim de consolidar o conteúdo ministrado em sala. André Gustavo 14) Determine, se possível, uma base que contenha os conjuntos abaixo. Justifique a resposta. a) {(1,1,0,0), (2,1,3,0)} 4 b) {(2,2,-2), (-3,-3,3)} ³ c) {( ) ( ) ( )} ( ) 15) Dê, se possível,, exemplos de conjuntos pedidos abaixo. Caso seja impossível, justifique sua resposta. a) Um conjunto LI de 3 vetores do ². b) Um conjunto LI de 2 vetores que geram o ³. c) Um conjunto LI do ³ que contenha o conjunto {(1,2,3),(0,0,0)}. Todas as respostas e justificativas de cada uma das questões estão a cargo do aluno, este deve estudar as definições dadas em sala de aula através das referências bibliográficas da disciplina e/ou verificar as anotações pessoais das aulas para respaldar suas respostas e justificativas. O gabarito está disponível para auxiliar em algumas respostas e o aluno deve apenas consulta-lo após tentar resolver as questões, dessa forma construirá um conhecimento mais sólido e seguro. A responsabilidade de resolver alista de exercícios é do aluno, cabe a este estudar arduamente para responder cada uma das questões aqui propostas, eventualmente, o professor poderá responder algumas questões dessa lista a fim de consolidar o conteúdo ministrado em sala. André Gustavo ---------- GABARITO ------------- 1) a) não b) sim 2) a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) c) Não é possível d) ( ) ( ) ( ) ( ) 3) a) {(2, 1, -2)} b) {(-2, 1, 0), (3, 0, 1)} c) {( ) ( )} d) {( ) ( )} 4) U = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)] , V = [(1, 0, 0), (0, 1, 0)], U + V = [(1, 1, 0), (0, 0, 1),(1, 0, 0), (0, 1, 0)] e U V = [(1, 1, 0)] 5) a) W = {(x, y, z) ³; x + 2y - 3z = 0} b) W = {(x, y, z) ³; x +z = 0} c) {( ) ( ) } d) W = {(x, y) ²; x + y = 0} 6) SUBESPAÇO U: U = {(x, y, z) ³; 8x - 5y + 2z = 0} SUBESPAÇO W: W= {(x, y, z) ³; x + y + 3z = 0} GERADOR DE U W: U W = ( ) 7) a) LI b) LD c) LD d) LI e) LD f) LI 8) m = -4 9) k 0 e k 1 10) Demonstração a cargo do aluno Todas as respostas e justificativas de cada uma das questões estão a cargo do aluno, este deve estudar as definições dadas em sala de aula através das referências bibliográficas da disciplina e/ou verificar as anotações pessoais das aulas para respaldar suas respostas e justificativas. O gabarito está disponível para auxiliar em algumas respostas e o aluno deve apenas consulta-lo após tentar resolver as questões, dessa forma construirá um conhecimento mais sólido e seguro. A responsabilidade de resolver a lista de exercícios é do aluno, cabe a este estudar arduamente para responder cada uma das questões aqui propostas, eventualmente, o professor poderá responder algumas questões dessa lista a fim de consolidar o conteúdo ministrado em sala. André Gustavo 11) a) não é base b) é Base c) é Base d) é base e) é base f) não é base 12) a) {(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)}, dim(W) = 3 b) {( ) ( ) ( )}, dim(W) = 3 c) {( ) ( ) ( )}, dim(W) = 3 13) a) Uma base e a dimensão de U é {(1,1,0,1), (0,0,1,0)} e dim(U) = 2 b) Uma base e a dimensão de V é {(1,0,0,0), (0,0,0,1)} e dim(V) = 2 c) Uma base e a dimensão de U + V é {(1,1,0,1), (0,0,1,0), (1,0,0,0), (0,0,0,1)} e dim(U) = 4 d) i = (x, y, z, w) U V i = (0,0,0,0) , logo dim (U V) = 0 14) a) {(1,1,0,0), (2,1,3,0), (0,0, x, y), (0,0,0, z)} b) Impossível, pois o conjunto é LD c) {( ) ( ) ( ) ( )} 15) a) Impossível b) Impossível c) Impossível
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