Matematica Financeira - Apontamentos (Rascunho)

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Matemática Financeira 
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A NECESSIDADE DE ESTUDO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Todos os dias nos deparamos com as seguintes palavras: taxa de juros, capital, desconto, 
etc. Estes conceitos surgiram quando o Homem percebeu a existência de uma estreita 
relação entre o dinheiro e o tempo. 
 
Nos antigos costumes, os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras 
conveniências emprestadas. Muitas das práticas existentes originaram-se dos antigos 
costumes de empréstimo e devolução de sementes e de outros produtos agrícolas. O 
primeiro tipo de troca comercial foi o escambo, fórmula segundo a qual se trocavam 
directamente mercadorias correspondentes a matérias-primas ou a objectos de grande 
necessidade. A primeira unidade de escambo admitida na Grécia foi o boi. Em outros 
lugares era usado colares de pérolas ou de conchas. Após certo período, começou-se por 
trocar faixas de tecido por animais ou objectos. O tecido era a moeda. No Egipto, a 
moeda era o metal (cobre, bronze e, por vezes, ouro ou prata). Desse modo, as 
mercadorias passaram a ser trocadas em função de seu "justo preço". 
 
Durante a expansão do comércio, assim como durante as guerras, as moedas dos 
diferentes países eram trocadas. Com o passar do tempo, alguns comerciantes ficaram 
conhecendo muito bem as moedas estrangeiras e passaram a acumulá-las em grandes 
quantidades. Tem início a actividade de guardar e emprestar dinheiro. Com isto, os 
bancos são criados. O primeiro banco privado foi fundado pelo Duque Vitali em 1157, 
em Veneza. Após este, nos séculos XIII, XIV e XV toda uma rede bancária foi criada. 
Com a criação dos bancos a Matemática Financeira evoluiu e passou a estar mais 
presente na vida das pessoas. 
 
Hoje ela além de fazer parte de nosso quotidiano, tornou-se uma importante ferramenta 
para todos, já que auxilia na resolução de problemas que envolvem o cálculo do valor de 
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prestações, no pagamento de impostos, rendimento de poupanças e outros. Para tanto, é 
de fundamental importância o entendimento de alguns termos e conceitos. 
 
Formas de Aplicação ou Destino dos Rendimentos 
 
O rendimento que as pessoas dispõem pode ser destinado para o consumo ou aforro 
(poupança). 
 
O consumo consiste na compra de bens para o consumo final. 
 
O aforro consiste em manter na sua forma líquida ou colocar a render juros. A parte de 
rendimento que é mantida na sua forma líquida é designada por capital monetário e o 
processo de manter o capital a render juros é designada por investimento financeiro e o 
rendimento colocado a render juros por capital financeiro. 
 
O capital monetário ou rendimento mantido na sua forma líquida torna-se improdutivo, 
isto é, não produz rendimento adicional e o objectivo principal deste é suportar as 
despesas correntes. Esse processo de manter o rendimento improdutivo é designado por 
entesouramento. 
 
Objecto de Estudo 
 
O objecto de estudo da Matemática Financeira é o tratamento matemático do juro, as suas 
várias aplicações. 
 
O juro é o preço do capital financeiro, ou seja, é o custo pela utilização de recursos 
alheios. 
 
 
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Processo de Capitalização 
 
Consiste em fazer render um determinado capital ao fim de um determinado período. Um 
processo de capitalização é composto por vários sub-processos de capitalização também 
designados por períodos de capitalização (ou períodos de formação de juro). 
 
Em cada sub-processo de capitalização (período de capitalização), encontramos o capital 
inicial periódico, juro periódico e o capital final periódico. 
 
O capital inicial periódico é o rendimento colocado a render juros; o juro periódico é o 
rendimento produzido num determinado período e o capital final periódico é a soma do 
capital inicial periódico e o juro periódico. 
 
Se considerarmos CIK como capital inicial do período K e JK o juro do período K e CFK o 
capital final do período, então: 
 
CFK = CIK + JK 
Onde: K = 1,2,3....n 
 
Casos notáveis de Processos de Capitalização 
 
O juro periódico produzido pode manter-se no processo ou retirado do processo, daí que 
existem dois casos notáveis: 
− 1º- Os juros periódicos saem do processo- aqui o capital inicial periódico 
permanece o mesmo e o juro periódico será constante se a taxa de juro for a 
mesma ao longo do processo. Este tipo de processo é designado por processo de 
capitalização simples. 
− 2º- Os juros periódicos permanecem no processo- aqui os juros periódicos 
permanecem no processo e tem efeitos na produção de outros juros. O capital 
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inicial periódico será composto por capital mais juro. Este tipo de processo é 
designado por processo de capitalização composto. Os capitais iniciais periódicos 
são diferentes e crescentes e os juros periódicos também crescentes. 
 
Função Juro 
 
Refere-se a correspondência existente entre o juro e os elementos capital, tempo e taxa de 
juro. Indica as relações matemáticas existentes entre o juro e capital, tempo e taxa de 
juro. 
 
Juro como função de Capital 
 
Para cada variação do capital, mantendo constante o tempo e a taxa de juro, 
corresponderá a um determinado valor de juro. 
J = f (C) juro como função do capital 
 
Juro com função do Tempo 
 
Para cada variação do tempo, mantendo constante o capital e a taxa de juro, 
corresponderá um determinado valor de juro. 
J = f (T) juro como função do tempo 
 
Juro como função da taxa de juro 
 
Para cada variação da taxa de juro, mantendo constante o capital e o tempo; 
corresponderá a um determinado valor de juro. 
J = f (r) juro como função da taxa de juro 
 
 
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Juro com função de capital, tempo e taxa de juro 
 
Para cada variação simultânea do capital, tempo e a taxa de juro; corresponderá a um 
determinado valor de juro. 
 
J = f (C; T; r) 
 
Condições Básicas para a existência do juro 
 
Para que exista o juro é necessário que a existência de Capital, Tempo e Taxa de Juro; 
esses valores devem ser positivos e maiores que zero. 
 
Regras da Matemática Financeira1 
 
1. É uma impossibilidade em Matemática Financeira a presença de capital, presença 
de tempo e ausência de juro. A ausência de capital e tempo e presença de juro é 
outra impossibilidade. 
2. Qualquer operação matemática sobre 2 ou mais capitais requer a sua 
homogeneização no tempo. Ou seja, C1 + C2; C1 – C2; C1 = C2, etc, só pode fazer-
se se e só se esses capitais estiverem referidos ao mesmo momento (ou seja, 
quando esses capitais estiverem localizados no mesmo momento). 
3. O juro em cada período de capitalização é igual ao capital no início do período, 
multiplicado pela taxa de juro a vigorar nesseperíodo. 
 
 
 
 
 
1
 A Matemática Financeira rejeita certas práticas, mas há que reconhecer que a liberdade negocial entre 
partes, devidamente esclarecidas, é sempre mais forte que qualquer imperativo da matemática. 
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REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
 
- Regime de Capitalização Simples; 
- Regime de Capitalização Composto; 
- Regime de Capitalização Dito Simples; 
- Regime Misto. 
 
Regime de Capitalização simples – Características 
 
- O juro produzido por período sai do processo de capitalização e como 
consequência o capital mantém-se constante em cada período de capitalização e 
igual ao investido no início do processo. 
 
CI1 = CI2 = CI3 = CI4 = ...... = CIn 
 
- Em cada período de capitalização, o juro é constante e incide sobre o capital 
investido no inicio do processo: 
 
J1 = J2 = J3 = J4 = ..... = Jn= CI*r 
 
- O capital final do processo é igual ao capital inicial mais o juro final do processo 
(ou seja, o juro do último período): 
 
CFn = CI + JF, onde JF = juro do último período 
 
Como o juro periódico é igual em todos os períodos: 
 
JF = JK = CI*r 
 
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Então o capital final será dado pela seguinte fórmula: 
 
CFn = CI + CI*r → CF = CI (1+r) 
 
EXEMPLO 1: Um capital de MT 100.000,00 foi colocado durante 5 anos a render juros 
a uma taxa de juro anual de 20%, com os juros pagos no final de cada ano. Determine: 
 
a) O montante recebido no 1 e 4 ano; 
b) O montante recebido no 5 ano. 
c) O juro acumulado produzido ao longo do processo. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Como os juros são pagos no final de cada ano, então estamos perante o regime de 
capitalização simples, pois os juros são do processo de capitalização periodicamente, ou 
seja, anualmente. 
 
a) O montante recebido em cada período de capitalização é o juro produzido 
nesse período. Assim sendo, é necessário calcular o juro do primeiro e do 
quarto ano: 
J1 =J4= CI*i=100.000*20%=20.000 
b) O montante recebido no 5º ano (último período/ano) é o capital final, ou seja: 
CF = CI (1+r)=100.000 (1+20%)=120.000 
c) Não é possível determinar o juro acumulado porque este regime não acumula. 
 
 
 
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Regime de Capitalização composto – Características 
 
- Neste regime os juros não saem do processo de capitalização, mantém-se no 
processo e constituem uma nova parcela para efeitos de cálculo do juro do 
período seguinte: 
 
CIK = CFK-1 (o capital inicial do período é igual ao capital final do período 
anterior) 
 
- O juro produzido em qualquer período é diferente do juro produzido no período 
anterior: 
 
J1 ≠ J2 ≠ J3 ≠ ........ ≠ Jn 
 
- O juro periódico incide sobre o capital em dívida no início desse período: 
 
JK = CIK * r 
 
- Os juros produzidos ao longo do processo são entregues juntamente com o capital 
inicial no final do processo, isto é, o capital final do processo é igual ao capital 
inicial + o juro total do processo. 
 
CFn = CI + JT 
 
- O juro total é igual a diferença entre o capital final do processo e o capital inicial 
do processo: 
 
JT = CFn - CI 
 
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- A fórmula do capital final obtém-se da seguinte forma (sendo a taxa de juro igual 
em todo o processo): 
 
CFK = CIK + JK 
 
Se K=1 → CF1 = CI1 + J1 e como J1 = CI1*r → CF1 = CI1 + CI1*r = CI1(1+r)1 
 
Se K=2 → CF2 = CI2 + J2 e como CI2 = CF1 → CF2 = CI2 + CI2*r = CI2(1+r) → 
………...→ CF2 = CI1(1+r)(1+r) = CI1 (1+r)2 
 
Se K=3 → CF3 = CI3 + J3 e como CI3 = CF2 → CF3 = CI3 + CI3*r = CI3(1+r) → 
………...→ CF3 = CI1(1+r)2(1+r) = CI1 (1+r)3 
 
Se K=n → → → CFn = CI1 (1+r)n → → → Cn = C0(1+r)n 
 
Onde: CI1=C0 → capital inicial 
 CFn=Cn → capital acumulado 
(1+r)n → factor de capitalização composto porque permite o incremento do capital, 
período por período. 
 
- O capital final do processo é composto por 3 parcelas, o capital inicialmente 
investido, o juro produzido com base no capital inicialmente investido e o juro 
produzido pelo juro capitalizado (juro do juro). 
 
JT = C0 (1+r)n – C0 = C0 [(1+r)n – 1] 
 
- O juro do juro é igual ao capital final menos capital inicial e menos a soma dos 
juros simples produzidos em cada período ou seja JJ = Cn – C0 – n * C0 * r. 
 
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EXEMPLO 1: Num empréstimo de MT 200.000,00, pelo prazo de 6 anos, foi acordada 
uma taxa de juro anual de 15%, em regime de capitalização composto. Determine: 
 
a) O juro produzido no 1 e 3 ano; 
b) O juro acumulado no final do empréstimo; 
c) O capital acumulado no final do empréstimo. 
 
RESULUÇÃO: Dados: Co = 200.000, n = 6, i = 15% composto 
a) Jk = CIk*i = CFk-1*i ⇒ J1 = CI1*i = 200.000*15% = 30.000 
J3 = CI3*i = CF2*i = Co(1+i)2*i = 200.000(1+15%)2*15% = 39.675 
O juro do período k é igual ao capital final do período anterior (k-1) multiplicada pela 
taxa de juro do período k. 
b) JT = Co [(1+i)n -1] = 200.000 [(1+15%)6 -1] = 262.612,1531 
O juro acumulado no final do empréstimo é igual ao capital acumulado no final (Cn) 
subtraída pelo capital no inicio do empréstimo (Co). 
c) CF = Co + JT = 200.000+262.612,1531 = 462.612,1531 ou 
CF = Co(1+i)n = 200.000(1+15%)6 = 462.612,1531 
O capital final é igual ao capital inicial adicionado ao juro acumulado no final do 
empréstimo. 
 
EXEMPLO 2: Um indivíduo depositou, por 10 anos, MT 40.000,00 numa instituição de 
poupança que remunerava a taxa anual composta de 15%. Sabendo que passados 4 anos, 
aquela taxa foi alterada para 20% e a partir do 7 ano para 25%, afectando então todo o 
capital acumulado. Determine: 
 
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a) O montante recebido no final da aplicação; 
b) O juro produzido no 5 ano; 
c) O juro produzido no 8 ano. 
 
RESULUÇÃO: Dados: Co = 40.000, i1 = 15%, n = 10, i2 = 20%, i3 = 25% 
a) Neste exercício, como estamos na presença de várias taxas de juros, 
primeiro devemos determinar o valor acumulado nos primeiros 4 anos 
em que vigora a taxa de 15%: CF4 = Co(1+15%)4; 
Depois temos que calcular o valor acumulado nos 2 anos seguintes em 
que vigora a taxa de 20%. No entanto, valor inicial deste período (2 
anos) é igual ao valor final dos primeiros 4 anos, assim: CI = 
Co(1+15%)4. 
CF6 = CI(1+20)2 = Co(1+15%)4(1+20%)2 
Por fim, temos que calcular o valoracumulados dos últimos 4 anos, 
em que vigora a taxa de 25%. O valor inicial deste último período (4 
anos) é igual ao valor final dos primeiros 6 anos, assim CI = 
Co(1+15%)4(1+20%)2. 
CF10 = CI(1+25%)4 = Co(1+15%)4(1+20%)2(1+25%)4 = 
40.000(1,15)4(1,2)2(1,25)4 = 245.954,0039 
b) J5 = CF4*i2 = 40.000(1,15)4*20% = 13.992,05 
c) J8 = CF7*i3 = 40.000(1,15)4(1,2)2(1,25)*25% = 31.482,1125 
 
 
Regime de capitalização “ dito simples” – características 
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É um processo convencional, sem sustentação teórica, e que mais se pratica dada a 
facilidade de entendimento, mesmo por pessoas pouco versadas em matemática 
financeira. Contém em si características que são relativas ao regime simples e outras que 
são relativas ao regime composto. 
 
- O capital inicial de qualquer período é igual ao capital final do período anterior: 
CIK = CFK-1 (características do regime composto) 
- O juro de qualquer período incide sobre o capital investido no inicio do processo: 
JK = C0 * r (características do regime simples), ferindo a 3ª regra da matemática 
financeira já referida, fazendo com que não se produzam os juros de juros 
- O juro total do processo é igual a pura soma dos juros produzidos ao longo do 
processo: JT = n * C0 * r 
- O capital final do processo é igual ao capital inicial mais o juro total: CFn = Cn = 
C0 + n * C0 * r = C0 (1 + n * r) 
- Quando são dadas várias taxas ao longo do processo de capitalização: CFn = Cn = 
C0 + J1 + J2 + J3 + Jn = C0 + C0*r1 + C0*r2 + C0*r3 +...+ C0*rn = 
= C0 (1 + r1 + r2 + r3 +....+ rn) 
 
EXEMPLO: Um capital de MT 100.000,00 foi colocado durante 5 anos a render juros a 
uma taxa de juro anual de 20%, com os juros (sem juros de juros) pagos no final da 
aplicação. Determine: 
 
a) O montante recebido no 1 e 4 ano; 
b) O montante recebido no 5 ano. 
c) O juro acumulado produzido ao longo do processo. 
d) Os juros de juros produzidos ao longo do processo. 
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e) O montante recebido no 5 ano, considerando que no primeiro ano vigorou 
a taxa de 20%, no segundo 21%, terceiro 22%, quarto 24% e no quinto 
ano 25%. 
RESOLUÇÃO: 
 
a) Não é possível determinar o montante recebido periodicamente uma vez 
que neste regime os juros são acumulados e entregues no final do 
processo. 
b) O montante recebido no 5 ano (último período) é o capital final, ou seja: 
CF = CI (1+n*r)=100.000 (1+5*20%)=200.000. 
c) JT = n * C0 * r = 5*100.000*20%=100.000,00. 
d) Neste regime não há lugar a produção de juros de juros. 
e) CF= C0 (1 + r1 + r2 + r3+..+rn)=100.000*(1+21%+22%+23%+24%+25%)= 
 = 215.000 
 
Regime misto – Características 
 
É uma situação em que ou funcionam os regimes composto e simples em simultâneo ou 
funcionam os regimes dito simples e simples em simultâneo. Implica que uma parte de 
juros seja retirado do processo e o remanescente seja recapitalizado ou simplesmente 
acumulado. 
 
 
 
 
 
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Duas hipóteses podem acontecer neste tipo de regime: 
 
1. Tratar-se de levantamento de uma parte de juros e a parte remanescente ser 
recapitalizado ou acumulado; o processo continuará até ao penúltimo período 
e sendo que no último período levantar-se-á a totalidade dos juros juntamente 
com o montante acumulado no início desse último período. 
 
2. Tratar-se de pagamento de imposto pela retenção na fonte – implica que 
apenas serão recapitalizados ou acumulados uma parte de juros até ao final do 
processo de capitalização. 
 
Se considerarmos: 
 
α – percentagem dos juros pagos/retirados (que saem do processo); e 
β – percentagem dos juros remanescentes (retidos/mantidos no processo) 
α + β = 1 ou α + β = 100% 
 
Fórmulas para a 1ª Hipótese: 
 
Regime Composto e Simples em simultâneo 
Cn = C0 (1 + β*r)n-1*(1+r) Capital Final 
JK = C0 (1 + β*r)k-1* r Juro Periódico Produzido 
JKα = α * C0 (1 + β*r)k-1* r Juro Periódico Pago 
JKβ = β * C0 (1 + β*r)k-1* r Juro Periódico Retido 
 
 
 
 
 
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Regime Dito Simples e Simples em simultâneo 
Cn = C0 [1 + (n-1)β* r](1+r) Capital Final 
JK = C0*r Juro Periódico Produzido 
JKα= C0*r*α Juro Periódico Pago 
JKβ= C0*r*β Juro Periódico Retido 
 
Fórmulas para a 2ª Hipótese: 
 
Nesta hipótese apenas a fórmula de cálculo do capital é que muda, o resto mantém 
inalterado, ou seja: 
 
Cn = C0 (1+ β*r)n para o Regime Composto e Simples 
Cn = C0 (1 + nβ* r) para o Regime Dito Simples e Simples 
 
EXEMPLO: Num empréstimo de MT 200.000,00 pelo prazo de 6 anos, foi acordada 
uma taxa de juro anual de 15%, em regime de capitalização composto. Considerando que 
30% dos juros periódicos saem do processo, sendo a restante capitalizada, determine: 
 
a) O juro produzido no 1 e 4 ano; 
b) O juro pago no 1 e 4 ano; 
c) capital acumulado no final do empréstimo 
 
 
RESOLUÇÃO: Dados: Co = 200.000, n = 6, i = 15%, α = 30%, β = 70% 
a) Jk = Co(1+β*i)k-1*i 
⇒ J1 = Co(1+0,7*15%)1-1*15% = Co*15% = 200.000*15% = 30.000 
J4 = Co(1+0,7*15%)4-1*15% = 200.000(1+0,7*15%)3*15% = 
40.476,98 
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Aqui pretende-se determinar o montante de juro produzido periodicamente (a soma do 
juro pago e o juro retido no processo). 
b) J1pago = α* J1produzido = 30%*30.000 = 9.000 
J4pago = 30%*J4produzido = 30%*40.476,98 = 12.143,09 
Neste caso, pretende-se saber o valor do juro que foi pago, ou seja, do montante de juro 
produzido qual o montante que foi pago no primeiro e no quarto ano. 
c) CF6 = CI6+Jult = CI6+CI6*i = CF5+CF5*i = Co(1+β*i)5+Co(1+β*i)5*i = 
Co(1+β*i)5(1+*i) = 200.000(1+0,7*15%)5(1+15%) = 378.912,7562 
Para se determinar o capital final neste regime é necessário considerar que em todos os 
períodos (excepto o último), a taxa de juro será multiplicada a percentagem dos juros que 
ficam retidos no processo (β). No último período, o juro é calculada com base na 
totalidade da taxa de juro. 
 
Regimes – Quadro Resumo 
 
 Simples Composto Dito simples 
CIK C0 CFK-1 CFK-1 
JK C0 * r CIK * r C0 * r 
CFn C0 (1+r) C0 (1+r)n C0 (1+n*r) 
JT ------- C0 [(1+r)n-1] C0 * n * r 
JJ ------- Cn - C0 - C0 * n * r -------- 
 
 
 
NOTA: 
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⇒ n, r (ou seja, o tempo e a taxa de juro) devem vir expressos na mesma 
unidade de tempo que é o período de capitalização, ou seja, se período de 
capitalização for mensal, n e r, deverão vir expressos em meses; se o período 
decapitalização for anual, n e r, deverão vir expressos em anos. 
 
Cálculo do juro quando o tempo vem dado em dias: 
 
J = 
365
r *t *C0
, onde n = 
365
t
 para o ano civil e dividir por 360 para o ano comercial 
 
Cálculo do juro quando o tempo vem dado em meses: 
 
J = 
12
r *t *C0
, onde n =
12
t
 
 
Deve-se utilizar o ano comercial (360) somente quando for indicado, pois que, nos casos 
em que nada se diz, utiliza-se o ano civil (365). 
 
 
NOTA IMPORTANTE: 
 
⇒ Se não nos derem o período de capitalização, subentende-se que este coincide 
com o período da taxa de juro, ou seja, se a taxa de juro for anual o período 
de capitalização será anual, se for trimestral o período de capitalização 
também será trimestral. 
⇒ Se não nos derem o período da taxa de juro, subentende-se que o período é 
anual. 
⇒ Os regimes simples e dito simples são usados no curto prazo (processo de 
capitalização inferior a um ano), se a taxa de juro dada for anual. Mas, se 
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por exemplo tivermos um processo de capitalização de 9 meses (inferior a um 
ano) e dada uma taxa de juro trimestral de 5% (inferior a um ano), usaremos 
o regime composto (com 3 períodos trimestrais inteiros). E se tivermos o 
mesmo processo de capitalização de 9 meses (inferior a um ano) e dada uma 
taxa de 9 meses (inferior a um ano), usaremos o regime composto (com um 
período inteiro). 
 
Processos práticos de cálculo de juros 
 
- Método de divisores fixos; 
- Método de multiplicadores fixos; 
 
 
Método de divisores fixos 
 
Sabendo que: J = 
365
r *t *C0
 
 
Dividindo por r, J = 
r / 365
rr / *t *C0
 = C0 * t * 
r
365
1
 
Se: C0 * t = N e 365 / r = D, então teremos J = D
N
 
 
Onde N é número e D é o Divisor 
Sejam: 
 
C1------t1-----r 
C2------t2-----r 
Cn------tn-----r 
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JT = J1 + J2 + ---- + Jn 
J1 = 365
r *t *C1
, se N1 = C1 * t1 e 
r
365
= D, então J1 = D
N1
 
Jn = 365
r*t *C1
, se Nn = Cn * tn e 
r
365
= D, então J2 = D
N 2
 
 
Assim, JT = 
D
N1 +----+
D
N n
= 
D
N
1b
b∑
=
n
= 
D
N
 
 
 
EXEMPLO. 
 
Abrimos em 2 de Agosto uma conta de depósitos a ordem colocando MT 50,00, 
posteriormente em 25 de Agosto levantámos MT 10,00. Em 15 de Setembro depositámos 
MT 15,00 e em 2 de Novembro depositámos MT 25,00. Em 15 de Dezembro levantámos 
MT 6,00. 
Sabendo que foi utilizada a taxa de capitalização de 4%, determine os juros totais 
recebidos no final do ano (31 de Dezembro), utilizando o Método de Divisores Fixos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
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Movimento Datas Capital (C) Nº de dias (t) N = C * t 
Depósito de MT 50,00 2/8 a 25/8 50 23 1.150 
Levantamento 10 25/8 a 15/9 50-10=40 21 840 
Depósito 15 15/9 a 2/11 40+15=55 47 2.585 
Depósito 25 2/11 a 15/12 55+25=80 43 3.440 
Levantamento 6 15/12 a 31/12 80-6=74 16 1.184 
Total (∑) ------ ------ ------ 9.199 
 
D = 125.9
%4
365
r
365
== e como N = 9.199, então JT = 008,1
125.9
199.9
D
N
== 
 
Método de multiplicadores fixos 
 
Este método difere do outro acima, porque toma-se que: 
C * t = N e 
365
r
= M, assim JT = N * M 
No exemplo anterior, se usasses o método de multiplicadores fixos, teríamos que: 
 
M = 000109589,0
365
%4
= e JT = 9.199,00 * 0,000109589 = 1,008 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUIVALÊNCIA DE TAXAS DE JURO 
 
- Introdução. Disparidade entre o período da taxa e o período de capitalização 
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- Taxas equivalentes e taxas proporcionais 
- Taxas efectivas e taxas nominais 
- Processo de capitalização com um número não inteiro de períodos de 
capitalização: solução prática e solução teórica. 
 
Assumimos até aqui que o período de capitalização coincide com o período de referência 
da taxa de juro, mas nem sempre isto ocorre, situação há em que a taxa de juro vem dada 
numa unidade de tempo diferente do período de capitalização. 
 
Exemplo: Investimos MT 10.000,00 no processo de capitalização composto, a taxa de 
juro de 10% ao ano, com capitalização semestral e durante um ano. 
 
Neste caso, a taxa de juro dada é de período anual e a capitalização faz-se ao semestre e a 
questão que se coloca é de como capitalizar ao semestre com uma taxa anual? 
 
A disparidade entre o período de capitalização e o de referência da taxa de juro, leva-nos 
a questão de equivalência de taxas de juros e considerando o nosso exemplo, teríamos 
que procurar uma taxa de juro de período semestral – período de capitalização – que 
fosse equivalente a taxa anual de 10%. 
 
 A priori diríamos que a taxa semestral procurada é de 5% e obtida da seguinte forma: 
1 ano ----------- 10% X = 
ano1
%10 *ano5,0
 = 5% ao semestre 
½ ano ----------- X 
 
Considerando o conceito de equivalência de taxas, duas taxas de juro referidas a períodos 
diferentes (anual e subanual) dizem-se equivalentes quando aplicadas ao mesmo capital 
inicial e para a mesma duração do processo de capitalização produzem o mesmo valor 
acumulado. 
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Considerando o nosso exemplo e tomando a taxa de 10% ao ano e o tempo em um ano, 
usando o conceito de equivalência de taxas, teremos para valor acumulado: 
 
CF1ano = 10.000 (1+10%) = 11.000 
 
Tomando a taxa de 5% ao semestre e o tempo em semestre (2 semestres = 1 ano), 
teremos para valor acumulado: 
 
CF2 sem = 10.000 (1+5%)2 = 11.025 
 
Comparando os dois capitais acumulados, concluímos que estes são diferentes e onde 
então podemos dizer que a taxa de 10% ao ano não é equivalente a taxa de 5% ao 
semestre. 
 
Posto isto, qual é então a taxa semestral equivalente a taxa anual de 10%? 
 
Considerando o conceito de equivalência de taxas acima referido e representando r’ a taxa 
semestral equivalente a taxa anual de 10%, podemos estabelecer a equivalência de taxas 
com base na equação: 
 
 CF1ano = CF2sem 
10.000 (1+10%) = 10.000 (1+r’)2 
 (1+10%)=(1+r’)2 
 r’ = (1+10%)1/2 – 1 = 4,88% 
Que tipo de taxa é então a taxa de 5%? 
 
A taxa de 5% foi obtida com recurso a proporcionalidade directa, donde é designada por 
taxa proporcional. 
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Assim, podemos concluir que entre duas taxas referidas a períodos diferentes (uma taxa 
anual e outrasubanual), podemos encontrar dois tipos de relações: relação de 
equivalência e a relação de proporcionalidade. 
 
Taxas equivalentes 
 
Seja um período da taxa de juro (r) em que cabe m períodos de capitalização, em que a 
capitalização se faz no período 1/m do período a que esta referida a taxa de juro. 
 
Considerando o nosso período de capitalização, a taxa correspondente a esse período, 
representaremos por r1/m que é uma taxa subanual em relação a taxa anual dada, e que 
vigora no período 1/m do ano. 
 
Considerando que entre a taxa r e a taxa r1/m existe uma relação de equivalência e 
tomando em atenção o conceito de equivalência de taxas, teremos: 
 
C0 (1+r) = C0 (1+r1/m)m 
 (1+r) = (1+ r1/m)m 
 
Onde: 
m = é o número de vezes que o período da taxa subanual cabe no período da taxa anual, 
ou seja: m = 
menor período
maior período
 
 
Considerando que entre a taxa r e a taxa subanual r1/m, existe uma relação de 
proporcionalidade. 
 
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r --------------------- m/m x = 
m
r
 ou seja r1/m = 
m
r
 
x -------------------- 1/m 
 
 
 
Taxas efectivas e nominais 
 
Quando a relação que existe entre a taxa anual r e a taxa subanual r1/m for de equivalência 
é indiferente trabalhar com a taxa anual r ou trabalhar com a taxa subanual r1/m, isto é, ao 
trabalhar com a taxa r anual e contar o tempo em anos, estaremos no período 1/m do ano 
a trabalhar em simultâneo com a taxa r1/m. 
 
Assim, podemos concluir que se r e r1/m são equivalentes, ambas são efectivas sendo a 
taxa real aquela cujo período coincide com o período de capitalização. 
 
Se ao invés de uma relação de equivalência, tiver uma relação de proporcionalidade entre 
a taxa r e r1/m, teremos uma taxa efectiva que é aquela cujo período coincide com o 
período de capitalização (taxa real), a outra obtida por proporcionalidade directa é 
nomeada como sendo a que se pratica noutro período, designa-se por taxa nominal. 
 
Dizem-se nominais as taxas que são declaradas (“nomeadas”) em vigor num processo de 
capitalização, enquanto são efectivas as taxas de juros aquelas que efectivamente tem 
influência na produção dos juros. 
 
 
Representando: 
r = taxa anual efectiva 
r1/m = taxa subanual efectiva (relativa ao período 1/m) 
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r
m
 = taxa anual nominal quando a capitalização se faz m vezes ao ano 
 
Teremos, 
 
Na nossa relação de equivalência: 
 
(1+r) = (1+r1/m)m 
 
 onde 
r = (1+r1/m)m – 1 (para taxa anual efectiva) e 
r1/m = (1+r)1/m – 1 (para taxa subanual efectiva) 
 
Na nossa relação de proporcionalidade: 
 
r1/m = 
m
r m
 
r
m
 = m * r1/m 
 
Exemplo 1: Dada a taxa anual efectiva de 10%, calcule a taxa equivalente de período 
bimestral. 
Dados: 
r = 10% (1 + r) = (1 + r1/m)m 
r1/m = ? bimestral (1 + 10%)= (1 + r1/6)6 
m = 12/2 = 6 (1,1)1/6 - 1 = r1/m 
 r1/m = 1,6% 
 
E é a taxa equivalente para o período de 7 meses? 
Dados: 
r = 10% (1 + 10%) = (1 + r7/12)12/7 
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r1/m = ? (7 meses) r7/12 = (1,1)7/12 – 1 
m = 12/7 r7/12 = 5,72% 
 
⇒⇒⇒⇒ Dada uma taxa de juro anual efectiva, como podemos obter uma taxa de juro 
nominal referida para o mesmo período, ou seja, como podemos obter a taxa de juro 
anual nominal? 
 
 
 
 
 Equivalência Proporcionalidade 
 
Resposta: Dada uma taxa de juro anual efectiva, para se obter uma taxa de juro anual 
nominal, primeiro temos que achar a taxa de juro real, que é aquele em que o seu período 
de referência coincide com o período de capitalização. Ou seja, se a capitalização for ao 
semestre (por outras palavras, se a formação do juro for semestral) então a taxa de juro 
real será semestral. 
 
Para achar a taxa de juro real partindo de uma taxa de juro efectiva, usamos a 
equivalência de taxas (como se pode ver na figura acima). Tendo a taxa de juro real já 
podemos obter a taxa nominal, usando a proporcionalidade de taxas. 
 
Usamos o mesmo raciocínio, quando pretendemos obter uma taxa de juro efectiva 
partindo de uma taxa de juro nominal. 
 
A relação de equivalência é aplicável para os casos de regime de capitalização 
puramente simples e regime de capitalização composto, pois que no caso do regime dito 
simples e considerando o conceito de equivalência de taxas leva-nos a situação de 
proporcionalidade entre taxas. 
Taxa de juro 
anual efectiva 
Taxa de juro 
anual nominal 
Taxa de juro real 
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PROCESSOS DE CAPITALIZAÇÃO COM UM NÚMERO NÃO INTEIRO DE 
PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO – REGIME COMPOSTO. 
 
Seja um processo de capitalização com n períodos inteiros de capitalização, mais uma 
fracção x cuja duração é inferior ao período p de capitalização. 
 
Expressando o período não inteiro x em fracção de período inteiro p, teremos x/p e para o 
nosso processo de capitalização n + x/p períodos de capitalização. 
 
No período de capitalização p (período inteiro) vigora a taxa r, e se o nosso processo 
tivesse só n períodos inteiros, o valor acumulado seria obtido com base na formula Cn = 
C0 (1 + r)n, mas acontece que para além dos n períodos, temos um período não inteiro x/p, 
donde que o valor acumulado do processo será ser igual ao valor acumulado dos n 
períodos inteiros mais o juro do período não inteiro x/p. Ou seja, 
 
Cn+x/p = Cn + Jx/p 
Cn = C0 (1 + r)n e Jx/p = CIx/p * rx/p 
Como CIx/p = Cn então 
Cn+x/p = C0 (1+r)n + C0 (1+r)n * rx/p 
 = C0 (1+r)n (1+rx/p) 
 
Que tipo de relação existe entre a taxa de período inteiro (r) e taxa de período não inteiro 
(rx/p)? Por outras palavras, que taxa de juro usaremos no período não inteiro? 
 
a) Relação de equivalência (solução teórica) 
 
Neste caso, toma-se no período não inteiro que a taxa do período inteiro é efectiva, donde 
a taxa subanual é obtida por recurso a equação de equivalência de taxas. 
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Dados: 
r (1+r)=(1+rx/p)p/x 
rx/p = ? Donde rx/p = (1+r)x/p – 1 
m = p/x 
 
Assim, Cn+x/p = C0 (1+r)n (1+rx/p) = C0 (1+r) [1+(1+r)x/p – 1] = C0 (1+r)n (1+r)x/p 
 = C0 (1+r)n+x/p 
 
b) Relação de proporcionalidade (solução prática) 
 
Neste caso, toma-se no período não inteiro que a taxa do período inteiro é nominal, donde 
a taxa subanual é obtida por recurso a equação de proporcionalidade de taxas. 
 
rx/p = 
m
mm
r*
p
x
p/x
r
m
r
== 
 
Assim, Cn+x/p = C0 (1+r)n (1+rx/p) = C0 (1+r)n (1+ p
x
* r
m) 
NOTA: Se o período de capitalização for igual ao período da taxa r, então essa taxa 
r será uma taxa real (ou seja, uma taxa de juro simultaneamente efectiva e nominal, 
pelo que r=rm).Logo: Cn+x/p = C0 (1+r)n (1+rx/p) = C0 (1+r)n (1+ p
x
* r) 
 
CASO DE REGIME PURAMENTE SIMPLES 
 
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Num regime simples vimos que o juro é pago no final de cada período da sua 
formação/produção e no final do processo o devedor tem a pagar o capital inicialmente 
obtido mais o juro do último período. O ultimo período é o período não inteiro (x/p), 
donde: 
 
CF = C0 + Jx/p e Jx/p = C0 * rx/p, onde CF = C0 + C0 * rx/p = C0 (1+rx/p) 
 
a) Relação de equivalência (solução teórica): 
 
A taxa subanual será rx/p = (1+r)x/p – 1 
 
E o CF = C0 [1+(1+r)x/p -1] = C0 (1+r)x/p 
 
b) Relação de proporcionalidade (solução prática): 
 
A taxa subanual (ou taxa de período não inteiro) será rx/p = p
x
 * r 
E o CF = C0 (1+ p
x
* r) 
 
EXEMPLO: Um capital de MT 80.000,00, esteve colocado durante 10 anos e 11 meses, 
num processo de capitalização composto de período trimestral, a taxa de juro anual 
nominal de 20%. Determine o capital acumulado, considerando para eventual fracção do 
período de capitalização: 
 
a) Taxa proporcional; 
b) Taxa equivalente. 
 
RESOLUÇÃO: Dados: Co = 80.000, n = 10 anos e 11 meses, im = 20% 
 
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a) I3/12 = 4
%20
 = 5% n = 43 + 
3
2 Trimestres 
Cn+x/p =Co(1+i)n(1+x/p*i) = 80.000(1+5%)43(1+2/3*5%) = 673.705,80 
b) Cn+x/p = Co(1+i)n+x/p = 80.000(1+5%)43+2/3 = 673.528,60 
 
EXEMPLO: Um capital de MT 10.000,00 foi colocado durante 3 anos e 5 meses, num 
processo de capitalização simples, a taxa de juro anual nominal de 15% (capitalização 
trimestral). Calcule o valor no final do processo, considerando que na eventual fracção do 
período, vigorou: 
a) Solução teórica; 
b) Solução prática 
RESULUÇÃO: Dados: Co = 10.000, n = 3 anos e 5 meses, im = 15%, i1/4 = ? 
 
a) i1/4 = 15%/4 = 3,75% 
Cn+x/p = Co(1+i)x/p = 10.000(1+3,75%)2/3 = 10.248,50 
b) Cn+x/p = Co(1+x/p*i) = 10.000(1+ 2/3*3,75%) = 10.250,00 
 
DESCONTOS 
 
- Introdução 
- Desconto Simples: Desconto por Fora e Desconto por Dentro 
- Desconto Composto: A taxa de desconto r e a taxa de desconto d 
- Desconto bancário de letras e livranças 
 
Até aqui temos analisado processos de capitalização que vão do início até ao vencimento 
dos mesmos, mas nem sempre isso ocorre, situação há em que quer por necessidade do 
devedor como do credor os processos são interrompidos antes do seu vencimento, quando 
faltam t períodos do processo por cumprir. 
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Perante esta situação, quanto é que o devedor terá que pagar na data da antecipação? Ou 
ainda, do ponto de vista do credor, quanto ele irá receber na data da antecipação? 
 
Cn = valor nominal da dívida 
Cn-t = valor actual da dívida 
n-t = momento da antecipação da dívida 
t = número de períodos que faltam por vencer 
 
Na data da antecipação, o devedor irá pagar o valor actual da dívida, isto é, o valor 
nominal da dívida actualizado ou descontado para o momento da antecipação. 
Designando por Desconto, o encargo que o credor suporta pelo recebimento antecipado 
da dívida e representando por D, podemos concluir que o valor actual da dívida (Cn-t) é 
igual ao valor nominal da dívida (Cn) deduzido do montante de Desconto (D): 
 
Cn-t = Cn – D 
 
Donde virá para Desconto: D = Cn – Cn-t 
 
Dissemos que o valor actual da divida resulta da actualização ou desconto do valor 
nominal pelos t períodos que faltam por vencer. Para fazer a actualização ou desconto 
teremos de pressupor a existência de um processo de capitalização implícito que vai 
correr do momento do vencimento da dívida (n) e o momento da antecipação (n-t). 
 
Esta capitalização poderá ser feita recorrendo ao regime dito simples ou ao regime 
composto. O caso de regime puramente simples, deixa de ter relevância dado que neste 
regime o capital em dívida em qualquer momento corresponde ao valor inicialmente 
cedido mais o juro do período vencido. 
 
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Ao Desconto realizado com base no regime dito simples, designa-se por Desconto 
Simples e ao realizado com base no regime composto designa-se por Desconto 
Composto. 
 
Desconto Simples 
 
Tem como base o regime de capitalização dito simples e corresponde ao juro dito simples 
referente aos t períodos que faltam por cumprir, e pode ser calculado com base no valor 
actual da divida ou com base no valor nominal da dívida. 
Desconto por Dentro ou Racional – neste caso o desconto corresponde ao juro dito 
simples calculado com base no valor actual da dívida: 
 
DD = JDS = Cn-t * t * r 
 
Acontece que no momento da actualização, não conhecemos o valor actual da dívida, 
pelo que devemos procurar uma fórmula que nos permita determinar o valor do desconto 
com base no valor nominal da dívida. 
 
Sabendo que: 
 
D = Cn – Cn-t e D = DD = Cn-t * t * r, então Cn – Cn-t = Cn-t * t * r 
⇒ Cn = Cn-t (1+t * r) ⇒ Cn-t = 
r*t1
Cn
+
(Fórmula de cálculo do valor actual com base no 
valor nominal). 
 
Assim, como DD = Cn-t * t * r e Cn-t = 
r*t1
Cn
+
, então DD = 
r*t1
r*t*Cn
+
(Fórmula de cálculo 
do desconto por dentro, com base no valor nominal). 
 
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Desconto por Fora ou Comercial – É o que mais se pratica e toma como base o valor 
nominal da dívida ou seja, o desconto corresponde ao juro dito simples calculado com 
base no valor nominal: 
 
DF = JD S= Cn * t * r 
 
Para calcular o valor actual, sabemos a priori que: 
 
D = Cn – Cn-t e DF = Cn * t * r, então Cn * t * r = Cn – Cn-t 
Assim, Cn-t = Cn (1 - t * r) (Fórmula de cálculo do valor actual com base no valor 
nominal). 
 
Nota: 
Tanto o desconto por fora como por dentro são utilizados para períodos de tempo curtos, 
geralmente inferiores a 1 ano. Normalmente a taxa de juro que nos é dada é de período 
anual pelo que nos casos em que o tempo vem dado em meses ou dias deve-se dividir o t 
por 12 quando o tempo vem dado em meses e por 365 ou 360 quando o tempo vem dado 
em dias. 
 
 
 
 
 
 
Desconto Composto 
 
Utiliza o regime de capitalização composto e pode ser realizado com base na taxa de juro 
r ou com base na taxa de desconto d. 
 
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Desconto composto a taxa de juro “r” 
 
Utiliza a taxa de juro para a realização do desconto e o valor actual é calculado com base 
na actualização do valor nominal nos moldes do regime de capitalização composto: 
 
Cn-t = Cn (1+r)-t 
 
Sabendo que: 
 
D = Cn – Cn-t e que Cn-t = Cn (1+r)-t,então D = Cn – Cn (1+r)-t ⇒ D = Cn [1-(1+r)-t] 
 
Desconto composto a taxa de desconto “d” 
 
A taxa de desconto d é uma taxa específica para a realização das operações de desconto e 
é representada pela letra d e é definida como sendo o desconto de um capital unitário por 
um tempo unitário. Ou seja: 
 
Se: 
D = Cn [1-(1+r)-t] 
D = d 
Cn = 1 
t = 1 
Então, d = D = 1 * [1-(1+r)-1] ⇒ d = 1- ( )r1
1
+
= ( ) r1
r
r1
1r1
+
=
+
−+
 
A partir da relação acima, podemos encontrar que r = 
d-1
d
 
 
Sabendo desta relação, podemos também encontrar uma fórmula que nos permita calcular 
o desconto composto usando a taxa de desconto “d”, onde teremos: 
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D = Cn [1-(1-d)t] 
 
 
EXEMPLO: Descontamos por fora uma letra quando faltavam 146 dias para o seu 
vencimento. Determine a taxa de desconto aplicada, sabendo que se tivéssemos 
descontado a letra 73 dias antes teríamos pago a mais 3% do valor nominal. 
 
RESOLUÇÃO: Dados: t1 = 146, t2 = 146+73 = 219 
 
DF1 = DF2 – 3%*Cn Cn*t1*i = Cn*t2*i – 3%*Cn 
 
Cn*146/365*i = Cn (219/365*i – 0,003) ⇒ i = 15% 
 
 
Data do segundo desconto (t2) Data do primeiro desconto (t1) Data de vencimento 
 
 
 73 dias 146 dias 
 
 
 
 219 dias 
 
EXEMPLO: Uma letra foi hoje descontada por fora quando faltavam 73 dias para o seu 
vencimento. Uma outra de valor nominal duplo da primeira e com a mesma data de 
vencimento, foi descontada por dentro a mesma taxa (20%). Sabendo que a soma dos 
dois descontos foi de MT 30,40, determine: 
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a) valor nominal das letras; 
b) valor actual comercial da primeira letra; 
c) valor actual racional da segunda letra. 
 
RESOLUÇÃO: Dados: t1 = t2 = 73, i = 20% e Cn2 = 2 Cn1 
a) DF1+DD2 = 30,40 Cn1*t1*i + it
itCn
*1
**
2
22
+
=30,40 
Cn1 = 260 e Cn2 = 520 
b) Cn-t1 = Cn1(1-t1*i) = 260(1-73/365*20%) = 249,60 
c) Cn-t2 = 
%20*
365
731
520
*1 2
2
+
=
+ it
Cn
= 500,00 
Desconto bancário de títulos 
 
Quando a operação de desconto é feita junto ao banco, será necessário suportar um 
conjunto de encargos que variam dos juros do período em falta, comissões de cobrança, 
prémio de transferência, impostos sobre os juros, portes, selagem e despesas fiscais. 
 
Assim, 
 
DB = Juros + Comissões + Prémio de transferência + Impostos sobre os juros + Portes + 
Selagem e outras despesas. 
 
Juros: são calculados por fora e referem-se aos juros do período em falta (o Banco deduz 
na integra). 
 
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Comissões de cobrança: é o valor exigido pelo serviço de cobrança que o Banco terá de 
fazer e designaremos por C e dada por uma percentagem α que incide sobre o valor 
nominal da letra. 
 
C = α * Cn 
 
Prémio de transferência: é o prémio exigido pelo Banco, quando as operações são feitas 
em praças diferentes. A percentagem será dada por β e incide também sobre o valor 
nominal da letra. 
PT = β * Cn 
 
Imposto sobre juros: é o valor a deduzir correspondente ao IRPS ou IRPC, a pagar ao 
Estado e incide sobre o valor dos juros. 
 
Portes: são as despesas fixas que os Bancos incorrem com a operação, normalmente 
administrativas. 
 
Nota: 
No caso de Desconto Bancário e quando o tempo vem dado em dias, deverá acrescentar-
se mais 2 dias. 
 
Analiticamente: 
 
DB = DF + C + PT + I + P 
DB = Cn * t * r + α*Cn + β*Cn + I * Cn * t * r + P 
 = Cn (t*r + α + β + I*t*r) + P 
 
Como DB = Cn – Cn-t, então Cn (t*r + α + β + I*t*r) + P = Cn – Cn-t 
⇒ Cn - Cn (t*r + α + β + I*t*r) = Cn-t +P ⇒ Cn [1-(t*r + α + β + I*t*r)] = Cn-t + P 
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Cn = 
r)*t*Ir*(t-1
P C t-n
+++
+
βα (Fórmula de cálculo do valor nominal da letra sem a 
selagem) 
 
Cn = 
s-r)*t*Ir*(t-1
P C t-n
+++
+
βα (Cálculo do valor nominal da letra com a selagem) 
 
Onde: s = percentagem da selagem 
 
As vendas crédito e o cálculo do valor nominal da letra 
 
As vendas quanto a modalidade de pagamento poderão ser a pronto ou a crédito e no caso 
das vendas a crédito estas poderão levar a emissão de letras e livranças. 
Na emissão desses títulos de crédito, um dos princípios a que se deve obedecer é a 
inclusão do valor da dívida a pagar na data do vencimento. Na determinação deste 
montante, temos que ter em conta um dos dois pressupostos: 
 
1. A letra é emitida pressupondo o seu imediato desconto junto ao banco, neste caso 
quem concede efectivamente o crédito é o banco, pois que o vendedor realiza de 
imediato por recurso ao desconto bancário o valor do preço de pronto pagamento. 
Nesta opção podemos encontrar duas alternativas: 
 
a) Emissão de uma só letra – neste caso o crédito é representado por uma 
letra aceite pelo comprador e na determinação do valo nominal dessa letra, 
o vendedor inclui para além do preço de pronto pagamento (é dívida para 
o comprador e representaremos pela letra D) o valor do encargo de 
desconto da mesma junto ao banco: 
 
Cn = D + DB 
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Se: DB = Cn (t*r + α + β + I*t*r) + P 
Então Cn = D + Cn (t*r + α + β + I*t*r) + P 
Cn = 
r)*t*I r *(t - 1
P D
+++
+
βα 
 
Inclusão de encargo de selagem 
 
Um dos princípios a que se deve obedecer na emissão de letras é que elas devem ser 
seladas e esta selagem incide sobre o valor nominal do título. E sendo o título resultante 
da necessidade do comprador por este não dispor de valores suficientes para aquisição de 
bens, então todos os encargos a que a emissão leva, são da sua responsabilidade e para a 
liquidação desse encargo ele poderá pagar o valor da selagem no acto da emissão ou este 
encargo poderá ser suportado pelo vendedor e incluído no valor nominal do título. Neste 
caso, o valor nominal da letra não irá incluir só o preço de pronto pagamento (dívida para 
o comprador) e o desconto bancário mas também o encargo de selagem que é de 2‰, se 
pelo menos um dos intervenientes é comerciante: 
 
Cn = D + DB + 2‰Cn 
 
Cn = 
02% - r)*t*Ir*(t - 1
P D
+++
+
βα 
 
 
b) Emissão de várias letras – Neste caso a dívida é representada por várias 
letras de vencimentos distintos. Quanto ao valor nominal, este poderá ser 
constante ou variável e essa variação poderá obedecer a uma lei específica 
(progressão aritmética, geométrica) ou não. 
 
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Na determinação do valor nominal de cada letra, o somatório dos valores nominais das 
letras será igual a D (dívida) mais o somatório do desconto bancário das letras. 
 
∑∑ += DBDCn 
 
No caso de inclusão do encargo de selagem: 
 
∑∑∑ ++= SelagemDBDCn 
 
2. A letra é emitida pressupondo a sua retenção pelo credor ate ao vencimento. Neste 
caso na determinação do valor nominal este para além da D (dívida) irá incluir o 
juro relativo ao crédito pelo tempo que vai da emissão até ao vencimento do 
título: 
 
Cn = D (1+r)t 
 
No caso do tempo dado em dias ou meses, recorre-se a solução prática: 
 
Cn = D (1+ t*r) 
 
No caso da inclusão do encargo de selagem, o crédito não irá incidir só sobre a dívida (D) 
como também sobre o encargo de selagem: 
 
Cn = (D + 2%0Cn)(1+r)t e Cn = (D + 2%0Cn)(1+ t*r) 
 
 
A reforma da letra e o cálculo do valor nominal da nova letra 
 
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Chegada a data de vencimento da letra, uma das duas situações pode ocorrer: o devedor 
paga o valor em dívida ou o devedor não paga o valor em dívida. Nesta segunda hipótese, 
ele pode negociar com o vendedor a prorrogação do tempo do crédito cedido, pois uma 
das condições essenciais da letra é a inclusão da data de vencimento e esta não pode ser 
rasurada. Esta situação leva a emissão de uma nova letra com um novo prazo de 
vencimento – a esta substituição de uma letra vencida por uma nova de vencimento 
posterior designa-se por reforma da letra. 
 
Os procedimentos para o cálculo do valor nominal da nova letra (Cn+t) são os mesmos 
que vimos anteriormente, mas só que o preço de pronto pagamento (D) é substituída pelo 
valor nominal da antiga letra (Cn). 
 
EXEMPLO 1: Uma letra de MT 1.500,00, foi apresentada para desconto 71 dias antes 
do seu vencimento no Banco ABC que pratica as seguintes condições: 
 
- Taxa de juro 22,5%; Prémio de transferência 0,02%; Comissões 0,5% 
- Imposto sobre juro 5%; Portes MT 1,60. 
 
Determine o valor actual. 
 
RESOLUÇÃO: Dados: Cn = 1.500,00; t = 71+2=73 dias; i = 22,5%; α =0,02%; β = 
0,5%; I = 5%; P = 1,60; Cn-t = ? 
 
Cn-t = Cn – DB 
 
DB = Cn (ti+α+β+Iti) + P = 1500(73*0,225/365+0,02%+0,5%+5%*73*0,225/365)+1,6 
 = 80,275 
 
Cn-t = 1500 – 80,275 = 1.419,725 
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EXEMPLO 2: O aceitante de uma letra de MT 500.000,00, propôs ao portador, na data 
do vencimento, a substituição daquela por uma nova letra com vencimento ao fim de 73 
dias e um pagamento de MT 300.000,00. O portador aceitou a proposta tendo ficado 
acordado que o valor nominal da letra incluiria juros a taxa de 35 % ao ano e o valor da 
selagem. Determine o valor nominal da nova letra. 
 
RESOLUÇÃO: Dados: Cn = 500.000; t = 73; Pagamento = 300.000; 
i = 35%; Selagem = 2 %o* Cn+t 
Cn+t = ? 
 
Primeiro temos que calcular o valor de D, ou seja, o valor em dívida na data da reforma: 
D = Cn – Pagamento = 500.000 – 300.000 = 200.000 
 
Agora já podemos calcular o valor nominal da nova letra que será emitida pressupondo a 
sua retenção até ao vencimento (ou seja, não será emitida pressupondo o seu desconto 
junto a um banco): 
 
Cn+t = (D + 2%0Cn+t)(1+ t*r) → Cn+t = (200.000+0,002Cn+t)(1+73/365*35%) 
 
Cn+t = 214.458,94 
 
 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
 
- Equivalência Simples; 
- Equivalência composta. 
 
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A relação devedor e credor em muitos casos não se resume a uma única dívida, pode ser 
estendida a várias dívidas que o devedor tem para com o seu credor e pode haver 
interesse em substituir essas dívidas por um pagamento único ou por vários pagamentos. 
Tanto num como noutro, os capitais a substituir como os capitais substitutos deverão ser 
financeiramente equivalentes. 
 
Diz-se que dois ou mais capitais são financeiramente equivalentes quando, para um 
determinado momento, os seus valores actuais são iguais. 
 
Para estabelecer a equivalência de capitais é necessário considerar dois passos: 
 
1. Actualizar todos os capitais para um determinado momento (para facilitar, 
consideraremos o momento presente), o que pressupõe a existência de um 
processo implícito de capitalização que vai decorrer entre o vencimento de cada 
capital e o referido momento, pelo que é necessária a adopção de uma taxa de 
juro, neste caso, designada de taxa de avaliação. A actualização pode efectuar-se 
recorrendo ao regime de capitalização dito simples ou ao regime composto, dai 
resulta a equivalência simples e composta. 
 
2. Adicionar os valores actuais dos capitais a substituir e igualar aos valores actuais 
dos capitais substitutos. No caso de substituição de vários capitais por um único 
pagamento a esse pagamento único é designado por capital comum (CC) e o 
vencimento desse capital designa-se por vencimento comum (t). 
 
Equivalência Simples 
 
Toma como base o regime dito simples e actualização dos capitais é feita nos moldes do 
desconto por fora ou por dentro, daí desdobra-se em equivalência por fora e por dentro. 
 
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 Equivalência por dentro 
 
Neste caso toma-se a fórmula do valor actual por dentro para a actualização dos capitais. 
 
Seja os capitais Cx e Cy vencíveis em tx e ty, para que esses capitais sejam equivalentes é 
necessário que os seus valores actuais sejam iguais. Sabendo que o valor actual no 
Desconto por Dentro é dado pela formula: Cn-t = 
r*t1
Cn
+
 e considerando os passos 
necessários para estabelecer a equivalência: 
 
1º. Actualizar os capitais (para o momento presente, para facilitar): 
 
Cα-tα = 
r*t1
C
α
α
+
; Cβ-tβ = 
r*t1
C
β
β
+
 
 
2º. Igualar os valores actuais: 
 
r*t1
C
r*t1
C
β
β
α
α
+
=
+
 
 
No caso de equivalência de vários capitais por um único capital (CC) 
 
Sejam os capitais C1; C2;....; Cn, vencíveis em t1; t2;.....; tn. Para substituir esses capitais 
por um capital único de vencimento único (t), teremos: 
 
1º. Actualizar os capitais (para o momento presente): 
 
C1-t1 = 
r*t11
C1
+
; C2-t2 = 
r*t21
C2
+
; Cn-tn = 
r*tn1
Cn
+
 
 
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VA = 
r*t1
(t) CC
+
 
 
2º. Adicionar os valores actuais a substituir e igualar ao valor actual do capital único: 
 
r*t1
CC(t)
r*tn1
C
.......
r*t21
C
r*t11
C n21
+
=
+
++
+
+
+
 
 
Se a incógnita for o vencimento comum é só resolver a equação em ordem a t. 
 
1+ t*r = 
∑
+ r*t1
C
CC(t)
α
α
 
 
No caso de equivalência de vários capitais por vários capitais, o procedimento é o 
mesmo, ou seja, é necessário actualizartanto os capitais a substituir como os capitais 
substitutos. 
 
∑∑
+
=
+ r*t1
C
r*t1
C
β
β
α
α
 
 
Equivalência por fora 
 
Neste caso, utiliza-se a fórmula de cálculo do valor actual no Desconto por FORA e os 
procedimentos são os mesmos da equivalência por dentro. 
 
Equivalência Composta 
 
Os passos para estabelecer a equivalência são os mesmos, mas a actualização é feita com 
base no regime composto. 
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Sejam os capitais C1; C2; ....; Cn vencíveis em t1; t2; ...; tn. Para substituir esses 
pagamentos por um pagamento único vencível no momento t, teremos: 
 
1º. Actualizar todos os capitais: 
 
C1-t1 = C1(1+r)-t1 , C2-t2 = C2(1+r)-t2 , ....., Cn-tn = Cn(1+r)-tn 
VA = CC(t) (1+r)-t 
 
2º. Adicionar os valores actuais obtidos e iguala-los ao valor actual da dívida única: 
 
C1(1+r)-t1 + C2(1+r)-t2 + ....+ Cn(1+r)-tn = CC(t) (1+r)-t 
 
Se a incógnita for capital comum é só resolver a equação em ordem a CC(t): 
 
CC(t) = (1+r)t tk-
1k
k r)1(C +∑
=
n
 
 
E se a incógnita for o vencimento comum, é só resolver a nossa equação em ordem a t. 
 
EXEMPLO: Uma empresa tem a pagar uma divida composta por 4 títulos de crédito de 
MT 15.000,00; MT 27.500,00; MT 15.000,00 e MT 20.000,00, com vencimentos a 6, 18, 
15 e 24 meses, respectivamente, as quais incluem juros calculados a uma taxa de juro 
anual efectiva de 10%. 
 
Determine: 
 
a) O vencimento médio; 
b) O vencimento comum, considerando um pagamento único de MT 80,000; 
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c) O pagamento único que teria de fazer de imediato, para liquidar aquelas 
dividas. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
a) Para calcularmos o vencimento, primeiro temos que calcular o capital comum, 
que será a soma das 4 dívidas (=15.000+27.500+15.000+20.000= 77.500) 
 
15.000(1+10%)-6/12+27.500(1+10%)-18/12 +15.000(1+10%)-15/12 +2.000(1+10%)-24/12 = 
(15.000+27.500+15.000+20.000) (1+10%)-t 
67.982,7 = 77.500 (1,1)-t 
 
t = 1,37 anos 
 
b) 
67.982,7 = 80.000 (1,1)-t 
t = 1,74 anos 
 
c) 
 
CC(0) (1,1)0= 67.982,7 → CC(0) = 67.982,7 
 
RENDAS 
 
No capítulo anterior estudamos como se calcula o capital comum e o vencimento comum, 
em equivalência de capitais, a um dado conjunto de capitais com diversos vencimentos. 
Agora iremos tratar de um caso especial de equivalência de capitais composta, 
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particularizado pela periodicidade dos vencimentos, de acordo com a seguinte 
definição: 
 
Definição: renda é uma sucessão de capitais vencíveis periodicamente (ou seja, de 
capitais com vencimentos de igual periodicidade). 
 
 
 
 
Algumas definições importantes: 
 
- Período de diferimento ou de carência: é o período que vai desde o momento 
zero até ao início do primeiro termo da renda (desde o momento zero até ao 
momento da constituição da renda). Pode ser total (de capital e juros) ou apenas 
de capital. Quando a carência é total, não há pagamento nem da parcela dos juros 
nem do capital e quando é apenas de capital, há pagamento de juros. 
- Valor duma renda: é o valor comum de uma sucessão de capitais. 
 
Classificação das rendas 
 
a) Quanto ao número de termos: temos as rendas finitas ou temporárias quando 
sabemos o número de termos da renda e rendas infinitas ou perpétuas quando não 
sabemos o número de termos da renda (termos ilimitados); 
b) Quanto ao momento da constituição da renda: temos rendas imediatas quando 
o diferimento é igual a zero (ou seja, o momento da constituição da renda 
coincide com o momento zero) e rendas diferidas quando o diferimento é maior 
que zero (quando o momento da constituição da renda é posterior ao momento 
zero). 
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c) Quanto ao vencimento dos termos: temos rendas posticipadas ou normais 
quando o vencimento dos termos da renda ocorre no final do período em que 
dizem respeito e rendas antecipadas quando o vencimento dos termos ocorre no 
início do período em que dizem respeito. 
d) Quanto a periodicidade dos termos: temos rendas anuais, semestrais, 
quadrimestrais, etc. 
e) Quanto ao objectivo da sua constituição: temos rendas de amortização que são 
aquelas que têm por objectivo a amortização de um capital concedido no 
momento zero (t=0). Os seus termos são constituídos por duas parcelas, uma para 
o reembolso do capital e outra para fazer o serviço da divida (o juro); temos 
também as rendas de acumulação, que tem em vista a constituição de um 
montante acumulado no momento de vencimento (t=w+n), os seus termos são 
calculados de modo a que acrescidos dos respectivos juros resultem no montante 
desejado no vencimento. 
 
Valor de uma renda de termos quaisquer 
 
Calcular o valor duma renda num momento t qualquer, não é mais do que calcular o 
capital comum desse conjunto de capitais. Sabendo que o capital comum no momento t é 
dado por CC(t) = (1+r)t k-
1
k r)1(C +∑
=
n
k
 e representando por R(t), o valor da renda no 
momento t será: 
R(t) = CC(t) = (1+r)t k-
1k
k r)1(C +∑
=
n
, 
 
onde k é o vencimento de cada capital, que no caso das rendas é precedido ou inclui a 
parte do diferimento (w) e considerando as rendas posticipadas ou de termos normais, em 
que o primeiro termo vence no final do primeiro período após o diferimento (w+1) e o 
segundo termo dois períodos após o diferimento (w+2) e assim em diante, podemos 
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constituir tk por w+k, onde w representa o diferimento e k o vencimento do termos após 
o diferimento, variando de 1 ate n, no caso de rendas temporárias ou finitas. 
 
Assim teremos: 
 
R(t) = (1+r)t [C1(1+r)-w-1 + C2(1+r)-w-2 + ....+ Cn(1+r)-w-n] 
 = (1+r)t {(1+r)-w[C1(1+r)-t1 + C2(1+r)-t2 + ...+ Cn(1+r)-tn]} 
 = (1+ r)t-w k-
n
1k
k r)1(C +∑
=
 
 
Caso de rendas antecipadas 
 
As rendas antecipadas são aquelas cujos termos vencem no início do respectivo período. 
Se considerarmos a existência de um período antes de w (ou seja, antes do momento da 
constituição da renda) a nossa renda antecipada passa a ser posticipada mas com um 
diferimento de w-1, ou seja, R(t)AntW = R(t)PostW-1. 
 
Sabendo que o valor no momento t de uma renda posticipada é dada por: 
R(t)PostW = (1+r)t-w k-
n
1k
k r)1(C +∑
=
, teremos para a nossa renda antecipada diferida de w 
que vimos que era igual a uma renda posticipada diferida de w-1. 
 
R(t)AntW = R(t) PostW-1 = (1+r)t-(w-1) k-
n
1k
k r)1(C +∑
=
= (1+r)t-w+1 k-
1
k r)1(C +∑
=
n
k
 
 = (1+r) (1+r)t-w k-
n
1k
k r)1(C +∑
=
 
 
Ou seja: R(t)AntW = (1+r) R(t)PostW 
 
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Onde a taxa de juro (i), período de diferimento (w) e momento da renda (t) tem que estar 
referidas na mesma unidade de tempo, que é o período da renda (ou seja, a 
periodicidade da renda/periodicidade do pagamento das prestações). 
 
O valor duma renda no momento t de uma renda antecipada diferida de w é igual ao valor 
no mesmo momento de uma renda posticipada com o mesmo diferimento capitalizada em 
mais 1 período. 
 
 
Rendas de termos constantes 
 
São aquelas cujo valor dos termos não varia (C1=C2=C3=Cn=C). 
 
Sabendo que o valor no momento t de uma renda posticipada de termos quaisquer é dada 
por: 
 
R(t)PostW = (1+r)t-w k-
n
1k
k r)1(C +∑
=
 
 
Se a renda for de termos constantes, podemos substituir Ck por C, que pode-se tirar do 
somatório, visto ser uma constante: 
 
R(t)PostW = (1+r)t-w C ∑
=
+
n
1k
k-r)1( 
 
onde ∑
=
+
n
1k
k-r)1( = (1+r)-1 + (1+r)-2 + ...+ (1+r)-n vai constituir a soma de n termos 
sucessivos de uma progressão geométrica de razão (R) igual (1+r)-1. 
 
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Se a soma de um progressão geométrica é dada por Sn = 
R1
R*U- U n1
−
 
Então a soma da nossa renda será: Sn = 
r
r)1(1
r)(1-1
r)1(*r)1(r)(1 -n
1-
-1-n-1 +−
=
+
++−+
 
R(t)Postw = (1+ β*r)t-w C 




 +−
r
r)1(1 -n
 
Expressão geral do valor da Renda constante, no momento t, posticipada, 
temporária e diferida de w. 
 
Para as rendas antecipadas deve-se acrescentar a expressão (1+r). 
Onde: 
n indica o número de termos/prestações da renda; 
t indica a localização do valor ou montante da renda; 
C indica o valor ou montante do termo/prestação; 
W indica o período de diferimento (que vai desde o momento presente até ao momento 
da constituição da renda); 
β indica a percentagem de juros que fica no processo (se houver regime misto no período 
de diferimento); 
r indica a taxa de juro; e 
R(t) indica o valor ou montante da renda (o valor comum das prestações) 
 Nota: a condição base para a aplicação desta fórmula, é que t, n, w e r devem vir 
expressos numa mesma unidade de tempo, que é como vimos atrás o período da renda 
(periodicidade dos termos). Nos casos em que a taxa dada vem numa unidade de tempo 
diferente do período da renda, recorre-se na equivalência de taxas. 
 
Rendas de termos variáveis 
 
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Entre as rendas de termos variáveis podemos encontrar dois grupos: i. Aquelas cujas 
variações dos termos não obedece a qualquer tipo de critério e ii. Aquelas cuja variação 
dos termos ocorre de acordo com regras previamente estabelecidas. 
No caso das primeiras, torna-se difícil encontrar um método que permita determinar 
rapidamente tanto o valor actual como o valor acumulado, pelo que torna-se necessário 
considerar individualmente cada um dos termos, como vimos acima no cálculo das 
rendas de termos quaisquer. 
No caso das segundas, dedicaremos a nossa atenção a dois casos particulares: o caso em 
que os termos da renda variam em função de um progressão aritmética e o caso em que 
os termos da renda variam em acordo com uma progressão geométrica. 
 
 Renda de termos de progressão aritmética 
 
Quando os termos da renda variam em progressão aritmética de razão B, teremos 
C1= C1 
C2=C1+B 
C3=C2+B=C1+2B 
…….. 
Cn=Cn-1+B=C1+(n-1)*B 
 
Donde podemos concluir que um dado termo k pode ser obtido através de 
 
Ck=Ck-1+B=C1+(k-1)*B 
 
O valor de uma renda cujos termos obedecem a estas características será dado por: 
 
R(t) = [C1(1+r)-1 + C2(1+r)-2 + C3(1+r)-3 +….+ Cn(1+r)-n](1+r)t-w 
 
Onde: 
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R(0) = C1(1+r)-1 + C2(1+r)-2 + C3(1+r)-3 +….+ Cn(1+r)-n (renda actual, sem diferimento) 
 
 
= C1(1+r)-1 + (C1+B)(1+r)-2 + (C1+2B)(1+r)-3 +….+ [C1+(n-1)B](1+r)-n 
 = C1(1+r)-1 + C1(1+r)-2 + B(1+r)-2 +C1(1+r)-3 + 2B(1+r)-3...+ C1(1+r)-n +(n-1)B(1+r)-n 
 
Multiplicando ambos os membros por (1+r), teremos: 
 
R(0)*(1+r) = C1 + C1(1+r)-1 + B(1+r)-1 +C1(1+r)-2 + 2B(1+r)-2...+ C1(1+r)-n+1 +(n-
1)B(1+r)-n+1 
 
Sendo que R(0) [(1+r)-1] = R(0)*(1+r) – R(0), então: 
R(0) [(1+r)-1] = C1 + C1(1+r)-1 + B(1+r)-1 +C1(1+r)-2 + 2B(1+r)-2...+ C1(1+r)-n+1 +(n-
1)B(1+r)-n+1 – [C1(1+r)-1 + C1(1+r)-2 + B(1+r)-2 +C1(1+r)-3 + 2B(1+r)-3...+ C1(1+r)-n+1 +(n-
2)B(1+r)-n+1 + C1(1+r)-n +(n-1)B(1+r)-n] 
 
R(0) [(1+r)-1] = C1 + B(1+r)-1 + B(1+r)-2...+ B(1+r)-n+1 – C1(1+r)-n – (n-1)B(1+r)-n 
 
R(0)*r = C1 + B(1+r)-1 + B(1+r)-2...+ B(1+r)-n+1 – C1(1+r)-n – nB(1+r)-n + B(1+r)-n 
 
R(0)*r = C1 – C1(1+r)-n + B(1+r)-1 + B(1+r)-2...+ B(1+r)-n+1 + B(1+r)-n – nB(1+r)-n 
 
R(0)*r = C1[1 – (1+r)-n] + B 




 +−
r
r)1(1 -n
 – nB(1+r)-n 
R(0) = C1 




 +−
r
r)1(1 -n
+ 
r
B





 +−
r
r)1(1 -n
 – 
r
r)+nB(1 -n
 
R(0) = [C1+ 
r
B ] 




 +−
r
r)1(1 -n
 – 
r
r)+nB(1 -n
 
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R(t) = [C1+ 
r
B ] 




 +−
r
r)1(1 -n
 – 
r
r)+nB(1 -n
 (1+ β*r)t-w 
 
Nota: a condição base para a aplicação desta fórmula, é que t, n, w e r devem vir 
expressos numa mesma unidade de tempo, que é o período da renda (periodicidade dos 
termos). Nos casos em que a taxa dada vem numa unidade de tempo diferente do período 
da renda, recorre-se, como se sabe, na equivalência de taxas. 
 
 
 
 
 
Renda de termos de progressão geométrica 
 
Quando os termos da renda variarem em progressão geométrica cuja razão indicaremos 
por B, teremos: 
C1= C1 
C2=C1*B 
C3=C2*B=C1*B2 
…….. 
Cn=Cn-1*B=C1*B(n-1) 
 
Donde podemos concluir que um dado termo k pode ser obtido através de 
 
Ck=Ck-1*B=C1*B(k-1) 
 
O valor de uma renda cujos termos obedecem a estas características será dado por: 
 
R(t) = [C1(1+r)-1 + C2(1+r)-2 + C3(1+r)-3 +….+ Cn(1+r)-n](1+r)t-w 
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Onde: 
 
R(0) = C1(1+r)-1 + C2(1+r)-2 + C3(1+r)-3 +….+ Cn(1+r)-n (renda actual, sem diferimento) 
 
= C1(1+r)-1 + C1*B(1+r)-2 + C1*B2(1+r)-3 +….+ C1*B(n-1)(1+r)-n 
 
Colocando C1 em evidência, teremos: 
R(0) = C1[(1+r)-1 + B(1+r)-2 + B2(1+r)-3 +….+ B(n-1)(1+r)-n] 
 
Dentro dos parênteses rectos temos os n termos de uma progressão geométrica de razão 
igual a B*(1+r)-1. 
Sabendo que a soma dos n termos de uma progressão geométrica é dada por: 
Sn = 
R1
R*U- U n1
−
 
 
Então, resulta que: Sn = 
B-r1
r)1(B1
r)(1*B -1
r)1(*Br)1(*Br)(1 -nn
1-
-1-n1-n-1
+
+−
=
+