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1ª Lista de Exercícios - Respostas

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Econometria II
1ª Lista de exercícios – Alberson da Silva Miranda
1. Prove que o estimador de MOQ é não viesado ou não tendencioso
O estimador será não viesado se .
Na notação matricial temos que:
E:
Substituindo, temos:
Como uma matriz multiplicada por sua inversa é igual a uma matriz identidade,
Aplicando esperança:
Considerando que a esperança de uma variável populacional é a própria variável; que uma matriz é algebricamente representada por seu determinante e; a esperança do termo do erro é nula por hipótese:
2. Pressupostos do MRLC na abordagem matricial
2.1. Valor esperado do resíduo nulo
2.2. Ausência de autocorrelação e heteroscedasticidade
A hipótese da ausência de autocorrelação requer que a covariância entre os termos de erro seja nula.
Uma propriedade da covariância diz que a covariância entre uma variável e ela mesma é igual a sua variância. A hipótese de homoscedasticidade considera que a variância seja constante.
Podemos expressar essas duas hipóteses através da matriz de variância-covariância dos distúrbios de .
2.3. Variáveis não estocásticas
A matriz de variáveis é não estocástica, consiste em um conjunto de números fixos.
2.4. Ausência de multicolinearidade
Para que as variáveis não sejam linearmente dependentes entre si, não pode existir um conjunto de números , que não sejam todos nulos, de forma que:
Na notação escalar:
Isso equivale a dizer que o determinante da matriz de variáveis não deve ser nula, ou que o posto da matriz deve ser pleno, ou seja, da mesma ordem da matriz.
2.5. Termo do erro segue distribuição normal multivariada
Em notação matricial:
3. Propriedades do MQO
3.1 Não viesado
3.2. Linear
São lineares nos parâmetros.
3.3. Consistente
À medida que o tamanho da amostra aumenta indefinidamente, os estimadores convergem para os valores populacionais.
3.4. Eficiente
Possui variância mínima.
4. Aplicação
4.1. Interprete os coeficientes estimados
Como as variáveis são logarítmicas, os coeficientes indicam a elasticidade de em relação ao PIB e juros.
4.2. Teste F
, rejeita-se a hipótese nula. Os parâmetros são significativos conjuntamente.
4.3. Teste T
, rejeita-se a hipótese nula. Os parâmetros são significativos individualmente.
4.4. Teste Durbin-Watson
Se a estatística calculada estiver entre os limites inferiores e as extremidades, rejeita-se a hipótese nula. Se estiver entre 2 e os limites superiores, não se rejeita. Se a estatística calculada se localizar em outra área, o teste não é conclusivo.
Como e , a estatística se encontra dentro da região de rejeição da hipótese nula. Há autocorrelação.
4.5. Interprete o coeficiente de determinação e o ajustado. Qual a diferença entre eles?
O coeficiente de determinação indica o percentual de variação da variável explicada relacionada às variáveis explicativas, enquanto o ajustado pondera o cálculo pelos graus de liberdade, visando penalizar a inclusão de variáveis que não contribuem ao modelo.
No caso específico, quase em sua totalidade o modelo é explicado pelas variáveis levantadas – 99%.
4.6. Autocorrelação e Heteroscedasticidade
4.6.1. Autocorrelação
A autocorrelação ocorre quando há correlação entre integrantes de séries de observações ordenadas no tempo, no caso de séries temporais, ou no espaço, como no caso de dados de corte transversal. Uma das hipóteses do MRLC é que não exista autocorrelação entre os termos de erro, de forma que para todo :
Quando realizamos a regressão na presença de autocorrelação não captamos somenteos efeitos das variáveis em , mas também de resíduos das séries correlacionadas, interferindo na inferência.
Além disso, o parâmetro estimado pelo MQO não será mais o melhor dentre a classe dos estimadores não tendenciosos e consistentes, pois não apresentará variância mínima, perdendo sua propriedade de eficiência. Quando isso ocorre, se utilizarmos o MQO os teste de hipóteses e são afetados e há riscos de não rejeitarmos uma hipóteses nula quando deveríamos fazê-lo.
4.6.2. Heteroscedasticidade
Já a heteroscedasticidade ocorre quando a variância dos termos do resíduo não são constantes. Isso significa que alguns valores de , para diferentes , por estarem mais próximos ou afastados dos dados populacionais, devido a seu maior ou menor resíduo, seriam mais ou menos confiáveis que outros.
O MQO não é capaz de detectar essa variação e por isso ocorre no mesmo problema da autocorrelação, perde a propriedade da eficiência. O MQG possui mecanismos específicos para detectar, ponderar e atribuir maior importância para as amostras mais próximas da função populacional, por isso ele é irá gerar o melhor estimador da classe dos não tendenciosos e consistentes. Se insistirmos na estimativa pelo MQO na presença de heteroscedasticidade, qualquer que seja o resultado inferido nos testes de significância, estes poderão ser equivocados.
4.7. Multicolinearidade
A multicolinearidade aparece quando há correlação perfeita ou menos que perfeita entre duas ou mais variáveis explanatórias de um modelo.
A multicolinearidade perfeita acontece quando há um conjunto de números não nulos que atendem a seguinte relação:
Já a imperfeita ocorre quando um termo de erro é necessário para manter a nulidade da relação:
A restrição associada a multicolinearidade se apresenta no primeiro caso. Nessa situação, como o determinante da matriz é nula, chegamos a um sistema indeterminado, impossibilitando a estimação.
Já quando temos multicoliearidade imperfeita, contrariamente aos problemas relacionados a autocorrelação e heteroscedasticidade, mantemos as suas propriedades do estimador por MQO. Ele continuará tendo a menor variância dentre os estimadores não tendenciosos e consistentes, mesmo que ela não seja pequena.
7. Modelos econométricos dinâmicos
7.1. Definição e exemplos
7.1.1. O que são modelos dinâmicos?
São modelos de regressão que incluem não somente os valores correntes das variáveis mas também seus valores passados.
7.1.2. Quais os tipos de modelos?
Autoregressivos e defasagens distribuídas. O primeiro é quando o modelo inclui variáveis defasadas da variável dependente e o segundo quando das variáveis independentes.
7.1.3. Exemplos
7.2. Razões para defasagem
7.2.1. Razões psicológicas
Como resultado da força do hábito, as pessoas não mudam seu hábito de consumo imediatamente após alguma alteração na renda. Além disso, a alteração desses hábitos dependerá da permanência desse efeito. Se for apenas sazonal, a tendência é que mantenhamos nossos hábitos constantes.
7.2.2. Razões tecnológicas
Substituição de tecnologias, capital, se dão apenas no longo prazo com mudanças estruturais. Variações sazonais não influenciam nessas trocas, por isso há a defasagem, referente ao período de gestação do novo investimento.
7.2.3. Razões institucionais
Obrigações contratuais podem gerar atrasos na adaptação a um novo cenário.
7.3. Por que se impõem restrições nos coeficientes dos modelos de defasagens distribuídas?
Porque cada inclusão de defasagem representa a inclusão de uma variável explicativa, o que irá consumir um grau de liberdade, podendo comprometer os testes de hipótese caso o número de amostras não comporte a quantidade escolhida de defasagens.
8. Existe razão para que seja utilizado um modelo de defasagens distribuídas na estimativa?
Sim, devido à todas as razões citadas anteriormente. Contratos de aluguel, por exemplo, não poderão ser reajustados imediatamente após a alteração da taxa de juros.
9. Modelo de Koyck
Forma geral:
Estimadores da forma geral:
Forma reduzida:
9.1. Calcule os coeficientes da equação até .
9.2. Qual a propensão a consumir de curto prazo (multiplicador de impacto ou de curto prazo)?
9.3. Qual a propensão marginal a consumir de longo prazo (multiplicador total)?
9.4. Teste a autocorrealção do modelo
: ausência de autocorrelação
: presença de autocorrelação
A 95% de significância, , portanto não se rejeita a hipótese nula. O modelo não é autocorrelacionado.
10. Modelo de defasagem aritmética
Onde:
10.1. Coloque num gráfico o peso das defasagens, supondoe 
10.2. Supondo , obtenha o modelo restrito
10.3. Como calcular o peso de defasagens estimadas e seus erro padrões?
Primeiro, estimar a equação no modelo reduzido e achar . Então aplicar a seguinte fórmula para encontrar os estimadores: 
E sua variância será
Logo:
11. Como determinar o grau do polinômio a ser trabalhado?
Rodar a equação de maior grau. Usar o maior grau em que o estimador seja significante.
13. Se no modelo de Koyck MQO é válido?
Não, pois se uma variável explicativa está correlacionada com o termo do erro, o estimador pelo MQO serão não apenas tendencioso como também inconsistente.

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