Taxa Relacionada - Cálculo 1

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Caderno de Exerc´ıcios Diego Alves Oliveira
Exerc´ıcios Resolvidos: Taxa Relacionada
Contato: diegoalvez@pop.com.br
Resolver problemas relativo a taxas relacionadas e´ um processo de seis passos.
1. Verifica-se os dados que o problema nos da´ e o que e´ requerido;
2. Encontra-se uma relac¸a˜o geral entre os dados que apo´s a derivada da relac¸a˜o
fornec¸a o valor desejado;
3. Substitu´ımos na relac¸a˜o os valores que sa˜o constantes;
4. Derivamos a relac¸a˜o implicitamente;
5. Evidenciamos o resultado desejado;
6. Fazemos as substituic¸o˜es necessa´rias para obter a resposta.
Tambe´m e´ aconselha´vel que se fac¸a um desenho ou esquema da situac¸a˜o para que seja poss´ıvel
entender melhor o problema, embora dependendo da habilidade do aluno isso possa ser dis-
pensa´vel.
Exemplo 1:
Uma pipa esta voando a uma altura de 40 m. Uma crianc¸a esta empinado a de tal forma que
ela se mova horizontalmente a uma velocidade de 3 m/s. Se a linha estiver esticada, com que
velocidade a linha esta sendo “dada”, quando o comprimento da linha desenrolada for de 50m?
Soluc¸a˜o:
10 Passo:
Dados:
y = 40 m
z = 50 m
dx/dt = 3 m/s
dz/dt = ?
Com base no problema e nos dados fornecidos constru´ımos um triaˆngulo retaˆngulo com as
seguintes medidas.
40 m
x = 30 m
50 m
1
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Onde o valor de x foi determinado pelo teorema de Pita´goras (x2 = 502 − 402).
20 Passo:
O desenho do problema sugere que a relac¸a˜o entre os dados (x, y, z) e´ o pro´prio teorema de
Pita´goras.
z2 = x2 + y2
Note que se derivarmos essa relac¸a˜o obteremos dz/dt. Que e´ o que desejamos saber.
30 Passo:
No problema a pipa se move apenas horizontalmente. Assim a altura da pipa (y) se mante´m
sempre constante.
z2 = x2 + 402
z2 = x2 + 1600
Ja´ o z (tamanho da linha), e o x (distancia horizontal entre a pipa e o menino), na˜o sa˜o
constantes.
4◦ Passo:
Agora deriva-se a relac¸a˜o anterior implicitamente em relac¸a˜o ao tempo.
2z
dz
dt
= 2x
dx
dt
+ 0
A derivada ocorre em relac¸a˜o ao tempo pois o deslocamento da pipa em qualquer direc¸a˜o
pode ser descrito em func¸a˜o do tempo.
50 Passo:
Agora que evidenciamos dz/dt.
dz
dt
=
2x
dx
dt
2z
60 Passo:
E finalmente substitu´ımos x, y e dx/dt para obter o valor desejado.
dz
dt
=
2(30)(3)
2(50)
dz
dt
=
180
100
dz
dt
=
9
5
m/s
2
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Exemplo 2:
Acumula se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura e´ igual ao raio da
base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m3/h, a que raza˜o aumenta a a´rea da base
quando a altura do monte e´ 4 m?
Soluc¸a˜o:
10 Passo:
Dados:
h = 4
r = 4
dA
dt
e´ o que desejamos saber.
dV
dt
= 10 m3/h
h = d/2
d
20 Passo:
Neste caso a fo´rmula capaz de fornecer o que sera´ pedido e´ a da a´rea do circulo.
A = pir2
30 Passo:
O raio do cone varia com a altura. E a altura por sua vez tambe´m varia a medida que a
areia e´ despejada, assim na˜o existe valores constantes na relac¸a˜o A = pir2. Logo podemos pular
o passo 3.
40 Passo:
dA
dt
= 2pir
dr
dt
50 Passo:
O passo seguinte seria evidenciar dA/dt, mas como isto ja´ esta feito passamos para o passo
6.
50 Passo:
3
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Como r = 4 enta˜o:
dA
dt
= 2 · 4pidr
dt
dA
dt
= 8pi
dr
dt
O fato interessante e´ que o problema na˜o nos da´ o valor de dr/dt, pelo menos na˜o diretamente.
Sabe-se que o volume de um cone e´ dado por:
V =
1
3
pir3
Derivando a expressa˜o implicitamente se teˆm:
dV
dt
=
1
3
pi3r2
dr
dt
dV
dt
= pir2
dr
dt
dr
dt
=
1
pir2
dV
dt
substituindo o valor de r
dr
dt
=
5
8pi
m2/h
Agora de posse do valor de dr/dt podemos finalizar o 6◦ passo.
dA
dt
= 8pi
(
5
8pi
)
m2/h
dA
dt
= 5 m2/h
Os pro´ximos exerc´ıcios seguem a mesma lo´gica do passo a passo, mas por questa˜o de economia
sera˜o resolvidos de forma menos detalhada.
Exemplo 3:
Uma escada de 6 m de comprimento esta´ apoiada em uma parede vertical. Se a base da
escada comec¸a a escorregar horizontalmente a taxa constante de 0.6 m/s, com que velocidade o
topo da escada percorre a parede quando esta a 4 m do solo?
Soluc¸a˜o:
Dados:
x = 2
√
5 m
y = 4 m
4
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z = 6 m
dx/dt= 0.6 m/s
dy/dt = ?
Com base nos dados constru´ımos um triaˆngulo com as seguintes medidas.
4 m
x = 2
√
5 m
6 m
Onde x foi obtido atrave´s do teorema de Pita´goras.
A fo´rmula que fornecera´ o valor desejado sera´ o teorema de Pita´goras.
x2 + y2 = z2
Como a escada na˜o pode alterar seu comprimento enta˜o z e´ constante e igual a 6.
x2 + y2 = 36
Derivando implicitamente.
2x
dx
dt
+ 2y
dy
dt
= 0
2(2
√
5m)0.6m/s+ 2(4m)
dy
dt
= 0
2.4
√
5m2/s+ 8m
dy
dt
= 0
Evidenciando dy/dt
dy
dt
= −0.3
√
5m/s
Neste caso o sinal de negativo indica o sentido do movimento da escada (para baixo).
Exemplo 4:
Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4 m de altura e raio da base
2 m. Se a´gua entra no tanque a´ raza˜o de 0.001 m3/min calcule a raza˜o em que o n´ıvel de a´gua
esta´ subindo quando a altura e´ 1 m?
Soluc¸a˜o:
Dados:
h = 4 m
r = 2 m
dV
dt
= 0.001 m3/min
5
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Queremos descobrir
dh
dt
quando h = 1 m.
A equac¸a˜o que ira´ relacionar dh/dt aos dados sera´:
V =
1
3
pir2h
Derivando implicitamente.
dV
dt
=
1
3
pi
(
2rh
dr
dt
+ r2
dh
dt
)
Pelo problema sabe-se que:
h
r
=
4
2
⇒ h = 2r
Da igualdade anterior ainda temos que:
dh
dt
= 2
dr
dt
⇒ dr
dt
=
dh
2dt
Substituindo dr/dt = dh/2dt e tambe´m h = 1r em dv/dt chega-se:
dV
dt
=
1
3
pi
(
2
(
h
2
)
h
dh
2dt
+
(
h
2
)2
dh
dt
)
dV
dt
=
1
3
pi
(
h2
2
dh
dt
+
h2
4
dh
dt
)
dV
dt
=
1
3
pi
dh
dt
(
h2
2
+
h2
4
)
dV
dt
=
1
3
pi
dh
dt
(
3
4
h2
)
dV
dt
= pi
dh
dt
(
h2
4
)
4
h2pi
· dV
dt
=
dh
dt
dh
dt
=
4
h2pi
· dV
dt
Finalmente quando h = 1 m temos:
dh
dt
=
4
1pi
· 0.001 (m/min) ' 0.00127 m/min
Exemplo 5:
Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diaˆmetro varia a´ raza˜o de 0.005 cm/min.
Determine a taxa a´ qual a a´rea de uma das faces varia quando o diaˆmetro e´ 30 cm.
6
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Soluc¸a˜o:
Dados:
dD/dt = 0.005 cm/min
dA/dt = ?
D = 30 cm
Tomando a relac¸a˜o A = pir2 que e´ fo´rmula para a´rea do c´ırculo.
E derivando a implicitamente temos:
dA
dt
= 2pir
dr
dt
Sabe-se que o diaˆmetro (D) e duas vezes o raio (D = 2r) enta˜o:
dD
dt
= 2
dr
dt
⇒ 0.5dD
dt
=
dr
dt
Assim:
dA
dt
= 2pi(D/2)
(
0.5
dD
dt
)
dA
dt
= piD
(
0.5
dD
dt
)
dA
dt
= 30pi (0.5(0.005))
dA
dt
= 0.075pi (cm2/min)
Exemplo 6:
Suponha que uma bola de neve esteja se derretendo, com raio decrescendo a raza˜o constante
2 cm/min. Qual a variac¸a˜o do volume quando o raio esta´ com 25 cm?
Soluc¸a˜o:
Dados:
dr/dt = -2 cm/min
dv/dt = ?
r = 25 cm.
A fo´rmula do volume da esfera e´:
V =
4
3
pir3
Derivando implicitamente.
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dV
dt
=
4
3
pi3r2
dr
dt
dV
dt
= 4pir2
dr
dt
Finalmente substituindo os valores
dV
dt
= 4pi(25)2(−2) cm3/min
dV
dt
= 5000pi cm3/min
Exemplo 7:
A areia que vaza de um deposito e forma uma pilha coˆnica cujaaltura sempre e´ igual ao raio
da base. Se a altura da pilha aumenta a uma raza˜o de 15 cm/min Determine a taxa a qual a
areia esta´ se escoado quando a altura da pilha for de 25 cm.
Soluc¸a˜o:
Dados:
h = r
dh/dt = 15 cm/min
dv/dt = ?
h = 25.
V =
1
3
pir2h
Derivando implicitamente.
dV
dt
=
1
3
pi2r
dr
dt
h+
1
3
pir2
dh
dt
Como h = r enta˜o dr/dt = dh/dt e assim:
dV
dt
=
1
3
pi
(
2r
dr
dt
h+ r2
dh
dt
)
dV
dt
=
1
3
pi
(
2h
dh
dt
h+ r2
dh
dt
)
dV
dt
=
1
3
pi
dh
dt
(
2h2 + h2
)
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dV
dt
=
1
3
pi
dh
dt
3h2
dV
dt
= pi15(25)2
dV
dt
= pi15(25)2 = 9375pi
dV
dt
= 9375pi cm3/min
Exemplo 8:
Uma pedra jogada em um lago emite ondas circulares, cujo raio cresce a uma taxa constante
de 3 m/s. Com que rapidez estaria variando a a´rea englobada pela onda crescente ao final de 10
segundos?
Soluc¸a˜o:
Dados:
dr/dt = 3 m/s
dA/dt = ?
t = 10s
A = pir2
dA
dt
= 2pir
dr
dt
Como o raio varia 3 m/s em 10 segundos teremos um raio de 30 m.
dA
dt
= 2pi(3 · 10)(3) = 180pi m2/s
Exemplo 9:
Um bala˜o esfe´rico e´ inflado de tal forma que o volume cresce a taxa de 3 m3/min. Com que
rapidez o diaˆmetro do bala˜o estara´ crescendo quando o raio for de 1 m?
Soluc¸a˜o:
V =
4
3
pir3
dv
dt
= 4pir2
dr
dt
9
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3 (m3/min) = 4pi(1 m)2
dr
dt
dr
dt
=
3
4pi
(m/min)
Exemplo 10:
Dois carros esta˜o se encaminhando em direc¸a˜o a um cruzamento, um seguindo a direc¸a˜o leste
a uma velocidade de 90 km/h e o outro seguindo a direc¸a˜o sul, a 60 km/h. Qual a taxa segundo
a qual eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro esta´ a 0.2 km do
cruzamento e o segundo a 0.15 km?
Soluc¸a˜o:
Dados:
dx/dt = 90
dy/dt = -60
dz/dt = ?
x = 0.2 Km
y = 0.15 Km
60 km/h
90 km/h
Neste caso desejamos saber
dz
dt
quando x = 0.2 Km e y = 0.15 Km.
Para isso usaremos o teorema de Pita´goras:
x2 + y2 = z2
Derivando implicitamente.
2x
dx
dt
+ 2y
dy
dt
= 2z
dz
dt
E simplificando
10
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x
dx
dt
+ y
dy
dt
= z
dz
dt
substitu´ımos os valores de dx/dt e dy/dt
2x(90) + 2y(60) = 2z
dz
dt
e evidenciamos o dz/dt.
dz
dt
=
0.2(90) + (0.15)(−60)
z
Quando x = 0.2 e y = 0.15, z e´ igual 0.25 (teorema de Pita´goras). E portanto:
dz
dt
= −108 Km/h
Um resultado interessante neste problema ocorre se aplicarmos o teorema de Pita´goras dire-
tamente as velocidades (que sa˜o nada mais que vetores).
Vz =
√
602 + 902 ≈ 108.167 km/h
Que e´ um resultado bastante pro´ximo do calculado por meio da derivac¸a˜o impl´ıcita.
Exemplo 11:
Suponha que, em certo mercado, x milhares de caixas de laranjas sejam fornecidos diariamente
sendo p o prec¸o por caixa e a equac¸a˜o de oferta
px− 20p− 3x+ 105 = 0
Se o fornecimento dia´rio estiver decrescendo a uma taxa de 250 caixas por dia, com que taxa
os prec¸os estara˜o variando quando o fornecimento dia´rio for de 5 mil caixas?
Soluc¸a˜o:
Queremos descobrir
dp
dt
quando x = 5. Derivando a expressa˜o implicitamente chega-se a`:(
x
dp
dt
+
dx
dt
p
)
− 20dp
dt
− 3dx
dt
+ 0 = 0
dp
dt
(x− 20) + dx
dt
(p− 3) = 0
dp
dt
=
−dx
dt
(p− 3)
x− 20
Quando x = 5 p = 6
p(5) - 20p - 3(5) + 105 = 0
p = 6
11
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Portanto:
dp
dt
= −0.25(6− 3)
(5− 20) = 0.05 R$
Exemplo 12:
Um avia˜o voa a 152.4 m/s paralelamente ao solo, a uma altitude de 1.220 m no sentido oeste,
tomando como referencia um holofote fixado no solo que o focaliza e que se encontra a` esquerda
da projec¸a˜o vertical do avia˜o em relac¸a˜o ao solo.
Sabendo-se que a luz do holofote devera´ permanecer iluminado o avia˜o, qual devera´ ser a
velocidade angular (de giro) do holofote, no instante em que a distaˆncia horizontal entre ele e a
projec¸a˜o vertical do avia˜o for de 610 m?
Soluc¸a˜o:
1220 m
Queremos encontrar
dθ
dt
quando x = 610 m.
tg θ =
1220
x
sec2θ
dθ
dt
= −1220
x2
dx
dt
Substituindo
dx
dt
= −152.4 na equac¸a˜o anterior e dividindo por sec2 θ, iremos obter
dθ
dt
=
185.928
x2sec2θ
Quando x = 610, tgθ = 2 e sec2 θ = 5.
dθ
dt
=
185.928
6102 · 5
≈ 1
10
rad/s
Exemplo 13:
Uma piscina tem 5 m de largura por 10 m de comprimento, 1 m de profundidade na parte
rasa, e 3 m na parte mais funda. Sua secc¸a˜o transversal esta´ mostrada na figura. Se a piscina
for enchida a uma taxa de 0.1 m3/min, qua˜o ra´pido estara´ subindo o n´ıvel de a´gua quando sua
profundidade no ponto mais profundo for de 1 m?
Soluc¸a˜o:
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Com base nos dados esboc¸amos o desenho a seguir.
b
yx
h 2
3
1.5 4
A´rea do trape´zio:
A =
(b+ 3)
2
h
Como a piscina teˆm 5 m de largura enta˜o:
V = 5A = 5
(b+ 3)
2
h
Pelo desenho percebemos que:
x
h
=
1.5
2
⇒ x = 0.75h
y
h
=
4
2
⇒ y = 2h
Substituindo estes valores na equac¸a˜o do volume e sabendo que b = x + 3 + y
V = 5
((x+ 3 + y) + 3)
2
h
V = 5
(x+ y + 6)
2
h
V =
5x+ 5y + 30
2
h
V =
5(0.75h) + 5(2h) + 30
2
h
V =
3.75h2 + 10h2 + 30h
2
V = 1.875h2 + 5h2 + 15h
Derivando implicitamente
dV
dt
= 3.75h
dh
dt
+ 10h
dh
dt
+ 15
dh
dt
dV
dt
=
dh
dt
(13.75h+ 15)
13
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Substituindo a taxa e h = 1 m.
0.1 =
dh
dt
(13.75(1) + 15)
dh
dt
≈ 0.0035 m
Exemplo 13:
A´gua esta´ saindo de um tanque em forma de um cone invertido a uma taxa de 10.000 cm3/min
no momento em que a´gua esta´ sendo bombeada para dentro a uma taxa constante. O tanque
tem 6 m de altura e seu diaˆmetro no topo e´ 8 m. Se o n´ıvel da a´gua esta´ subindo a uma taxa
de 20 cm/min quando a altura era 2 m, encontre a taxa com que a a´gua esta´ sendo bombeada
para dentro.
Soluc¸a˜o:
2 m = 200 cm
600 cm
800 cm
A variac¸a˜o do volume de a´gua e´ dada pela fo´rmula
dv
dt
= Taxa que entra− Taxa que sai
dv
dt
= Taxa que entra− 10000
Para determinar a taxa que entra devemos saber o valor de dv/dt.
V =
4
3
pirh
Do problema sabemos que
4
r
=
6
h
e que r =
2
3
h e portanto
V =
1
3
pi
(
2h
3
)2
h =
4pih3
27
que derivando implicitamente obtemos
dv
dt
=
4pih2(dh/dt)
9
= Taxa que entra − 10000
logo a taxa de entrada no momento em que a altura era 200 cm era
Taxa que entra =
(
4pi(200)220
9
+ 10000
)
cm3/min
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Caderno de Exerc´ıcios Diego Alves Oliveira
Exemplo 14
Um corredor corre em uma trajeto´ria circular de raio 100 m a uma velocidade constante de
7 m/s. Um outro indiv´ıduo esta´ parado a uma distaˆncia de 200 m do centro da pista. Qual a
taxa de variac¸a˜o da distaˆncia entre os dois quando esta distaˆncia era 200 m?
Soluc¸a˜o:
Observe o esquema a seguir
100 m
200 m
θ
x
y z
O problema e´ que na˜o sabemos exatamente a posic¸a˜o dos dois corredores. Enta˜o na˜o podemos
usar o teorema de Pita´goras. Vamos usar a lei dos cossenos para expressar a distaˆncia entre os
dois:
z2 = x2 + y2 − xy · cosθ
Derivando implicitamente e levando em conta que x e y na˜o variam no tempo chega-se a´:
2z
dz
dt
= 104 · 2(senθ)dθ
dt
dz
dt
=
104
z
(senθ)
dθ
dt
dz
dt
=
104
200
(senθ)
dθ
dt
dz
dt
= 50(senθ)
dθ
dt
Da f´ısica sabemos que s = rθ.
ds
dt
= r
dθ
dt
7 m/s = (100 m)
dθ
dt
dθ
dt
= 0.07 rad/seg
sabendo que adistaˆncia entre eles era 200 m podemos determinar o aˆngulo θ a saber:
2002 = 1002 + 2002 − 2 · 104cosθ
cosθ =
1
2
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Caderno de Exerc´ıcios Diego Alves Oliveira
implicando que θ = 60◦. Assim:
dz
dt
= 50 · sen(60◦) · 0.07 ≈ 3.032 m/s
Exemplo 15
A equac¸a˜o de demanda de uma determinada camisa e´ 2px+ 65p− 4950 = 0, onde x centenas
de camisas sa˜o demandadas por semana quando p for o prec¸o unita´rio. Se a camisa estiver sendo
vendida esta semana $ 30 e o prec¸o estiver crescendo a uma taxa de $ 0.20 por semana, ache a
taxa de variac¸a˜o na demanda.
Soluc¸a˜o:
A equac¸a˜o e´ a seguinte:
2px+ 65p− 4950 = 0
Na˜o ha´ constantes no problema, pois tanto x como p variam com o tempo. Deste modo na˜o
ha´ substituic¸o˜es a fazer.
Derivando a equac¸a˜o implicitamente chega-se a`:
2
dp
dt
x+ 2p
dx
dt
+ 65
dp
dt
= 0
Como p = 30 e
dp
dt
= 0.2 enta˜o:
2(0.20)x+ 2(30)
dx
dt
+ 65(0.20) = 0
dx
dt
= −65(0.20) + 2(0.20)x
2 · 30
Para descobrir o valor de x usamos a equac¸a˜o inicial.
2px+ 65p− 4950 = 0
2(30)x+ 65(30)− 4950 = 0⇒ x = 50
Portanto
dx
dt
= −65(0.20) + 2(0.20)(50)
2 · 30 = −0.55
Decresce a taxa de 55 camisas por semana.
Exemplo 16: Uma laˆmpada esta´ pendurada a 4,5m de um piso horizontal. Se um homem
com 1,80m de altura caminha afastando-se da luz, com uma velocidade de 1,5m/s:
a)qual a velocidade de crescimento da sombra?
b)com que velocidade a ponta da sombra do homem esta´ se movendo?
16
Caderno de Exerc´ıcios Diego Alves Oliveira
Soluc¸a˜o:
O problema envolve uma semelhanc¸a de triaˆngulos.
A D C
E
B
Onde:
AD = y
DC = x
AB = 4,5m
DE = 1,80m
dy/dt = 1,5 m/s
dx/dt = ? Item (a)
d(x + y)/dt = ? Item (b)
Da semelhanc¸a entre os triaˆngulos ∆ABC e ∆CDE temos que:
AC
AB
=
DC
DE
(x+ y)
4, 5
=
x
1, 80
x
(x+ y)
= 0, 4
x = 0, 4x+ 0, 4y
0, 6x = 0, 4y
Como queremos achar dx/dt, derivamos em ambos os lados em relac¸a˜o ao tempo(t):
0,6(dx/dt) = 0,4(dy/dt)
dx/dt = 0,4
(dy/dt)
0, 6
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Caderno de Exerc´ıcios Diego Alves Oliveira
dx/dt = (0, 4 · 1, 5)/0, 6
dx/dt = 1 m/s (Primeira resposta).
A velocidade com que a ponta da sombra do homem esta´ se movendo e´ a derivada da sua
distaˆncia horizontal ate´ a laˆmpada em relac¸a˜o ao tempo, portanto e´ o mesmo que derivar x + y
em relac¸a˜o a t.
d(x + y)/dt = dx/dt + dy/dt
d(x + y)/dt = 1,5 + 1
d(x + y)/dt = 2,5 m/s
Respostas:
(a) 1,0 m/s
(b) 2,5 m/s
Exemplo 17: Um radar da pol´ıcia rodovia´ria esta´ colocado atra´s de uma a´rvore que fica a
12 metros de uma rodovia que segue em linha reta por um longo trecho. A 16 metros do ponto
da rodovia mais pro´ximo do radar da pol´ıcia, esta´ um telefone de emergeˆncia. O policial mira o
canha˜o do radar no telefone de emergeˆncia. Um carro passa pelo telefone e, naquele momento, o
radar indica que a distaˆncia entre o policial e o carro esta´ aumentando a uma taxa de 70 km/h.
O limite de velocidade naquele trecho da rodovia e´ de 80km/h. O policial deve ou na˜o multar o
motorista?
Soluc¸a˜o:
O problema acima e´ esquematizado na figura abaixo:
Radar
12m
Telefone
16m
z2 = x2 + y2
Como a distaˆncia horizontal entre a rodovia e o radar se manteˆm constante.
z2 = 122 + y2
z2 = 144 + y2
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Derivando implicitamente.
2z
dz
dt
= 0 + 2y
dy
dt
e evidenciando dy/dt
dy
dt
=
2z(dz/dt)
2y
dy
dt
=
z(dz/dt)
y
e finalmente substituindo os valores chega-se ao resultado.
dy
dt
=
(70)(122 + 162)0.5
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= 87.5
Como o limite e´ de 80 Km/h e a velocidade do carro e´ de 87.5 km/h a na˜o ser que o motorista
tenha uma boa desculpa ele deve ser multado.
Exemplo 18: Considere um bala˜o meteorolo´gico a ser lanc¸ado de um ponto a 100 metros
de distaˆncia de uma caˆmera de televisa˜o montada no n´ıvel do cha˜o. A` medida em que o bala˜o
sobe, aumenta a distaˆncia entre a caˆmera e o bala˜o e o aˆngulo que a caˆmera faz com o cha˜o.
Se o bala˜o esta´ subindo a uma velocidade de 6 m/s, pergunta-se:
(a) Quando o bala˜o estiver a 75m de altura, qual a velocidade com que o bala˜o se
afasta da caˆmera?
(b) Decorridos 5 segundos apo´s o lanc¸amento, para filmar a subida do bala˜o, com que
velocidade a caˆmera esta´ girando?
Soluc¸a˜o de a:
Para resolver o item (a), podemos usar a func¸a˜o seno para obter uma equac¸a˜o que relaciona
as vara´veis d (distaˆncia horizontal entre a caˆmera e o bala˜o), h (distaˆncia vertical entre o bala˜o
e o solo) e θ (angulo da caˆmera com a horizontal). Assim temos que:
senθ =
h
z
Onde z e´ o comprimento da reta que liga a caˆmera diretamente ao bala˜o.
Fazendo a derivada da func¸a˜o e evidenciando dθ/dt
dθ
dt
=
(dh/dt)z − (dz/dt)h
cos(θ)z2
Pelo teorema de Pita´goras quando d = 100 e h = 75 enta˜o z = 125.
z =
√
1002 + 752
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Caderno de Exerc´ıcios Diego Alves Oliveira
Enta˜o:
dθ
dt
=
(6m/s)125− (dz/dt)75
cos(θ)(125)2
Pelo pro´prio teorema de Pita´goras e considerando que d = 100 permanece sempre fixo enta˜o:
z2 = d2 + h2
z2 = 104 + h2
2(dz/dt) = 0 + 2(dh/dt)
(dz/dt) = 0 + (dh/dt)
Assim
dθ
dt
=
(6m/s)125− (dz/dt)75
cos(θ)(125)2
=
(6m/s)125− (dh/dt)75
cos(θ)(125)2
dθ
dt
=
(6m/s)125− (6m/s)75
cos(θ)(125)2
dθ
dt
=
750− 450
cos(θ)15625
dθ
dt
=
300
cos(θ)15625
dθ
dt
=
0.0192
cos(θ)
Ocorre que quando h = 75 o seno de θ e´ igual a´:
senθ =
75
125
Com essa informac¸a˜o chegamos a primeira soluc¸a˜o.
dθ
dt
=
0.0192
(75/125)
= 0.032 Rad/s
Exemplo 19: Um homem caminha ao longo de um caminho reto com velocidade 4 m/s.
Uma laˆmpada esta´ localizada no cha˜o a 20m da trajeto´ria (distaˆncia ortogonal) e e´ mantida
focalizada na direc¸a˜o do homem. Qual a velocidade de rotac¸a˜o da laˆmpada quando o homem
esta´ a 15m do ponto do caminho mais pro´ximo da laˆmpada?
Soluc¸a˜o de a:
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Caderno de Exerc´ıcios Diego Alves Oliveira
tgθ =
x
y
Como tg(θ) =
seno(θ)
cos(θ)
enta˜o tg′(θ) =
sen2(θ) + cos2(θ)
cos2(θ)
dθ =
dθ
cos2(θ)
Assim:
d(θ)
cos2(θ)
=
dx(y)− dy(x)
y2
Pelo teorema de Pita´goras 202 = 152 + y2 que resulta em y2 = 175
Substituindo os demais valores e explicitando dθ
dθ =
4(175)− 0(15)
1752
cos2(θ)
dy = 0 pois, na˜o ha velocidade vertical por parte do homem que caminha em relac¸a˜o a
lanterna.
dθ =
4(175)− 0(15)
1752
(√
175
20
)
dθ ' 0.015
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