Prova1-MEC1-2010.1

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��UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO�Data
 / / �Graus���ESCOLA POLITÉCNICA�������1����Curso de Engenharia Civil�2����Departamento de Mecânica Aplicada e Estruturas�3����Disciplina:�Turma:�4���Professor:�5���Aluno:���
Questão 1: (2,5 pontos)
Um bloco de peso W é suspenso por uma corda de 500 mm de comprimento e por duas molas de comprimentos, sem deformação, de 450 mm. Sabendo que as constantes das molas são kAB = 3000 N/m e kAD = 1000 N/m, determine a tração na corda e o peso do bloco. 
Questão 2: (2,5 pontos)
Antes que o tronco de uma arvora caia, os cabos AB e CB são amarrados, como mostra a ilustração. Sabendo que as forças de tração nos cabos AB e CB são de 0,777 kN e 0,990 kN, respectivamente, determine o momento em relação a O da força resultante exercida sobre a árvore pelos cabos em B. 
Questão 3: (3,0 pontos)
Substitua as três forças que atuam na placa por um torsor. Especifique os vetores força e momento do torsor, suas intensidades e o ponto P(x,y) onde sua linha de ação intercepta a placa.
Questão 4: (2,0 pontos)
Determine as componentes horizontais e verticais das forças nos pinos A, B e C da estrutura de dois elementos da figura.
Gabarito Questão 1:
Mola AB: Comprimento final: SQRT(3302 + (580-140)2) = 550 mm
 Alongamento = 550 – 450 = 100 mm = 0,1 m
 FAB = 0,1 x 3000 = 300 N (0,25)
Mola AD: Comprimento final: SQRT(3202 + (460-140)2) = 680 mm
 Alongamento = 680 – 450 = 230 mm = 0,23 m
 FAD = 0,23 x 1000 = 230 N (0,25)
 
Equilíbrio: Força 300 N com ângulo de 36,87( para a esquerda;
 Força FAC com ângulo de 73,74( e força de 230 N com ângulo de 28,07( para a direita. 
( Fx = 0 ( 300 cos 36,87( = FAC cos 73,74( + 230 cos 28,07( 
 240 = 0,28 FAC + 202,95 ( FAC = 132,3 N (1,00)
( Fy = 0 ( W = 300 sen 36,87( + 132,3 sen 73,74( + 230 sen 28,07( = 180,0 + 127,0 + 108,22 = 415,2 N
 (1,00)
Gabarito Questão 2:
Vetor unitário na direção AB: (-0,9 – 0,0)i + (0,0 – 8,4)j + (7,2 – 0,0)k / SQRT((-0,9)2 + (-8,4)2 + (7,2)2)
 = (-0,9i -8,4j + 7,2k) / 11,10 = -0,081i -0,757j + 0,649k (0,5) 
FAB = 777 (-0,081i -0,757j + 0,649k) = -62,94i -588,19j + 504,27k 
Vetor posição OB = r: 8,4j 
Produto vetorial: r x F = 4235,87i + 528,70k (0,5) 
Vetor unitário na direção AC: (5,1 – 0,0)i + (0,0 – 8,4)j + (1,2 – 0,0)k / SQRT((5,1)2 + (-8,4)2 + (1,2)2)
 = (5,1i -8,4j + 1,2k) / 9,90 = 0,515i -0,848j + 0,121k (0,5) 
FAC = 990 (0,515i -0,848j + 0,121k) = 509,85i -839,52j + 119,79k 
Vetor posição OB = r: 8,4j 
Produto vetorial: r x F = 1006,24i - 4282,74k (0,5) 
Vetor momento: 4235,87i + 528,70k + 1006,24i - 4282,74k = 5242,1i – 3574,0k (0,5)
 
Gabarito Questão 3:
Esforços no ponto A: F = 500i + 300j + 800k
 MA = rA x FA + rB x FB + rC x FC = 0 + 4j x 800k + 6i x 300j =
 = 3200i + 1800k (0,5)
Vetor de posição PA: r = (0 – x)i + (0 – y)j = -xi -yj 
Trazendo o momento para o ponto P:
M = r x F = (-xi –yj) x (500i + 300j + 800k) = -800y i + 800x j + (500y – 300x) k (0,5) 
MP = MA + M = (3200 – 800y) i + 800x j + (500y – 300x + 1800) k (0,5)
Condição do torsor: F x MP = 0 i j k (0,5)
 500 300 800
 (3200–800y) 800x (500y–300x+1800) 
 i j k 
 500 300 800
(240000y – 960000) k (150000y – 90000x + 540000) i
-640000x i 400000x k
(150000x – 250000y – 900000) j (2560000 – 640000y) j
F x MP = (540000 – 730000x + 150000y) i + (1660000 + 150000x – 890000y) j + (400000x +240000y –
 960000) k = 0 
Sistema: 54 – 73x + 15y = 0 
 166 + 15x – 89y = 0
 40x + 24y -96 = 0 x = 1,163; y =2,061 P = (1,163, 2,061, 0,000) (0,5) 
F = 500i + 300j +800k F = 989,9 N 
M = 1551,2i + 930,6j + 2481,5k M = 3070,8 Nm (0,5)
 
Gabarito Questão 4:
(MA = 0: 	750 x 2 – 900 x 2 + 1200 x 1,5 – HC x 3 = 0 ( HC = 500 N (()
(Fx =0:	HA + 500 + 900 = 0 ( HA = -1400 N (() (0,5)
Analisando o elemento AB:
(MA = 0:	VA x 3 – 750 x 1 = 0 ( VA = 250 N (() 
(Fx =0:	HB = 1400 N (()
(Fy =0:	VB = 750 – 250 = 500 N (() (1,0)
Voltando à estrutura:
(Fy =0:	250 -750 -1200 + VC = 0 ( VC = 1700 N (() (0,5)