Cálculo do Período de um Pêndulo Simples (Forma Exata)

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Cálculo do Período de um Pêndulo Simples – Solução Exata
Diagrama de corpo livre:
 	Considerando um pêndulo simples, consistindo em uma massa m presa a uma corda de comprimento l, que pode oscilar num plano vertical, de acordo com a figura (a)
	A figura (b) representa o diagrama de corpo livre do pêndulo simples em um determinado instante t e com um ângulo θ em relação a vertical.
 	As forças que atuam sobre a massa são seu peso P e a força de tração T exercida pela corda.
	
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Equacionamento e Resolução:
No Eixo t:
A única força que age sobre o eixo t é a decomposição do vetor , isto é, -Psenθ. Então: 
Multiplicando (1) por e considerando que , onde θm é o ponto de repouso do pêndulo, então:
	
 			
Isolando dθ e dt e integrando os dois lados num quarto de período de t = 0 e θ = 0 a t = τ/4 e θ = θm:
Substituindo cosθ = 1 – 2sen²(θ/2) e cosθm por uma expressão análoga:
A integral encontrada é conhecida como integral elíptica; ela não pode ser expressa,de forma finita, em termos de funções algébricas ou trigonométricas usuais. Porém, se fizer a seguinte substituição:
Então, pode-se escrever:
A integral obtida (2), comumente chamada de K, pode ser encontrada nas tábuas de integrais elípticas, para vários valores de θm/2. Portanto, segue a seguinte relação:
Para comparar o resultado com o período de um pêndulo simples com pequenas amplitudes, deve-se multiplicar e dividir (3) por π:
A fórmula (4) mostra que o valor correto do período de um pêndulo simples pode ser obtido multiplicando-se o valor aproximado, no caso a expressão dentro do parênteses , pelo fator de correção 2K/π. Valores do fator de correção são dados na Tabela 1 para vários valores da amplitude θm. Notou-se que, para cálculos comuns em engenharia, o fator de correção pode ser omitido, contanto que a amplitude não exceda 10º.
Quando o pêndulo parte do repouso com um ângulo inicial de 180°, τ = ∞ , pois o pêndulo permanece no repouso.