Sol PF 2011-2

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Prova Final - Ca´lculo I Prof.: Etereldes
12/12/2011
1. (2,0) Esboce o gra´fico de f(x) = xe−x
2
. Determine o domı´nio, ass´ıntotas se houver,
intervalos de crescimento e decrescimento, ma´ximos e mı´nimos, concavidade e pontos de
inflexa˜o.
2. (a) (0,5) Escreva uma integral que represente o volume de um cone reto de altura h e raio
r. Mostre que este volume e´ V =
pi
3
r2h.
(b) (1,0) Um copo com formato coˆnico e´ feito de um pedac¸o circular de papel de raio R,
cortando fora um setor e juntando os lados CA e CB (ver figuras abaixo). Encontre
o copo de capacidade ma´xima.
(c) (1,0) Se R =
√
6 cm e neste copo de capacidade ma´xima bombeamos a´gua a uma taxa
de 2 cm3/min, encontre a taxa pela qual o n´ıvel da a´gua estara´ subindo quando a
a´gua estiver a 1 cm de profundidade (ver figuras abaixo).
R h
r
1cm
3. (2,0) A reta y = 2x + 3 intersecta a para´bola y = x2 nos pontos A e B (veja a figura
abaixo). Encontre o ponto P sobre o arco da para´bola que maximiza a a´rea do triaˆngulo
APB. Encontre a a´rea ma´xima.
4. (1,5) Encontre os volumes dos so´lidos obtidos pela rotac¸a˜o da regia˜o limitada pelas curvas
y = x e y = x2 em torno das seguintes retas:
(a) O eixo x (b) O eixo y (c) y = 2
5. Calcule as integrais:
(a) (1,0)
∫ pi2
pi2
4
sen 3(
√
x)√
x
dx (b) (1,0)
∫
10
x3 − x2 + 9x− 9dx
1
Prova Final (SOLUC¸A˜O) - Ca´lculo I Prof.: Etereldes
12/12/2011
1. (2,0) Esboce o gra´fico de f(x) = xe−x
2
. Determine o domı´nio, ass´ıntotas se houver,
intervalos de crescimento e decrescimento, ma´ximos e mı´nimos, concavidade e pontos de
inflexa˜o.
Sol.: A. Dom(f) = R. B. f(x) = 0⇒ x = 0 e f(0) = 0. C. lim
x→±∞
x
ex2
= lim
x→±∞
1
2xex2
= 0.
Logo y = 0 e´ ass´ıntota horizontal. Como f e´ cont´ınua em R, na˜o possui ass´ıntotas verticais.
D. f ′(x) =
1− 2x2
ex2
. Logo f e´ crescente em (−
√
2
2
,
√
2
2
) e decrescente em (−∞,−
√
2
2
) ∪
(
√
2
2
,∞). E. f ′′(x) = 2x(2x
2 − 3)
ex2
. Logo, f e´ coˆncava para cima em (−
√
6
2
, 0) ∪ (
√
6
2
,∞) e
coˆncava para baixo em (−∞,−
√
6
2
) ∪ (0,
√
6
2
).
2. (a) (0,5) Escreva uma integral que represente o volume de um cone reto de altura h e raio
r. Mostre que este volume e´ V =
pi
3
r2h.
Sol.: Calculando o volume do so´lido obitido pela rotac¸a˜o de f(x) =
r
h
x em torno do
eixo x obtemos o volume do cone desejado. Este volume e´ dado por
∫ h
0
pi(f(x))2dx =
pi
r2
h2
∫ h
0
x2dx = pi
r2
h2
h3
3
= pi
r2h
3
.
(b) (1,0) Um copo com formato coˆnico e´ feito de um pedac¸o circular de papel de raio R,
cortando fora um setor e juntando os lados CA e CB (ver figuras abaixo). Encontre
o copo de capacidade ma´xima.
Sol.: O volume do copo e´ V = pi
3
r2h. Ale´m disso R2 = r2 + h2 e portanto V (h) =
pi
3
(R2 − h2)h. Logo V ′(h) = pi
3
(R2 − 3h2) = 0 se h = R√
3
. Temos ainda que V ′(h) > 0
se 0 < h < R√
3
e V ′(h) < 0 se h > R√
3
. Logo V assume o ma´ximo em h = R√
3
. O
volume ma´ximo e´ V ( R√
3
) = 2piR
3
9
√
3
.
(c) (1,0) Se R =
√
6 cm e neste copo de capacidade ma´xima bombeamos a´gua a uma taxa
de 2 cm3/min, encontre a taxa pela qual o n´ıvel da a´gua estara´ subindo quando a a´gua
estiver a 1 cm de profundidade (ver figuras abaixo) Sol.: Sabemos que V = pi
3
r2h. Ale´m
disso temos por semelhanc¸a de triaˆngulos que
√
2
h
= 2
r
(ver figura abaixo). Sendo assim,
V h = pi
3
(
√
2h)2h = 2pi
3
h3. Pela regra da cadeia temos que dV
dt
= dV
dh
∣∣
h=1
dh
dt
= V ′(1)dh
dt
=
2pi dh
dt
.Como dV
dt
= 2 temos que dh
dt
= 1
pi
cm/min no instante em que h = 1cm.
2
R h
r
1cm
h
r

 
Figura 1: Figura da soluc¸a˜o do 2c
3. (2,0) A reta y = 2x + 3 intersecta a para´bola y = x2 nos pontos A e B (veja a figura
abaixo). Encontre o ponto P sobre o arco da para´bola que maximiza a a´rea do triaˆngulo
APB. Encontre a a´rea ma´xima. Sol.: Resolvendo a equac¸a˜o 2x + 3 = x3 encontramos
A = (−1, 1) e B = (3, 9). Seja P = (x, x2). Enta˜o a a´rea do triaˆngulo desejado sera´
A(x) =
1
2
|det
 −1 1 13 9 1
x x2 1
 | = 1
2
|4x2 − 8x− 12| = 2|x2 − 2x− 3|.
Como x2 − 2x − 3 < 0 se −1 < x < 3, temos que A(x) = −2x2 + 4x + 6 que assume
ma´ximo em x = 1 e a a´rea ma´xima e´ A(1) = 8.
4. (1,5) Encontre os volumes dos so´lidos obtidos pela rotac¸a˜o da regia˜o limitada pelas curvas
y = x e y = x2 em torno das seguintes retas:
(a) O eixo x
Sol.: V =
∫ 1
0
pi(x2 − x4)dx = 2pi
15
.
(b) O eixo y
Sol.: V =
∫ 1
0
pi(
√
y2 − y2)dx = pi
6
.
(c) y = 2
Sol.: V =
∫ 1
0
pi((2− x2)2 − (2− x)2)dx = 8pi
15
.
3
5. Calcule as integrais:
(a) (1,0)
∫ pi2
pi2
4
sen 3(
√
x)√
x
dx
Sol.:
∫
sen 3(
√
x)√
x
dx =
∫
2 sen 3(u)du = 2
∫
(1− cos2(u)) sen (u)du =
2
∫
(w2 − 1)dw = 2(1
3
w3 − w) + C = 2
3
cos3(
√
x)− 2 cos(√x) + C.
Pelo T.F.C. temos que a integral pedida e´ 2
3
cos3(pi)−2 cos(pi)−(2
3
cos3(pi
2
)−cos(pi
2
)) = 4
3
.
(b) (1,0)
∫
10
x3 − x2 + 9x− 9dx
Sol.: 10
x3−x2+9x−9 =
10
(x−1)(x2+9) =
A
x−1 +
Bx+C
x2+9
=⇒ 10 = A(x2 + 9) + (x− 1)(Bx+ C).
Portanto A = 1, B = −1 e C = −1.
Com isso, temos
∫
10
x3 − x2 + 9x− 9dx =
∫
1
x− 1dx−
∫
x
x2 + 9
dx−
∫
1
x2 + 9
dx =
ln |x− 1| − 1
2
ln(x2 + 9)− 1
3
arctan(
x
3
) + C
	PF 2011-2
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