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P3_CalculoI_2006_1

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Universidade Federal do Espir´ıto Santo
Terceira prova de Ca´lculo I - Cieˆncia da Computac¸a˜o
Professora Julia Wrobel
Vito´ria, 6 de julho de 2006
Nome Leg´ıvel:
Assinatura:
1. (1.25 pontos) Use o polinoˆmio de Taylor de ordem 2 para calcular um valor aproximado
de e0,03. Estime o erro dessa aproximac¸a˜o.
2. (1.25 pontos) Determine uma func¸a˜o y = f(x) definida num intervalo aberto I, com pi ∈ I
tal que f(0) = 0 e para todo x ∈ I,
dy
dx
= −pi sen(pix).
3. (1.25 ponto) Seja f : R → R deriva´vel ate´ segunda ordem com f ′′(x) − f(x) = 0 para
todo x ∈ R. Prove que g(x) = ex[f ′(x)− f(x)] e´ constante para x ∈ R.
4. (1.25 pontos) Desenhe o conjunto de todos os pontos (x,y) tais que x2 − 1 ≤ y ≤ x + 1.
Calcule a sua a´rea.
5. (1.25 pontos) Suponha f cont´ınua em [0, 4]. Calcule
∫
2
−2
xf(x2) dx.
6. Calcule:
a) (1.25 pontos) lim
x→+∞
(x+ 1)1/ ln x
b) (1.25 pontos)
∫
1
0
x2√
1 + x3
dx
c) (1.25 pontos)
∫
2
1
1 + t2
t4
dt

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