p3_calculoI_2006_2

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
3a. Prova
Engenharia Ele´trica
29 de novembro de 2006
Nome do Aluno:
Apresente todos os ca´lculos e justificativas
1. (2 pontos) Determine a func¸a˜o f que verifica as seguintes condic¸o˜es:
f : R→ R f ′(x) = e
x
1 + ex
f(0) = 0.
2. Calcule:
a) (2 pontos)
∫ 1
0
√
x lnx dx
a) (2 pontos)
∫ 4
−2
√
9− (y − 1)2(y + 4) dy
b) (2 pontos)
∫
x2 + 2x+ 3
x2 + 4x+ 13
dx
3. (2 pontos) Escolha e fac¸a apenas uma das duas questo˜es abaixo:
a) Corta-se um pedac¸o de arame de 1,50m de comprimento em duas partes.
Com uma das partes forma-se um c´ırculo e com a outra forma-se um triaˆngulo
equila´tero. Onde deve ser cortado o arame de modo que a soma das a´reas do
c´ırculo e do triaˆngulo seja mı´nima? E ma´xima?
Use 1,50
√
3/18
1/2pi+
√
3/18
≈ 0, 565.
b) Use a fo´rmula de Taylor com resto de Lagrange para mostrar que para todo
x ∈ [0, 1], ∣∣∣∣ex − (1 + x+ x22
)∣∣∣∣ < 12 .
Questa˜o Extra (0.5 ponto): Seja f : [a, b] → R uma func¸a˜o cont´ınua. Em
cada ı´tem abaixo, determine se a proposic¸a˜o e´ falsa ou verdadeira. Justifique sua
resposta.
a) Se
∫ b
a
f(x) dx = 0 enta˜o f(x) = 0 para x ∈ [a, b].
b) Suponha
∫ b
a
f(x) dx = 0. Se c ∈ (a, b) e ∫ c
a
f(x) dx = 1 enta˜o
∫ b
c
f(x) dx = −1
Tabela de Primitivas (n 6= 0 e c, k constantes reais)
∫
c dx = cx+ k∫
ex dx = ex + k∫
xα dx =
{
xα+1
α+1
+ k, α 6= −1
ln |x|+ k, α = −1∫
cosx dx = sen(x) + k∫
senx dx = − cos(x) + k∫
sec2 x dx = tg(x) + k∫
secx tg x dx = sec(x) + k∫
secx dx = ln | sec(x) + tg(x)|+ k∫
tg x dx = − ln | cos(x)|+ k∫
1
1 + x2
dx = arctg(x) + k∫
1√
1− x2 dx = arcsen(x) + k
2