AlgLin p2 gabarito

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Segunda Prova de A´lgebra Linear
Uma soluc¸a˜o
1. det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
x 2 0 3
1 2 3 3
1 0 1 1
1 1 1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 3
1 2 3 3
1 0 1 1
x 2 0 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 3
0 1 2 0
0 −1 0 −2
0 2− x −x 3− 3x
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
= (−1)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 3
0 1 2 0
0 0 2 −2
0 0 x− 4 3− 3x
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1)(2)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 3
0 1 2 0
0 0 1 −1
0 0 x− 4 3− 3x
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1)(2)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 3
0 1 2 0
0 0 1 −1
0 0 0 −2x− 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
Enta˜o, det(A) = −2(−2x− 1) = 4x+ 2. Como A e´ invert´ıvel se, e so se, det(A) 6= 0, o u´nico valor
de x tal que esta matriz na˜o e´ invert´ıvel e´ x = −1
2
.
2. O vetor PQ pode ser escrito, para algum t ∈ R e algum s ∈ R, por
PQ = Q− P = Q0 + tv − (P0 + su) = (Q0 − P0) + tv − su = (0,−1,−1) + t(1, 1, 1)− s(1, 2,−1)
e, por outro lado, para algum r ∈ R, temos
PQ = rw = r(2, 3, 1)
Logo
(0,−1,−1) + t(1, 1, 1)− s(1, 2,−1) = r(2, 3, 1)
ou
(0,−1,−1) = (2r − t+ s, 3r − t+ 2s, r − t− s)
igualando as coordenadas e resolvendo o sistema obtido encontramos
r = −3, t = −4 e s = 2
Enta˜o,
P = (4, 5,−3) e Q = (−2,−4,−6)
3. (a) S e´ o conjunto soluc¸a˜o de um sistema linear homogeˆneo associado a` matrizA =
[
1 1 0 0
0 0 1 −1
]
.
(b) Temos que
(x, y, z, w) ∈ S ⇒ (x, y, z, w) = (x,−x, z, z) = x(1,−1, 0, 0) + z(0, 0, 1, 1)
ou seja,
β = {(1,−1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)}
e´ uma base (gera e e´ LI) de S e, portanto, dim(S) = 2.
(c) Como cada vetor do conjunto
B = {(1,−1, 1, 1); (−2, 2,−1,−1); (−1, 1, 3, 3)}
pertence a S, segue que ger(B) e´ um subespac¸o vetorial de S. Ale´m disso, dim(ger(B)) =
2 =dim(S). Da´ı, ger(B) = S.
4. LA: espac¸o-linha de A; CA: espac¸o-coluna de A e NA: espac¸o-nulo de A.
(a) Temos que LA = CA′ , onde A
′ e a transposta de A. Dai
A′ =

0 1 −1 2
0 1 −1 2
1 −5 2 −1
1 0 −3 0
1 −4 1 1
 ∼

1 0 −3 0
0 1 −1 2
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
 = R
Como subconjunto de vetores colunas de R que formam base de CR determina um subconjunto
de vetores correspondente em A′ que formam uma base de CA′ ,
{(0, 0, 1, 1, 1); (1, 1,−5, 0,−4); (2, 2,−1, 0, 1)}
e´ base de LA consistindo totalmente de vetores linha de A.
(b) dim(LA) = 3 =⇒ dim(CA) = 3 e dim(NA) = 2.
5. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) VERDADEIRO!
det((−AT )−1) = 1
det(−AT ) =
1
(−1)ndet(AT ) =
1
(−1)ndet(A)
pore´m, como n e´ par,
(−1)n = 1⇒ det((−AT )−1) = 1
det(A)
(b) VERDADEIRO! Se B = {u1, u2, u3, u4} e´ um conjunto linearmente independente (LI) de
um espac¸o vetorial U , dado uma combinac¸a˜o linear nula αv1 + βv2 + γv3 = 0 temos
α(u1 − u2 + u3) + β(u1 + u2 + u4) + γ(u2 − u3 + u4) = 0
↓
(α + β)u1 + (−α + β + γ)u2 + (α− γ)u3 + (β + γ)u4 = 0
Como B e´ LI 
α + β = 0
− α + β + γ = 0
α − γ = 0
β + γ = 0
↓
α = β = γ = 0
Boa Prova!!!
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