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Rio de Janeiro, 2013 Exercícios de Cálculo BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 1 03/06/2013 16:59:46 iiiO Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo Sumário Introdução ix Capítulo 1: Equações Lineares e Desigualdades 1 Geometria Linear .....................................................................................................................2 Desigualdades Lineares e Representações de Intervalos ...................................................................6 Equações e Desigualdades de Módulo ..........................................................................................9 Sistemas de Equações e Desigualdades ....................................................................................... 12 Capítulo 2: Polinômios 17 Expressões Exponenciais e Radicais ........................................................................................... 18 Operações com Expressões Polinomiais ....................................................................................... 20 Fatorando Polinômios ............................................................................................................. 24 Resolvendo Equações Quadráticas ............................................................................................ 26 Capítulo 3: Expressões Racionais 29 Adicionando e Subtraindo Expressões Racionais ......................................................................... 30 Multiplicando e Dividindo Expressões Racionais ........................................................................ 32 Resolvendo Equações Racionais ................................................................................................ 35 Desigualdades Polinomiais e Racionais ..................................................................................... 38 Capítulo 4: Funções 45 Combinando Funções .............................................................................................................. 46 Elaborando o Gráfico de Transformações de Função .................................................................... 49 Funções Inversas .................................................................................................................... 54 Assíntotas de Funções Racionais ............................................................................................... 57 Problemas com x elevado à primeira potência Criando, fazendo o gráfico e medindo retas e segmentos de reta Adeus, sinal de igualdade. Olá, parênteses e colchetes Resolva dois pelo preço de um Encontre uma solução comum compartilhada entre múltiplas equações ou desigualdades Porque não dá para ter expoentes de 1 para sempre Potências e raízes quadradas Como +, –, x e ÷ polinômios Reverta o processo de multiplicação Equações com expoente mais alto 2 Frações, frações e mais frações Lembra do mínimo denominador comum? Multiplicar = fácil, dividir = quase tão fácil Aqui entra a regra de três simples Números críticos dividem sua reta numérica Agora você vai começar a ver f(x) em todo lugar Faça o (+, –, x, ÷) normal ou insira-os um no outro Extensões, compressões, reflexões e deslizamentos Funções que cancelam outras funções Equações da intocável linha tracejada BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 3 03/06/2013 16:59:46 Sumário iv O Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo Capítulo 5: Funções Logarítmicas e Exponenciais 61 Explorando as Funções Exponenciais e Logarítmicas ................................................................... 62 Funções Exponenciais e Logarítmicas Naturais ........................................................................... 66 Propriedades dos Logaritmos .................................................................................................... 67 Resolvendo Equações Exponenciais e Logarítmicas ...................................................................... 70 Capítulo 6: Seções Cônicas 73 Parábolas .............................................................................................................................. 74 Círculos ................................................................................................................................ 80 Elipses .................................................................................................................................. 83 Hipérboles ............................................................................................................................. 89 Capítulo 7: Fundamentos da Trigonometria 95 Medindo Ângulos ................................................................................................................... 96 Relações entre Ângulos ............................................................................................................ 97 Avaliando Funções Trigonométricas .......................................................................................... 99 Funções Trigonométricas Inversas ........................................................................................... 106 Capítulo 8: Gráficos, Identidades e Equações Trigonométricos 109 Desenhando o Gráfico de Transformações Trigonométricas .......................................................... 110 Aplicando Identidades Trigonométricas ................................................................................... 114 Resolvendo Equações Trigonométricas ...................................................................................... 119 Capítulo 9: Investigando Limites 127 Avaliando Limites de Um Lado e Gerais Graficamente .............................................................. 128 Limites e Infinito .................................................................................................................. 133 Definição Formal de Limite .................................................................................................... 138 Capítulo 10: Avaliando Limites 141 Método da Substituição ......................................................................................................... 142 Método de Fatoração ............................................................................................................. 145 Método do Conjugado ........................................................................................................... 150 Teoremas de Limite Especiais .................................................................................................. 153 Funções como log3 x, ln x, 4x e ex Domine todas essas potências Bases não escritas, bases de e e fórmula da mudança de base Expandindo e simplicando expressões de log Expoentes e logs se cancelam Parábolas, círculos, elipses e hipérboles Gráficos de equações quadráticas Centro + raio = formas redondas e problemas fáceis Uma palavra rebuscada para “ovais” Coisas que parecem com duas parábolas Adicione seno, cosseno e tangente à mistura Radianos, graus e revoluções Ângulos coterminais, complementares e suplementares Trigonometria e ângulos de referência do triângulo retângulo Insira um número e obtenha um ângulo para variar Provas de Equações e identidade trigonométricas Expansão e deslocamen to de gráficos de onda Simplifique expressões e prove identidades Resolva para θ em vez de x Qual altura a função PRETENDE alcançar? Encontre limites em um gráfico de função O que acontece quando x ou f(x) fica enorme? Problemas com épsilon-delta não são divertidos Calculando limites sem um gráfico da função Tão fácil quanto inserir um valor para x A primeira coisa que você deve tentar se a substituição não funcionar Para lidar com radicais problemáticos Fórmulas de limite que você deve memorizar BOOK- Humongous Calculus - 23-05-13.indb 4 03/06/2013 16:59:47 Sumário vO Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo Capítulo 11: Continuidade e o Coeficiente Diferencial 155 Continuidade ...................................................................................................................... 156 Tipos de Descontinuidade ...................................................................................................... 157 O Coeficiente Diferencial ........................................................................................................ 166 Diferenciação ....................................................................................................................... 170 Capítulo 12: Métodos Básicos de Diferenciação 173 Derivadas Trigonométricas, Logarítmicas e Exponenciais ........................................................... 174 A Regra da Potência ............................................................................................................. 176 As Regras do Produto e do Quociente ....................................................................................... 179 A Regra da Cadeia ............................................................................................................... 183 Capítulo 13: Gráficos de Função e Derivadas 191 Números Críticos .................................................................................................................. 192 Sinais da Primeira Derivada .................................................................................................. 195 Sinais da Segunda Derivada.................................................................................................. 201 Gráficos de Função e Derivada ............................................................................................... 206 Capítulo 14: Aplicações Básicas da Diferenciação 209 Equações de Tangentes .......................................................................................................... 210 O Teorema de Valor Extremo ................................................................................................... 215 Método de Newton ................................................................................................................ 218 Regra de L’Hôpital ............................................................................................................... 222 Capítulo 15: Aplicações Avançadas da Diferenciação 227 Os Teoremas do Valor Médio e de Rolle .................................................................................... 228 Movimento Retilíneo ............................................................................................................. 233 Taxas Relacionadas .............................................................................................................. 237 Otimização .......................................................................................................................... 244 Capítulo 16: Técnicas de Diferenciação Adicionais 251 Diferenciação Implícita.......................................................................................................... 252 Diferenciação Logarítmica ..................................................................................................... 259 Diferenciando Funções Trigonométricas Inversas ....................................................................... 264 Diferenciando Funções Inversas .............................................................................................. 266 Gráficos indivisíveis e uma p révia das derivadas Limite existente + função definida = continuidade Buracos vs. quebras, removível vs. não removível O “caminho mais longo” para encontrar a derivada Quando existe uma derivada? Os quatro pesos pesados para encontrar derivadas Memorize fórmulas específicas para essas funções Um atalho para diferenciar xn Diferencie funções que são multiplicadas ou divididas Diferencie funções que são inseridas em funções O que os sinais das derivadas dizem sobre os gráficos Números que separam gráficos ondulados Use gráficos ondulados para determinar a direção da função Pontos de inflexão e concavidade Como os gráficos de f, f’ e f’’ se relacionam? Coloque suas habilidades com derivadas em uso Ponto de tangência + derivada = equação da tangente Toda função tem seus altos e baixos Aproxime os zeros de uma função Encontre limites que costumavam ser impossíveis Usos complicados, mas interessantes, da s derivadas Inclinações médias = inclinações imediatas Funções de posição, velocidade e aceleração Descubra a rapidez com que as variáveis mudam em uma função Encontre os maiores ou menores valores de uma função Ainda mais maneiras de diferenciar Essencial quando você não consegue resolver uma função para encontrar y Use as propriedades de log para tornar as derivadas complicadas mais fáceis Porque a derivada de tg–1 x não é sec–2 x Sem nem saber o que elas são! BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 5 03/06/2013 16:59:47 Sumário vi O Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo Capítulo 17: Aproximando áreas 273 Somas Informais de Riemann ................................................................................................. 274 Regra dos Trapézios .............................................................................................................. 285 Regra de Simpson ................................................................................................................. 293 Somas Formais de Riemann ................................................................................................... 295 Capítulo 18: Integração 301 Regra da Potência para Integração ......................................................................................... 302 Integrando Funções Trigonométricas e Exponenciais .................................................................. 305 O Teorema Fundamental de Cálculo ....................................................................................... 307 Substituição de Variáveis ....................................................................................................... 317 Capítulo 19: Aplicações do Teorema Fundamental 323 Calculando a área entre duas curvas ...................................................................................... 324 O Teorema do Valor Médio para Integração .............................................................................. 330 Funções de Acumulação e Mudança Acumulada ...................................................................... 338 Capítulo 20: Integrando Expressões Racionais 347 Separação............................................................................................................................ 348 Divisão Longa ..................................................................................................................... 351 Aplicando Funções Trigonométricas Inversas ............................................................................ 354 Completamento de Quadrados ................................................................................................ 357 Frações Parciais ................................................................................................................... 361 Capítulo 21: Técnicas de Integração Avançadas 367 Integração por Partes ............................................................................................................ 368 Substituição Trigonométrica ................................................................................................... 372 Integrais Impróprias .............................................................................................................387 Capítulo 22: Volume Rotacional e de Seção Transversal 393 Volume de um Sólido com Seções Transversais Conhecidas .......................................................... 394 Método do Disco ................................................................................................................... 401 Método dos Anéis ................................................................................................................. 410 Método das Cascas ............................................................................................................... 421 Estime a área entre uma curva e um eixo x Somas à esquerda, à direita, do ponto médio, acima e abaixo Parecida com as somas de Riemann, mas muito mais precisa Aproxima muito bem a área abaixo de funções curvas Você vai querer colocar os pingos nos “i”s Agora, a derivada não é a resposta, é a pergunta Adicione 1 ao expoente e divida pela nova potência As integrais trigonométricas não se parecem nem um pouco com as derivadas Integração e área estão profundamente relacionadas Geralmente chamada de substituição O que fazer com as integrais definidas Em vez de apenas uma função e o eixo x Crie uma área retangular que equivalha à área abaixo de uma curva Integrais com limites x e aplicações da integração na “vida real” O que fazer quando há uma fração dentro da integral Transforme uma grande e feia fração em frações menores e menos feias Divida antes de integrar Muito útil, mas apenas em algumas circunstâncias Para quando há quadráticas embaixo e nenhuma variável em cima Uma maneira rebuscada de separar grandes frações Há ainda mais maneiras de encontrar integrais – deve ser o seu aniversário É como a regra do produto, mas para integrais Usando identidades e pequenos diagramas de triângulos retângulos Integrando apesar das assíntotas e limites de integração infinitivos Por favor, coloque seus óculos 3D agora Corte o sólido em partes e meça essas partes Círculos são as seções transversais mais fáceis possíveis Encontre volumes mesmo se os “sólidos” não forem sólidos Algo em que se apoiar quando o método dos anéis não funcionar BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 6 03/06/2013 16:59:47 Sumário viiO Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo Capítulo 23: Aplicações Avançadas de Integrais Definidas 427 Comprimento do Arco ............................................................................................................ 428 Área da Superfície ................................................................................................................ 431 Centroides ........................................................................................................................... 436 Capítulo 24: Equações Paramétricas e Polares 447 Equações Paramétricas .......................................................................................................... 448 Coordenadas Polares ............................................................................................................. 452 Desenhando o Gráfico de Curvas Polares ................................................................................. 455 Aplicações da Diferenciação Paramétrica e Polar ....................................................................... 460 Aplicações da Integração Paramétrica e Polar ........................................................................... 466 Capítulo 25: Equações Diferenciais 471 Separação de Variáveis .......................................................................................................... 472 Crescimento e Decaimento Exponenciais ................................................................................... 477 Aproximações Lineares .......................................................................................................... 484 Campos Direcionais .............................................................................................................. 486 Método de Euler ................................................................................................................... 492 Capítulo 26: Sequências e Séries Básicas 499 Sequências e Convergência ..................................................................................................... 500 Séries e Testes de Convergência Básicos .................................................................................... 502 Soma Telescópica e Série de p .................................................................................................. 506 Séries Geométricas ................................................................................................................. 509 O Teste da Integral ............................................................................................................... 510 Capítulo 27: Testes Adicionais de Convergência de Séries Infinitas 513 Teste da Comparação ............................................................................................................ 514 Teste da Comparação do Limite .............................................................................................. 516 Teste da Razão ..................................................................................................................... 519 Teste da Raiz ....................................................................................................................... 522 Teste da Série Alternada e Convergência Absoluta ..................................................................... 526 Mais problemas envolvendo i ntegrais limitadas Qual é a distância do ponto A para o ponto B em uma estrada cheia de curvas? Meça a “pele” de um sólido de revolução Encontre o centro de gravidade de uma forma em duas dimensões Escrevendo equações sem x e y Assim como os revolucionários o Porto Boston, apenas adicione t Converta de (x, y) para (r, θ) e vice-versa Fazendo gráficos com r e θ em vez de x e y Ensine alguns velhos truques de diferenciação a um cachorro novo Talvez algumas integrais também interessem ao cachorro novo Equações que contêm uma derivada Separe y e dy dos x e dx Quando a mudança de uma população é proporci onal ao seu tamanho Um gráfico e sua reta tangente às vezes são bastante parecidos Parecem-se com padrões de vento em um mapa meteorológico Pequenos passos para encontrar a solução da equação diferencial O que é pior que uma fração? Infinitas Frações As listas de números sabem para onde estão indo? Teste de divergência de representação de sigma e do term o geral Como lidar com essas séries fáceis de serem identificadas Elas convergem? E, caso o façam, qual é a soma? Séries infinitas e integrais impróprias estão relacionados Para usar com séries infinitas ainda mais feia s Provando que as séries são maiores do que grandes e menores do que pequenas Séries que convergem ou divergem por associação Compare termos vizinhos de uma série Útil para termos dentro de sinais de radical E se as séries tiverem termos negativos? BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 7 03/06/2013 16:59:47 Sumário viii O Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo Capítulo 28: Séries Infinitas Avançadas 531 Séries de Potência ................................................................................................................. 532 Séries de Taylor e Maclaurin .................................................................................................. 540 Apêndice A: Gráficos e transformações gráficas importantes para memorizar 547 Apêndice B: O círculo unitário 553 Apêndice C: Identidades trigonométricas 555 Apêndice D: Fórmulas de Derivadas 557 Apêndice E: Fórmulas de Antiderivadas 559 Índice 561 Séries que contêmx Encontrando intervalos de convergência Séries que aproximam valores de função BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 8 03/06/2013 16:59:47 ixO Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo Introdução Você está tendo aulas de cálculo? Sim? Então você PRECISA deste livro. Vou dizer o porquê: Fato nº 1: A melhor maneira de aprender cálculo é trabalhando com problemas de cálculo. Não há como negar. Se fosse possível entender as aulas apenas lendo o livro teórico ou fazendo boas anotações, todos seriam aprovados com louvor. Infelizmente, a dura verdade é que você precisa apertar os cintos e trabalhar os problemas até sentir seus dedos dormentes. Fato nº 2: A maioria dos livros apenas diz QUAIS são as respostas dos problemas práticos, mas não COMO chegar a elas! É claro que o seu livro pode ter 175 problemas para cada tópico apresentado, mas a maioria deles apenas traz as respostas. Isso significa que se você não acertar a resposta, estará completamente perdido! Saber que errou não ajuda em nada se você não souber POR QUE errou. Os livros de matemática ficam sentados em um enorme trono, assim como o Grande e Terrível Oz, e dizem “Não, tente de novo”. E é isso o que fazemos. Repetidas vezes. E continuamos a chegar à resposta errada para o problema. Que maneira deliciosa de aprender! (Não vamos nem discutir por que eles apenas dizem as respostas dos problemas pares. Isso significa que de fato o AUTOR do livro nem ao menos sentiu vontade de trabalhar os ímpares?) Fato nº 3: Mesmo quando os livros de matemática tentam mostrar os passos de um problema, eles não fazem um trabalho muito bom. Os matemáticos adoram pular passos. Você pode estar conseguindo seguir bem uma explicação e, então, de repente, PUF, se perde. Você pensa consigo mesmo, “Como eles fizeram isso?” ou “De onde veio esse 42? Ele não estava aí no passo anterior!”. Por que quase todos esses livros presumem que, para trabalhar um problema na página 200, é melhor que você conheça o que há nas páginas de 1 a 199 como a palma da sua mão? Você não quer passar o resto da sua vida fazendo uma lição de casa! Você só quer saber por que continua chegando a um número negativo ao calcular o custo mínimo para a construção de uma piscina cujo comprimento é quatro vezes a soma de sua profundidade, adicionado à razão pela qual a água vaza de um trem que saiu de Chicago às 4h da manhã, viajando na direção oeste à mesma velocidade que o carbono se decompõe. BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 9 03/06/2013 16:59:47 Introdução x O Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo Fato nº 4: Ler listas de fatos é divertido por um tempo, mas depois a piada fica velha. Vamos direto ao assunto. Praticamente todo tipo de problema de cálculo com o qual você poderia se deparar está aqui – afinal, este livro é GIGANTE! Se mil problemas não forem suficientes, então você tem algum tipo de apetite maluco por matemática e, meu amigo, eu procuraria ajuda profissional. Este livro de prática era bom, mas para torná-lo ÓTIMO, eu revisei e trabalhei todos os problemas e fiz anotações nas margens quando achei que algo estava confuso ou precisava de um pouco mais de explicação. Também desenhei pequenos crânios ao lado dos problemas mais difíceis, para que você saiba que não precisa entrar em pânico se o exercício for muito desafiador. Afinal, se você está trabalhando em um problema e fica completamente desnorteado, não é melhor saber que o problema FOI FEITO para ser difícil? É reconfortante, pelo menos para mim. Imagino que você terá uma surpresa agradável ao ver como as explicações das respostas são detalhadas, e espero que ache que as minhas pequenas notas são úteis ao longo do caminho. Pode me chamar de louco, mas acho que as pessoas que QUEREM aprender cálculo e estão dispostas a gastar seu tempo abrindo o caminho por meio da prática dos problemas devem, de fato, ser capazes de entender os problemas e aprender durante o percurso, mas essa é só a minha opinião. Boa sorte, e não se esqueça de visitar o meu site, em www.calculus-help.com. Se tiver vontade, mande-me um e-mail com aquilo que anda pensando com seus botões. (Mas não literalmente, pois botões de verdade podem entupir os encanamentos da Internet.) – Mike Kelley Todas as minhas notas são feitas ao lado, como nesse caso, e indicam as partes do livro que eu estou tentando explicar. BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 10 03/06/2013 16:59:47 Introdução xiO Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo Dedicatória Este livro é para a minha família, que iria me amar e me apoiar, eu escrevendo livros de matemática absurdamente grandes ou não. Para a minha esposa, Lisa, cujo apego à sanidade permanece firme mesmo quando a minha começa a se esgotar, eu não poderia te amar mais. Ao meu valente filho pirata, Nick, de quem eu espero que continue a terminar a maioria de suas frases com “macacos me mordam”, mesmo quando ele não tiver mais 3 anos. E para as minhas lindas gêmeas, Erin e Sara, que acabaram de dizer sua primeira palavra: “sapatos”. Imagino que eu vou continuar a ouvir essa palavra muito mais vezes em um futuro não muito distante. Um agradecimento especial a Mike Sanders, que me ajudou a transformar minha ideia de um livro de matemática cheio de marcações em realidade, e às minhas editoras, Sue Strickland e Ginny Munroe, que trabalham bastante para evitar que eu pareça bobo. Este livro é em memória a Joe, que nos deixou em 2006. Quando eu escrevi o livro O Guia Completo Para Quem Não é CDF – Cálculo Joe me disse (com um pesado sotaque de ex-caminhoneiro de Long Island) que ele seria um “tiro na mosca”. Com uma sinceridade que não vi igual em nenhuma pessoa que já conheci, suas simples palavras de encorajamento significavam muito para mim, como um novo autor na luta. Obrigado, Joe. Você estava certo. BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 11 03/06/2013 16:59:47 Capítulo 1 EQUAÇÕES LINEARES E DESIGUALDADES Um entendimento adequado e rigoroso das equações lineares e seus formatos padrão, dos segmentos lineares e dos algoritmos associados, dos sistemas de equações lineares múltiplas e das desigualdades lineares é um pré-requisito essencial para o estudo do cálculo. Embora a maioria dos alunos de cálculo esteja familiarizada com os tópicos presentes neste capítulo, a mera familiaridade não é suficiente. Para ter êxito com tópicos mais avançados dos capítulos que se seguem, o domínio dessas habilidades e desses conceitos fundamentais por parte do aluno deve ser assegurado. Problemas com x elevado à primeira potência Pontos e retas são os conceitos g eométricos mais básicos, por isso, você vai precisar entender como eles se re lacionam antes de poder avançar para funções mais complexas e seus gr áficos. Você precisará saber como criar equações de retas, desenhar o gr áfico de retas no plano de coorde nadas e, até mesmo, encontrar os compri mentos e pontos médios de segm entos de reta. Você também precisará sab er o que fazer com expressões qu e contêm sinais de <, >, ≤ e ≥. De pois que você dominar isso, revisará como enc ontrar soluções de sistemas de equações e desigualdades (quando você tra balha com mais de uma equação ou desigua ldade por vez). BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 1 03/06/2013 16:59:47 Capítulo 1 – Equações Lineares e Desigualdades 2 O Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo Geometria Linear Criando, fazendo o gráfico e medindo retas e segmentos de reta 1.1 Resolva a equação: 3x – (x – 7) = 4x – 5. Distribua –1 nos parênteses e combine os termos semelhantes. Subtraia 4x e 7 de ambos os lados da equação para separar a variável e os termos constantes. Divida ambos os lados por –2 para obter a solução. 1.2 Calcule ainclinação, m, da reta 4x – 3y = 9. Resolva a equação para encontrar y e para reescrevê-la no formato de interceptação e inclinação. A inclinação da reta é o coeficiente de 1.3 Prove que a inclinação de uma reta no formato padrão, B ≠ 0 é Escreva a equação no formato de interceptação de inclinação encontrando y. O coeficiente de x é a inclinação da reta: m= O formato de interceptação e inclinação de uma reta é y = mx + b, em que m é a inclinação da reta e b é a interceptação de y. BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 2 03/06/2013 16:59:48 Capítulo 1 – Equações Lineares e Desigualdades 3O Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo 1.4 Reescreva a equação linear no formato padrão. Distribua os termos constantes e combine os semelhantes. Multiplique por 15 o mínimo denominador comum, para eliminar as frações. Separe a variável e os termos constantes. 1.5 Escreva a equação da reta que passa pelos pontos (–3, –8) e (–6,2) no formato de interceptação e inclinação. Calcule a inclinação da reta. Substitua a inclinação na fórmula de interceptação e inclinação (y = mx + b) no lugar de m, substitua x e y usando um dos pares de coordenadas e encontre b. Substitua m e b na fórmula de interceptação e inclinação. 1.6 Calcule as interceptações de x e y em 3x – 4y = –6 e use-as para fazer o gráfico da reta. Para calcular a interceptação de x, substitua 0 no lugar de y e encontre x. Da mesma forma, substitua 0 no lugar de x para calcular a interceptação de y. A equação estará no formato padrão se tiver: (1) Nenhuma fração, (2) Somente termos com x e y do lado esquerdo, (3) Somente o termo constante do lado direito e (4) Um coeficiente de x positivo. Multiplique toda a equação por –1 para que o coeficiente de x seja positivo. (É um requisito do formato padrão.) Pense no ponto (–3, –8) como (x1, y1) e em (–6, 2) como (x2, y2), então, x1 = –3, y1 = –8, x2 = –6 e y2 = 2. BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 3 03/06/2013 16:59:49 Capítulo 1 – Equações Lineares e Desigualdades 4 O Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo Portanto, o gráfico de 3x – 4y = –6 corta o eixo x em (–2,0) e o eixo y em como ilustra a Figura 1-1. Figura 1-1 O gráfico de 3x – 4y = –6 com suas interceptações de x e y identificadas. 1.7 Presuma que a reta p contém o ponto (–3,1) e que ela seja paralela a x – 4y = 1. Escreva a equação de p no formato de interceptação e inclinação. Calcule a inclinação de x – 4y = 1, usando o método do Problema 1.3. Insira esta interceptação e as coordenadas (x1,y1) = (–3,1) na fórmula de inclinação e ponto. Isole y para expressar a equação no formato de interceptação de inclinação. A fórmula de inclinaç ão e ponto cria uma e quação com base na inclinaç ão da reta, m, e um ponto na reta, (x1 , y1). Não insira nada no lu gar de x e y qu e não tenh a pequenos n úmeros ao lado. BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 4 03/06/2013 16:59:49 Capítulo 1 – Equações Lineares e Desigualdades 5O Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo Nota: Os problemas 1.8 - 1.10 referem-se ao paralelogramo ABCD, da Figura 1-2. 1.8 De acordo com um teorema básico da geometria euclidiana, as diagonais de um paralelogramo se interceptam nos pontos médios. Verifique que esse teorema é válido para o paralelogramo ABCD. Figura 1-2 Paralelogramo ABCD. Calcule os pontos médios de AC e BD; as diagonais interceptar-se-ão nos pontos médios se, e somente se, esses pontos médios coincidirem. Ponto médio de AC: Ponto médio de BD: Nota: Os problemas 1.8 – 1.10 referem-se ao paralelogramo ABCD na Figura 1-2. 1.9 Prove que ABCD é um losango verificando que seus lados são congruentes. Aplique a fórmula da distância quatro vezes, uma em cada lado. O ponto médio de um segmento de reta com pontos terminais (x1,y1) e (x2,y2) é . Em outras palavras, a coordenada de x do ponto médio de um segmento é a média das coordenadas de x de seus extremos. O mesmo se aplica para a coordenada de y. A distância entre os pontos (x1,y1) e (x2,y2) é . BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 5 03/06/2013 16:59:50 Capítulo 1 – Equações Lineares e Desigualdades 6 O Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo 1.10 Prove que ABCD é um losango verificando que suas diagonais são perpendiculares umas às outras. Calcule as inclinações das diagonais usando a fórmula de inclinação do Problema 1.5. Inclinação de AC: Inclinação de BD: As diagonais são recíprocas negativas, por isso, os segmentos de reta são perpendiculares. Desigualdades Lineares e Representações de Intervalos Adeus, sinal de igualdade. Olá, parênteses e colchetes. 1.11 Escreva a expressão x ≥ –4 usando a representação de intervalos. Um intervalo é definido pelos dois valores que ligam uma desigualdade, o valor inferior seguido pelo valor superior. Você deve indicar se cada ponto terminal está incluído no intervalo ou não. (Um colchete próximo a um ponto terminal significa que ele está incluso, e um parêntese indica sua exclusão.) Qualquer número maior que ou igual a –4 torna esta afirmação verdadeira; –4 é o limite mais baixo e deve ser incluído. O limite maior é o infinito. Portanto, x ≥ –4 é representado como [–4,∞). 1.12 Escreva a expressão x < 10 usando a representação de intervalos. O limite superior é 10 e deve ser excluído (já que 10 não é menor do que 10). Qualquer número menor que 10 torna essa afirmação verdadeira; há valores infinitos na direção negativa, por isso, o limite inferior é –∞. Portanto, a afirmação da desigualdade é escrita como (–∞,10). 1.13 Escreva a expressão 6 ≥ x > –1 usando a representação de intervalos. O limite inferior deve sempre preceder o limite superior, independentemente de como a expressão esteja escrita: (–1,6]. 1.14 Escreva a solução para a desigualdade usando a representação de intervalos: 4x – 2 > x + 13. Separe as variáveis e os termos constantes e, depois, divida pelo coeficiente de x. As retas p aralelas têm inclina ções iguais. As inclinaç ões de reta s perpendicu lares são recíprocas umas às ou tras e possuem sin ais opostos . Sempre use parênte ses ao lado de ∞ ao rep resentar intervalos. Você não p ode “incluir” algo qu e não se ja um núm ero real , finito. REGRA GERAL: Use um colchete se o símbolo da desigual dade próximo ao número for ≤ ou ≥ – do c ontrário, use um parêntese. Sem pre use parênteses próx imos a ∞ e –∞. BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 6 03/06/2013 16:59:50 Capítulo 1 – Equações Lineares e Desigualdades 7O Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo Escreva a solução como uma representação de intervalos: (5,∞). 1.15 Escreva a solução da desigualdade usando a representação de intervalos: 3 (2x – 1) – 5 ≤ 10x + 19 Distribua o termo constante, combine os termos semelhantes e isole x do lado esquerdo da equação. A divisão por um termo constante negativo altera fundamentalmente a desigualdade: Escreva a solução na forma de representação de intervalos: 1.16 Desenhe o gráfico da desigualdade: –2 ≤ x < 3. Reescreva a desigualdade como um intervalo: [–2,3). Para desenhar o gráfico do intervalo em uma reta numérica, insira um ponto para cada limite (pontos cheios para limites incluídos e pontos vazados para limites excluídos). Todos os valores entre esses limites pertencem ao intervalo, por isso, trace uma reta mais escura entre os pontos, como ilustrado na Figura 1-3. Figura 1-3 O gráfico de –2 ≤ x < 3 inclui o limite de intervalo x = –2, mas exclui x = 3. 1.17 Desenhe o gráfico da desigualdade: x > –1. Não há limite superior para o intervalo (–1,∞), mas todos osvalores maiores que –1 satisfazem a desigualdade. Portanto, escureça todos os números maiores que –1 na reta numérica, como ilustrado na Figura 1-4. Figura 1-4 O gráfico de x > –1 exclui o limite inferior, x = –1. Se você multiplicar ou dividir ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo, inverta o sinal da desigualdade. Nesse caso, ≤ se torna ≥. Alguns livros usam colchetes em vez de pontos cheios e parênteses em vez de pontos vazados na reta numérica. BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 7 03/06/2013 16:59:51 Capítulo 1 – Equações Lineares e Desigualdades 8 O Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo 1.18 Solucione e desenhe o gráfico da desigualdade: –7 ≤ 1 – 2x < 11. Isole –2x no meio da desigualdade composta subtraindo 1 de cada expressão. Em seguida, divida cada expressão por –2 para isolar x, invertendo os sinais da desigualdade ao fazer isso. O gráfico da solução, (–5,4] é ilustrado na Figura 1-5. Figura 1-5 O gráfico de –7 ≤ 1 – 2x < 11 inclui x = 4 e exclui x = –5. 1.19 Desenhe o gráfico da desigualdade: Essa desigualdade contém duas variáveis, x e y, por isto, seu gráfico deve ser desenhado no plano de coordenadas. Observe que a desigualdade é resolvida para encontrar y e (desconsiderando o sinal de desigualdade) ela se parece com uma equação linear no formato de interceptação de inclinação. A desigualdade linear possui a interceptação de y (0,2) e a inclinação Figura 1-6 O gráfico de é tracejado, e não sólido, pois ele está excluído da solução (assim como um ponto vazado indica a exclusão de um gráfico de desigualdade em uma reta numérica). O gráfico tracejado separa o plano de coordenadas em duas regiões (uma acima e outra abaixo da reta). Para determinar qual região representa a solução, escolha um ponto (x,y) em uma das regiões e substitua os valores na desigualdade. Caso a afirmação resultante seja verdadeira, sombreie a região que contém esse ponto. Caso contrário, sombreie a outra região. Deixe o sin al de negativo na parte superior: Começand o pela interc eptação de y, desça em u ma unidad e e ande em 3 à direita e marque o p onto. Cone cte os pontos par a desenhar o gráfico da reta. Ao sombrear a região, você está dizendo: “Todos esse s pontos, e não apena s aquele que eu testei, tornam a desigualdade verdad eira.” BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 8 03/06/2013 16:59:51 Capítulo 1 – Equações Lineares e Desigualdades 9O Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo 1.20 Resolva a equação: 2x – y ≤ 4. Resolva a desigualdade para encontrar y. Este gráfico é sólido (e não tracejado), pois a reta em si pertence à solução. Sombreie a região acima da reta, como ilustrado na Figura 1-7. Figura 1-7 Todos os pares ordenados acima da reta são soluções válidas para a desigualdade 2x – y ≤ 4. Equações e Desigualdades de Módulo Resolva dois pelo preço de um 1.21 Resolva a equação: |3x – 7| = 8. Para que esta afirmação seja válida, a expressão dentro do módulo deve ser igual a 8 (já que |8| = 8) ou a –8 (já que |–8| = 8). A solução é x ou x = 5. Se você não quiser testar pontos para descobrir onde deve sombrear, resolva a equação para encontrar y e use essa regra geral: Sombreie acima da reta para “maior que” e abaixo da reta para “menor que”. Não é solicitado que você desenhe o gráfico da solução, pois uma reta numérica com pontos em e 5 não é muito interessante. BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 9 03/06/2013 16:59:51 Capítulo 1 – Equações Lineares e Desigualdades 10 O Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo 1.22 Resolva a equação: 1 – 2|x + 6| = –4. Isole o módulo absoluto do lado esquerdo da equação. Aplique a técnica descrita no Problema 1.21. 1.23 Resolva a equação: 9 – 3|x + 2| = 15. Isole o módulo do lado esquerdo da equação. Esta equação não tem solução. 1.24 Resolva a desigualdade: |x – 5| < 1. A solução para a desigualdade de valor absoluto |x + a| < b, em que a e b são números reais (e b > 0), equivale à solução da desigualdade composta –b < x + a < b. –1 < x – 5 < 1 Resolva a desigualdade usando o método descrito no Problema 1.18. A solução, em representação de intervalos, é (4,6). 1.25 Desenhe o gráfico da solução para a desigualdade: 2|x – 7| – 5 ≤ –1. Isole o módulo do lado esquerdo da desigualdade. Remova as barras de módulo e crie duas equações – um a com o lado direito positivo e outra com o lado direito n egativo. O módulo d e um número é sempre positivo ou zero, por is so, não há com o algo em módulo ser igual a –2 . Corte as barras de desigualdade, coloqu e um sinal de desigual dade equivalente à esquer da, e depois coloque o opo sto do lado direito no lado esquerdo. BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 10 03/06/2013 16:59:52
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