Buscar

Amostra do O fabuloso livro de exercícios de calculo

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 20 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 20 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 20 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Rio de Janeiro, 2013
 
Exercícios 
de Cálculo
 
 
 
BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 1 03/06/2013 16:59:46
iiiO Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo
Sumário
Introdução ix
Capítulo 1: Equações Lineares e Desigualdades 1
Geometria Linear .....................................................................................................................2
Desigualdades Lineares e Representações de Intervalos ...................................................................6
Equações e Desigualdades de Módulo ..........................................................................................9
Sistemas de Equações e Desigualdades ....................................................................................... 12
Capítulo 2: Polinômios 17
Expressões Exponenciais e Radicais ........................................................................................... 18
Operações com Expressões Polinomiais ....................................................................................... 20
Fatorando Polinômios ............................................................................................................. 24
Resolvendo Equações Quadráticas ............................................................................................ 26
Capítulo 3: Expressões Racionais 29
Adicionando e Subtraindo Expressões Racionais ......................................................................... 30
Multiplicando e Dividindo Expressões Racionais ........................................................................ 32
Resolvendo Equações Racionais ................................................................................................ 35
Desigualdades Polinomiais e Racionais ..................................................................................... 38
Capítulo 4: Funções 45
Combinando Funções .............................................................................................................. 46
Elaborando o Gráfico de Transformações de Função .................................................................... 49
Funções Inversas .................................................................................................................... 54
Assíntotas de Funções Racionais ............................................................................................... 57
Problemas com x elevado à primeira potência
Criando, fazendo o gráfico e medindo retas e segmentos de reta
Adeus, sinal de igualdade. Olá, parênteses e colchetes
Resolva dois pelo preço de um
Encontre uma solução comum compartilhada entre múltiplas 
equações ou desigualdades
Porque não dá para ter expoentes de 1 para sempre
Potências e raízes quadradas
Como +, –, x e ÷ polinômios
Reverta o processo de multiplicação
Equações com expoente mais alto 2
Frações, frações e mais frações
Lembra do mínimo denominador comum?
Multiplicar = fácil, dividir = quase tão fácil
Aqui entra a regra de três simples
Números críticos dividem sua reta numérica
Agora você vai começar a ver f(x) em todo lugar
Faça o (+, –, x, ÷) normal ou insira-os um no outro
Extensões, compressões, reflexões e deslizamentos
Funções que cancelam outras funções
Equações da intocável linha tracejada
BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 3 03/06/2013 16:59:46
Sumário
iv O Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo
Capítulo 5: Funções Logarítmicas e Exponenciais 61
Explorando as Funções Exponenciais e Logarítmicas ................................................................... 62
Funções Exponenciais e Logarítmicas Naturais ........................................................................... 66
Propriedades dos Logaritmos .................................................................................................... 67
Resolvendo Equações Exponenciais e Logarítmicas ...................................................................... 70
Capítulo 6: Seções Cônicas 73
Parábolas .............................................................................................................................. 74
Círculos ................................................................................................................................ 80
Elipses .................................................................................................................................. 83
Hipérboles ............................................................................................................................. 89
Capítulo 7: Fundamentos da Trigonometria 95
Medindo Ângulos ................................................................................................................... 96
Relações entre Ângulos ............................................................................................................ 97
Avaliando Funções Trigonométricas .......................................................................................... 99
Funções Trigonométricas Inversas ........................................................................................... 106
Capítulo 8: Gráficos, Identidades e Equações Trigonométricos 109
Desenhando o Gráfico de Transformações Trigonométricas .......................................................... 110
Aplicando Identidades Trigonométricas ................................................................................... 114
Resolvendo Equações Trigonométricas ...................................................................................... 119
Capítulo 9: Investigando Limites 127
Avaliando Limites de Um Lado e Gerais Graficamente .............................................................. 128
Limites e Infinito .................................................................................................................. 133
Definição Formal de Limite .................................................................................................... 138
Capítulo 10: Avaliando Limites 141
Método da Substituição ......................................................................................................... 142
Método de Fatoração ............................................................................................................. 145
Método do Conjugado ........................................................................................................... 150
Teoremas de Limite Especiais .................................................................................................. 153
Funções como log3 x, ln x, 4x e ex
Domine todas essas potências
Bases não escritas, bases de e e fórmula da mudança de base
Expandindo e simplicando expressões de log
Expoentes e logs se cancelam
Parábolas, círculos, elipses e hipérboles
Gráficos de equações quadráticas
Centro + raio = formas redondas e problemas fáceis
Uma palavra rebuscada para “ovais”
Coisas que parecem com duas parábolas
Adicione seno, cosseno e tangente à mistura
Radianos, graus e revoluções
Ângulos coterminais, complementares e suplementares
Trigonometria e ângulos de referência do triângulo retângulo
Insira um número e obtenha um ângulo para variar
Provas de Equações e 
identidade trigonométricas
Expansão e deslocamen
to de gráficos de onda
Simplifique expressões e prove identidades
Resolva para θ em vez de x
Qual altura a função PRETENDE alcançar?
Encontre limites em um gráfico de função
O que acontece quando x ou f(x) fica enorme?
Problemas com épsilon-delta não são divertidos
Calculando limites sem um gráfico da função
Tão fácil quanto inserir um valor para x
A primeira coisa que você deve tentar se a substituição não funcionar
Para lidar com radicais problemáticos
Fórmulas de limite que você deve memorizar
BOOK- Humongous Calculus - 23-05-13.indb 4 03/06/2013 16:59:47
Sumário
vO Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo
Capítulo 11: Continuidade e o Coeficiente Diferencial 155
Continuidade ...................................................................................................................... 156
Tipos de Descontinuidade ...................................................................................................... 157
O Coeficiente Diferencial ........................................................................................................ 166
Diferenciação ....................................................................................................................... 170
Capítulo 12: Métodos Básicos de Diferenciação 173
Derivadas Trigonométricas, Logarítmicas e Exponenciais ........................................................... 174
A Regra da Potência ............................................................................................................. 176
As Regras do Produto e do Quociente ....................................................................................... 179
A Regra da Cadeia ............................................................................................................... 183
Capítulo 13: Gráficos de Função e Derivadas 191
Números Críticos .................................................................................................................. 192
Sinais da Primeira Derivada .................................................................................................. 195
Sinais da Segunda Derivada.................................................................................................. 201
Gráficos de Função e Derivada ............................................................................................... 206
Capítulo 14: Aplicações Básicas da Diferenciação 209
Equações de Tangentes .......................................................................................................... 210
O Teorema de Valor Extremo ................................................................................................... 215
Método de Newton ................................................................................................................ 218
Regra de L’Hôpital ............................................................................................................... 222
Capítulo 15: Aplicações Avançadas da Diferenciação 227
Os Teoremas do Valor Médio e de Rolle .................................................................................... 228
Movimento Retilíneo ............................................................................................................. 233
Taxas Relacionadas .............................................................................................................. 237
Otimização .......................................................................................................................... 244
Capítulo 16: Técnicas de Diferenciação Adicionais 251
Diferenciação Implícita.......................................................................................................... 252
Diferenciação Logarítmica ..................................................................................................... 259
Diferenciando Funções Trigonométricas Inversas ....................................................................... 264
Diferenciando Funções Inversas .............................................................................................. 266
Gráficos indivisíveis e uma p
révia das derivadas
Limite existente + função definida = continuidade
Buracos vs. quebras, removível vs. não removível
O “caminho mais longo” para encontrar a derivada
Quando existe uma derivada?
Os quatro pesos pesados para encontrar derivadas
Memorize fórmulas específicas para
 essas funções
Um atalho para diferenciar xn
Diferencie funções que são multiplicadas ou divididas
Diferencie funções que são inseridas em funções
O que os sinais das derivadas dizem sobre os gráficos
Números que separam gráficos ondulados
Use gráficos ondulados para determinar a direção da função
Pontos de inflexão e concavidade
Como os gráficos de f, f’ e f’’ se relacionam?
Coloque suas habilidades com derivadas em uso
Ponto de tangência + derivada = equação da tangente
Toda função tem seus altos e baixos
Aproxime os zeros de uma função
Encontre limites que costumavam ser impossíveis
Usos complicados, mas interessantes, da
s derivadas
Inclinações médias = inclinações imediatas
Funções de posição, velocidade e aceleração
Descubra a rapidez com que as variáveis mudam em uma função
Encontre os maiores ou menores valores de uma função
Ainda mais maneiras de diferenciar
Essencial quando você não consegue resolver uma função para encontrar y
Use as propriedades de log para tornar as derivadas complicadas mais fáceis
Porque a derivada de tg–1 x não é sec–2 x
Sem nem saber o que elas são!
BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 5 03/06/2013 16:59:47
Sumário
vi O Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo
Capítulo 17: Aproximando áreas 273
Somas Informais de Riemann ................................................................................................. 274
Regra dos Trapézios .............................................................................................................. 285
Regra de Simpson ................................................................................................................. 293
Somas Formais de Riemann ................................................................................................... 295
Capítulo 18: Integração 301
Regra da Potência para Integração ......................................................................................... 302
Integrando Funções Trigonométricas e Exponenciais .................................................................. 305
O Teorema Fundamental de Cálculo ....................................................................................... 307
Substituição de Variáveis ....................................................................................................... 317
Capítulo 19: Aplicações do Teorema Fundamental 323
Calculando a área entre duas curvas ...................................................................................... 324
O Teorema do Valor Médio para Integração .............................................................................. 330
Funções de Acumulação e Mudança Acumulada ...................................................................... 338
Capítulo 20: Integrando Expressões Racionais 347
Separação............................................................................................................................ 348
Divisão Longa ..................................................................................................................... 351
Aplicando Funções Trigonométricas Inversas ............................................................................ 354
Completamento de Quadrados ................................................................................................ 357
Frações Parciais ................................................................................................................... 361
Capítulo 21: Técnicas de Integração Avançadas 367
Integração por Partes ............................................................................................................ 368
Substituição Trigonométrica ................................................................................................... 372
Integrais Impróprias .............................................................................................................387
Capítulo 22: Volume Rotacional e de Seção Transversal 393
Volume de um Sólido com Seções Transversais Conhecidas .......................................................... 394
Método do Disco ................................................................................................................... 401
Método dos Anéis ................................................................................................................. 410
Método das Cascas ............................................................................................................... 421
Estime a área entre uma curva e um eixo x
Somas à esquerda, à direita, do ponto médio, acima e abaixo
Parecida com as somas de Riemann, mas muito mais precisa
Aproxima muito bem a área abaixo de funções curvas
Você vai querer colocar os pingos nos “i”s
Agora, a derivada não é a resposta, é a pergunta
Adicione 1 ao expoente e divida pela nova potência
As integrais trigonométricas não se parecem 
nem um pouco com as derivadas
Integração e área estão profundamente relacionadas
Geralmente chamada de substituição
O que fazer com as integrais definidas
Em vez de apenas uma função e o eixo x
Crie uma área retangular que equivalha à 
área abaixo de uma curva
Integrais com limites x e aplicações da integração na “vida real”
O que fazer quando há uma fração dentro da integral
Transforme uma grande e feia fração em frações menores e menos feias
Divida antes de integrar
Muito útil, mas apenas em algumas circunstâncias
Para quando há quadráticas embaixo e nenhuma variável em cima
Uma maneira rebuscada de separar grandes frações
Há ainda mais maneiras de encontrar integrais 
– deve ser o seu aniversário
É como a regra do produto, mas para integrais
Usando identidades e pequenos diagramas de triângulos retângulos
Integrando apesar das assíntotas e limites de integração infinitivos
Por favor, coloque seus óculos 3D agora
Corte o sólido em partes e meça essas partes
Círculos são as seções transversais mais fáceis possíveis
Encontre volumes mesmo se os “sólidos” não forem sólidos
Algo em que se apoiar quando o método dos anéis não funcionar
BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 6 03/06/2013 16:59:47
Sumário
viiO Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo
Capítulo 23: Aplicações Avançadas de Integrais Definidas 427
Comprimento do Arco ............................................................................................................ 428
Área da Superfície ................................................................................................................ 431
Centroides ........................................................................................................................... 436
Capítulo 24: Equações Paramétricas e Polares 447
Equações Paramétricas .......................................................................................................... 448
Coordenadas Polares ............................................................................................................. 452
Desenhando o Gráfico de Curvas Polares ................................................................................. 455
Aplicações da Diferenciação Paramétrica e Polar ....................................................................... 460
Aplicações da Integração Paramétrica e Polar ........................................................................... 466
Capítulo 25: Equações Diferenciais 471
Separação de Variáveis .......................................................................................................... 472
Crescimento e Decaimento Exponenciais ................................................................................... 477
Aproximações Lineares .......................................................................................................... 484
Campos Direcionais .............................................................................................................. 486
Método de Euler ................................................................................................................... 492
Capítulo 26: Sequências e Séries Básicas 499
Sequências e Convergência ..................................................................................................... 500
Séries e Testes de Convergência Básicos .................................................................................... 502
Soma Telescópica e Série de p .................................................................................................. 506
Séries Geométricas ................................................................................................................. 509
O Teste da Integral ............................................................................................................... 510
Capítulo 27: Testes Adicionais de Convergência de Séries Infinitas 513
Teste da Comparação ............................................................................................................ 514
Teste da Comparação do Limite .............................................................................................. 516
Teste da Razão ..................................................................................................................... 519
Teste da Raiz ....................................................................................................................... 522
Teste da Série Alternada e Convergência Absoluta ..................................................................... 526
Mais problemas envolvendo i
ntegrais limitadas
Qual é a distância do ponto A para o ponto B em uma estrada cheia de curvas?
Meça a “pele” de um sólido de revolução
Encontre o centro de gravidade de uma forma em duas dimensões
Escrevendo equações sem x e y
Assim como os revolucionários o Porto Boston, apenas adicione t
Converta de (x, y) para (r, θ) e vice-versa
Fazendo gráficos com r e θ em vez de x e y
Ensine alguns velhos truques de diferenciação a um
 cachorro novo
Talvez algumas integrais também interessem ao cachorro novo
Equações que contêm uma derivada
Separe y e dy dos x e dx
Quando a mudança de uma população é proporci
onal ao seu tamanho
Um gráfico e sua reta tangente às vezes são bastante parecidos
Parecem-se com padrões de vento em um mapa meteorológico
Pequenos passos para encontrar a solução da equação diferencial
O que é pior que uma fração? Infinitas Frações
As listas de números sabem para onde estão indo?
Teste de divergência de representação de sigma e do term
o geral
Como lidar com essas séries fáceis de serem identificadas
Elas convergem? E, caso o façam, qual é a soma?
Séries infinitas e integrais impróprias estão relacionados
Para usar 
com séries
 infinitas 
ainda mais feia
s
Provando que as séries são maiores do que grandes e menores do que pequenas
Séries que convergem ou divergem por associação
Compare termos vizinhos de uma série
Útil para termos dentro de sinais de radical
E se as séries tiverem termos negativos?
BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 7 03/06/2013 16:59:47
Sumário
viii O Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo
Capítulo 28: Séries Infinitas Avançadas 531
Séries de Potência ................................................................................................................. 532
Séries de Taylor e Maclaurin .................................................................................................. 540
Apêndice A: Gráficos e transformações gráficas importantes para memorizar 547
Apêndice B: O círculo unitário 553
Apêndice C: Identidades trigonométricas 555
Apêndice D: Fórmulas de Derivadas 557
Apêndice E: Fórmulas de Antiderivadas 559
Índice 561
Séries que contêmx
Encontrando intervalos de convergência
Séries que aproximam valores de função
BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 8 03/06/2013 16:59:47
ixO Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo
Introdução
Você está tendo aulas de cálculo? Sim? Então você PRECISA deste livro. Vou dizer 
o porquê:
Fato nº 1: A melhor maneira de aprender cálculo é trabalhando com problemas 
de cálculo.
Não há como negar. Se fosse possível entender as aulas apenas lendo o livro 
teórico ou fazendo boas anotações, todos seriam aprovados com louvor. 
Infelizmente, a dura verdade é que você precisa apertar os cintos e trabalhar os 
problemas até sentir seus dedos dormentes.
Fato nº 2: A maioria dos livros apenas diz QUAIS são as respostas dos problemas 
práticos, mas não COMO chegar a elas!
É claro que o seu livro pode ter 175 problemas para cada tópico apresentado, 
mas a maioria deles apenas traz as respostas. Isso significa que se você não 
acertar a resposta, estará completamente perdido! Saber que errou não ajuda em 
nada se você não souber POR QUE errou. Os livros de matemática ficam sentados 
em um enorme trono, assim como o Grande e Terrível Oz, e dizem “Não, tente 
de novo”. E é isso o que fazemos. Repetidas vezes. E continuamos a chegar à 
resposta errada para o problema. Que maneira deliciosa de aprender! (Não vamos 
nem discutir por que eles apenas dizem as respostas dos problemas pares. Isso 
significa que de fato o AUTOR do livro nem ao menos sentiu vontade de trabalhar 
os ímpares?)
Fato nº 3: Mesmo quando os livros de matemática tentam mostrar os passos de 
um problema, eles não fazem um trabalho muito bom.
Os matemáticos adoram pular passos. Você pode estar conseguindo seguir bem 
uma explicação e, então, de repente, PUF, se perde. Você pensa consigo mesmo, 
“Como eles fizeram isso?” ou “De onde veio esse 42? Ele não estava aí no passo 
anterior!”. Por que quase todos esses livros presumem que, para trabalhar um 
problema na página 200, é melhor que você conheça o que há nas páginas de 
1 a 199 como a palma da sua mão? Você não quer passar o resto da sua vida 
fazendo uma lição de casa! Você só quer saber por que continua chegando a um 
número negativo ao calcular o custo mínimo para a construção de uma piscina 
cujo comprimento é quatro vezes a soma de sua profundidade, adicionado à 
razão pela qual a água vaza de um trem que saiu de Chicago às 4h da manhã, 
viajando na direção oeste à mesma velocidade que o carbono se decompõe.
BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 9 03/06/2013 16:59:47
Introdução
x O Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo
Fato nº 4: Ler listas de fatos é divertido por um tempo, mas depois a piada fica 
velha. Vamos direto ao assunto.
Praticamente todo tipo de problema de cálculo com o qual 
você poderia se deparar está aqui – afinal, este livro é 
GIGANTE! Se mil problemas não forem suficientes, então você 
tem algum tipo de apetite maluco por matemática e, meu 
amigo, eu procuraria ajuda profissional. Este livro de prática 
era bom, mas para torná-lo ÓTIMO, eu revisei e trabalhei 
todos os problemas e fiz anotações nas margens quando achei 
que algo estava confuso ou precisava de um pouco mais de 
explicação. Também desenhei pequenos crânios ao lado dos 
problemas mais difíceis, para que você saiba que não precisa 
entrar em pânico se o exercício for muito desafiador. Afinal, se 
você está trabalhando em um problema e fica completamente 
desnorteado, não é melhor saber que o problema FOI FEITO 
para ser difícil? É reconfortante, pelo menos para mim.
Imagino que você terá uma surpresa agradável ao ver como as 
explicações das respostas são detalhadas, e espero que ache que 
as minhas pequenas notas são úteis ao longo do caminho. Pode 
me chamar de louco, mas acho que as pessoas que QUEREM 
aprender cálculo e estão dispostas a gastar seu tempo abrindo 
o caminho por meio da prática dos problemas devem, de fato, 
ser capazes de entender os problemas e aprender durante o 
percurso, mas essa é só a minha opinião.
Boa sorte, e não se esqueça de visitar o meu site, em www.calculus-help.com. 
Se tiver vontade, mande-me um e-mail com aquilo que anda pensando com 
seus botões. (Mas não literalmente, pois botões de verdade podem entupir os 
encanamentos da Internet.)
– Mike Kelley
Todas 
as minhas 
notas são feitas ao 
lado, como nesse caso, 
e indicam as partes 
do livro que eu estou 
tentando explicar.
BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 10 03/06/2013 16:59:47
Introdução
xiO Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo
Dedicatória
Este livro é para a minha família, que iria me amar e me apoiar, eu escrevendo 
livros de matemática absurdamente grandes ou não. Para a minha esposa, Lisa, 
cujo apego à sanidade permanece firme mesmo quando a minha começa a se 
esgotar, eu não poderia te amar mais. Ao meu valente filho pirata, Nick, de quem 
eu espero que continue a terminar a maioria de suas frases com “macacos me 
mordam”, mesmo quando ele não tiver mais 3 anos. E para as minhas lindas 
gêmeas, Erin e Sara, que acabaram de dizer sua primeira palavra: “sapatos”. 
Imagino que eu vou continuar a ouvir essa palavra muito mais vezes em um 
futuro não muito distante.
Um agradecimento especial a Mike Sanders, que me ajudou a transformar minha 
ideia de um livro de matemática cheio de marcações em realidade, e às minhas 
editoras, Sue Strickland e Ginny Munroe, que trabalham bastante para evitar que 
eu pareça bobo.
Este livro é em memória a Joe, que nos deixou em 2006. Quando eu escrevi 
o livro O Guia Completo Para Quem Não é CDF – Cálculo Joe me disse (com 
um pesado sotaque de ex-caminhoneiro de Long Island) que ele seria um “tiro 
na mosca”. Com uma sinceridade que não vi igual em nenhuma pessoa que já 
conheci, suas simples palavras de encorajamento significavam muito para mim, 
como um novo autor na luta. Obrigado, Joe. Você estava certo.
BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 11 03/06/2013 16:59:47
Capítulo 1
EQUAÇÕES LINEARES E DESIGUALDADES
Um entendimento adequado e rigoroso das equações lineares e seus 
formatos padrão, dos segmentos lineares e dos algoritmos associados, 
dos sistemas de equações lineares múltiplas e das desigualdades lineares 
é um pré-requisito essencial para o estudo do cálculo. Embora a maioria 
dos alunos de cálculo esteja familiarizada com os tópicos presentes 
neste capítulo, a mera familiaridade não é suficiente. Para ter êxito com 
tópicos mais avançados dos capítulos que se seguem, o domínio dessas 
habilidades e desses conceitos fundamentais por parte do aluno deve ser 
assegurado.
Problemas com x elevado à primeira potência
Pontos e retas são os conceitos g
eométricos mais básicos, por isso,
 você vai 
precisar entender como eles se re
lacionam antes de poder avançar
 para 
funções mais complexas e seus gr
áficos. Você precisará saber como
 criar 
equações de retas, desenhar o gr
áfico de retas no plano de coorde
nadas e, 
até mesmo, encontrar os compri
mentos e pontos médios de segm
entos de 
reta. Você também precisará sab
er o que fazer com expressões qu
e contêm 
sinais de <, >, ≤ e ≥. De
pois que você dominar 
isso, revisará como enc
ontrar 
soluções de sistemas de equações 
e desigualdades (quando você tra
balha com 
mais de uma equação ou desigua
ldade por vez).
BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 1 03/06/2013 16:59:47
Capítulo 1 – Equações Lineares e Desigualdades
2 O Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo
Geometria Linear
Criando, fazendo o gráfico e medindo retas e segmentos de reta
1.1 Resolva a equação: 3x – (x – 7) = 4x – 5.
Distribua –1 nos parênteses e combine os termos semelhantes.
Subtraia 4x e 7 de ambos os lados da equação para separar a variável e os 
termos constantes.
Divida ambos os lados por –2 para obter a solução.
1.2 Calcule ainclinação, m, da reta 4x – 3y = 9.
Resolva a equação para encontrar y e para reescrevê-la no formato de 
interceptação e inclinação.
A inclinação da reta é o coeficiente de 
1.3 Prove que a inclinação de uma reta no formato padrão, B ≠ 0 é 
Escreva a equação no formato de interceptação de inclinação encontrando y.
O coeficiente de x é a inclinação da reta: m= 
O formato 
de interceptação e 
inclinação de uma reta 
é 
y = mx + b, em que m é
 a 
inclinação da reta e b é
 a 
interceptação de y.
BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 2 03/06/2013 16:59:48
Capítulo 1 – Equações Lineares e Desigualdades
3O Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo
1.4 Reescreva a equação linear no formato padrão.
Distribua os termos constantes e combine os semelhantes.
Multiplique por 15 o mínimo denominador comum, para eliminar as frações.
Separe a variável e os termos constantes.
1.5 Escreva a equação da reta que passa pelos pontos (–3, –8) e (–6,2) no 
formato de interceptação e inclinação.
Calcule a inclinação da reta.
Substitua a inclinação na fórmula de interceptação e inclinação (y = mx + b) no 
lugar de m, substitua x e y usando um dos pares de coordenadas e encontre b.
Substitua m e b na fórmula de interceptação e inclinação.
1.6 Calcule as interceptações de x e y em 3x – 4y = –6 e use-as para fazer o gráfico 
da reta.
Para calcular a interceptação de x, substitua 0 no lugar de y e encontre x. Da 
mesma forma, substitua 0 no lugar de x para calcular a interceptação de y.
A equação estará no formato padrão se tiver: (1) Nenhuma fração, 
(2) Somente termos com 
x e y do lado esquerdo, (3) 
Somente o termo constante 
do lado direito e (4) Um 
coeficiente de x positivo.
Multiplique toda a equação por –1 para que o coeficiente de x seja positivo. (É um requisito do formato padrão.)
Pense no ponto (–3, –8) como (x1, y1) e em (–6, 2) como (x2, y2), então, x1 = –3, y1 = –8, x2 = –6 e y2 = 2.
BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 3 03/06/2013 16:59:49
Capítulo 1 – Equações Lineares e Desigualdades
4 O Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo
Portanto, o gráfico de 3x – 4y = –6 corta o eixo x em (–2,0) e o eixo y em 
como ilustra a Figura 1-1.
Figura 1-1
O gráfico de 3x – 4y = –6 com suas interceptações de 
x e y identificadas.
1.7 Presuma que a reta p contém o ponto (–3,1) e que ela seja paralela a x – 4y = 1. 
Escreva a equação de p no formato de interceptação e inclinação.
Calcule a inclinação de x – 4y = 1, usando o método do Problema 1.3.
Insira esta interceptação e as coordenadas (x1,y1) = (–3,1) na fórmula de 
inclinação e ponto.
 
Isole y para expressar a equação no formato de interceptação de inclinação.
A fórmula 
de inclinaç
ão e ponto
 
cria uma e
quação com
 base 
na inclinaç
ão da reta,
 m, e 
um ponto 
na reta, (x1
, y1). 
Não insira 
nada no lu
gar 
de x e y qu
e não tenh
a 
pequenos n
úmeros ao 
lado.
BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 4 03/06/2013 16:59:49
Capítulo 1 – Equações Lineares e Desigualdades
5O Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo
Nota: Os problemas 1.8 - 1.10 referem-se ao paralelogramo ABCD, da Figura 1-2.
1.8 De acordo com um teorema básico da geometria euclidiana, as diagonais 
de um paralelogramo se interceptam nos pontos médios. Verifique que esse 
teorema é válido para o paralelogramo ABCD.
Figura 1-2
Paralelogramo 
ABCD.
Calcule os pontos médios de AC e BD; as diagonais interceptar-se-ão nos pontos 
médios se, e somente se, esses pontos médios coincidirem.
Ponto médio de AC: Ponto médio de BD:
Nota: Os problemas 1.8 – 1.10 referem-se ao paralelogramo ABCD na Figura 1-2.
1.9 Prove que ABCD é um losango verificando que seus lados são congruentes.
Aplique a fórmula da distância quatro vezes, uma em cada lado.
O ponto médio de um segmento de reta com pontos terminais (x1,y1) e (x2,y2) é 
. Em outras palavras, a coordenada de x do ponto médio de um segmento é a média das coordenadas de x de seus extremos. O mesmo se aplica para a coordenada de y.
A distância entre 
os pontos 
(x1,y1) e (x2,y2)
 é 
.
BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 5 03/06/2013 16:59:50
Capítulo 1 – Equações Lineares e Desigualdades
6 O Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo
1.10 Prove que ABCD é um losango verificando que suas diagonais são 
perpendiculares umas às outras.
Calcule as inclinações das diagonais usando a fórmula de inclinação do 
Problema 1.5.
Inclinação de AC: Inclinação de BD: 
As diagonais são recíprocas negativas, por isso, os segmentos de reta são 
perpendiculares.
Desigualdades Lineares e Representações de Intervalos
Adeus, sinal de igualdade. Olá, parênteses e colchetes.
1.11 Escreva a expressão x ≥ –4 usando a representação de intervalos.
Um intervalo é definido pelos dois valores que ligam uma desigualdade, o 
valor inferior seguido pelo valor superior. Você deve indicar se cada ponto 
terminal está incluído no intervalo ou não. (Um colchete próximo a um ponto 
terminal significa que ele está incluso, e um parêntese indica sua exclusão.)
Qualquer número maior que ou igual a –4 torna esta afirmação verdadeira; –4 
é o limite mais baixo e deve ser incluído. O limite maior é o infinito. Portanto, 
x ≥ –4 é representado como [–4,∞).
1.12 Escreva a expressão x < 10 usando a representação de intervalos.
O limite superior é 10 e deve ser excluído (já que 10 não é menor do que 10). 
Qualquer número menor que 10 torna essa afirmação verdadeira; há valores 
infinitos na direção negativa, por isso, o limite inferior é –∞. Portanto, a 
afirmação da desigualdade é escrita como (–∞,10).
1.13 Escreva a expressão 6 ≥ x > –1 usando a representação de intervalos.
O limite inferior deve sempre preceder o limite superior, independentemente 
de como a expressão esteja escrita: (–1,6].
1.14 Escreva a solução para a desigualdade usando a representação de intervalos: 
4x – 2 > x + 13.
Separe as variáveis e os termos constantes e, depois, divida pelo coeficiente de x.
As retas p
aralelas 
têm inclina
ções iguais.
 
As inclinaç
ões de reta
s 
perpendicu
lares são 
recíprocas 
umas às ou
tras e 
possuem sin
ais opostos
.
Sempre 
use parênte
ses ao 
lado de 
∞ ao rep
resentar
 
intervalos. 
Você não p
ode 
“incluir”
 algo qu
e não se
ja 
um núm
ero real
, finito.
REGRA GERAL:
Use um colchete se 
o 
símbolo da desigual
dade 
próximo ao número
 for 
≤ ou ≥ – do c
ontrário, use 
um parêntese. Sem
pre 
use parênteses próx
imos 
a ∞ e –∞.
BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 6 03/06/2013 16:59:50
Capítulo 1 – Equações Lineares e Desigualdades
7O Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo
Escreva a solução como uma representação de intervalos: (5,∞).
1.15 Escreva a solução da desigualdade usando a representação de intervalos:
3 (2x – 1) – 5 ≤ 10x + 19
Distribua o termo constante, combine os termos semelhantes e isole x do lado 
esquerdo da equação.
A divisão por um termo constante negativo altera fundamentalmente a 
desigualdade: 
Escreva a solução na forma de representação de intervalos: 
1.16 Desenhe o gráfico da desigualdade: –2 ≤ x < 3.
Reescreva a desigualdade como um intervalo: [–2,3). Para desenhar o gráfico 
do intervalo em uma reta numérica, insira um ponto para cada limite (pontos 
cheios para limites incluídos e pontos vazados para limites excluídos). Todos os 
valores entre esses limites pertencem ao intervalo, por isso, trace uma reta mais 
escura entre os pontos, como ilustrado na Figura 1-3.
Figura 1-3
O gráfico de –2 ≤ x < 3 inclui o limite de intervalo x = –2, mas 
exclui x = 3.
1.17 Desenhe o gráfico da desigualdade: x > –1.
Não há limite superior para o intervalo (–1,∞), mas todos osvalores maiores 
que –1 satisfazem a desigualdade. Portanto, escureça todos os números 
maiores que –1 na reta numérica, como ilustrado na Figura 1-4.
Figura 1-4 O gráfico de x > –1 exclui o limite inferior, x = –1.
Se você multiplicar ou dividir ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo, inverta o sinal da desigualdade. Nesse caso, ≤ se torna ≥.
Alguns livros usam colchetes em vez de pontos cheios e parênteses em vez de pontos vazados na reta numérica.
BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 7 03/06/2013 16:59:51
Capítulo 1 – Equações Lineares e Desigualdades
8 O Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo
1.18 Solucione e desenhe o gráfico da desigualdade: –7 ≤ 1 – 2x < 11.
Isole –2x no meio da desigualdade composta subtraindo 1 de cada expressão. 
Em seguida, divida cada expressão por –2 para isolar x, invertendo os sinais da 
desigualdade ao fazer isso.
O gráfico da solução, (–5,4] é ilustrado na Figura 1-5.
Figura 1-5 O gráfico de –7 ≤ 1 – 2x < 11 inclui x = 4 e exclui x = –5.
1.19 Desenhe o gráfico da desigualdade: 
Essa desigualdade contém duas variáveis, x e y, por isto, seu gráfico deve ser 
desenhado no plano de coordenadas. Observe que a desigualdade é resolvida 
para encontrar y e (desconsiderando o sinal de desigualdade) ela se parece 
com uma equação linear no formato de interceptação de inclinação. A 
desigualdade linear possui a interceptação de y (0,2) e a inclinação 
Figura 1-6
O gráfico de é tracejado, 
e não sólido, pois ele está excluído da 
solução (assim como um ponto vazado 
indica a exclusão de um gráfico de 
desigualdade em uma reta numérica).
O gráfico tracejado separa o plano de coordenadas em duas regiões (uma 
acima e outra abaixo da reta). Para determinar qual região representa a 
solução, escolha um ponto (x,y) em uma das regiões e substitua os valores na 
desigualdade. Caso a afirmação resultante seja verdadeira, sombreie a região 
que contém esse ponto. Caso contrário, sombreie a outra região.
Deixe o sin
al de 
negativo na
 parte 
superior: 
 Começand
o 
pela interc
eptação de
 y, 
desça em u
ma unidad
e 
e ande em 
3 à direita
 e 
marque o p
onto. Cone
cte os 
pontos par
a desenhar
 o 
gráfico 
da reta.
Ao sombrear a 
região, você está 
dizendo: “Todos esse
s 
pontos, e não apena
s aquele 
que eu testei, tornam
 a 
desigualdade verdad
eira.”
BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 8 03/06/2013 16:59:51
Capítulo 1 – Equações Lineares e Desigualdades
9O Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo
1.20 Resolva a equação: 2x – y ≤ 4.
Resolva a desigualdade para encontrar y.
Este gráfico é sólido (e não tracejado), pois a reta em si pertence à solução. 
Sombreie a região acima da reta, como ilustrado na Figura 1-7.
Figura 1-7
Todos os pares ordenados acima da reta são soluções 
válidas para a desigualdade 2x – y ≤ 4.
Equações e Desigualdades de Módulo
Resolva dois pelo preço de um
1.21 Resolva a equação: |3x – 7| = 8.
Para que esta afirmação seja válida, a expressão dentro do módulo deve ser 
igual a 8 (já que |8| = 8) ou a –8 (já que |–8| = 8).
A solução é x ou x = 5.
Se você não quiser testar pontos para descobrir onde deve sombrear, resolva a equação para encontrar y e use essa regra geral: Sombreie acima da reta para “maior que” e abaixo da reta para “menor que”.
Não é solicitado que você desenhe o gráfico da solução, pois uma reta numérica com pontos em e 5 não é muito interessante.
BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 9 03/06/2013 16:59:51
Capítulo 1 – Equações Lineares e Desigualdades
10 O Fabuloso Livro de Exercícios de Cálculo
1.22 Resolva a equação: 1 – 2|x + 6| = –4.
Isole o módulo absoluto do lado esquerdo da equação.
Aplique a técnica descrita no Problema 1.21.
1.23 Resolva a equação: 9 – 3|x + 2| = 15.
Isole o módulo do lado esquerdo da equação.
Esta equação não tem solução.
1.24 Resolva a desigualdade: |x – 5| < 1.
A solução para a desigualdade de valor absoluto |x + a| < b, em que a e b são 
números reais (e b > 0), equivale à solução da desigualdade composta –b < x + a < b.
–1 < x – 5 < 1
Resolva a desigualdade usando o método descrito no Problema 1.18.
A solução, em representação de intervalos, é (4,6).
1.25 Desenhe o gráfico da solução para a desigualdade: 2|x – 7| – 5 ≤ –1.
Isole o módulo do lado esquerdo da desigualdade.
Remova as 
barras de módulo e 
crie 
duas equações – um
a com o 
lado direito positivo 
e outra 
com o lado direito n
egativo.
O módulo d
e 
um número
 é sempre 
positivo ou 
zero, por is
so, 
não há com
o algo em 
módulo ser
 igual a –2
.
Corte as barras de 
desigualdade, coloqu
e 
um sinal de desigual
dade 
equivalente à esquer
da, e 
depois coloque o opo
sto do 
lado direito no lado 
esquerdo.
BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 10 03/06/2013 16:59:52

Outros materiais