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�PAGE �37� �PAGE �21� UNIVERSIDADE FUMEC - FEA Estruturas em Treliça Prof. Eduardo Mesquita - 2006 - ESTRUTURAS EM TRELIÇA São estruturas lineares, formadas por barras que no conjunto devem formar uma estrutura indeformável. Estrutura deformável 1. Tipos de Treliça 1.1 - Treliças Planas Suas barras estão num mesmo plano. 1.2 - Treliças Tridimensionais Suas barras estão todas em planos diferentes. As treliças são utilizadas para coberturas, pontes, como vigas de lançamento, etc. 2. Hipóteses Para os Vários Processos de Cálculos 2.1 – As barras da treliça são ligadas entre si por intermédio de articulações sem atrito. 2.2 – As cargas e reações aplicam-se somente nos nós da estrutura. 2.3 – O eixo de cada barra coincide com a reta que une os centros das articulações (como nas estruturas lineares). Satisfeitas todas as hipóteses mencionadas, as barras da treliça só serão solicitadas por forças normais. 3. Esforços Solicitantes Forças Normais As tensões provocadas por estas forças são chamadas tensões primárias. (verificação da resistência da peça) Observações: 1. Na prática não se consegue obter uma articulação perfeita, sem atrito. As articulações são formadas por chapas rebitadas ou soldadas, que podem ser consideradas praticamente rígidas. 2. Devido ao fato de não termos uma articulação perfeita aparecerá momento fletor e força cortante, porém este estudo não é parte do nosso curso. 3. Também o peso próprio da barra provoca flexão na mesma, só que é desprezível por ser muito pequeno. O peso da barra vai aplicado nos nós. 4. Treliças Isostáticas e Hiperestáticas Dados os valores das forças P1, P2, P3 e P4, se conseguirmos determinar, pelas equações da estática, os valores de R1 e R2 e os esforços nas barras, ela é isostática. Se determinarmos somente as reações de apoio ela é dita internamente hiperestática (as incógnitas são as forças normais). Quando nem as reações se determinam ela é dita externamente hiperestática. As incógnitas a se determinarem são: As reações de apoio HA, VA e VB, chamadas de vínculos representados pela letra V. Esforços normais nas barras representados pela letra b. Logo o número de incógnitas é (b + V). Portanto, para cada nó da estrutura nós temos duas equações, logo se a estrutura possuir N nós, teremos 2N equações. Portanto, para uma treliça ser isostática, devemos ter Treliça hiperestática b + V > 2N. O grau de hiperestaticidade de uma treliça é dado pela equação: g = (b + V) – 2N Se g = 0 ( a treliça é isostática. Exemplos: v = 3, b = 11, N = 7 v = 3, b = 9 b + v = 14 2N = 14 N = 6 b + v = 12 2N = 12 Isostática Isostática v = 4, b = 13, N = 8 v = 3, b = 14, N = 8 b + v = 17 2N = 16 b + v = 17, 2N = 16 Hiperestática (g = 1) Hiperestática (g = 1) Incógnita: uma das reações de Incógnita: esforço de uma das apoio – externamente barras- internamente hiperestática. hiperestática. 5 – Treliças Simples Geralmente quase todas as treliças são formadas a partir de um triângulo inicial. Para cada novo nó introduzido, basta acrescentar duas barras não colineares. Se o número de vínculos relativos às treliças acima mencionadas forem iguais a 3, as treliças serão sempre isostáticas ( b + 3 = 2N Observações: 1. A treliça hiperestática com 3 vínculos, conforme desenho acima, tem uma barra a mais, logo não entra nesta classificação. 6. Processos de Resolução 6.1 – Processo dos Nós Seja o nó C, da treliça ABCDEF. Nele concorrem as barras conforme a figura abaixo: Conforme já dissemos, cada nó apresenta duas equações e, se admitirmos que todas as barras estejam tracionadas, teremos: Nó C: Genericamente, teremos: (componente horizontal de P1) = 0 (componente vertical de P1) = 0 As componentes verticais em função do seno. As componentes horizontais em função do cosseno. Os valores de H e V podem ser positivos ou negativos, se as forças forem de tração e compressão, respectivamente. Convenção: 6.2 – Casos de Simplificação Para carregamentos particulares pode acontecer que uma treliça possua barra ou barras não solicitada(s), ou então solicitadas pela mesma força normal. Em muitos casos a identificação destas barras é imediata, simplificando bastante o cálculo da treliça. Seja a treliça abaixo: Nó A ( duas barras não coaxiais sem forças externas aplicadas. N1 = N4 = 0 ( as barras não estão solicitadas. Nó C ( duas barras não coaxiais sem forças externas aplicadas. N5 = 0 N2 = N6 Nó B ( duas barras não coaxiais sem forças externas aplicadas. N17 = -P3 ( (compressão). N16 = 0 Nó D ( duas barras não coaxiais sem forças externas aplicadas. N10 = N14 N13 = 0 Nó E ( duas barras não coaxiais sem forças externas aplicadas. N8 = N12 N9 = - P2 ( (compressão). 6.3 – Processos dos Coeficientes de Força Esse processo é análogo ao dos nós, mas leva muito mais vantagens se houver muitas barras com inclinações diferentes, principalmente se os comprimentos dessas barras forem obtidos por simples medição num esquema da estrutura. Vamos supor uma barra AB qualquer de comprimento l de projeções h e v (horizontal e vertical, respectivamente). Da figura, tiramos: o ângulo que a barra AB faz com a horizontal. Voltando ao processo dos nós, onde tínhamos: , substituímos os valores do cos e sen , ficando: onde N, h, v e l em cada parcela das somatórias, referem-se a uma mesma barra. O coeficiente de forças de uma barra é obtido da relação: , que substituindo nas equações acima nos dá: Através das equações acima, determinamos os valores de t correspondentes às diversas barras da estrutura. Em seguida, obtemos as forças normais, multiplicando-se os valores de t pelos comprimentos das respectivas barras. Exercício: Resolver a treliça dada nos exemplos anteriores pelo processo dos coeficientes de força. Nó Equação Barra t (tf/m) l (m) N (tf) A V 3,97 + 3t1 = 0 1 -1,32 3 -3,96 H 5,2 + 4t2 = 0 2 -1,3 4 -5,2 B V -3t1 - 3t3 = 0 3 1,32 5 6,6 H 4t4 + 4t3 = 0 4 -1,32 4 -5,28 C V -2-3t5 - 3t7 = 0 5 -1,32 3 -3,96 H -4t4 + 4t7 + 4t8 = 0 6 0,02 4 0,08 D V +3t3 + 3t5 = 0 7 0,65 5 3,25 H -4t2 - 4t3 + 4t6 = 0 8 -1,97 4 -7,88 E V -4 - 3t9 - 3t11 = 0 9 -0,65 3 -1,95 H -4t8 + 4t12 + 4t11 = 0 10 0,68 4 2,72 F V 3t9 + 3t7 = 0 11 -0,68 5 -3,4 H -4t7 - 4t6 + 4t10 = 0 12 -1,29 4 -5,16 G V -6cos60º - 3t13 = 0 13 -1 3 -3 H 6.4 – Processo das Seções ou de Ritter Como vimos no processo dos nós, admitimos cortadas todas as barras da treliça e consideramossucessivamente as condições de equilíbrio (H = 0 e V = 0) relativas a todos os nós, um a um. Esse processo é utilizado quando se deseja determinar as forças normais em todas as barras. No processo das seções temos condições de obter a força normal em apenas algumas barras ou somente em uma única. Neste caso, estabelecemos as condições de equilíbrio do reticulado que resulta, quando aplicamos os cortes naquelas barras cujas forças normais procuramos. Este processo permite, com sucesso, a resolução de diversos casos de treliças simples e compostas (associação de uma ou mais treliças que não podem ser obtidas seguindo-se a lei da formação das treliças simples) tornando-se, entretanto, impraticável no caso das treliças complexas. Ao partirmos a barra CE a treliça se transforma em dois reticulados geométricos indeformáveis e interligados pela articulação F. Logo os momentos relativos a quaisquer forças de um lado ou de outro lado dos reticulados devem ser nulos. Tomando, por exemplo, a parte situada à esquerda de F, temos: Calcular a força normal na barra CF diagonal: Nestas condições os dois reticulados estão ligados por duas barras biarticuladas paralelas CE e DF, incapazes de impedir o deslocamento na direção vertical. Desta forma, para não acontecer movimento relativo das partes, fazemos . Relativo a um ou outro reticulado. Tomando o reticulado da esquerda, temos: Os reticulados estão interligados por duas retas paralelas BC e DF. Também neste caso os reticulados são incapazes de impedir o deslocamento na direção vertical. Logo temos que fazer Vamos pega os reticulado da esquerda, logo teremos: O da esquerda: O da direita: Exercício: Dado o sistema reticulado abaixo, pede-se: Calcular as reações de apoio. Calcular os esforços normais em todas as barras. Obs: Utilizar duas casas decimais. �� EMBED Equation.DSMT4 �� EMBED Equation.DSMT4 �� EMBED Equation.DSMT4 Nó E Nó D Nó A Nó B �� EMBED Equation.DSMT4 �� EMBED Equation.DSMT4 �� EMBED Equation.DSMT4 Nó A �� EMBED Equation.DSMT4 �� EMBED Equation.DSMT4 Nó C �� EMBED Equation.DSMT4 Nó B �� EMBED Equation.DSMT4 Prova: �� EMBED Equation.DSMT4 NÓS EQUAÇÕES BAR RAS N (KN) A H 2 -4,47 V 1 8,13 C H 4 3,22 V 3 -3,87 B H 5 -6,75 V 7 4,58 E H 6 -0,53 V H V �� EMBED Equation.DSMT4 �� EMBED Equation.DSMT4 NDE �� EMBED Equation.DSMT4 (Ret. a esq.) NDG �� EMBED Equation.DSMT4 (Ret. a esq.) NEG �� EMBED Equation.DSMT4 (Ret. a esq.) NFH �� EMBED Equation.DSMT4 (Ret. a dir.) �� EMBED Equation.DSMT4 �� EMBED Equation.DSMT4 NIK (Ret. a dir.) NFH �� EMBED Equation.DSMT4 (Ret. a esq.) NGJ �� EMBED Equation.DSMT4 (Ret. a dir.) NIJ �� EMBED Equation.DSMT4 (Ret. a dir.) Reações de Apoio Equilíbrio dos Nós Nó A Nó B Nó C Nó Equação A V H 5 T2 = 0 B V VB + 5T3 + 10T4 + 10T5 = 0 H -HB – 5T2 – 5T3 – 5T4 = 0 C V -5T1 – 5T3 + 5T7 + 5T9 =0 H - 12T9 + 5T3 = 0 D V -P2 – 10T5 = 0 H -5T6 = 0 E V -5T7 – 10T4 = 0 H -12T8 + 5TA + 5T6 = 0 F V -P1 – 5T9 = 0 H 12T8 + 12T9 = 0 Exercício: Nó Equação B V H E V H F V H D V H C V H A V H 1. Calcular as forças normais nas barras da treliça: 2. a) Verificar se a treliça é isostática. b) Calcular a força normal em todas as barras da treliça, utilizar o processo dos nós ou o processo dos coeficientes de força. 3. Dada a treliça, determinar as reações de apoio e a força normal nas barras: 4. Determinar as forças normais da treliça abaixo (qualquer método): 5. Dada a treliça abaixo, pede-se verificar se a mesma é isostática, suas reações de apoio e as forças normais em todas as suas barras. NÓS EQUAÇÕES N (EM KN) A H V B H V C H V D H V E H V F H V G H V H H V HA 3t 1 2 3 8 4 9 5 � 7 6 A � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� F D 5t E 2t � T� L� Normal� � 1� -340� 5� -1700� � 2� 0� 5� 0� � 3� -240� 7,07� -1697� � 4� 240� 11,18� 2683� � 5� -150� 10� -1500� � 6� 0� 5� 0� � 7� -480� 5� -2400� � 8� 100� 12� 1200� � 9� -100� 13� -1300� � � Reações� � VA� 1700� � VB� 300� � HB� 0� � P2=1500kg P1=500kg 5 m 5 m 12 m 5 m VA VB HB 9 8 7 1 2 3 4 6 5 F E D C B A � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 4 m 2 m � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 2 1 4 3 5 D A B C 6 t 4 m 2 m VA VC HC 6 t 6 t 6 t + 2 KN VA=2,69KN 1,5 m 1,5 m 4 m A D C F E G I K H J L B 5 m 2 m HB=4KN VB=2,31KN 2 m 1 m 2 m 3 m 2 KN 1 KN 1 KN 1 KN 1 KN 1 KN + � EMBED Equation.DSMT4 ��� 6,4 � EMBED Equation.DSMT4 ��� HA=5 KN A VA=2,07KN VJ=1,93 KN J I G E C 2 m 2 m 5 m 3 m 2 m 2 KN 2 m 1 KN 2 m 2 KN H 1 KN F 1 KN D 1 KN N7 1 KN � EMBED Equation.DSMT4 ��� 3 KN B � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� N4 6 KN N6 N5 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 6,75 10 KN N7� EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 4 KN N3 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 4 KN N4 N1 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 6,75 KN N2 N1 � EMBED Equation.DSMT4 ��� 6 4 KN 3 m 3 m 3 m 4 KN 2 m 4 1 � EMBED Equation.DSMT4 ��� C � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 7 3 KN 6 KN E 3 3 m HB = 10 KN 3 KN 5 VB = 3,25 KN VA = 6,75 KN 2 D B � EMBED Equation.DSMT4 ��� 10 KN N1 A 4 KN N5 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� N3 N4 N5 + 2 KN � EMBED Equation.DSMT4 ��� + -5,14 KN 15,14 KN � EMBED Equation.DSMT4 ��� N1 N2 + ( + HB =15,14 KN B 3 m 4 m HA = -5,14 KN A � EMBED Equation.DSMT4 ��� 1 2 6 kn 10 kn 8 kn D � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 3 5 C 4 2 kn 4 kn 4 m 5 m � EMBED Equation.DSMT4 ��� N4 VB = 10 KN -0,8 KN � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� N5 N7 6 KN 6,8 KN N4 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� N1 N3 6 KN � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� N1 N2 3 KN 2 KN + + � EMBED Equation.DSMT4 ��� N7 N6 3 KN 2 KN VB = -0,8 KN VA = 6,8 KN HA = 6 KN 2 m 2 m 3 m 2 KN 2 KN 3 KN 2 KN E C B 3 KN D A 1 4 3 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 6 7 5 2 m 3 m + + + � EMBED Equation.DSMT4 ��� NCF NCF 3,97 tf 4 m 4 m 5,03 tf 4 m 6tf 4tf G C 30º F H 5,2 tf 3 m 2tf A D Banzo sup. NCE NCE 3,97 tf 4 m 4 m 5,03 tf 4 m 3,97 tf 4 m 4 m 5,03 tf 4 m 6tf 4tf G C 30º F H 5,2 tf 3 m C D 30º F 6tf 2tf A D E H 5,2 tf 3 m B 2tf A 4tf G E B VA=3,97 tf 4 m 4 m VB=5,03 tf 4 m 4tf G C 30º 6tf F H HA=5,2 tf 3 m 13 10 11 16 12 2tf A D 6 9 7 5 2 3 1 8 4 E B P2 P3 D 14 17 15 13 v 10 11 h 16 12 horizontal A B P1 B C 6 9 7 5 l 2 3 1 8 4 E2 � EMBED Equation.DSMT4 ��� A + + � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� C P1 N4 N3 N2 P1 B F 8 9 7 6 A 1 3 C D 5 4 2 E Barra indeformável P2 HA P4 R2 P3 R1 P/2 P/2 B A seção da peça B B A A N N N N tração compressão E B � EMBED Equation.DSMT4 ��� N3 N2 N1 VA B VB A P P2 P1 C B 1t VA VC 2 m 2 m 1,5 m 3 m 3t 5t 2t D 7 E 6 5 4 3 C 1 2 A B 4 m 4 m 6 m 1000 kgf A B 1 2 3 C 500 kgf 4 D 5 6 7 E 8 4 m 9 F 2 m 3 m 3 m � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 5 m 5t 4 m 4 m 3 m 3t 2t C B D 6 m 4 m 3 m 3 m 7 m A E B C D F 5 t 2 t 4 m A B 4 3 1 2 C D 7 3 m 8 6 5 3 m E F 3 m 11 12 10 9 2 KN G 13 2,54 KN 4 KN 60º � EMBED Equation.DSMT4 ��� NCD NCD 3,97 tf 4 m 4 m 5,03 tf 4 m 6tf 4tf G C 30º F H 5,2 tf 3 m 2tf A D E B Estruturas em Treliça _1201431792.unknown _1201523929.unknown _1201530249.unknown _1202971900.unknown _1202973458.unknown _1202974929.unknown _1202975174.unknown _1202975236.unknown _1202975280.unknown _1202975354.unknown _1202975267.unknown _1202975208.unknown _1202975061.unknown _1202974754.unknown _1202974786.unknown _1202973613.unknown _1202974605.unknown _1202973079.unknown _1202973360.unknown _1202973384.unknown _1202973128.unknown _1202972889.unknown _1202972916.unknown _1202972782.unknown _1201605723.unknown _1201622559.unknown _1201625178.unknown _1201625426.unknown _1201692361.unknown _1202971479.unknown _1201692386.unknown _1201625485.unknown _1201625322.unknown _1201625379.unknown _1201625247.unknown _1201625002.unknown _1201625110.unknown _1201622588.unknown _1201609887.unknown _1201618461.unknown _1201622529.unknown _1201618438.unknown _1201606161.unknown _1201530605.unknown _1201605125.unknown _1201605450.unknown _1201603134.unknown _1201604907.unknown _1201603102.unknown _1201530406.unknown _1201530543.unknown _1201530300.unknown _1201529121.unknown _1201529501.unknown _1201530041.unknown_1201530161.unknown _1201529601.unknown _1201529229.unknown _1201529264.unknown _1201529183.unknown _1201524311.unknown _1201524500.unknown _1201524582.unknown _1201524417.unknown _1201524060.unknown _1201524154.unknown _1201523966.unknown _1201443502.unknown _1201518486.unknown _1201523433.unknown _1201523610.unknown _1201523737.unknown _1201523503.unknown _1201523355.unknown _1201523381.unknown _1201521060.unknown _1201521219.unknown _1201518532.unknown _1201454821.unknown _1201516958.unknown _1201517029.unknown _1201517801.unknown _1201517959.unknown _1201517050.unknown _1201517001.unknown _1201516704.unknown _1201516768.unknown _1201455252.unknown _1201455493.unknown _1201455222.unknown _1201451110.unknown _1201454700.unknown _1201454740.unknown _1201452677.unknown _1201451128.unknown _1201449166.unknown _1201449400.unknown _1201449460.unknown _1201449185.unknown _1201448598.unknown _1201449067.unknown _1201448488.unknown _1201448538.unknown _1201448453.unknown _1201448428.unknown _1201438932.unknown _1201440076.unknown _1201443132.unknown _1201443412.unknown _1201442998.unknown _1201443061.unknown _1201440209.unknown _1201439395.unknown _1201439446.unknown _1201438969.unknown _1201439239.unknown _1201435043.unknown _1201437925.unknown _1201438297.unknown _1201438890.unknown _1201438587.unknown _1201437966.unknown _1201436447.unknown _1201437799.unknown _1201436416.unknown _1201433858.unknown _1201434021.unknown _1201434031.unknown _1201433915.unknown _1201433659.unknown _1201433791.unknown _1201433707.unknown _1201433067.unknown _1201433034.unknown _1201020508.unknown _1201092166.unknown _1201148436.unknown _1201157513.unknown _1201158013.unknown _1201158038.unknown _1201157955.unknown _1201157927.unknown _1201150657.unknown _1201150862.unknown _1201148531.unknown _1201094745.unknown _1201147735.unknown _1201147967.unknown _1201097572.unknown _1201092259.unknown _1201094597.unknown _1201023836.unknown _1201089198.unknown _1201089313.unknown _1201092094.unknown _1201089264.unknown _1201088507.unknown _1201088725.unknown _1201023998.unknown _1201086508.unknown _1201088396.unknown _1201086440.unknown _1201023898.unknown _1201023609.unknown _1201023723.unknown _1201023367.unknown _1200998810.unknown _1200999211.unknown _1201003744.unknown _1201019720.unknown _1201020362.unknown _1200999987.unknown _1200999050.unknown _1200999081.unknown _1200999030.unknown _1200998963.unknown _1200931566.unknown _1200932202.unknown _1200998679.unknown _1200998431.unknown _1200932023.unknown _1200839474.unknown _1200928537.unknown _1200928592.unknown _1200916385.unknown _1200915580.unknown _1187025588.unknown
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