P1 álgebra linear etereldes 2010_1

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UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo
CCE - Centro de Cieˆncias Exatas
DMAT - Departamento de Matema´tica
Prof.: Etereldes
29/04/2010
Prova 1 - A´lgebra Linear - F´ısica
1. Considere o sistema: 
2x + y + z = −6α
2x + y + (β + 1)z = 4
βx + 3y + 2z = 2α.
(a) Mostre que, se β 6= 0 e β 6= 6, o sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o. (1 ponto)
(b) Prove que, se β = 0, existe um u´nico valor de α para o qual o sistema e´ poss´ıvel.
Determine a soluc¸a˜o, neste caso. (1 ponto)
(c) Discuta o sistema no caso β = 6. (0,5 pontos)
2. Seja A uma matriz de ordem n × n definida por aij =
{
0, se i = j
1, se i 6= j . Mostre que
det(A) = (−1)n−1(n− 1). (2,5 pontos)
3. Considere a matriz:
A =
 1 0 03 2 1
0 1 2
 .
Escreva A−1 como produto de matrizes elementares (explicite cada matriz elementar).
(2,0 pontos)
4. Sendo A e B matrizes quadradas. Responda se cada item abaixo e´ verdadeiro ou falso,
justificando sua resposta.
(a) det(A+B) = det(A) + det(B). (1 ponto)
(b) AB e´ invert´ıvel se, e so´ se, A e B sa˜o invert´ıveis. (1 ponto)
(c) Seja x um vetor de tamanho n× 1. Enta˜o Ax = 0 implica que x = 0. (1 ponto)
OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
Boa prova!