P2_ALGEBRA_ (2)

Prévia do material em texto

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DO CCE – UFES 
 
Segunda Prova de Álgebra Linear – 2011/1 
 
Aluno:____________________________________________________________________ 
Data: 10/05/2011 
 
 
Questão 1 (3,0 pontos) 
a) Encontre uma equação para o plano Π passando pela origem e que é perpendicular à 
reta de interseção dos planos 12 −=++ zyx e 72 =++ zyx . 
b) Dado um ponto ( ) 3,, ℜ∈= zyxP , determine o ponto Π∈Q tal que o vetor QP seja 
ortogonal ao plano Π . 
c) A função que associa a cada ponto 3ℜ∈P o ponto Π∈Q obtido no item (b) é uma 
transformação linear? Justifique. Caso seja transformação linear, determine sua matriz 
canônica. 
 
 
Questão 2 (1,0 pontos) 
Seja { }321 ,, vvv uma base de um espaço vetorial V. Mostre que { }321 ,, uuu também é 
base de V, sendo 11 vu = , 212 vvu += e 3213 vvvu ++= . 
 
 
Questão 3 (2,0 pontos) 
Sejam r a reta de equações paramétricas tx = , ty −= , tz 2= e Π o plano passando pela 
origem e perpendicular à reta r. Determine a matriz canônica do operador linear T de 3ℜ 
tal que ( ) 0=vT , para cada rv ∈ , e ( ) vvT 2−= , para cada Π∈v . 
 
 
Questão 4 (2,0 pontos) 
Seja W o subespaço vetorial de 4ℜ gerado por 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }8,2,18,7,3,2,4,0,4,9,5,4,0,1,3,2,2,5,1,1 −−−−−−=S . 
 
a) Encontre um subconjunto de S que seja base de W. 
b) Expresse cada vetor de S que não esteja na base obtida no item (a) como uma 
combinação linear dos vetores da base. 
 
 
Questão 5 (2,0 pontos) 
Seja W o subespaço vetorial do espaço euclidiano 5ℜ gerado por 
( ) ( ) ( ) ( ){ }8,7,5,3,2,1,2,1,0,1,1,4,1,2,3,9,6,5,4,1 −−−−−−=S . Encontre bases para W e 
para o complemento ortogonal de W.