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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DO CCE – UFES Segunda Prova de Álgebra Linear – 2011/2 Aluno:____________________________________________________________________ Data: 25/10/2011 Questão 1 (3,0 pontos) a) Encontre uma equação para o plano Π passando pelo ponto ( )211 ,, − e que contém a interseção dos planos 01 =−+ zx e 022 =+− zyx . b) Para cada ponto ( ) 3,, ℜ∈= zyxP , determine o ponto Π∈Q tal que o vetor QP seja paralelo ao eixo x. c) A função que associa a cada ponto 3ℜ∈P o ponto Π∈Q obtido no item (b) é uma transformação linear? Justifique. Caso seja transformação linear, determine sua matriz canônica. Questão 2 (2,0 pontos) Seja r a reta de equações paramétricas tx = , ty −= , tz 2= . Determine a) uma base de { }321 v,v,v do espaço euclidiano 3ℜ , sendo rv ∈1 e 2v e 3v ortogonais a r. b) a matriz canônica do operador linear de 3ℜ que é a projeção ortogonal sobre a reta r, usando a base obtida no item (a). Questão3 (3,0 pontos) Seja W o subespaço vetorial do espaço euclidiano 4ℜ gerado por ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }553100525501512132101 −−−−−−−= ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,S . a) Encontre um subconjunto de S que seja base de W. b) Expresse cada vetor de S que não esteja na base obtida no item (a) como uma combinação linear dos vetores da base. c) Determine uma base ortogonal do complemento ortogonal de W. Questão 4 (2,0 pontos) Sejam o espaço euclidiano 3ℜ e ( ) ( ) ( ){ }140243001 ,,,,,,,,B −= uma base de 3ℜ . a) Use o processo de Gram-Schmidt para transformar B em uma base ortogonal. b) Determine o vetor de coordenadas, em relação à base ortogonal obtida no item (a), do vetor de 3ℜ cujo vetor de coordenadas, em relação a B, é ( )12121 ,,− .
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